Przekztałcenie Laplace a. Definicja i podtawowe właności przekztałcenia Laplace a Definicja Niech dana będzie funkcja f określona na przedziale [,. Przekztałcenie (tranformatę Laplace a funkcji f definiujemy wzorem F ( = f(t e t dt, gdzie jet zmienną zepoloną. Funkcję F nazywamy obrazem funkcji f i oznaczamy także przez L[f]. Wyznaczymy z definicji tranformatę funkcji f(t = e αt, gdzie α R. F ( = e αt e t dt = T e (α t dt = lim T e (α t dt = ( lim α T e(α T Ponieważ C, więc = x+iy, gdzie x = Re(, y = Im(. Wobec tego, zgodnie z wzorem Eulera, mamy Zatem jeśli α x <, to otrzymujemy co oznacza, że e (α T = e (α xt [ co(yt i in(yt ] F ( = α L[e αt ] =, gdy Re( > α. ( α Uwaga Analogicznie można wyznaczyć tranformatę funkcji f(t = e at, gdzie a C. Otrzymamy wówcza Definicja L[e at ] =, gdy Re( > Re(a. (2 a Funkcją Heaviide a nazywamy funkcję określoną wzorem dla t < η(t = dla t Wyznaczymy z definicji tranformatę funkcji Heaviide a F ( = T e t dt = lim T Zatem jeśli x = Re( >, to otrzymujemy e t dt = ( lim T e T F ( = co oznacza, że L[η(t] =, gdy Re( >. (3
Uwaga Powyżzy wzór jet też zapiywany w potaci L[] =, gdy Re( >. (4 Podamy teraz warunki wytarczające itnienia tranformaty Laplace a Jeżeli funkcja f : [, R pełnia warunki:. na każdym przedziale [, T ], gdzie T >, ma kończoną liczbę punktów nieciągłości i ą one pierwzego rodzaju, 2. λ R M> t f(t M e λt, to jej tranformata Laplace a L[f(t] itnieje dla Re( > λ. Funkcję pełniającą warunki -2 powyżzego twierdzenia nazywamy oryginałem. Przekztałcenie Laplace a jet liniowe, co oznacza, że jeżeli itnieją tranformaty Laplace a funkcji f i g oraz c R, to L[f + g] = L[f] + L[g], (5 L[cf] = cl[f]. (6 Wyznaczymy tranformaty Laplace a funkcji coh t i inh t. Mamy Stąd na podtawie wzoru ( mamy czyli [ ( L[coh t] = L e t + e t] = 2 2 L[et ] + 2 L[e t ] L[coh t] = 2 + 2 + = L[coh t] = 2, gdy Re( >. (7 2 Analogicznie, korzytając ze wzoru inh t = 2 (et e t można otrzymać L[inh t] =, gdy Re( >. (8 2 Jeżeli f jet funkcją zepoloną zmiennej rzeczywitej t dla t, to znaczy f(t = u(t + iv(t, gdzie u i v ą funkcjami rzeczywitymi, dla których itnieją tranformaty Laplace a, to L[f] = L[u] + il[v]. (9 Korzytając ze wzorów Eulera e it = co t + i in t, e it = co t i in t, otrzymujemy co t = 2 ( e it + e it, in t = 2i ( e it e it. 2
Zatem L[co t] = 2 L[eit ] + 2 L[e it ], korzytając teraz z wzoru (2 otrzymujemy Analogicznie L[co t] =, gdy Re( >. ( 2 + L[in t] =, gdy Re( >. ( 2 + Natępne twierdzenie dotyczy zmiany kali (zwane też twierdzeniem o podobieńtwie α > prawdziwa jet równość Jeżeli funkcja f jet oryginałem, a F jej tranformatą, to dla dowolnego L[f(αt] = α F ( α. Korzytając z powyżzego twierdzenia można znaleźć L[coh 2t] = 2 L[in 3t] = 3 ( 2 ( 3 L[co 2 2t] = 2 L[ + co 4t] = 2 2 2 = 2 4 2 = 3 + 2 + 9 [ ] + = 2 + 8 2 + 6 ( 2 + 6 Podamy teraz twierdzenie dotyczące przeunięcia argumentów obrazu (zwane też twierdzeniem o tłumieniu β R zachodzi Jeżeli funkcja f jet oryginałem, a F jej tranformatą, to dla dowolnego L[e βt f(t] = F ( + β. Wyznaczymy tranformatę funkcji f(t = e 2t in 3t. Ponieważ to zgodnie z podanym wyżej twierdzeniem L[in 3t] = 3 2 + 9, L[e 2t in 3t] = 3 ( 2 2 + 9 Natępne twierdzenie dotyczy przeunięcia argumentów oryginału γ > prawdziwa jet równość Jeżeli funkcja f jet oryginałem, a F jej tranformatą, to dla dowolnego L[f(t γ] = e γ F (. Wyznaczymy tranformatę funkcji f(t = in ( t π 4. Ponieważ L[in t] = 2 +, 3
to zgodnie z podanym wyżej twierdzeniem [ ( L in t π ] = e π 4 4 2 + Wnioek Jeżeli funkcja f jet oryginałem, a F jej tranformatą, to dla dowolnych α, γ > prawdziwa jet równość L[f(αt γ] = α e γ α F Obecnie podamy twierdzenie o różniczkowaniu obrazu n N prawdziwa jet równość ( α. Jeżeli funkcja f jet oryginałem, a F jej tranformatą, to dla dowolnego L[t n f(t] = ( n F (n (. Wyznaczymy tranformatę funkcji f(t = t n, dla dowolnego n N. Ponieważ to zgodnie z podanym wyżej twierdzeniem L[] =, czyli dla przykładu L[t n ] = ( n ( (n = n! n+ L[t] = ( ( = 2 L[t 2 ] = ( 2 ( = 2 3.2 Odwrotne przekztałcenie Laplace a Obok wyznaczania tranformat danych funkcji ważnym zagadnieniem jet znajdowanie funkcji, których tranformaty ą dane. Zagadnienie to prowadza ię do rozwiązania równania całkowego potaci f(t e t dt = F (, gdzie F jet daną funkcją, zaś f jet funkcją niewiadomą. Powyżze równanie całkowe można zapiać w potaci równania operatorowego L[f(t] = F (. Jeżeli pewna funkcja f jet rozwiązaniem równania całkowego, a tym amym i równania operatorowego, to fakt ten będziemy zapiywać w potaci f(t = L [F (]. Powyżzy wzór określa przekztałcenie, które będziemy nazywać odwrotnym przekztałceniem Laplace a. 4
Ponieważ L[] = dla Re( >, więc L [ ] = dla t >. Ponieważ L[e at ] = dla Re( > Re(a, więc [ ] a L a = e at dla t >. Odwrotne przekztałcenie Laplace a jet liniowe, co oznacza, że jeżeli itnieją odwrotne tranformaty Laplace a L [F ] i L [G] oraz c C, to L [F + G] = L [F ] + L [G], (2 L [cf ] = cl [F ]. (3 Korzytając z powyżzych wzorów obliczymy tranformatę odwrotną funkcji F ( = 2 +. Ponieważ F ( = więc L [F (] = L [ ( + = + ] L [ ] = e t dla t >. +.3 Metoda operatorowa rozwiązywania równań i układów równań różniczkowych Metoda operatorowa rozwiązywania równań i układów równań różniczkowych opiera ię na natępującym twierdzeniu: Jeżeli funkcja f oraz jej pochodne f, f,..., f (n ą oryginałami, a ponadto funkcja ta ma w przedziale (, ciągłą n-tą pochodną, to itnieje tranformata Laplace a L[f (n ] oraz prawdziwy jet wzór L[f (n (t] = n F ( n f(+ n 2 f (+... f (n 2 (+ f (n (+, gdzie F ( = L[f(t] oraz f(+ = lim t + f(t, f (+ = lim t + f (t,... f (n (+ = lim t + f (n (t. Uwaga Dla n = mamy L[f (t] = F ( f(+ a dla n = 2 L[f (t] = 2 F ( f(+ f (+ Znajdziemy rozwiązanie równania y 2y = pełniające warunek y( =. Funkcją nieznaną w tym równaniu jet y = y(t. Jej tranformatę oznaczymy przez Y = Y (, czyli Y ( = L[y(t]. Z uwagi do twierdzenia wynika, że L[y (t] = Y ( y(. Wobec tego toując tranformatę Laplace a i jej właności do równania, otrzymamy L[y ] 2L[y] = L[] 5
Ponieważ L[] =, więc kąd oraz czyli zatem otatecznie mamy Y 2Y = Y = 2 L[y] = 2 [ ] y = L = e 2t 2 y = e 2t dla t >. Znajdziemy rozwiązanie równania y + y = pełniające warunki y( = y ( =. Obliczając tranformaty obydwu tron równania otrzymamy kąd Y = 2 Y + Y = ( 2 + = 2 + Stoując odwrotne przekztałcenie Laplace a mamy kąd [ ] [ ] y = L L 2 + y = co t dla t >. Znajdziemy rozwiązanie układu równań 2y + z y + 2z = y + 3z 3y + z = pełniające warunki y( =, z( =. Oznaczając Y = L[y], Z = L[z] i obliczając tranformaty obydwu tron równań mamy 2Y + Z Y + 2Z = 2 Y + 3Z 3Y + Z = Jet układ równań algebraicznych, którego rozwiązaniem jet kąd Y = 2 + Z = 2 + y = co t, z = in t dla t >. 6