Wybór postaci analitycznej modelu ekonometrycznego
|
|
- Jolanta Kucharska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wybór postaci analitycznej modelu ekonometrycznego
2 Wybór postaci analitycznej modelu ekonometrycznego jest jednym z najtrudniejszych etapów badań. Jest on szczególnie uciążliwy, gdy rozpatrujemy modele z większą liczbą zmiennych objaśniających. Praktycznie istnieją trzy sposoby podejścia do tego zagadnienia: 1. Sposób źródłowy wykorzystujący teorię ekonomii. Ten sposób wyboru postaci analitycznej jest najbardziej poprawny z punktu widzenia wartości poznawczej modelu. Określoną postać analityczną model ekonometryczny w takim przypadku przyjmuje na drodze: teoria ekonomii - układ równań różniczkowych model ekonometryczny. Model ekonometryczny przyjmuje wówczas taka postać analityczną, jaka powstaje w wyniku całkowania odpowiedniego równania (równań) różniczkowego. Należy jednak podkreślić, iż tylko nieliczne teorie ekonomii opracowane zostały do tego stopnia, by można było ocenić ich ścisłość.
3 2. Sposób wynikowy polega na statystycznej analizie posiadanego materiału empirycznego (w zasadzie abstrahując od jakichkolwiek teorii ekonomii) i na jej podstawie przyjmowanie odpowiedniego rodzaju zależności. Oznacza to, że wybieramy taką funkcję (bądź klasę funkcji), która najlepiej z punktu widzenia przyjętego kryterium (na przykład odchylenia standardowego) opisuje posiadany materiał empiryczny. Z reguły tego rodzaju postępowanie przy wyborze postaci analitycznej ogranicza możliwości stosowania modeli ekonometrycznych w praktyce. 3. Sposób mieszany oparty na dwóch powyższych. W sposobie tym postać analityczną przyjmuje się głównie na podstawie materiału empirycznego, ale uwzględnia się wiedzę teoretyczną o badanym procesie ekonomicznym (na przykład istnienie poziomu nasycenia).
4 W przypadku wyboru postaci analitycznej w sposób źródłowy i wynikowy, gdy mamy do czynienia z modelem z jedną zmienną objaśniającą, etap ten sprowadza się w zasadzie do graficznej analizy danych empirycznych. Metody tego typu prezentowane są w wielu opracowaniach z zakresu ekonometrii i statystyki, a są to między innymi: metoda heurystyczna, metoda oceny wzrokowej. Aby za pomocą takich metod wybrać postać analityczną modelu, trzeba dla każdej postaci hipotetycznej przejść przez etap estymacji i weryfikacji, i dopiero ponownie wracając do etapu wyboru postaci analitycznej dokonać wyboru najlepszej funkcji opisującej badaną prawidłowość.
5 Jeżeli mamy do czynienia z modelami ekonometrycznymi z wieloma zmiennymi objaśniającymi pomocna w ustalaniu postaci analitycznej jest analiza rozkładów poszczególnych zmiennych (w modelu związku dla danych przekrojowych) oraz analiza funkcji trendów poszczególnych zmiennych (w modelu związku dla danych w postaci szeregów czasowych). W modelach związków dla danych przekrojowych: 1) jeżeli wszystkie zmienne w modelu mają rozkłady normalne (lub zbliżone do normalnych) i są niezależne, wówczas model tworzy wielowymiarowy rozkład normalny (ślad rozkładu eliptyczny), co jednoznacznie wskazuje na liniową postać modelu związku;
6 2) jeżeli rozkłady zmiennych w modelu są asymetryczne, ale mają zbliżone parametry rozkładu, to w myśl twierdzeń granicznych, możemy przyjąć, że zależność między tymi zmiennymi jest liniowa; 3) jeżeli wielowymiarowy rozkład obserwacji zmiennych w modelu nie tworzy rozkładu eliptycznosymetrycznego, wówczas badamy jednorodność zbioru obserwacji; jeżeli zbiór jest niejednorodny przeprowadzamy klasyfikację na względnie jednorodne podzbiory; dla podzbiorów jednorodnych, które spełniają 1) przyjmujemy liniową zależność pomiędzy zmiennymi; jeżeli 1) nie spełniają przyjmujemy postać nieliniową; 4) w pozostałych przypadkach poszukujemy nieliniowej (ale o najprostszym z możliwych zapisie matematycznym) postaci analitycznej modelu związku.
7 W modelach związku dla danych w postaci szeregów czasowych: 1) jeżeli trendy wszystkich zmiennych są liniowe lub ogólniej rzecz biorąc wielomianowe, wówczas zależność między zmiennymi może mieć charakter liniowy; 2) jeżeli trendy poszczególnych zmiennych są nieliniowe (ale monotoniczne), a kształt nieliniowości jest zbliżony, wówczas model związku może przyjąć postać liniową; 3) jeżeli trendy poszczególnych zmiennych są nieliniowe (i nie monotoniczne) różnego kształtu, wówczas możliwości jest wiele, najkorzystniej jest jednak przeprowadzić periodyzację zmiennych lub związku na jednorodne podokresy, a następnie w jednorodnych podzbiorach ustalić zależności tak jak 1) lub 2);
8 4) w pozostałych przypadkach poszukujemy nieliniowej (ale o najprostszym z możliwych zapisie matematycznym) postaci analitycznej modelu związku. Z punktu widzenia postaci analitycznej, modele ekonometryczne można dzielić na modele liniowe oraz nieliniowe. Przy czym modele nieliniowe możemy z kolei podzielić na modele nieliniowe sensu stricto oraz na nieliniowe, dla których istnieje liniowa transformacja.
9 Proces przekształcania modeli nieliniowych w liniową transformację nosi nazwę linearyzacji. Należy zwrócić uwagę, że określając postać analityczną modelu ekonometrycznego należy kierować się wyborem funkcji jak najmniej skomplikowanej pod względem matematycznym. Prostota modelu wiąże się z reguły z bardziej czytelną jego interpretacją ekonomiczną. Dlatego też, jeżeli jest to tylko merytorycznie uzasadnione stosuje się w pierwszej kolejności modele liniowe, w następnej nieliniowe z liniową transformantą, a dopiero w ostateczności modele nieliniowe sensu stricto.
10 Transformacja liniowa jest zatem rozwiązaniem kompromisowym. Z jednej strony dążymy do pełnej merytorycznej poprawności postaci analitycznej, a z drugiej liczymy się zawsze z możliwościami szacunku parametrów modelu. Znane i stosunkowo proste metody estymacji parametrów modeli ekonometrycznych zakładają z reguły liniowość modelu (lub przynajmniej liniowość modelu względem parametrów, niekoniecznie zmiennych). Przykładem funkcji nieliniowych, które są liniowe względem parametrów a nieliniowe względem zmiennych są funkcje wielomianowe Y k i 1 i X i.
11 Funkcje nieliniowe nie zawsze spełniają ten wymóg. Jeżeli wymóg ten nie jest spełniony, wówczas uciekamy się do transformacji liniowej, polegającej na sprowadzeniu funkcji nieliniowych do liniowych za pomocą zamiany zmiennych, albo też za pomocą podstawień. Warunkiem koniecznym (jednak nie dostatecznym) zastosowania procedury transformacji liniowej jest wymóg, aby liczba parametrów modelu nieliniowego była co najmniej równa k+1 (gdzie k liczba zmiennych modelu).
12 Jej postać analityczna jest następująca: Y=α 0 α 1X, przy założeniu, że α 0 >0, α 1 >0. Przekształcenie do postaci liniowej odbywa się poprzez logarytmowanie. Zatem linearyzacja przebiega następująco: ln ln ln y y y y ln ln X 1 0 X X 1 ln ln X 1 ln. 1
13 Funkcja wykładnicza znajduje najczęściej zastosowanie jako model tendencji rozwojowej (w którym występuje tylko jedna zmienna objaśniająca zmienna czasowa t). Ponadto ma zastosowanie: - w przypadku, gdy tempo wzrostu danej wielkości jest stałe, na przykład w badaniu dynamiki dochodu narodowego; - w analizie rynku, przy badaniu na dobra nowe, w fazie rozpowszechniania; - w demometrii; - jest także jedną z typowych funkcji kosztów całkowitych.
14 X y 0 1 przy założeniu, że α 0 >0, α 1 >0.
15 0 1 y e X 0 1X y 10
16 Funkcja potęgowa jednej zmiennej ma postać: Y=α 0 X α1. Przekształcenie do postaci liniowej odbywa się podobnie jak w przypadku funkcji wykładniczej: ln ln ln y y y X y ln 0 0 ln X ln 1 1 X ln ln 1 X.
17 Funkcja potęgowa jest jedną z najczęściej stosowanych postaci, gdyż nadaje się do opisu różnego rodzaju zależności, zarówno liniowych jak i krzywoliniowych. Tego typu funkcja ma zastosowanie: - w analizie rynku przy badaniu popytu na dobra nowe, wówczas α 1 >0 oraz gdy dane dobro rośnie ale w tempie malejącym; - dla α 1 >0 dobrze aproksymuje zależność indywidualnej wydajności pracy od czasu dojazdu do pracy; - w demometrii, przy szacowaniu potencjału życiowego ludności.
18 y X 0 1
19 Postać analityczna w tym wypadku wygląda następująco: Y=α 0 +α 1 logx, przy założeniu, że α 0 >0, α 1 >0. Sprowadzenie funkcji do postaci liniowej odbywa się poprzez odpowiednie podstawienia. y log y 0 z log X 0 1 z. 1 X
20 Zastosowania w tym przypadku są następujące: - dla α 1 >0 dobrze aproksymuje krzywe Engla dla dóbr wyższego rzędu (dóbr względnie luksusowych lub inaczej półluksusowych), gdy popyt na te dobra rośnie, ale w tempie malejącym; - opisuje udział procentowy pracowników na przykład inżynieryjno-technicznych w stosunku do ogółu zatrudnionych w przemyśle; - dla α 0 =0, α 1 >0 jest funkcją kosztów całkowitych jest to konsekwencją hipotezy, że funkcja kosztów całkowitych jest funkcją odwrotną do funkcji produkcji.
21 y 0 1 log X
22 Dla funkcji hiperbolicznej postać analityczna jest często następująca: 1 Y=α 0 +α 1, X przy założeniu, że α 1 >0. W wyniku podstawienia otrzymujemy następującą postać zlinearyzowaną: 1 y 0 1 X 1 z X y 0 1z. Dla α 0 0, α 1 >0 jest funkcją kosztów przeciętnych, gdy funkcja kosztów całkowitych jest funkcją liniową.
23 y X przy założeniu, że α 1 >0.
24 Zastosowanie tego typu funkcji ma miejsce głównie w ekonometrycznej analizie kosztów produkcji. Dla przykładu wielomian stopnia trzeciego ma postać: Y=α 0 +α 1 X 1 + α 2 X 22 +α 3 X 33, A jego wykres, gdy parametry spełniają warunki: α 0 >0, α 1 >0, α 3 >0, α 2 <0, α 22 <3α 1 α 3.
25 Wielomian stopnia drugiego ma przebieg zmienności dobrze znany z elementarnego kursu matematyki. Y=α 0 +α 1 X 1 + α 2 X 22, I tak dla α 2 <0, α 1 >0 dobrze opisuje zależności indywidualnej wydajności pracy od wieku pracownika, przebieg zmienności tej funkcji jest z reguły zgodny z obserwacjami empirycznymi najpierw wydajność pracy rośnie coraz szybciej, a później coraz wolniej (optymalny wiek produkcyjny), a następnie maleje coraz to szybciej i wreszcie coraz to wolniej dążąc do zera, gdy x->. Tego typu funkcję linearyzujemy również metodą podstawiania.
26 Głównym zastosowaniem funkcji Törquista pierwszego rodzaju jest opis popytu na dobra podstawowe, czyli pierwsze potrzeby w zależności od dochodów: X Y, 0, 0. X przy czym parametr α interpretowany jest jako tzw. poziom nasycenia, czyli asymptota pozioma wykresu funkcji. W celu oszacowania parametrów tej funkcji transponuje się ją do postaci liniowej poprzez odwrócenie obu stron równania: 1 X 1 1 1, czyli, Y X Y X po podstawieniu: Y', a0, a1, X ', Y X otrzymujemy postać liniową modelu: Y ' a0 a1 X '.
27 X Y, 0, 0. X
28 , X Y 0, 0, 0, X gdzie parametr Y=α jest asymptotą poziomą funkcji natomiast X=-β asymptotą pionową. Parametr γ z kolei jest poziomem X, przy którym pojawia się objaśniane zjawisko Y. W celu oszacowania parametrów tej funkcji transponuje się ją do postaci liniowej poprzez przemnożenie obu stron równania przez mianownik (X+β): X Y X, czyli Y X X, X Y 1 dalej YX Y X : x, więc Y, X X Y 1 stąd Y, po podstawieniu X X Y 1 a0, a1, a2, X ', X", X X otrzymujemy postać liniową: Y a 0 a1 X ' a2x ".
29 Funkcja ta jest dobrą aproksymantą krzywej Engla dla dóbr i usług wyższego rzędu. Parametr γ jest minimalną wielkością dochodu, przy którym powstają wydatki na dane dobro wyższego rzędu. Łatwo dostrzec, że jeżeli jest on równy zeru, to model ten staje się modelem takim jak uprzednio. X Y, 0, 0, 0, X
30 X, X Y 0, 0, 0, X Funkcja Törnquista III rodzaju służy do określania zależności pomiędzy dochodami a wydatkami na dobra luksusowe. Parametr α nie odgrywa tu już roli poziomu nasycenia, gdyż model ten nie ma asymptoty poziomej, lecz skośną, o postaci: y=αx-α(β+γ). Z modelu tego można odczytać, że popyt na dobro luksusowe jest realizowany wtedy, gdy dochody są większe od X=γ. Etapy transformacji tej funkcji są analogiczne do poprzedniego modelu.
31 X, X Y 0, 0, 0, X
32 Zmienną objaśniającą w modelu logistycznym jest często czas, jest to więc model tendencji rozwojowej: Y a, ct a 0, b 0, c 0 1 be,
33 Opisane wcześniej modele nieliniowe były sprowadzane do modelu regresji liniowej przez transformację zmiennych lub przekształcenie całego modelu. Występują jednak również także zależności nieliniowe, które wymagają specyficznych metod przekształceń i szacowania parametrów. Przykładem takiego modelu jest krzywa logistyczna, która znajduje zastosowanie w badaniach makro- i mikroekonomicznych. W makroekonomii służy często do opisu wzrostu gospodarki narodowej lub liczebności populacji ludzkiej, w zagadnieniach mikroekonomicznych zaś jest dobrą aproksymantą funkcji popytu. Funkcja ta pisuje zjawiska, które charakteryzują się przechodzeniem od szybkiego wzrostu do coraz wolniejszego tempa, które stabilizuje się na pewnym poziomie, zwanym poziomem nasycenia.
34 Wśród metod wyznaczania tendencji rozwojowej wyróżnia się m.in.: 1. średnie ruchome zwykłe i scentrowane 2. metody analityczne. Średnia ruchoma zwykła eliminuje wahania przypadkowe. Stosowana jest do wyodrębnienia trendu w szeregach, w których nie występują wahania okresowe. Średnia arytmetyczna zwykła jest to średnia arytmetyczna nieparzystej liczby kolejnych wyrazów szeregu. Średnia ruchoma scentrowana eliminuje wahania okresowe i przypadkowe. Jest to średnia arytmetyczna liczona z parzystej liczby d wyrazów szeregu czasowego. W celu wyeliminowania wahań okresowych stosuje się średnią ruchomą o długości równej okresowi wahań albo wielokrotności tego okresu.
35 Metody analityczne polegają na założeniu, że tendencję rozwojową można przedstawić za pomocą pewnej funkcji matematycznej: P t =f(t). Nie ma jednoznacznych metod wyboru postaci analitycznej trendu. Do najczęściej wykorzystywanych sposobów wyznaczania postaci trendu należą: 1. Wykorzystywanie teorii ekonomii do określania mechanizmu rozwoju zjawiska w czasie. Postać trendu wynika często z teorii ekonomii tłumaczącej mechanizm rozwoju badanego zjawiska w czasie. 2. Metoda graficzna. Prosty wykres szeregu czasowego pozwala ostawić hipotezę o analitycznej postaci trendu. Analiza graficzna polega na sporządzeniu wykresu szeregu dynamicznego na układzie współrzędnych prostokątnych.
36 Na podstawie analizy wykresu i znajomości przebiegu określonych funkcji matematycznych można sformułować hipotezę o postaci analitycznej funkcji trendu. Jeżeli na wykresie punkty empiryczne układają się w przybliżeniu wzdłuż prostej odpowiednio w układzie współrzędnych (t, lny t ), (lnt, y t ) oraz (lnt, lny t ) można mówić wtedy o istnieniu trendu wykładniczego, logarytmicznego i potęgowego. 3. Metoda empiryczna polega na przyjęciu za funkcję trendu każdej funkcji charakteryzującej się tym, że wartości szeregu czasowego różnią się od niej w sposób losowy. Buduje się kilka różnych funkcji trendu i wybiera się tę, która jest najlepiej dopasowana do danych empirycznych. Badanie, czy dana funkcja zmiennej czasowej t może być uznana za trend polega na zbadaniu reszt za pomocą odpowiednich testów statystycznych.
37 4. Metoda analizy dynamicznych własności równania trendu polega na sformułowaniu hipotezy co do postaci funkcji trendu na podstawie analizy przyrostów absolutnych lub względnych. I tak dla przykładu: Funkcja liniowa posiada stałe przyrosty absolutne rzędu pierwszego Δy t = y t - y t-1. Funkcja kwadratowa posiada stałe przyrosty absolutne rzędu drugiego: Δ 2 y t = Δy t - Δy t-1. Wielomian stopnia trzeciego posiada stałe przyrosty absolutne rzędu trzeciego: Δ 3 y t = Δ 2 y t - Δ 2 y t-1. Funkcja wykładnicza posiada stałe przyrosty względne rzędu pierwszego: yt yt 1. y t 1
38 5. Metoda uśrednionych gradientów polega na analizie przyrostów absolutnych lub względnych. Stosuje się tu dodatkową procedurę polegającą na wyeliminowaniu wahań losowych za pomocą wartości przeciętnych przyrostów z sąsiednich okresów.
39
Etapy modelowania ekonometrycznego
Etapy modelowania ekonometrycznego jest podstawowym narzędziem badawczym, jakim posługuje się ekonometria. Stanowi on matematyczno-statystyczną formę zapisu prawidłowości statystycznej w zakresie rozkładu,
Bardziej szczegółowo3. Modele tendencji czasowej w prognozowaniu
II Modele tendencji czasowej w prognozowaniu 1 Składniki szeregu czasowego W teorii szeregów czasowych wyróżnia się zwykle następujące składowe szeregu czasowego: a) składowa systematyczna; b) składowa
Bardziej szczegółowoEkonometria. Modele dynamiczne. Paweł Cibis 27 kwietnia 2006
Modele dynamiczne Paweł Cibis pcibis@o2.pl 27 kwietnia 2006 1 Wyodrębnianie tendencji rozwojowej 2 Etap I Wyodrębnienie tendencji rozwojowej Etap II Uwolnienie wyrazów szeregu empirycznego od trendu Etap
Bardziej szczegółowoSzczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)
Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) 1. Populacja generalna a losowa próba, parametr rozkładu cechy a jego ocena z losowej próby, miary opisu statystycznego
Bardziej szczegółowoEkonometria. Dobór postaci analitycznej, transformacja liniowa i estymacja modelu KMNK. Paweł Cibis 9 marca 2007
, transformacja liniowa i estymacja modelu KMNK Paweł Cibis pawel@cibis.pl 9 marca 2007 1 Miary dopasowania modelu do danych empirycznych Współczynnik determinacji Współczynnik zbieżności Skorygowany R
Bardziej szczegółowoSzczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)
Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) 1. Populacja generalna a losowa próba, parametr rozkładu cechy a jego ocena z losowej próby, miary opisu statystycznego
Bardziej szczegółowoNieliniowe. Liniowe. Nieliniowe. Liniowe. względem parametrów. Linearyzowane. sensu stricto
Ekonometria jak dorać funkcję? Przykłady użyte w materiałach opracowano w większości na azie danych ze skryptu B.Guzik, W.Jurek Podstawowe metody ekonometrii (wyd. AE Poznań 3) W doorze postaci funkcji
Bardziej szczegółowoEkonometria. Model nieliniowe i funkcja produkcji. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Model nieliniowe i funkcja produkcji Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 7 i funkcja produkcji 1 / 23 Agenda 1 2 3 Jakub Mućk Ekonometria Wykład 7 i funkcja
Bardziej szczegółowoAnaliza autokorelacji
Analiza autokorelacji Oblicza się wartości współczynników korelacji między y t oraz y t-i (dla i=1,2,...,k), czyli współczynniki autokorelacji różnych rzędów. Bada się statystyczną istotność tych współczynników.
Bardziej szczegółowoEstymacja parametrów modeli liniowych oraz ocena jakości dopasowania modeli do danych empirycznych
Estymacja parametrów modeli liniowych oraz ocena jakości dopasowania modeli do danych empirycznych 3.1. Estymacja parametrów i ocena dopasowania modeli z jedną zmienną 23. Właściciel komisu w celu zbadania
Bardziej szczegółowot y x y'y x'x y'x x-x śr (x-x śr)^2
Na podstawie:w.samuelson, S.Marks Ekonomia menedżerska Zadanie 1 W przedsiębiorstwie toczy się dyskusja na temat wpływu reklamy na wielkość. Dział marketingu uważa, że reklama daje wysoce pozytywne efekty,
Bardziej szczegółowoMetody Ilościowe w Socjologii
Metody Ilościowe w Socjologii wykład 2 i 3 EKONOMETRIA dr inż. Maciej Wolny AGENDA I. Ekonometria podstawowe definicje II. Etapy budowy modelu ekonometrycznego III. Wybrane metody doboru zmiennych do modelu
Bardziej szczegółowoPrognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania
Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Szeregi czasowe 1 Szeregi czasowe 2 3 Szeregi czasowe Definicja 1 Szereg czasowy jest to proces stochastyczny z czasem dyskretnym
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. Wykład V. Regresja liniowa wieloraka
Statystyka opisowa. Wykład V. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 Prosta regresji cechy Y względem cech X 1,..., X k. 2 3 Wyznaczamy zależność cechy Y od cech X 1, X 2,..., X k postaci Y = α 0 +
Bardziej szczegółowo3. Analiza własności szeregu czasowego i wybór typu modelu
3. Analiza własności szeregu czasowego i wybór typu modelu 1. Metody analizy własności szeregu czasowego obserwacji 1.1. Analiza wykresu szeregu czasowego 1.2. Analiza statystyk opisowych zmiennej prognozowanej
Bardziej szczegółowoEkonometria. Dobór postaci analitycznej, transformacja liniowa i estymacja modelu KMNK. Paweł Cibis 23 marca 2006
, transformacja liniowa i estymacja modelu KMNK Paweł Cibis pcibis@o2.pl 23 marca 2006 1 Miary dopasowania modelu do danych empirycznych Współczynnik determinacji Współczynnik zbieżności 2 3 Etapy transformacji
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wykład 13. Magdalena Alama-Bućko. 12 czerwca Magdalena Alama-Bućko Statystyka 12 czerwca / 30
Statystyka Wykład 13 Magdalena Alama-Bućko 12 czerwca 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 12 czerwca 2017 1 / 30 Co wpływa na zmiany wartości danej cechy w czasie? W najbardziej ogólnym przypadku, na
Bardziej szczegółowoAnaliza współzależności dwóch cech I
Analiza współzależności dwóch cech I Współzależność dwóch cech W tym rozdziale pokażemy metody stosowane dla potrzeb wykrywania zależności lub współzależności między dwiema cechami. W celu wykrycia tych
Bardziej szczegółowoK wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp.
Sprawdzian 2. Zadanie 1. Za pomocą KMNK oszacowano następującą funkcję produkcji: Gdzie: P wartość produkcji, w tys. jp (jednostek pieniężnych) K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys.
Bardziej szczegółowogdzie. Dla funkcja ma własności:
Ekonometria, 21 listopada 2011 r. Modele ściśle nieliniowe Funkcja logistyczna należy do modeli ściśle nieliniowych względem parametrów. Jest to funkcja jednej zmiennej, zwykle czasu (t). Dla t>0 wartośd
Bardziej szczegółowo6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Bardziej szczegółowoTeoretyczne podstawy analizy indeksowej klasyfikacja indeksów, konstrukcja, zastosowanie
Teoretyczne podstawy analizy indeksowej klasyfikacja indeksów, konstrukcja, zastosowanie Szkolenie dla pracowników Urzędu Statystycznego nt. Wybrane metody statystyczne w analizach makroekonomicznych dr
Bardziej szczegółowoStatystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski
Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Książka jest nowoczesnym podręcznikiem przeznaczonym dla studentów uczelni i wydziałów ekonomicznych. Wykład podzielono na cztery części. W pierwszej
Bardziej szczegółowoFunkcje elementarne. Matematyka 1
Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje
Bardziej szczegółowoStatystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl
Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący
Bardziej szczegółowoZałóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb
Współzależność Załóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb (x i, y i ). Geometrycznie taką parę
Bardziej szczegółowoAnaliza współzależności zjawisk
Analiza współzależności zjawisk Informacje ogólne Jednostki tworzące zbiorowość statystyczną charakteryzowane są zazwyczaj za pomocą wielu cech zmiennych, które nierzadko pozostają ze sobą w pewnym związku.
Bardziej szczegółowoZAKRES PODSTAWOWY. Proponowany rozkład materiału kl. I (100 h)
ZAKRES PODSTAWOWY Proponowany rozkład materiału kl. I (00 h). Liczby rzeczywiste. Liczby naturalne. Liczby całkowite. Liczby wymierne. Liczby niewymierne 4. Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej 5.
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wykład 9. Magdalena Alama-Bućko. 24 kwietnia Magdalena Alama-Bućko Statystyka 24 kwietnia / 34
Statystyka Wykład 9 Magdalena Alama-Bućko 24 kwietnia 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 24 kwietnia 2017 1 / 34 Tematyka zajęć: Wprowadzenie do statystyki. Analiza struktury zbiorowości miary położenia
Bardziej szczegółowoAnaliza dynamiki zjawisk STATYSTYKA OPISOWA. Dr Alina Gleska. Instytut Matematyki WE PP. 28 września 2018
STATYSTYKA OPISOWA Dr Alina Gleska Instytut Matematyki WE PP 28 września 2018 1 Pojęcie szeregów czasowych i ich składowych SZEREGIEM CZASOWYM nazywamy tablicę, która zawiera ciag wartości cechy uporzadkowanych
Bardziej szczegółowoPropozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy. Klasa I (60 h)
Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy (według podręczników z serii MATeMAtyka) Temat Klasa I (60 h) Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby naturalne
Bardziej szczegółowoEkonometria. Model nieliniowe i funkcja produkcji. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej. Modele nieliniowe Funkcja produkcji
Ekonometria Model nieliniowe i funkcja produkcji Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 7 Modele nieliniowe i funkcja produkcji 1 / 19 Agenda Modele nieliniowe 1 Modele
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND Finanse i Rachunkowość rok 2 Analiza dynamiki Szereg czasowy: y 1 y 2... y n 1 y n. y t poziom (wartość) badanego zjawiska w
Bardziej szczegółowoRegresja linearyzowalna
1 z 5 2007-05-09 23:22 Medycyna Praktyczna - portal dla lekarzy Regresja linearyzowalna mgr Andrzej Stanisz z Zakładu Biostatystyki i Informatyki Medycznej Collegium Medicum UJ w Krakowie Data utworzenia:
Bardziej szczegółowo8. WYBRANE ZASTOSOWANIA MODELI EKONOMETRYCZNYCH
39 8. WYBRANE ZASTOSOWANIA MODELI EKONOMETRYCZNYCH 8.1. Funkcje popytu i elastyczności popytu 8.1.1. Czynniki determinujące popyt i ich wpływ Załóżmy, że hipoteza ekonomiczna dotycząca kształtowania się
Bardziej szczegółowoKORELACJE I REGRESJA LINIOWA
KORELACJE I REGRESJA LINIOWA Korelacje i regresja liniowa Analiza korelacji: Badanie, czy pomiędzy dwoma zmiennymi istnieje zależność Obie analizy się wzajemnie przeplatają Analiza regresji: Opisanie modelem
Bardziej szczegółowoZagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste
Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste Liczby naturalne Liczby całkowite. Liczby wymierne Liczby niewymierne Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej Pierwiastek
Bardziej szczegółowoModele nieliniowe sprowadzalne do liniowych
Modele nieliniowe sprowadzalne do liniowych Modele liniowe względem parametrów przykłady, zastosowania Modele hiperboliczne i wykładnicze Związek kształtu modelu z celem analizy ekonometrycznej NajwaŜniejsze
Bardziej szczegółowoNa poprzednim wykładzie omówiliśmy podstawowe zagadnienia. związane z badaniem dynami zjawisk. Dzisiaj dokładniej zagłębimy
Analiza dynami zjawisk Na poprzednim wykładzie omówiliśmy podstawowe zagadnienia związane z badaniem dynami zjawisk. Dzisiaj dokładniej zagłębimy się w tej tematyce. Indywidualne indeksy dynamiki Indywidualne
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)
PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki w klasie III A LP
Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III A LP Zakres rozszerzony Kryteria Znajomość pojęć, definicji, własności oraz wzorów objętych programem nauczania. Umiejętność zastosowania wiedzy teoretycznej
Bardziej szczegółowo1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.
Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. I. Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity). Dla a R, n N mamy a = a, a n = a n a. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a =, a. Dla a R \{}, n
Bardziej szczegółowoFunkcje elementarne. Ksenia Hladysz Własności 2. 3 Zadania 5
Funkcje elementarne Ksenia Hladysz 16.10.014 Spis treści 1 Funkcje elementarne. 1 Własności 3 Zadania 5 1 Funkcje elementarne. Są to funkcje określone wzorami zawierającymi skończoną ilość operacji algebraicznych
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna i ekonometria
Statystyka matematyczna i ekonometria Wykład 9 Anna Skowrońska-Szmer lato 2016/2017 Ekonometria (Gładysz B., Mercik J., Modelowanie ekonometryczne. Studium przypadku, Wydawnictwo PWr., Wrocław 2004.) 2
Bardziej szczegółowoPropozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h)
Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony (według podręczników z serii MATeMAtyka) Klasa I (90 h) Temat Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wykład 13. Magdalena Alama-Bućko. 18 czerwca Magdalena Alama-Bućko Statystyka 18 czerwca / 36
Statystyka Wykład 13 Magdalena Alama-Bućko 18 czerwca 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 18 czerwca 2018 1 / 36 Agregatowy (zespołowy) indeks wartości określonego zespołu produktów np. jak zmianiała
Bardziej szczegółowoRegresja wieloraka Ogólny problem obliczeniowy: dopasowanie linii prostej do zbioru punktów. Najprostszy przypadek - jedna zmienna zależna i jedna
Regresja wieloraka Regresja wieloraka Ogólny problem obliczeniowy: dopasowanie linii prostej do zbioru punktów. Najprostszy przypadek - jedna zmienna zależna i jedna zmienna niezależna (można zobrazować
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: 1. JĘZYK MATEMATYKI I FUNKCJE LICZBOWE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą
Bardziej szczegółowoWiadomości ogólne o ekonometrii
Wiadomości ogólne o ekonometrii Materiały zostały przygotowane w oparciu o podręcznik Ekonometria Wybrane Zagadnienia, którego autorami są: Bolesław Borkowski, Hanna Dudek oraz Wiesław Szczęsny. Ekonometria
Bardziej szczegółowoNarzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski
Narzędzia statystyczne i ekonometryczne Wykład 1 dr Paweł Baranowski Informacje organizacyjne Wydział Ek-Soc, pok. B-109 pawel@baranowski.edu.pl Strona: baranowski.edu.pl (w tym materiały) Konsultacje:
Bardziej szczegółowoEkonometria Wykład 7 Modele nieliniowe, funkcja produkcji. Dr Michał Gradzewicz Katedra Ekonomii I KAE
Ekonometria Wykład 7 Modele nieliniowe, funkcja produkcji Dr Michał Gradzewicz atedra Ekonomii I AE Plan wykładu (Nie)liniowość modeli ekonomerycznych iniowość modeli ekonometrycznych Efekty krańcowe Elastyczności
Bardziej szczegółowoZadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.
tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wykład 8. Magdalena Alama-Bućko. 10 kwietnia Magdalena Alama-Bućko Statystyka 10 kwietnia / 31
Statystyka Wykład 8 Magdalena Alama-Bućko 10 kwietnia 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 10 kwietnia 2017 1 / 31 Tematyka zajęć: Wprowadzenie do statystyki. Analiza struktury zbiorowości miary położenia
Bardziej szczegółowoEkonometria. Zajęcia
Ekonometria Zajęcia 16.05.2018 Wstęp hipoteza itp. Model gęstości zaludnienia ( model gradientu gęstości ) zakłada, że gęstość zaludnienia zależy od odległości od okręgu centralnego: y t = Ae βx t (1)
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do analizy korelacji i regresji
Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 5 PROGNOZOWANIE
Ćwiczenie 5 PROGNOZOWANIE Prognozowanie jest procesem przewidywania przyszłych zdarzeń. Obszary zastosowań prognozowania obejmują np. analizę danych giełdowych, przewidywanie zapotrzebowania na pracowników,
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony
Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem
Bardziej szczegółowoRAMOWY ROZKŁAD MATERIAŁU Z MATEMATYKI DLA KLAS I-III LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO PRZY CKU NR 1
RAMOWY ROZKŁAD MATERIAŁU Z MATEMATYKI DLA KLAS I-III LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO PRZY CKU NR 1 Zakres podstawowy Kl. 1-60 h ( 30 h w semestrze) Kl. 2-60 h (30 h w semestrze) Kl. 3-90 h (45 h w semestrze)
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony
MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład
Bardziej szczegółowoCo to jest analiza regresji?
Co to jest analiza regresji? Celem analizy regresji jest badanie związków pomiędzy wieloma zmiennymi niezależnymi (objaśniającymi) a zmienną zależną (objaśnianą), która musi mieć charakter liczbowy. W
Bardziej szczegółowoAnaliza Zmian w czasie
Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Analiza Zmian w czasie Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka
Bardziej szczegółowoPrognozowanie na podstawie modelu ekonometrycznego
Prognozowanie na podstawie modelu ekonometrycznego Przykład. Firma usługowa świadcząca usługi doradcze w ostatnich kwartałach (t) odnotowała wynik finansowy (yt - tys. zł), obsługując liczbę klientów (x1t)
Bardziej szczegółowoProjekt zaliczeniowy z Ekonometrii i prognozowania Wyższa Szkoła Bankowa w Toruniu 2017/2018
Projekt zaliczeniowy z Ekonometrii i prognozowania Wyższa Szkoła Bankowa w Toruniu 2017/2018 Nr indeksu... Imię i Nazwisko... Nr grupy ćwiczeniowej... Imię i Nazwisko prowadzącego... 1. Specyfikacja modelu
Bardziej szczegółowoWIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI REGRESJA LINIOWA
WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI REGRESJA LINIOWA Powtórka Powtórki Kowiariancja cov xy lub c xy - kierunek zależności Współczynnik korelacji liniowej Pearsona r siła liniowej zależności Istotność
Bardziej szczegółowo2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.
ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2)
Bardziej szczegółowoRozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)
Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. godz. = 76 godz.) I. Funkcja i jej własności.4godz. II. Przekształcenia wykresów funkcji...9 godz. III. Funkcja
Bardziej szczegółowoKlasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:
Klasa 1 technikum Przedmiotowy system oceniania wraz z wymaganiami edukacyjnymi Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
Bardziej szczegółowoK P K P R K P R D K P R D W
KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013
Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Bardziej szczegółowoREGRESJA (postać liniowa funkcji) - ROZWIĄZANIA Komentarze kursywą, rozwiązania oraz treści zadań pismem prostym.
REGRESJA (postać liniowa funkcji) - ROZWIĄZANIA Komentarze kursywą, rozwiązania oraz treści zadań pismem prostym. Zadanie 1 W celu ustalenia zależności między liczbą braków a wielkością produkcji części
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI
WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI Regresja 1. Metoda najmniejszych kwadratów-regresja prostoliniowa 2. Regresja krzywoliniowa 3. Estymacja liniowej funkcji regresji 4. Testy istotności współczynnika regresji liniowej
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna - pochodna funkcji 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW
5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW Drugą pochodną nazywamy pochodną funkcji pochodnej f () i zapisujemy f () = [f ()] W ten sposób możemy też obliczać pochodne n-tego rzędu. Obliczmy wszystkie pochodne wielomianu
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji: zastosowania przyrodnicze wykłady 7 i 8
Pochodna funkcji: zastosowania przyrodnicze wykłady 7 i 8 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu sem. zimowy, r. akad. 2016/2017 Funkcja logistyczna 40 Rozważmy
Bardziej szczegółowoRozkład materiału nauczania
Dział/l.p. Ilość godz. Typ szkoły: TECHNIKUM Zawód: TECHNIK USŁUG FRYZJERSKICH Rok szkolny 2017/2018 Przedmiot: MATEMATYKA Klasa: III 60 godzin numer programu T5/O/5/12 Rozkład materiału nauczania Temat
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji
Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowoSpis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16
Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoAnaliza sezonowości. Sezonowość może mieć charakter addytywny lub multiplikatywny
Analiza sezonowości Wiele zjawisk charakteryzuje się nie tylko trendem i wahaniami przypadkowymi, lecz także pewną sezonowością. Występowanie wahań sezonowych może mieć charakter kwartalny, miesięczny,
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. podstawowym dla uczniów technikum. część II
Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena w nauczaniu matematyki w zakresie podstawowym dla uczniów technikum część II Figury na płaszczyźnie kartezjańskiej L.p. Temat lekcji Uczeń demonstruje opanowanie
Bardziej szczegółowoZad. 4 Należy określić rodzaj testu (jedno czy dwustronny) oraz wartości krytyczne z lub t dla określonych hipotez i ich poziomów istotności:
Zadania ze statystyki cz. 7. Zad.1 Z populacji wyłoniono próbę wielkości 64 jednostek. Średnia arytmetyczna wartość cechy wyniosła 110, zaś odchylenie standardowe 16. Należy wyznaczyć przedział ufności
Bardziej szczegółowoAnaliza regresji - weryfikacja założeń
Medycyna Praktyczna - portal dla lekarzy Analiza regresji - weryfikacja założeń mgr Andrzej Stanisz z Zakładu Biostatystyki i Informatyki Medycznej Collegium Medicum UJ w Krakowie (Kierownik Zakładu: prof.
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka zakres rozszerzony
MATeMAtyka zakres rozszerzony Proponowany rozkład materiału kl. I (160 h) (Na czerwono zaznaczono treści z zakresu rozszerzonego) Temat lekcji Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby naturalne
Bardziej szczegółowoHISTOGRAM. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH Liczba pomiarów - n. Liczba pomiarów - n k 0.5 N = N =
HISTOGRAM W pewnych przypadkach interesuje nas nie tylko określenie prawdziwej wartości mierzonej wielkości, ale także zbadanie całego rozkład prawdopodobieństwa wyników pomiarów. W takim przypadku wyniki
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY I LICEUM I TECHNIKUM (ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ
ROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY I LICEUM I TECHNIKUM (ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ ZBIORY TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ Z
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO
PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe I Granica i pochodna funkcji. Uczeń: Uczeń: 1 Powtórzenie wiadomości o granicy ciągu,
Bardziej szczegółowoEkonometria. Regresja liniowa, dobór postaci analitycznej, transformacja liniowa. Paweł Cibis 24 marca 2007
Regresja liniowa, dobór postaci analitycznej, transformacja liniowa Paweł Cibis pawel@cibis.pl 24 marca 2007 1 Regresja liniowa 2 Metoda aprioryczna Metoda heurystyczna Metoda oceny wzrokowej rozrzutu
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Bardziej szczegółowoProgram zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę
Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę 1. Omówienie programu. Zaznajomienie uczniów ze źródłami finansowania
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności
Bardziej szczegółowoKształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować
Bardziej szczegółowoRozdział 2: Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów
Rozdział : Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów W tym rozdziale omówione zostaną dwie najpopularniejsze metody estymacji parametrów w ekonometrycznych modelach nieliniowych,
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna
Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 (5.11.07) Funkcja logistyczna Rozważmy funkcję logistyczną y = f 0 (t) = 40 1+5e 0,5t Funkcja f może być wykorzystana np. do modelowania wzrostu masy ziaren kukurydzy (zmienna
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA OPOLSKA
POLITECHNIKA OPOLSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY Katedra Technologii Maszyn i Automatyzacji Produkcji Laboratorium Podstaw Inżynierii Jakości Ćwiczenie nr 4 Temat: Analiza korelacji i regresji dwóch zmiennych
Bardziej szczegółowoRozdział 8. Regresja. Definiowanie modelu
Rozdział 8 Regresja Definiowanie modelu Analizę korelacji można traktować jako wstęp do analizy regresji. Jeżeli wykresy rozrzutu oraz wartości współczynników korelacji wskazują na istniejąca współzmienność
Bardziej szczegółowo