Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania FUNKCJA KWADRATOWA Wykres funkcji f () = a Przesunięcie wykresu funkcji f() = a o wektor Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej Rozwiązywanie równań kwadratowych przez rozkład na czynniki Rozwiązywanie równań kwadratowych przy pomocy wzorów Postać iloczynowa funkcji kwadratowej Rozwiązywanie nierówności kwadratowych PLANIMETRIA Miara kątów w trójkącie Trójkąty przystające Trójkąty podobne Wielokąty podobne Twierdzenie Talesa Trójkąty prostokątne Funkcje trygonometryczne kąta ostrego Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych Związki między funkcjami trygonometrycznymi Pole trójkąta Pole czworokąta Długość okręgu i pole koła WIELOMIANY Stopień i współczynniki wielomianu Dodawanie i odejmowanie wielomianów Mnożenie wielomianów Wzory skróconego mnożenia Rozkład wielomianu na czynniki Równania wielomianowe Funkcje wymierne Wykres funkcji f()=a/ a Przesunięcie wykresu funkcji f ( ) = wzdłuż osi OX i wzdłuż osi OY Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych Równania wymierne Funkcje wykładnicze i logarytmy Potęga o wykładniku wymiernym i rzeczywistym Logarytm Ciągi Sposoby określania ciągu Ciągi monotoniczne Definicja i własności ciągu arytmetycznego Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego Definicja i własności ciągu geometrycznego
Suma początkowych wyrazów ciągu geometrycznego Procent składany Zagadnienie FUNKCJA KWADRATOWA Przykładowe zadania Wykres funkcji f 1.Dana jest funkcja f ( ) = 3 +. () = a a) Wyznacz współrzędne punktów przecięcia wykresu tej funkcji z osiami układu współrzędnych. b) Narysuj jej wykres. c) Podaj jej zbiór wartości oraz przedziały monotoniczności. Przesunięcie wykresu funkcji f() =.Wykresem funkcji kwadratowej f () = 3 + 3 jest parabola o wierzchołku w 1.Zbiorem wartości funkcji kwadratowej f () = 4 jest.. a o wektor punkcie.. 3. Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej a) napisz wzór funkcji g() w postaci kanonicznej b) podaj rozwiązanie równania g()>4 c) napisz najmniejszą i największą wartość funkcji g() w przedziale <1;3>.Dana jest funkcja f()= -3-1 a) Naszkicuj wykres funkcji i podaj zbiór jej wartości b) rozwiąż nierówność f() 0 3. 4.Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji ( ) = ( + 1) 3 f w przedziale ;.
Rozwiązywanie równań kwadratowych.rozwiąż. (1 ) = 10 = 0 + 1 3 + 9 = 0 1 = 0 Postać iloczynowa funkcji kwadratowej 3 + 4 = 0 1.Wyznacz wzór ogólny funkcji kwadratowej f, wiedząc, że funkcja ma jedno miejsce zerowe = oraz f ( 0) = 3.. Rozwiązywanie nierówności kwadratowych.rozwiąż nierówność - - < 0. 3.Zbiór rozwiązań nierówności ( )( + 3) < 0 to PLANIMETRIA Miara kątów w trójkącie 4.Rozwiąż nierówność 3 + < 0. 1. Dany jest pięciokąt ABCDE, jak na rysunku.. Oblicz katy α i β tego pięciokąta Trójkąty przystające 1.Liczba przekątnych sześciokąta foremnego jest równa.
Trójkąty podobne Wielokąty podobne Twierdzenie Talesa 1 Wiedząc, że k l, oblicz długości odcinków a i b. 3 Trójkąty prostokątne
Funkcje trygonometryczne kąta ostrego Związki między funkcjami trygonometrycznymi Kąt α jest ostry i tg 5/1. Oblicz cosα. Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych Kąt α jest ostry oraz sinα = cos 47 o. Wtedy miara kąta α jest równa: 1.Gąsienica, pełznąc po pochylni, która wznosi się pod kątem α = 30, pokonała trasę długości 8 cm. Na jaką wysokość wpełzła gąsienica?.w trójkącie prostokątnym jedna przyprostokątna ma długość cm, przeciwprostokątna zaś,5 cm. Znajdź wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego leżącego naprzeciwko krótszej przyprostokątnej. 3. Pole trójkąta W trójkącie prostokątnym stosunek długości przyprostokątnych wynosi : 3. Oblicz stosunek długości odcinków, na które dzieli przeciwprostokątną tego trójkąta wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego.
Pole czworokąta 1.Dany jest romb o boku długości 4 i kącie ostrym 60.Oblicz pole rombu..w trapezie prostokątnym krótsza przekątna dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt równoboczny. Dłuższa podstawa trapezu jest równa 6. Oblicz obwód tego trapezu. 3.Oblicz pole trapezu, którego kąty ostre mają miary 45 i 60, a krótsza podstawa i dłuższe ramię mają długość 6 cm. 4.Wysokość rombu ABCD ma długość 6, a sinus kąta ostrego rombu jest równy 4. Oblicz pole i obwód rombu. 5 5. Długość okręgu i pole koła 1.Długość boku kwadratu wynosi 4 dm. Oblicz pole zacieniowanej figury, przedstawionej na rysunku. Wynik podaj w przybliżeniu z dokładnością do 0,1 dm. WIELOMIANY Stopień i współczynniki wielomianu Dodawanie i odejmowanie wielomianów Mnożenie wielomianów Wzory skróconego mnożenia 3 1.Dane są wielomiany: w ( ) = + 3 4 i p ( ) = 1. Podaj stopień i wyraz wolny wielomianu v () = w() + p(). 3.Dane są wielomiany p ( ) = 3 + 3 i q( ) = 3 + + 6 6. Oblicz w() = p() q(), Podaj stopień i wyraz wolny wielomianu, oblicz wartość dla =-1 3 1.Dane są wielomiany: w ( ) = + 3 4 i p ( ) = 1. Podaj stopień i wyraz wolny wielomianu v ( ) = w( ) p( ). 3.Dane są wielomiany: p() = + 3 4 i w() = 1. Podaj stopień i wyraz wolny wielomianu v() = w() + p()., oblicz wartość dla =-1
Rozkład wielomianu na czynniki Dany jest wykres wielomianu w. a) Wyznacz wszystkie pierwiastki wielomianu b) Odczytaj rozwiązanie równania w( ) = 0..Mamy dany wielomian W ( ) = 3 + b 1 a) wiedząc, punkt (,0) B należy do wykresu tego wielomianu wyznacz b b) dla wyznaczonej wartości b przeprowadź rozkład wielomianu na czynniki Równania wielomianowe Funkcje wymierne Wykres funkcji f()=a/ Przesunięcie wykresu funkcji a f ( ) = wzdłuż osi OX i wzdłuż osi OY Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych Równania wymierne Rozwiąż. a) ( 3)(4 5 + ) = 0 4 3 b) + 3 3 = 0 3 a) 3 + 5 1 0 = 0 3 d) + = 0 1.Podaj dziedzinę, zbiór wartości, przedziały monotoniczności i równania asymptot dla funkcji: Narysuj jej wykres. 1 f ( ) = 4 Podaj założenia i wykonaj działania: 9 + 3 : + 1 1 Podaj dziedzinę wyrażenia i uprość je: Podaj założenia i wykonaj działania: 3 + + Podaj założenia i rozwiąż równanie: + 4 = 4 1 + 6 36
Potęga o wykładniku wymiernym i rzeczywistym Ciągi Logarytm Sposoby określania ciągu Ciągi monotoniczne Definicja i własności ciągu arytmetycznego Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego Definicja i własności ciągu geometrycznego Suma początkowych wyrazów ciągu geometrycznego Procent składany Oblicz: 3 6 ( * ) = ( ) 4 81* 9 1 = : 6 4 4 * 4 ( 3 ) ( ) = 4 3 5 ( ) * : 1 3 ( ) : Oblicz: log 8 + log 8 16 = log 0 log 5 = log 3 * log 9 = log 0,1 log 0,3 + log 5 = 1 log100 + log 4 = 8 Oblicz 4 początkowe wyrazy ciągu = n 4n + 9 a n Zbadaj, czy ciąg: a n = 8 n + 3 jest ciągiem arytmetycznym oraz zbadaj jego monotoniczność. 1.Oblicz pierwszy wyraz i różnicę ciągu arytmetycznego ( a n ), jeśli: a 6 = 0 i a 10 = 4,.W ciągu arytmetycznym a10 = 10 i a1 = 18. Oblicz a13 i a9 3.Oblicz wiedząc, ze dane liczby są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego: a) 7,, 3 b) 3 +, 4 1, 5 4 1.Wyznacz różnicę ciągu arytmetycznego, w którym a1 = 16 i S9 = 0..Oblicz sumę ciągu arytmetycznego 1 + 3 + 5 +... + 99 1.Wyznacz ciąg geometryczny {a n }, mając dane:. a 1 =, q = 3.Piąty wyraz ciągu geometrycznego jest równy 9, a szósty 3. Napisz wzór ogólny tego ciągu. 1.W ciągu geometrycznym dane sa: q = 3, S5 = 4. Oblicz a1. n n.dany jest ciąg geometryczny a n = ( 1). Oblicz sumę 1 wyrazów tego ciągu. Na lokacie terminowej złożono 1000 zł. Jaka kwota będzie po dwóch Latach, jeśli roczne oprocentowanie tej lokaty wynosi 6%, a kapitalizacja odsetek następowała co pół roku.