POPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1

Podobne dokumenty
OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B

wyniki serii n pomiarów ( i = 1,..., n) Stosując metodę największej wiarygodności możemy wykazać, że estymator wariancji 2 i=

opisać wielowymiarową funkcją rozkładu gęstości prawdopodobieństwa f(x 1 , x xn

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =

ma rozkład normalny z nieznaną wartością oczekiwaną m

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

W loterii bierze udział 10 osób. Regulamin loterii faworyzuje te osoby, które w eliminacjach osiągnęły lepsze wyniki:

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH. dr Michał Silarski

Podstawy opracowania wyników pomiarowych, analiza błędów

. Wtedy E V U jest równa

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =

Planowanie eksperymentu pomiarowego I

( X, Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 2 ESTYMACJA PUNKTOWA

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości

ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH

IV. ZMIENNE LOSOWE DWUWYMIAROWE

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

VI. TWIERDZENIA GRANICZNE

Tablica Galtona. Mechaniczny model rozkładu normalnego (M10)

TESTY NORMALNOŚCI. ( Cecha X populacji ma rozkład normalny). Hipoteza alternatywna H1( Cecha X populacji nie ma rozkładu normalnego).

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 7-8

ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną EX = EY = 1, EZ = 0 i macierzą kowariancji

Zadanie 1. ), gdzie 1. Zmienna losowa X ma rozkład logarytmiczno-normalny LN (, . EX (A) 0,91 (B) 0,86 (C) 1,82 (D) 1,95 (E) 0,84

Średnia arytmetyczna Klasyczne Średnia harmoniczna Średnia geometryczna Miary położenia inne

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki)

Wyrażanie niepewności pomiaru

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version WIII/1

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. t warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona:

( ) L 1. θ θ = M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. = θ. min

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 2 x

INSTRUKCJA LABORATORIUM Metrologia techniczna i systemy pomiarowe.

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 1. Wiadomości wstępne

JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA

ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA POJĘCIE ZMIENNEJ LOSOWEJ

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 5

Statystyka Inżynierska

Pomiary bezpośrednie i pośrednie obarczone błędem przypadkowym

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5

Funkcja wiarogodności

Różniczkowanie funkcji rzeczywistych wielu zmiennych. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

L.Kowalski PODSTAWOWE TESTY STATYSTYCZNE WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

[, ] [, ] [, ] ~ [23, 2;163,3] 19,023 2,7

5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA

k k M. Przybycień Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Wykład 13-2

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH. I Pracownia IF UJ Marzec 2017

EKSTREMA FUNKCJI EKSTREMA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Tw. Weierstrassa Każda funkcja ciągła na przedziale domkniętym ma wartość najmniejszą i największą.

TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA

Ze względu na sposób zapisu wielkości błędu rozróżnia się błędy bezwzględne i względne.

Wyznaczanie oporu naczyniowego kapilary w przepływie laminarnym.

Estymacja to wnioskowanie statystyczne koncentrujące się wokół oszacowania wartości parametrów rozkładu populacji.

Statystyka Opisowa 2014 część 3. Katarzyna Lubnauer

Podstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki

WSTĘP METODY OPRACOWANIA I ANALIZY WYNIKÓW POMIARÓW

Metoda Monte-Carlo i inne zagadnienia 1

Permutacje. } r ( ) ( ) ( ) 1 2 n. f = M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Wykład 2-2

1. Relacja preferencji

3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA

Indukcja matematyczna

WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ

Analiza danych pomiarowych

f f x f, f, f / / / METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH niech N = 2 (2 równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-rz.) lub jedno II-rzędu

Estymacja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 7

Linie regresji II-go rodzaju

Teoria i praktyka. Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii. Fizyka. WSTiE Sucha Beskidzka Fizyka

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

Statystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa

Materiały do wykładu 7 ze Statystyki

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA

ELEMENTY TEORII MOŻLIWOŚCI

Podstawowe pojcia. Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 7: Statystyka opisowa. Rozkłady prawdopodobiestwa wystpujce w statystyce.

Obliczanie średniej, odchylenia standardowego i mediany oraz kwartyli w szeregu szczegółowym i rozdzielczym?

Wnioskowanie statystyczne dla korelacji i regresji.

Pomiary parametrów napięć i prądów przemiennych

X i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

Badania Maszyn CNC. Nr 2

Statystyczne charakterystyki liczbowe szeregu

Badania niezawodnościowe i statystyczna analiza ich wyników

Statystyka opisowa. Stawia się pytania: pytanie co? poprzedza pytanie jak?. Najpierw potrzebna jest miara, potem można badać zmiany tej miary.

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4

Statystyka. Analiza zależności. Rodzaje zależności między zmiennymi występujące w praktyce: Funkcyjna

Opracowanie wyników pomiarów

Niepewności pomiarów. DR Andrzej Bąk

Zadanie 1. Rzucamy symetryczną monetą tak długo, aż w dwóch kolejnych rzutach pojawią się,,reszki. Oblicz wartość oczekiwaną liczby wykonanych rzutów.

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Estymacja przedziałowa parametrów strukturalnych zbiorowości generalnej

Matematyczny opis ryzyka

OKREŚLANIE NIEPEWNOŚCI POMIARÓW (poradnik do Laboratorium Fizyki)

Średnia harmoniczna Za pomocą średniej harmonicznej obliczamy np. średnią prędkość jazdy samochodem.

Regresja REGRESJA

Miary statystyczne. Katowice 2014

Matematyka dyskretna. 10. Funkcja Möbiusa

METODY ANALIZY DANYCH DOŚWIADCZALNYCH

W praktyce często zdarza się, że wyniki obu prób możemy traktować jako. wyniki pomiarów na tym samym elemencie populacji np.

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE

Estymacja przedziałowa

UOGÓLNIONA ANALIZA WRAŻLIWOŚCI ZYSKU W PRZEDSIĘBIORSTWIE PRODUKUJĄCYM N-ASORTYMENTÓW. 1. Wprowadzenie

Transkrypt:

POPULACJA I PRÓBA POPULACJĄ w statystyce matematyczej azywamy zbór wszystkch elemetów (zdarzeń elemetarych charakteryzujących sę badaą cechą opsywaą zmeą losową. Zbadae całej populacj (przeprowadzee tzw. badań wyczerpujących w celu określea rozkładu zmeej losowej zwązaej z badaą cechą lub jego parametrów częstokroć e jest możlwe. W takm przypadku przeprowadza sę badaa PRÓBY - tz. wybraej częśc populacj. Podstawowym warukem, który gwaratuje poprawość wosków o całej populacj jest tzw. reprezetatywość próby. PRÓBĄ REPREZENTATYWNĄ azywamy próbę o strukturze bardzo zblżoej do struktury całej populacj. Najlepszą metodą zapewea reprezetatywośc próby jest jej stworzee poprzez całkowce losowy wybór elemetów populacj. Próba reprezetatywa Dr Adam Mchczyńsk - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5

POPULACJA I PRÓBA W ODNIESIENIU DO POMIARU Prawdopodobeñstwo 0.5 0.4 0.3 0. 0. Populacja zbór wszystkch możlwych wyków pomarów Próba wyk przeprowadzoych pomarów, x, x 3, x 4, x 5, x 6 0 x 6 x 5 x x x 3 x 4 wyk pomarów Rzeczywsta wartość merzoej welkośc x 0, będąca wartoścą oczekwaą rozkładu prawdopodobeństwa opsującego całą populację poszukway parametr rozkładu zmeej losowej dla całej populacj Dr Adam Mchczyńsk - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5

ESTYMACJA - ozacza oszacowae welkośc (parametrów opsujących pewe cechy populacj a podstawe próby. CECHY DOBRYCH ESTYMATORÓW:. ZGODNOŚĆ ESTYMATORA lm P{Q Q < ε} gdze: ε dowole mała lczba dodata, Q parametr estymoway, Q estymator z -elemetowej próby. Jest to tzw. zbeżość stochastycza.. NIEOBCIĄŻONOŚĆ E(Q Q Dla estymatorów obcążoych defujemy obcążęe jako B E(Q - Q 3. EFEKTYWNOŚĆ Estymator ajbardzej efektywy Q * to tak, który ma ajmejszą dyspersję (warację spośród wszystkch możlwych estymatorów oblczoych z próby -elemetowej. W(Q V(Q V(Q * Dr Adam Mchczyńsk - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 3

METODA NAJWIĘKSZEJ WIARYGODNOŚCI Wzory, które pozwolą am wyzaczyć estymatory poszukwaych parametrów możemy wyprowadzć stosując metodę ajwększej warygodośc. Załóżmy, że przeprowadzlśmy pomarów pewej welkośc (wylosowalśmy próbę -elemetową w otrzymalśmy w ch wyku astępujące wartośc: x, x, x 3,..., x. Prawdopodobeństwo otrzymaa w wyku pomaru wartośc x (a dokładej z przedzału [x, x +dx] jest rówe: dp f,, dx gdze f,, jest rozkładem gęstośc prawdopodobeństwa zmeej losowej x, w którym występują ezae am parametry. Poeważ poszczególe przeprowadzoe pomary możemy uzać za ezależe, prawdopodobeństwo otrzymaa (wylosowaa z populacj ser x, x, x 3,..., x wyzaczymy jako loczy prawdopodobeństw dp,x,...,x,, dp f,, dx Fukcja f,x,...,x,, f,, ma zatem ses rozkładu gęstośc prawdopodobeństwa otrzymaa w wyku ser pomarów wartośc x, x, x 3,..., x. Fukcję tą, możemy jedak potraktować jako określającą prawdopodobeństwo, że dla zaej ser wartośc x, x,..., x ezae parametry rozkładu przyjmują wartośc. Tak określoą welkość azywamy warygodoścą. Metoda ajwększej warygodośc akazuje am szukać takej wartośc estymowaego parametru, dla której fukcja warygodośc osąga maksmum. Dr Adam Mchczyńsk - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 4

ESTYMATOR WARTOŚCI OCZEKIWANEJ Metoda ajwększej warygodośc pozwala am m.. zaleźć estymator wartośc oczekwaej dla przypadku przeprowadzea ezależych pomarów (tz. dla próby -elemetowej jeżel rozkład możlwych wyków każdego z pomarów f,, ma postać rozkładu Gaussa. Poeważ z wcześejszych rozważań wemy, że wartość prawdzwa jest rówa wartośc oczekwaej będze to też wzór pozwalający oszacować rzeczywstą wartość merzoej welkośc. Przeprowadźmy zatem odpowede wylczea: Przyjmjmy, że przeprowadzlśmy pomarów otrzymalśmy wyk x, x,..., x. Rozkład gęstośc prawdopodobeństwa dla każdego z pomarów x jest rozkładem Gaussa o tych samych parametrach : f,, π Założee, że parametry są take same dla każdego z pomarów jest rówozacze temu, że wszystke pomary zostały przeprowadzoe w tych samych warukach. Fukcja warygodośc ma zatem postać: f,x,...,x,, π π Dr Adam Mchczyńsk - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 5

Dr Adam Mchczyńsk - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 6 Pochoda fukcj warygodośc po będze zatem wyosła: π π,,...,x,,x f ( π,,...,x,,x f π W celu zalezea estymatora wartośc oczekwaej szukamy takej wartośc m, dla której powyższa pochoda jest rówa zeru. Zauważmy, że może być oa rówa zeru tylko wtedy, gdy rówe zeru będze wyrażee w awase kwadratowym: 0 m Przekształcając powyższe wyrażee otrzymamy: 0 x x m m m x m x

Otrzymalśmy w te sposób wzór określający estymator wartośc oczekwaej wyzaczoej a podstawe wyków ezależych pomarów przeprowadzoych w ezmeoych warukach jeżel rozkład możlwych wyków każdego z pomarów jest rozkładem Gaussa. Jeżel estymator te ozaczymy symbolem x sr to możemy zapsać: x sr Jest to dobrze zay wzór a średą arytmetyczą, dlatego też w dalszej częśc estymator wartośc oczekwaej będze azyway właśe wartoścą średą. Łatwo zauważyć, że estymator te jest estymatorem zgodym. Okazuje sę, że jest o także eobcążoy ajbardzej efektywy. Każdy estymator a w szczególośc wartość średa jako fukcja zmeych losowych sam jest zmeą losową. Możemy zatem dla dowolego estymatora (p. wartośc średej określć take pojęca jak rozkład prawdopodobeństwa, wartość oczekwaa, waracja czy dyspersja. W praktyce fakt, że wartość średa jest zmeą losową ozacza, ż jeśl a podstawe klku ser pomarów wyzaczymy wykające z ch wartośc średe, to będą oe cechowały sę rozrzutem podobe jak wartośc pojedyczych pomarów. x Dr Adam Mchczyńsk - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 7

WARIANCJA WARTOŚCI ŚREDNIEJ Zastaówmy sę zatem ad rozrzutem wartośc średej. W tym celu spróbujmy powązać warację wartośc średej z waracją pojedyczego pomaru: Vsr V x Korzystając z zależośc V(ax a V oraz V + x V + V otrzymamy: V V x sr V Poeważ przyjęto, że rozkład gęstośc prawdopodobeństwa dla każdego z pomarów x jest rozkładem Gaussa o tych samych parametrach, zatem waracja V ma taką samą wartość dla każdego x. Jeśl ozaczymy tę wartość jako V możemy apsać: Vsr V V sr V Rozrzut wartośc średej jest mejszy od rozrzutu pojedyczych pomarów maleje ze wzrostem lośc pomarów uwzględoych przy oblczau średej. Dr Adam Mchczyńsk - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 8