Ekonometria. Ćwiczenia 5. Krzysztof Pytka. 22 listopada Zakład Wspomagania i Analizy Decyzji (SGH)

Transkrypt

1 Ekonometria Ćwiczenia 5 Krzysztof Pytka Zakład Wspomagania i Analizy Decyzji (SGH) 22 listopada 2010

2 Mapa drogowa na dziś Mapa drogowa na dziś 1 Wstęp Mapa drogowa na dziś 2 Modele liniowe względem parametrów Efekty krańcowe, elastyczności i semielastyczności Determinanty morderstw w USA Linearyzowanie modeli nieliniowych 3 Funkcja o stałej elastyczności substytucji (CES) 4 Taking Robert Solow seriously... (Mankiw et al. 1992)

3 Modele nieliniowe Wstęp Modele liniowe względem parametrów Efekty krańcowe, elastyczności i semielastyczności Determinanty morderstw w USA Linearyzowanie modeli nieliniowych modele liniowe względem parametrów, ale niekoniecznie względem zmiennych: g(y ) = α 1 f 1 (x) + α 2 f 2 (x) α p f p (x) + ε modele nieliniowe względem parametrów, np.: funkcja Cobba-Douglasa: y = x α1 1 x α x α K K ε, funkcja CES, funkcja logistyczna: y t = α 1+βe + ε γt t

4 Modele liniowe względem parametrów Efekty krańcowe, elastyczności i semielastyczności Determinanty morderstw w USA Linearyzowanie modeli nieliniowych Determinanty dochodów ludności nieliniowa zmienna niezależna gdzie: ln income i = α 0 + α 1 age i + α 2 exper i + α 3 black i + +α 5 hispanic i + α 6 educ i + ε i ln income i logarytm dochodów, age i wiek respondenta, exper i doświadczenie zawodowe respondenta, black i zmienna binarna dla ludności afroamerykańskiej, hispanic i zmienna binarna dla ludności latynoamerykańskiej, educ lata edukacji.

5 Modele liniowe względem parametrów Efekty krańcowe, elastyczności i semielastyczności Determinanty morderstw w USA Linearyzowanie modeli nieliniowych Determinanty dochodów ludności dodanie nieliniowości w regresorach gdzie: ln income i = α 0 + α 1 age i + α 2 exper i + α 3 black i + +α 6 experi 2 + α 7 educ i + ε i ln income i logarytm dochodów, age i wiek respondenta, exper i doświadczenie zawodowe respondenta, black i zmienna binarna dla ludności afroamerykańskiej, educ lata edukacji,

6 Modele liniowe względem parametrów Efekty krańcowe, elastyczności i semielastyczności Determinanty morderstw w USA Linearyzowanie modeli nieliniowych Determinanty dochodów ludności dodanie zmiennych interakcyjnych gdzie: ln income i = α 0 + α 1 age i + α 2 exper i + α 3 black i + +α 6 experi 2 + α 7 FB i + α 8 educf i + α 9 educ i + ε i ln income i logarytm dochodów, age i wiek respondenta, exper i doświadczenie zawodowe respondenta, black i zmienna binarna dla ludności afroamerykańskiej, educ lata edukacji, FB female black, educf female education.

7 Modele liniowe względem parametrów Efekty krańcowe, elastyczności i semielastyczności Determinanty morderstw w USA Linearyzowanie modeli nieliniowych Dochody menadżerów w USA (dane z Forbesa za Wooldridge em) salary i = α + β ln sales i + γroe i + δroei 2 + ε i gdzie: salary i wynagrodzenie CEO w i tej firmie, sales i sprzedaż firmy w mln USD, roe i return on equity i-tej firmy.

8 Modele liniowe względem parametrów Efekty krańcowe, elastyczności i semielastyczności Determinanty morderstw w USA Linearyzowanie modeli nieliniowych Dochody menadżerów w USA (dane z Forbesa za Wooldridge em) ln salary i = α + β ln sales i + γroe i + δroei 2 + ε i gdzie: salary i wynagrodzenie CEO w i tej firmie, sales i sprzedaż firmy w mln USD, roe i return on equity i-tej firmy.

9 Modele liniowe względem parametrów Efekty krańcowe, elastyczności i semielastyczności Determinanty morderstw w USA Linearyzowanie modeli nieliniowych Determinanty morderstw w USA (Mustard 2003) lratmurd i = α 0 + α 1 arrmurd i + α 2 rcpi i + α 3 density i + α 4 ppb i + ε i gdzie: lratmurd logarytm naturalny hrabstwa rocznej stopy morderstw na 100,000 mieszkańców, arrmurd aresztowania w sprawie o zabójstwo w stosunku do zabójstw w hrabstwie [%], density gęstość zaludnienia hrabstwa, ppb procent ludności afroamerykańskiej, rpci dochód przeciętny mieszkańców.

10 Nieliniowe modele linearyzowalne Modele liniowe względem parametrów Efekty krańcowe, elastyczności i semielastyczności Determinanty morderstw w USA Linearyzowanie modeli nieliniowych 1 Model potęgowy: 2 Model wykładniczy: Y = αx β 1 X γ 2 eε a+bx +ε Y = e 3 Model wykładniczo-hiperboliczny: Y = e a+ b X +ε

11 Funkcja o stałej elastyczności substytucji (CES) Ogólna postać: Y = α 0 K i=1 X α i i ε

12 Funkcja o stałej elastyczności substytucji (CES) Ogólna postać: Y = α 0 K i=1 X α i i Postać (dwuczynnikowej) funkcji produkcji typu Cobb-Douglas: ε Y t (K t, L t ) = A t K α t L β t ε t Funkcja użyteczności typu Cobb-Douglas: u(x 1, x 2 ) = x α 1 x β 2

13 Jednorodność funkcji Funkcja o stałej elastyczności substytucji (CES) Definition (Jednorodność funkcji) Funkcja g : R 2 R jest jednorodna stopnia r względem x R oraz y R wtedy i tylko wtedy, gdy: λ R+ : g(λx, λy) = λ r g(x, y).

14 Jednorodność funkcji Funkcja o stałej elastyczności substytucji (CES) Definition (Jednorodność funkcji) Funkcja g : R 2 R jest jednorodna stopnia r względem x R oraz y R wtedy i tylko wtedy, gdy: λ R+ : g(λx, λy) = λ r g(x, y).

15 Test liniowych restrykcji (*) Funkcja o stałej elastyczności substytucji (CES) 1 Nakładamy jakieś restrykcje a priori dotyczące relacji między parametrami; w naszym przypadku: α + β = 1 2 Przeprowadzamy test ilorazu wiarygodności na istotność liniowych restrykcji: H 0 : oszacowania parametrów są zgodne z restrykcjami H 1 : oszacowania parametrów stoją w sprzeczności z restrykcjami

16 Funkcja CES Wstęp Funkcja o stałej elastyczności substytucji (CES) Y = γ[δk ρ + (1 δ)l ρ ] ν/ρ ε gdzie: γ > 0 parametr skali produkcji, δ [0, 1] - parametr podziału między czynnikami produkcji ν > 0 stopień jednorodności funkcji, ρ > 1 parametr substytucji, gdzie elastyczność substytucji σ = 1 1+ρ

17 Funkcja CES szczególne przypadki Funkcja o stałej elastyczności substytucji (CES) Funkcja Leontieffa (ρ + ) Funkcja C-D (ρ 0) Funkcja liniowa (ρ 1 + )

18 Taking Robert Solow seriously... (Mankiw et al. 1992)