5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y = y(x) i w którym występuje pochodna pierwszego i drugiego rzędu tej funkcji, tzn. y = dy dx, y = d2 y dx 2. 5.1 Rozwiązanie lub całka równania różniczkowego różniczkowego drugiego rzędu Definicja 5.2. Rozwiązaniem lub całką równania różniczkowego F (x, y, y, y ) = 0 w przedziale (a, b) nazywamy każdą funkcję zmiennej x wyrażoną w postaci jawnej y = y(x) lub w postaci uwikłanej h(x, y) = 0, która ma pochodne do rzędu n włącznie i spełnia równanie F (x, y, y, y ) = 0 dla x (a, b). Definicja 5.3. Rozwiązaniem ogólnym lub całką ogólną równania F (x, y, y, y ) = 0 w obszarze istnienia i jednoznaczności rozwiązań nazywamy rozwiązanie równania F (x, y, y, y ) = 0 zależne od dwóch dowolnych stałych C 1, C 2 wyrażone w postaci jawnej y = y(x, C 1, C 2 ) lub w postaci uwikłanej h(x, y, C 1, C 2 ) = 0, i takie, że podstawiając dowolne wartości za C 1, C 2 otrzymamy wszystkie znajdujące się w tym obszarze krzywe całkowe i tylko te krzywe. Podstawiając za C 1, C 2 konkretne wartości otrzymamy tzw. równania F (x, y, y, y ) = 0. całkę szczególną lub rozwiązanie szczególne 5.2 Zagadnienie Cauchy ego (zagadnienie początkowe) Zagadnienie Cauchy ego dla równania F (x, y, y, y ) = 0 polega na znalezieniu całki szczególnej tego równania, spełniającej warunki początkowe: (W ) y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 1 gdzie wartość początkowa x 0 (a, b), zaś wartości początkowe y 0 i y 1 są dowolnymi z góry wybranymi liczbami. 5.3 Równania różniczkowe rzędu drugiego sprowadzalne do równań różniczkowych rzędu pierwszego Równanie postaci F (x, y, y ) = 0 sprowadzamy do równania różniczkowego rzędu pierwszego przez podstawienie y = u Wówczas y = u i otrzymujemy równanie różniczkowe rzędu pierwszego postaci: F ( x, u, u ) = 0. 12 Opracowała: Małgorzata Wyrwas

Równanie postaci F (y, y, y ) = 0 sprowadzamy do równania różniczkowego rzędu pierwszego przez podstawienie Wówczas y = v(y) y = dy dx = dv dx = dv dy dy dx = v y = v v i otrzymujemy równanie różniczkowe rzędu pierwszego postaci: F (y, v, v v) = 0. Przykład 5.4. Rozważmy równanie y ( x 2 + 1 ) = 2xy. Stosując podstawienie u = y, otrzymujemy u ( x 2 + 1 ) = 2xu du u = 2x x 2 + 1 dx du u = 2x x 2 + 1 dx ( ) ( ) ln u = ln x 2 + 1 + ln C 1 u = C 1 x 2 + 1. Ponieważ u = y, więc otrzymujemy ( ) y = C 1 x 2 + 1 ( ) 1 y = C 1 3 x3 + x + C 2. Rozważmy zagadnienie Cauchy ego y ( x 2 + 1 ) = 2xy, y(0) = 1, y (0) = 3, Wówczas C 2 = 1 i C 1 = 3. Zatem rozwiązaniem danego zagadnienia Cauchy ego jest całka y = x 3 + 3x + 1. Przykład 5.5. Rozważmy równanie y y = (y ) 2. Stosując podstawienie y = v(y) y = v v, otrzymujemy yv v = v 2 v = v y dv v = dy y dv v = dy y Ponieważ v = y, więc otrzymujemy ln v = ln y + ln C 1 v = C 1 y. y = C 1 y dy y = C 1 dx ln y = C 1 x + ln C 2 y = C 2 e C 1x. 13 Opracowała: Małgorzata Wyrwas

5.4 Równania różniczkowe liniowe rzędu drugiego Definicja 5.6. Równaniem różniczkowym liniowym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci: gdzie a 1, a 2 i f są danymi funkcjami ciągłymi na (a, b). y + a 1 (x)y + a 2 (x)y = f(x), (13) Jeśli f 0, to równanie (13) nazywamy jednorodnym i oznaczamy RJ. Jeśli f 0, to to równanie (13) nazywamy niejednorodnym i oznaczamy RN. 5.5 Układ fundamentalny całek (rozwiązań) Definicja 5.7. Rozwiązania y 1, y 2 są liniowo niezależne na przedziale (a, b) dla każdego x (a, b) spełniony jest warunek y 1 (x) y 2 (x) y 1 (x) y 2 (x) 0 (14) Wyznacznik występujący w (14) nazywamy wyznacznikiem Wrońskiego (lub wrońskianem) i ozn. symbolem W [y 1, y 2 ](x). Definicja 5.8. Układem fundamentalnym całek (rozwiązań) nazywamy układ liniowo niezależnych rozwiązań. 5.6 Całka ogólna (rozwiązanie ogólne) liniowego równania niejednorodnego Niech całki y 1, y 2 będą fundamentalnym układem rozwiązań równania RJ y + a 1 (x)y + a 2 (x)y = 0, wówczas całka ogólna równania RJ jest kombinacją liniową tych rozwiązań, tzn. Twierdzenie 5.9. Niech y = C 1 y 1 + C 2 y 2. y 1, y 2,..., y n liniowo niezależne rozwiązania równania RJ na przedziale (a, b) R y s całka szczególna RN. Wtedy całka ogólna równania różniczkowego liniowego niejednorodnego ma postać y = C 1 y 1 + C 2 y 2 + y s, czyli CORN = CORJ + CSRN. 14 Opracowała: Małgorzata Wyrwas

5.7 Równania różniczkowe liniowe rzędu drugiego o stałych współczynnikach Definicja 5.10. Równaniem różniczkowym liniowym rzędu drugiego o stałych współczynnikach nazywamy równanie postaci: y + py + qy = f(x), (15) gdzie p, q R zaś f jest daną funkcją ciągłą na (a, b). Jeśli f 0, to równanie (15) nazywamy jednorodnym i oznaczamy RJ. Jeśli f 0, to to równanie (15) nazywamy niejednorodnym i oznaczamy RN. 5.8 Rozwiązanie równania różniczkowego liniowego II-ego rzędu o stałych współczynnikach Aby wyznaczyć rozwiązanie RN y + py + qy = f(x), szukamy najpierw rozwiązań odpowiadającego mu RJ: RJ y + py + qy = 0 Rozwiązania RJ poszukujemy w postaci wykładniczej: y = e rx Wtedy y = e rx y = re rx y = r 2 e rx i podstawiając funkcję y do RJ otrzymujemy równanie r 2 + pr + q = 0 zwane równaniem charakterystycznym. Wyznaczamy pierwiastki równania charakterystycznego r 2 + pr + q = 0 ( ) Pierwiastkom tym odpowiadają funkcje, które tworzą układ fundamentalny całek (rozwiązań). Pierwiastki ( ) Całki szczególne RJ Całka ogólna RJ > 0 r 1 r 2 y 1 = e r1x, y 2 = e r 2x y = C 1 e r1x + C 2 e r 2x = 0 r 0 y 1 = e r0x, y 2 = xe r 0x y = C 1 e r0x + C 2 xe r 0x < 0 r 1,2 = α ± βi y 1 = e αx sin βx y = C 1 e αx sin βx + C 2 e αx cos βx y 2 = e αx cos βx 15 Opracowała: Małgorzata Wyrwas

W celu znalezienia rozwiązania liniowego równania różniczkowego niejednorodnego rzędu drugiego postaci stosujemy na przykład y + py + qy = f(x), p, q R Metodę wpółczynników nieoznaczonych (metoda przewidywania) która polega na odgadnięciu CSRN, gdy dana jest CORJ, i wtedy na podstawie twierdzenia: Metodę stosujemy, gdy CORN = CORJ + CSRN. równanie różniczkowe jest równaniem o stałych współczynnikach (p, q R) wielomian stopnia n f(x) = a sin ωx + b cos ωx lub f(x) jest sumą lub iloczynem funkcji obok. ae λx, Przewidywane postacie całki szczególnej y s (x) równania RN y + py + qy = f(x),, p, q R Niech λ + ωi, λ, ω R, będzie k-krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego r 2 + pr + q = 0. Wówczas Postać f(x) Postać przewidywana y s (x) P n (x) = a n x n +... + a 1 x + a 0 x k (A n x n +... + A 1 x + A 0 ) a e λx Ax k e λx P n (x) e λx x k (A n x n +... + A 0 )e λx a cos ωx + b sin ωx x k (A cos ωx + B sin ωx) P n (x) cos ωx + Q m (x) sin ωx, n m x k W n (x) cos ωx + x k M n (x) sin ωx P n (x)e λx cos ωx + Q m (x)e λx sin ωx, n m x k W n (x)e λx cos ωx + x k M n (x)e λx sin ωx gdzie W n (x) = A n x n +... + A 0 i M n (x) = B n x n +... + B 0 Przykład 5.11. y 5 y + 6y = x 2 + 8 = y s (x) = Ax 2 + Bx + C y 5 y + 6y = x e x = y s (x) = (Ax + B) e x y 5 y +6y = x e 3x = y s (x) = x (Ax + B) e 3x y 4 y + 4y = x e x = y s (x) = (Ax + B) e x y 4 y + 4y = x e 2x y s (x)=x 2 (Ax + B) e 2x y + 9y = sin 3x = y s (x) = Ax sin 3x + Bx cos 3x 16 Opracowała: Małgorzata Wyrwas

Innym sposobem wyznaczenia całki równania postaci jest y + py + qy = f(x), p, q R Metoda uzmienniania stałych Jeżeli funkcje y 1 (x), y 2 (x) tworzą układ fundamentalny równania RJ y + py + qy = 0, p, q R, to całka ogólna równania RN y + py + qy = f(x), p, q R, ma postać y(x) = C 1 (x)y 1 (x) + C 2 (x)y 2 (x), gdzie C 1 (x), C 2 (x) jest dowolnym rozwiązaniem układu [ ] y1 (x) y 2 (x) y 1 (x) y 2 (x) Przykład 5.12. Rozważmy równanie y y = [ ] [ ] C 1 (x) 0 C 2 (x) =. (16) f(x) 8 e 2x + 1. Równanie jednorodne y y = 0 ma następujące równanie charakterystyczne r 2 1 = 0, którego pierwiastkami są r 1 = 1 i r 2 = 1. Zatem CORJ ma postać y = C 1 e x + C 2 e x, CORN znajdziemy metodą uzmienniania stałych, tzn. y = C 1 (x)e x + C 2 (x)e x, W celu wyznaczenia funkcji C 1 (x), C 2 (x) rozwiązujemy układ: e x C 1 (x) + e x C 2 (x) = 0 e x C 1 (x) e x C 2 (x) = 8 e 2x + 1. 4e x C 1 (x) = e 2x + 1 C 2 (x) = 4ex e 2x + 1 Wtedy C 1 (x) = 4e x 4 arc tg e x + C 1 C 2 (x) = 4 arc tg e x + C 2 y(x) = C 1 e x + C 2 e x 4 4e x arc tg e x 4e x arc tg e x 17 Opracowała: Małgorzata Wyrwas

6 Układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach Definicja 6.1. Układ równań postaci y 1 = a 11(x)y 1 + a 12 (x)y 2 + h 1 (x) y 2 = a 21(x)y 1 + a 22 (x)y 2 + h 2 (x), (17) nazywamy układem dwóch równań różniczkowych liniowych rzędu pierwszego. Funkcje a ij, gdzie i, j = 1, 2 nazywamy współczynnikami, funkcje h 1 i h 2 wyrazami wolnymi tego układu. Jeśli h 1 0 i h 2 0, to układ (17) nazywamy jednorodnym i oznaczamy UJ. Jeśli h 1 0 i h 2 0, to to układ (17) nazywamy niejednorodnym i oznaczamy UN Jeżeli a ij (x) a ij = const, gdzie i, j = 1, 2, to układ (17) nazywamy układem równań różniczkowych liniowych rzędu pierwszego o stałych współczynnikach. Definicja 6.2. Rozwiązaniem układu równań różniczkowych liniowych rzędu pierwszego na przedziale (a, b) nazywamy funkcje y 1 (x), y 2 (x), które podstawione do układu (17) dają tożsamość dla wszystkich wartości x (a, b). Uwaga 4. W celu rozwiązania układu (17) można zastosować metodę eliminacji, która sprowadza układ (17) do równania różniczkowego liniowego drugiego rzędu z jedną tylko funkcją niewiadomą. Przykład 6.3. Dwa stulitrowe zbiorniki Y 1 i Y 2, z których pierwszy zawiera 10% wodny roztwór soli, a drugi czysta wodę, połączono dwiema rurkami umożliwiającymi przepływ cieczy między nimi. Przy czym pierwszą rurą roztwór przepływa w jedną stronę, a drugą odwrotnie. Przepływy te odbywają się z prędkością 2 litrów na minutę. Określić ilość soli y 1 (t) i y 2 (t) odpowiednio w zbiornikach Y 1 i Y 2. Przyjąć, że proces rozpuszczania soli w zbiornikach jest natychmiastowy. Y 1 Y 2 10% soli y 1 (t) - ilość soli w zbiorniku Y 1 w litrach w chwili t; y 2 (t) - ilość soli w zbiorniku Y 2 w litrach w chwili t. y 1 (t) - szybkość zmian ilość soli w zbiorniku Y 1; y 2 (t) - szybkość zmian ilość soli w zbiorniku Y 2. W chwili t do zbiornika Y 1 wpływa 0,02y 2 (t) l min oraz wypływa 0,02y 1(t) l min soli. Ponadto w chwili t do zbiornika Y 2 wpływa 0,02y 1 (t) l min oraz wypływa 0,02y 2(t) l min soli. Zatem przebieg procesu w danych zbiornikach można opisać: y 1 = 0,02y 1 + 0,02y 2 y 2 = 0,02y 1 0,02y 2 z warunkami początkowymi y 1 (0) = 10 i y 2 (0) = 0. 18 Opracowała: Małgorzata Wyrwas