Niepewność pomiaru w fizyce.

Niepewność pomiaru w fizyce. 1. Niepewność pomiaru - wprowadzenie Każda badana doświadczalnie zależność fizyczna jest zależnością wyidealizowaną pomiędzy pewną liczbą wielkości fizycznych, to znaczy nie uwzględnia wielu czynników, które mogą wpływać na przebieg doświadczenia. Biorąc pod uwagę dodatkowe czynniki, jak niedoskonałość samego przyrządu pomiarowego, wpływ osoby dokonującej pomiaru itp., jest sprawą oczywistą, że każdy pomiar obarczony jest pewną niedokładnością. Podanie samej wartości mierzonej wielkości fizycznej, bez podania jej niepewności, z punktu widzenia fizyki jest bezwartościowe, gdyż wyniki pomiarów wykonane przez rożne osoby czy różnymi metodami nie mogą być porównywane między sobą. Dlatego wynik ostateczny pomiaru należy przedstawić w postaci: (wartość wielkości mierzonej niepewność pomiarowa) jednostka np. Pomiar porównanie wielkości mierzonej z wielkością wzorcową przyjętą za jednostkę. W wyniku pomiaru otrzymuje się zawsze wartość przybliżoną rzeczywistej wartości mierzonej wielkości fizycznej. Podając wynik należy jednocześnie podać jego niepewność (dokładność). Czynniki wpływające na dokładność pomiaru: a. właściwości przyrządu tzn. jego czułość, bezwładność, klasa dokładności, b. wybrana metoda pomiaru, c. błędy związane z podłączeniem przyrządu, d. wpływ zmieniających się warunków otoczenia, e. błędy związane z odczytem wskazań, f. niereprezentatywne pobieranie próbek, tzn. mierzona próbka nie jest reprezentatywna dla definiowanej wielkości mierzonej, g. niedokładnie znane wartości stałych i innych parametrów użytych podczas przetwarzania danych. Uwaga: pojęcie błędu pomiaru nie jest tożsame z pojęciem niepewności pomiaru. W przypadku pojedynczego pomiaru bezpośredniego danej wielkości fizycznej, pod pojęciem błędu pomiaru rozumieć należy różnicę pomiędzy wartością zmierzoną i wartością rzeczywistą (dokładną) mierzonej wielkości fizycznej. Błędu tego nie można obliczyć, gdyż nie jest znana wartość dokładna mierzonej wielkości fizycznej! Można tylko jego wartość oszacować. Otrzymane wyniki pomiarów pozwalają tylko na podanie przedziału wartości, w którym powinna się znajdować wartość mierzonej wielkości fizycznej. Według Międzynarodowej Organizacji Normalizacyjnej ISO niepewność pomiaru (ang. uncertainty) definiuje się jako " parametr związany z wynikiem pomiaru, charakteryzujący rozrzut wartości, które można w uzasadniony sposób przypisać wielkości mierzonej". Parametrem takim może być na przykład odchylenie standardowe rozkładu wyników. Niepewność pomiaru w fizyce - teoria Strona 1

Błędy wykonanego pomiaru można podzielić na: a. błędy systematyczne - ich źródłem mogą być na przykład skale mierników (np. niewłaściwe ustawienie zera ), nieuwzględnienie wpływu czynników zewnętrznych (temperatura, wilgotność) na wartość wielkości mierzonej, przybliżony charakter wzorów stosowanych do wyznaczenia złożonej wielkości fizycznej. Błędy takie zawsze w taki sam sposób wpływają na wyniki pomiarów wykonanych za pomocą tej samej metody i aparatury pomiarowej w tych samych warunkach otoczenia. Można je ograniczyć udoskonalając pomiar, wprowadzając pewne poprawki. b. błędy przypadkowe - występują zawsze w czasie przeprowadzania pomiaru, a ponieważ ich źródłem są czynniki losowe (np. błąd paralaksy, refleks mierzącego, przypadkowo zmieniające się parametry otoczenia), to błędów tych nie można całkowicie wyeliminować. Błędy tego typu stają się widoczne podczas wielokrotnych pomiarów przyrządem, którego dokładność jest bardzo duża a błędy systematyczne wynikające z innych przyczyn są bardzo małe. c. błędy grube - ich źródłem są pomyłki popełnione w czasie pomiaru, np. pomylenie skali w mierniku wielozakresowym, błędne przeliczenie jednostek, chwilowa niesprawność układu pomiarowego itp. Stosunkowo łatwo je zauważyć w przypadku pomiarów wielokrotnych, gdyż wynik obarczony takim błędem znacząco się różni od innych wyników pomiarów. Takie wartości przed przystąpieniem do opracowywania wyników należy wyeliminować. Rodzaje niepewności pomiarowych: a. maksymalna - pozwala określić przedział, w którym mieszczą się wszystkie wyniki mierzonej wielkości fizycznej (po odrzuceniu wyników uznanych za błędy grube). W przedziale tym na pewno mieści się wartość rzeczywista mierzonej wielkości fizycznej. Uwaga: Za wartość najbardziej zbliżoną do wartości rzeczywistej mierzonej wielkości fizycznej można przyjąć wartość średniej arytmetycznej z otrzymanych wyników pomiarów: b. standardowa - jej wartość (zwana odchyleniem standardowym) określa rozrzut wyników wokół x wartości średniej mierzonej wielkości fizycznej. Można przyjąć, że zachodzi zależność: Niepewność pomiaru w fizyce - teoria Strona 2

c. względna - umożliwia porównanie jakości pomiaru tej samej wielkości fizycznej wykonanej różnymi metodami, w rożnych laboratoriach, jak również jakość pomiaru różnych wielkości fizycznych (np. zmierzono długość pewnego samochodu ciężarowego z niepewnością równą 2 cm i czas spadania swobodnego kulki z niepewnością równą 0,2 sekundy. Który z pomiarów był dokładniejszy?). Niepewność względną (maksymalną lub standardową) definiuje się jako iloraz wartości odpowiedniej niepewności bezwzględnej i wartości rzeczywistej mierzonej wielkości fizycznej (tak naprawdę, to wartości najbliższej wartości rzeczywistej). Uwaga: obie niepewności są niemianowane (nie posiadają jednostki); często wyraża się je w procentach. Przykład. Pomiar masy pewnego ciała i jej maksymalnej niepewności dał następujący wynik: Z kolei pomiar odległości między dwoma słupami i jej maksymalną niepewność zapisano jako: Który z pomiarów można uznać za dokładniejszy (obarczony mniejszą niepewnością względną)? Rozwiązanie: Z treści zadania wynika, że: Stąd: Wniosek końcowy: znacznie dokładniejszy jest pomiar odległości, gdyż jego maksymalna niepewność względna jest znacznie mniejsza (12,5 razy!). Niepewność pomiaru w fizyce - teoria Strona 3

2. Zasady zaokrąglania wyników pomiarów i ich niepewności Zasada główna - najpierw należy zaokrąglić wartość niepewności pomiaru, a dopiero potem wartość wyniku pomiaru badanej wielkości fizycznej! 2.1. Zaokrąglanie wartości niepewności bezwzględnej A. Wartość niepewności zaokrągla się zawsze w górę (!) do dwóch cyfr znaczących otrzymanej wartości. Na przykład: przed zaokrągleniem po zaokrągleniu a. b. c. d. e. f. Uwaga: Za pierwszą cyfrę znaczącą uważa się pierwszą niezerową cyfrę w wartości niepewności mierzonej wielkości fizycznej. B. Wartość niepewności należy zaokrąglić do jednej cyfry znaczącej, jeżeli nie zmieni to wartości niepewności o więcej niż 10%, tzn. jeśli: gdzie: wartość niepewności przed zaokrągleniem, wartość niepewności po zaokrągleniu do jednej cyfry znaczącej. Wskazówka: Zaokrąglać do jednej cyfry znaczącej należy, jeżeli po wstępnym zaokrągleniu do dwóch cyfr znaczących suma cyfr znaczących otrzymanej wartości niepewności jest równa lub większa od 10. Spośród podanych wyżej przykładów ( ) zaokrąglić do jednej cyfry znaczącej można w przypadku: d. f. Zaokrąglenie do jednej cyfry znaczącej w przypadku np. spowodowałoby, że: Spowodowałoby to wzrost wartości niepewności o około 67 %! Niepewność pomiaru w fizyce - teoria Strona 4

2.2. Zaokrąglanie wartości wyniku pomiaru A. Wynik pomiaru oblicza się o jedno miejsce dalej niż miejsce dziesiętne, na którym zaokrąglono niepewność, po czym należy zaokrąglić do tego miejsca dziesiętnego, do którego zaokrąglono niepewność. Uwaga; a. jeżeli ostatnia z cyfr znaczących w wyniku przed jego ostatecznym zaokrągleniem (tj. druga lub trzecia z nich jest równa 1,2,3 lub 4, to zaokrągla się w dół, jeżeli jest nią 6,7,8 lub 9, to zaokrągla się w górę, b. jeżeli ostatnią z cyfr jest 5 to: zaokrągla się w górę, jeżeli poprzedza ją cyfra nieparzysta, np., zaokrągla się w dół, jeżeli poprzedza ją cyfra parzysta, np.. B. Wyniki końcowe (wartość mierzonej wielkości fizycznej i jej niepewności) należy zapisywać tak, by niezerowe cyfry wartości niepewności znajdowały się na miejscach dziesiętnych i setnych (po przecinku). 2.3. Przykłady zaokrąglania wyników pomiarów i ich niepewności bezwzględnych Otrzymane wartości podane bez zaokrągleń (błędny sposób przedstawiania) Po wstępnym zaokrągleniu (reguły 1 - A, 2 A) Ostateczne przedstawienie wyników (reguły 1 B, 2 B) m = (2,587 0,1156) kg m = (2,59 0,12) kg tak samo B = (0,0047863 0,000111) T B = (0,00479 0,00012) T B = (4,79 0,12) 10-3 T I = (26,4521 0,782) A I = (26,45 0,79) A I = (26,4 0,8) A t = (127,451 2,428) s t = (127,4 2,5) s t = (12,74 0,25) 10 1 s = (7836,476 187,48) kg/m 3 = (7840 190) kg/m 3 = (7,8 0,2) 10 3 kg/m 3 p = (7587321,4 127465,3) Pa p = (7590000 130000) Pa p = (7,59 0,13) 10 6 Pa v = (96,36 0,0171) 10 3 m/s v = (96,366 0,018) 10 2 m/s v = (963,66 0,18) 10 2 m/s Niepewność pomiaru w fizyce - teoria Strona 5

3. Niepewność pomiaru bezpośredniego Podział pomiarów: a. bezpośrednie (proste) - wykonuje się wprost za pomocą odpowiedniego przyrządu. Na przykład pomiar długości kredki za pomocą linijki, b. pośrednie (złożone) - polega na bezpośrednim zmierzeniu kilku wartości różnych wielkości fizycznych i obliczeniu wartości poszukiwanej wielkości na podstawie wzoru wiążącego wielkości mierzone bezpośrednio. Na przykład pomiar energii kinetycznej samochodu poprzez pomiar jego masy i prędkości jazdy. Uwagi wstępne. a. Klasa dokładności przyrządu określa maksymalną niepewność bezwzględną wskazania przyrządu odniesioną do zakresu skali, gdy użytkowany jest w warunkach znamionowych. Wartość tej niepewności można obliczyć następująco: [1] gdzie: - klasa dokładności przyrządu (liczba { znormalizowana}), - odpowiednio górny i dolny zakres skali pomiarowej przyrządu. Uwaga: W czasie doświadczeń przeprowadzanych na terenie szkoły, zazwyczaj za niepewność maksymalną można przyjąć wartość najmniejszej działki na skali urządzenia pomiarowego. Wtedy na przykład niepewność maksymalna pomiaru długości (długość mierzonego przedmiotu jest mniejsza od zakresu linijki!) wynosi dla "normalnej" linijki zazwyczaj 1 mm. Oznacza to, że dla przyrządów prostych (typu linijka, termometr itp.) za wartość niepewności maksymalnej można przyjąć wartość działki elementarnej przyrządu. Mierząc jednokrotnie długość kredki za pomocą np linijki można odczytać jej długość z wzorca (jakim jest linijka) oraz określić niepewność bezwzględną takiego pomiaru. W przypadku pokazany poniżej: wartość odczytana długości wynosi, natomiast wartość maksymalnej niepewności bezwzględnej pomiaru. Dlatego zapis końcowy pomiaru długości kredki powinien mieć zapis: Natomiast wartość względnej maksymalnej niepewności pomiaru wynosi: Niepewność pomiaru w fizyce - teoria Strona 6

W przypadku cyfrowych elektronicznych przyrządów pomiarowych wartość maksymalnej niepewności jest najczęściej podawana w instrukcji obsługi jako wartość zależna od wartości mierzonej wielkości fizycznej i zakresu pomiarowego z: gdzie: - współczynniki określone przez producenta przyrządu pomiarowego. Przykład. Dla pewnego multimetru: Stąd też przy pomiarze oporu R o wartości przy zakresie skali równej, z powyższego wzoru otrzymuje się: Uwaga: w czasie doświadczeń przeprowadzanych w pracowni, za wartość maksymalnej niepewności pomiarowej przyrządu cyfrowego można przyjąć wartość rzędu wielkości ostatniej wyświetlanej cyfry na przyrządzie. Jeżeli zatem omomierz wyświetla na przykład wartość 5,87 oma, to wartość maksymalnej niepewności takiego pomiaru wynosi 0,01 oma. b. W czasie doświadczeń zakładać będziemy zazwyczaj, że wartości błędów przypadkowych są wyraźnie większe od wartości błędów systematycznych. Niepewności związane z błędami przypadkowymi oblicza się metodami statystycznymi. c. Jeżeli w czasie pomiaru wielokrotnego błędy systematyczne mają większe wartości od błędów przypadkowych (brak rozrzutu wyników), to za niepewność maksymalną pomiaru przyjmować się będzie wartość działki elementarnej użytego przyrządu. Niepewność wielokrotnego pomiaru bezpośredniego tej samej wielkości fizycznej. Przy dużej liczbie pomiarów tej samej wielkości fizycznej za wartość najbliższą wartości rzeczywistej przyjmuje się średnią arytmetyczną z zmierzonych wartości (po uprzednim odrzuceniu wartości znacznie odbiegających od pozostałych {tzw. błędów grubych}). [2] Uwaga: wartość średnią wielkości fizycznej oznacza się często symbolem Średnia arytmetyczna obarczona jest pewną niepewnością, którą należy obliczyć. Najczęściej za niepewność średniej arytmetycznej uważa się tzw. odchylenie standardowe, którego wartość wyraża się wzorem (dla ): n s 2 xi x i 1 n n 1 n p i 1 2 i n n 1 [3] Wyrażenie nazywa się odchyleniem i-tego pomiaru od średniej arytmetycznej. Ostateczny wynik takiego pomiaru należy przedstawić w postaci: [4] Niepewność pomiaru w fizyce - teoria Strona 7

Wartość odchylenia standardowego można łatwo obliczyć korzystając na przykład z Excela lub kalkulatora umożliwiającego obliczenia statystyczne. Ręczne liczenie jest bardzo pracochłonne. Uwaga: a. Obliczoną wartość średniej arytmetycznej należy zaokrąglać do tego miejsca znaczącego, do którego są podane wartości otrzymanych wyników. b. W przedziale zawiera się około 68% wyników pomiarów. Oznacza to także, że mamy około 68% prawdopodobieństwo, że wartość rzeczywista mierzonej wielkości fizycznej mieści się w tym przedziale. c. W przedziale zawiera się około 95% wyników pomiarów. Oznacza to także, że mamy około 95% prawdopodobieństwo, że wartość rzeczywista mierzonej wielkości fizycznej mieści się w tym przedziale. d. W przedziale zawiera się 99,7% wyników pomiarów. Oznacza to także, że mamy 99,7% prawdopodobieństwo, że wartość rzeczywista mierzonej wielkości fizycznej mieści się w tym przedziale. Niepewność równa nazywa się maksymalną niepewnością średniej arytmetycznej. e. Jeżeli liczba pomiarów była niewielka ( ), otrzymaną wartość odchylenia standardowego należy pomnożyć przez tzw. współczynniki Studenta Fishera : [5] wartość zależy od liczby pomiarów i przyjętego tzw. poziomu istotności (określa on przyjęte prawdopodobieństwo, że wartość rzeczywista mierzonej wielkości fizycznej mieści się w obliczonym przedziale wartości). Wartości tych współczynników można znaleźć w odpowiednich tablicach statystycznych. f. Podczas obliczania niepewności średniej arytmetycznej, można skorzystać z metody uproszczonej. Za szukaną niepewność można przyjąć największe odchylenie od wartości średniej: Przykład: [6] Za pomocą stopera zmierzono okres drgań pewnego wahadła matematycznego. Otrzymano następujące wyniki (w sekundach): Wartość średnia dla tych pomiarów wynosi:. Po zaokrągleniu do dziesiątych części sekundy (tak jak podane są wyniki pomiarów!) mamy:. Największe odchylenie od wartości średniej daje piąty pomiar ( ) - wynosił ono. Zatem ostatecznie można zapisać, że: g. Jeżeli największe odchylenie od średniej arytmetycznej ma mniejszą wartość od działki elementarnej użytego przyrządu (w powyższym przykładzie najmniejsza działka na stoperze wynosiła ), to za niepewność średniej arytmetycznej należy przyjąć wartość tej działki! W powyższym przykładzie nie miało to miejsca! Niepewność pomiaru w fizyce - teoria Strona 8

Wartości współczynników poprawkowych Studenta-Fishera w zależności od liczby pomiarów n i poziomu ufności α Przez podane poniżej współczynniki poprawkowe należy pomnożyć odchylenie standardowe (obliczone z serii n pomiarów), aby otrzymać niepewność (błąd) średniej arytmetycznej (obliczonej dla tej samej serii pomiarów) dla danego poziomu ufności α. n n α 0,5 0,7 0,95 0,999 2 1,00 2,0 12,7 636,6 3 0,82 1,3 4,3 331,6 4 0,77 1,3 3,2 12,9 5 0,74 1,2 2,8 8,6 6 0,73 1,2 2,6 6,9 7 0,72 1,1 2,4 6,0 8 0,71 1,1 2,4 5,4 9 0,71 1,1 2,3 5,0 10 0,70 1,1 2,3 4,8 12 0,70 1,1 2,2 4,6 14 0,69 1,1 2,2 4,1 16 0,69 1,1 2,1 4,0 18 0,69 1,1 2,1 4,0 20 0,69 1,1 2,1 3,9 22 0,69 1,1 2,1 3,8 24 0,68 1,1 2,1 3,8 26 0,68 1,1 2,1 3,7 28 0,68 1,1 2,0 3,7 30 0,68 1,1 2,0 3,6 40 0,68 1,1 2,0 3,6 60 0,68 1,0 2,0 3,5 120 0,68 1,0 2,0 3,4 Niepewność pomiaru w fizyce - teoria Strona 9

4. Niepewność pomiaru pośredniego Pomiar pośredni (złożony) polega na bezpośrednim zmierzeniu kilku wartości różnych wielkości fizycznych i obliczeniu wartości poszukiwanej wielkości na podstawie wzoru wiążącego wielkości mierzone bezpośrednio. Zatem wzór pozwalający obliczyć mierzoną wielkość fizyczną fizyczne jest funkcją wiążącą ze sobą wielkości mierzone bezpośrednio. [1] Bardzo często w fizyce funkcja da się przedstawić w postaci iloczynu pewnych potęg wielkości fizycznych mierzonych bezpośrednio. Ogólnie można ją przedstawić w postaci: [2] gdzie: - wielkość fizyczna mierzona pośrednio, - pewna stała (liczba), - mierzone bezpośrednio wielkości fizyczne - wykładniki potęgowe występujące przy odpowiednich wielkościach fizycznych mierzonych bezpośrednio - liczba mierzonych bezpośrednio wielkości fizycznych. W takim przypadku wartość maksymalnej niepewności bezwzględnej takiego pomiaru można wyrazić wzorem: [3] gdzie: obliczona z wzoru [2] wartość mierzonej pośrednio wielkości fizycznej Z, maksymalna wartość niepewności bezwzględnej i-tej wielkości fizycznej mierzonej bezpośrednio, wartość i-tej wielkości fizycznej mierzonej bezpośrednio, wartość wykładnika potęgowego i-tej wielkości fizycznej mierzonej bezpośrednio (występującego we wzorze ]2]). Przykłady wzorów, które można przedstawić w postaci iloczynowej: Korzystając z wzoru [3] można zatem napisać, że Niepewność pomiaru w fizyce - teoria Strona 10

Jeżeli funkcja da się przedstawić w postaci [4] gdzie: wielkość fizyczna mierzona pośrednio, mierzone bezpośrednio wielkości fizyczne (o jednakowych jednostkach!), współczynniki liczbowe przy odpowiednich mierzonych bezpośrednio wielkościach to wartość maksymalnej niepewności bezwzględnej można obliczyć następująco: [5] gdzie: wartość niepewności bezwzględnej i-tej wielkości fizycznej mierzonej bezpośrednio, wartość bezwzględna współczynnika liczbowego przy i-tej wielkości fizycznej mierzonej bezpośrednio. Uwaga: obliczona (zgodnie z wzorem [3] lub [5]) wartość niepewności jest zazwyczaj zawyżona w porównaniu do faktycznej jej wartości. Dokładniejsze oszacowanie wymaga znajomości rachunku różniczkowego. Przykład wzoru w postaci zgodnej z [4]: Wtedy zgodnie z [5] otrzymuje się: Uwaga: Jeżeli równanie [3] zostanie obustronnie podzielone przez, to przyjmie ono postać: [6] Lewa strona jest niczym innym, jak maksymalną względną niepewnością pomiaru mierzonej wielkości fizycznej: Natomiast każda z wartości bezwzględnych (po stronie prawej) jest maksymalną względną niepewnością pomiaru każdej z wielkości fizycznych mierzonych bezpośrednio, przemnożoną przez wartość bezwzględną wykładnika potęgi przy rozpatrywanej wielkości fizycznej mierzonej bezpośrednio. Niepewność pomiaru w fizyce - teoria Strona 11

Zatem: [7] Wnioski: a. Maksymalna niepewność względna pomiaru pośredniego jest sumą maksymalnych niepewności względnych pomiarów bezpośrednich przemnożonych przez wartość bezwzględną wykładnika potęgi odpowiedniej wielkości fizycznej występującej w postaci iloczynowej wzoru wyjściowego. b. Znajomość wartości wyrażeń występujących po prawej stronie równania [7], pozwala określić, który z pomiarów bezpośrednich jest najmniej dokładny (ma największą maksymalną niepewność względną) i tym samym wiadomo, który z pomiarów bezpośrednich należy w pierwszej kolejności "poprawić", aby zmniejszyć niepewność pomiaru pośredniego. Przykład obliczeń dla pomiaru pośredniego wielkości fizycznej zgodnej z wzorem [2]. Mierząc ilość ciepła wydzielonego w grzałce (spełniającej prawo Ohma), podczas przepływu przez niego prądu elektrycznego, posłużono się zależnością: [8] W wyniku pomiarów bezpośrednich otrzymano następujące wartości: I = ( 5,10 0,25 ) A, R = ( 20,75 0,08 ), t = ( 600,5 0,5 ) s Porównując wzór [8] z wzorami [2] i [3] widać, że: Wartość ciepła wydzielonego, obliczona z wzoru [I], wynosi: Uwaga: w tym miejscu nie można jeszcze zaokrąglić ostatecznie wyniku pomiaru, gdyż nie jest znana wartość niepewności pomiaru, którą należy zaokrąglić jako pierwszą. Należy (na razie!) zachować taką wartość mierzonej pośrednio wielkości, której zapis będzie o dwa-trzy rzędy wielkości "dokładniejszy" od "najdokładniejszego" pomiaru wielkości mierzonej bezpośrednio. W rozpatrywanym przypadku oznacza to, że wartość (brana do kolejnych obliczeń) powinna być podana z dokładnością do czwartego lub piątego miejsca po przecinku. Dla powyższego przykładu wzór [3] przyjmie postać: Po podstawieniu danych liczbowych otrzymuje się: Uwaga: Policzone poszczególne wartości bezwzględne dają odpowiednio: Niepewność pomiaru w fizyce - teoria Strona 12

Widać zatem, że największą niepewność cząstkową do niepewności pomiaru ciepła wydzielonego w grzałce wnosi pomiar natężenia prądu, dlatego w pierwszej kolejności należałoby zwiększyć "dokładność" jego pomiaru. Wartość tę należy zaokrąglić (w górę!) do dwóch miejsc znaczących, co daje wynik: Można teraz zaokrąglić obliczoną wcześniej wartość pomiaru ciepła wydzielonego w grzałce: Ostatecznie wynik pomiaru można przedstawić w postaci: Maksymalna względna niepewność pomiaru (wyrażona w procentach) wynosi: Przykład obliczeń dla pomiaru pośredniego wielkości fizycznej zgodnej z wzorem [4]. Mierząc masę pewnego złożonego układu ciał posłużono się wzorem: W wyniku pomiarów bezpośrednich otrzymano: [9] Porównując wzór [9] z wzorami [4] i [5] widać, że: Po podstawieniu danych do wzoru [9] można obliczyć wartość szukanej masy: Dla rozpatrywanego przykładu wzór [5] przyjmuje postać: Po podstawieniu odpowiednich danych liczbowych otrzymuje się: Wartość tę należy zaokrąglić (w górę!) do dwóch miejsc znaczących, co daje wynik: Niepewność pomiaru w fizyce - teoria Strona 13

Uwaga: możliwe było zaokrąglenie do jednej cyfry znaczącej, gdyż drugie zaokrąglenie nie zwiększyło wartości maksymalnej niepewności pomiarowej o więcej niż 10% (dla rozpatrywanej sytuacji ) Ponieważ niepewność pomiaru została zaokrąglona do pierwszego miejsca po przecinku, to do tego samego miejsca należy zaokrąglić wartość pomiaru pośredniego masy: Ostatecznie wynik pomiaru można przedstawić w postaci: Maksymalna względna niepewność pomiaru (wyrażona w procentach) wynosi: UWAGA: W przypadku ogólnym wartość maksymalnej niepewności bezwzględnej pomiaru złożonego można wyrazić w postaci: gdzie : Δxi wartość maksymalnej niepewności bezwzględnej i-tej wielkości fizycznej mierzonej bezpśrednio, f/ xi wartość pochodnej cząstkowej funkcji Z liczonej względem zmiennej xi. Graficzna interpretacja wyników pomiarów i ich niepewności. Wprowadzenie Metodę graficznego przedstawiania wyników pomiarów wykorzystuje się, gdy mierzone są równocześnie dwie wielkości fizyczne, które są od siebie zależne. Na przykład mierzony jest jednocześnie czas ruchu ciała i jego położenie względem wybranego punktu odniesienia. Wtedy jedna z tych wielkości jest zmienną zależną a drugą niezależną. Dla powyższego przykładu zmienną zależną jest położenie ciała, natomiast zmienna niezależną czas ruchu. Inaczej mówiąc, w wybranych chwilach czasu mierzona jest odległość od wybranego punktu odniesienia. Wykres jest graficznym obrazem tej zależności. Niepewność pomiaru w fizyce - teoria Strona 14

Metodę graficzną przedstawiania wyników pomiarów wykorzystuje się w następujących sytuacjach: a. gdy badanej zależności nie można przedstawić w postaci "prostej" zależności matematycznej, jak na przykład zależność gęstości wody od jej temperatury. b. Gdy chcemy się dowiedzieć jaki typ zależności zachodzi między obu wielkościami. Czy na przykład zależność odległości ciała od wybranego punktu odniesienia w funkcji czasu, ma zależność liniową (ruch jednostajny) czy kwadratową (ruch jednostajnie zmienny). c. Gdy celem jest udowodnienie, że badane wielkości spełniają założony wcześniej typ zależności. Jeżeli na przykład zależność odległości ciała od wybranego punktu odniesienia w funkcji czasu będzie miała zależność liniową, to ciało to poruszało się ruchem jednostajnym. Wykresy należy wykonywać albo na odpowiednim tzw. papierze funkcyjnym (np. milimetrowy, logarytmiczny) lub za pomocą odpowiednich programów komputerowych (np. Excel). Sposób zaznaczania punktów pomiarowych na wykresie. Załóżmy, że w ogólności zmienną niezależną jest a zmienną zależną. Wtedy mamy do czynienia z zależnością funkcyjną (lub ). W efekcie każdego pojedynczego pomiaru otrzymuje wartość pomiaru wraz z jego pewną niepewnością; tzn.. Na odpowiednio wyskalowanym wykresie należy nanieść zarówno wartość pomiaru, jak i ich niepewności w postaci tzw. prostokątów niepewności. Na poniższym wykresie zaznaczono pojedynczy punkt pomiaru i jego niepewność. Prostokąt niepewności pomiarowej (kolor żółty) ma boki o długościach i. W analogiczny sposób należy nanieść pozostałe wyniki pomiarów i ich niepewności. Niepewność pomiaru w fizyce - teoria Strona 15

Uwaga: jeżeli wartość zmiennej niezależnej jest dokładnie znana (!), to na wykresie zaznaczamy niepewności tylko na osi zmiennej zależnej. Prostokąt niepewności staje się wtedy pionową kreską o długości. Z takim przypadkiem mamy do czynienia, gdy na przykład zmienna niezależna jest liczbą użytych oporników. Dopasowanie prostej do wyników pomiarów. Graficzna analiza zależności liniowej Założenie: każdy z pomiarów obarczony jest taką samą niepewnością pomiarową (takiej samej wielkości prostokąty niepewności). Wiemy, że badana zależność jest liniowa lub otrzymany wykres sugeruje taką zależność, zatem jej przebieg powinien mieć zapis:. Problem: jak obliczyć wartości współczynników i oraz ich niepewności. Sposób postępowania: 1. narysowanie układu współrzędnych, wyskalowanie obu osi (rodzaj wielkości fizycznych, jednostki wielkość działki elementarnej), 2. naniesienie wszystkich punktów pomiarowych i ich niepewności. Jeżeli, któryś z pomiarów znacznie odbiega od przebiegu linii wzdłuż której układają się pozostałe, to należy go odrzucić jako błąd gruby (na poniższym wykresie jest to prostokąt oznaczony kolorem pomarańczowym). Niepewność pomiaru w fizyce - teoria Strona 16

3. Jeżeli punkty układają się wzdłuż linii prostej (ocena "na oko"!), to rysuje się linię prostą tak prowadzoną, aby przechodziła przynajmniej przez 70%prostokątów i suma odległości współrzędnych punktów pomiarowych od tej linii była po obu stronach taka sama ("na oko"!). Jest to tzw. linia najlepszego dopasowania (linia czerwona na wykresie). Niepewność pomiaru w fizyce - teoria Strona 17

4. Określamy szeroki przedział wartości zmiennej niezależnej (argumentu) i odpowiadający temu przyrost wartości zmiennej zależnej (wartości funkcji). Współczynnik kierunkowy tak narysowanej prostej jest równy: [1] Uwaga: praktycznie nigdy współczynnik kierunkowy prostej nachylenia prostej (określonego względem osi x i odczytanemu kątomierzem!). nie jest bezpośrednio równy tangensowi kąta 5. Graficzne szacowanie wartości niepewności współczynników i. 5.1. Wykres zależności liniowej przechodzi przez punkt Jeżeli wiadomo, że zależność jest liniowa i przechodzi przez punkt, to dla zachodzi. Oznacza to, że dla szukanej zależności i. Na przykład zależność natężenia prądu płynącego przez odbiornik od przyłożonego napięcia elektrycznego między jego końcami. Wtedy dla mamy. Wybieramy dwa punkty końcowe i prowadzimy dwie proste o największym i najmniejszym kącie nachylenia. Proste te powinny przechodzić przez przeciwległe wierzchołki skrajnych prostokątów niepewności, tak jak pokazano poniżej. Niepewność pomiaru w fizyce - teoria Strona 18

Wtedy: oraz: 5.2. Wykres zależności liniowej nie przechodzącej przez punkt Jeżeli wiadomo, że zależność jest liniowa i nie przechodzi przez punkt, to dla zachodzi. Oznacza to, że dla szukanej zależności i. Na przykład zależność odległości ciała (poruszającego się ruchem jednostajnym prostoliniowym) od wybranego punktu odniesienia w funkcji czasu, jeżeli w chwili początkowej odległość od tego punktu była niezerowa. Narysować należy proste o maksymalnym i minimalnym nachyleniu mieszczące się w granicach skrajnych prostokątów niepewności pomiarowych, jak zostało pokazane poniżej. Niepewność pomiaru w fizyce - teoria Strona 19

Wtedy: Sposób wyznaczenia niepewności współczynnika jest taki sam, jak w punkcie 5.1. Uwaga: a. Aby bezspornie rozstrzygnąć, czy rozpatrywana zależność ma charakter liniowy, należy obliczyć tzw. współczynnik korelacji dany zależnością: Jeśli: to korelacja jest dodatnia, tzn. wzrostowi wartości towarzyszy wzrost wartości (funkcja rosnąca), to korelacja jest ujemna, tzn. wzrostowi wartości towarzyszy spadek wartości (funkcja malejąca), im wartość jest bliższa jeden, tym silniejsza jest zależność liniowa, Niepewność pomiaru w fizyce - teoria Strona 20

zazwyczaj przyjmuje się, że: brak związku liniowego, słaba zależność liniowa, umiarkowana zależność liniowa, dość silna zależność liniowa, bardzo silna zależność liniowa, to jest to zależność ściśle liniowa rosnąca, jeżeli jest to zależność ściśle liniowa malejąca. b. Jeżeli można uznać rozpatrywaną zależność za liniową ( ma wartość bliską 1), to wartości współczynników i można obliczyć analitycznie tzw. metodą najmniejszych kwadratów. Odpowiednie wzory można znaleźć w ogólnodostępnej literaturze. Wartości obu współczynników, jak i ich niepewności można obliczyć za pomocą tzw. regresji liniowej. Odpowiedni program zawiera np. Excel. Niepewność pomiaru w fizyce - teoria Strona 21