ZESZYTY NAUOWE AADEMII MARYNARI WOJENNEJ RO XLVII NR 1 (164) 2006 Tadeusz Dą browski LOALNY UŁ AD ORIENTACJI Ż YROSOPU LASEROWEGO I JEGO DOŁ ADNOŚĆ STRESZCZENIE W artykule przedstawiono koncepcję kinematycznego układu orientacji w przestrzeni. inematyczny lokalny układ orientacji nie jest układem absolutnym w ujęciu Newtonowskim. Jest natomiast związany z ruchem obrotowym bryły Ziemi. WSTĘP Definicja współcześnie obowiązującego w geodezji i nawigacji układu odniesienia oraz definicja powierzchni odniesienia stanowiąca przybliżony kształt Ziemi ściśle związana jest z polem siły ciężkości Ziemi. Siła ciężkości jest wypadkową siły grawitacji i siły odśrodkowej i w geodezji umożliwia definiowanie powierzchni poziomych i wysokości oraz orientowanie przestrzeni. Podstawowymi układami odniesienia stosowanymi w geodezji są: lokalny układ horyzontalny, wyznaczony za pomocą osi i płaszczyzn skalibrowanych instrumentów obserwacyjnych, układ współrzędnych naturalnych (globalnych astronomicznych) oraz układ współrzędnych globalnych. Układ współrzędnych naturalnych określony jest przez wartość chwilowego kierunek położenia osi ziemskiej w przestrzeni, która to oś przechodzi przez środek mas Ziemi oraz płaszczyzny południka i równika astronomicznego. W układzie tym dokonuje się obserwacji astronomicznych dla wyznaczenia współrzędnych pozycji punktu na powierzchni Ziemi. Układ współrzędnych globalnych, nazywany umownym układem ziemskim (konwencjonalnym), (CTS Conventional Terrestial System lub TRS Terrestial Reference System) ma swój początek w środku mas Ziemi a oś Oz tego układu 43
Tadeusz Dąbrowski pokrywa się ze średnią osią obrotu Ziemi i skierowana jest w kierunku północy rzeczywistej (ruch bieguna śledzony jest przez międzynarodowe służby IERS International Earth Rotation Service). Płaszczyzny południka i równika astronomicznego wyznaczone są tutaj poprzez płaszczyzny średniego południka i równika ziemskiego. Wprowadzona płaszczyzna odniesienia modelująca kształt Ziemi jest elipsoidą obrotowa spłaszczoną. Parametry elipsoidy (GRS 80) zostały określone definicjami Geodezyjnego Systemu Odniesienia 1980 i przyjęte na XVII Zgromadzeniu Centralnym Międzynarodowej Unii Geodezji i Geofizyki w Canberze (grudzień 1979 r. Opracowana na zlecenie US Departament of Defence przez DMA Defence Mapping Agency, elipsoida WGS-84 wykorzystywana dla potrzeb systemu GPS różni się w tak niewielkim stopniu od elipsoidy GRS 80, że uznano je tożsame. Dokładność takiego modelu sięga ± 0, 1 m wyznaczenia wysokości geoidy. Wprowadzenie następnych modeli przybliżających kształt Ziemi związane jest z dalszym modelowaniem pola ciężkości w skali lokalnej dla poszczególnych państw [1]. Przy obliczeniach wykorzystujących elipsoidę GRS 80/GPS-84 należy pamiętać, że satelitarne metody wyznaczenia spłaszczenia Ziemi α i dużej półosi a elipsoidy, aproksymującej geoidę na obszarze całej Ziemi, zgodnie z Geodetic Reference System 1980, Moritz, 1984 [1], pozwoliły na następujące wyznaczenie dokładności parametrów elipsoidy: a duża półoś elipsoidy = 6378137 m ± 3 m α spłaszczenie biegunowe = 298,257 6 ± 5 10. Możliwość pomiaru pola siły ciężkości umożliwiło poznanie przybliżonego kształtu Ziemi już ponad 200 lat temu a podwaliny do tego stworzył Newton formułując prawo powszechnej grawitacji oraz Cavendish wyznaczając stałą grawitacji w 1798 r. Czy istnieje zatem możliwość wyznaczenia współrzędnych pozycji i wektora ruchu jednostki w przestrzeni, w układzie, który nie jest związanym z polem siły ciężkości Ziemi (którego model jest bardzo skomplikowany do wyznaczenia), czyli w układzie niezwiązanym z modelem elipsoidy jako powierzchni odniesienia? I czy zasadne jest definiowanie takiego układu? 44 Zeszyty Naukowe AMW
Lokalny układ orientacji żyroskopu laserowego i jego dokładność UŁAD ORIENTACJI W PRZESTRZENI I JEGO DOŁADNOŚĆ Układ orientacji układu współrzędnych związany ze środkiem mas Ziemi jest w pewnym sensie układem Newtonowskim opierającym się na wyznaczeniu przestrzeni absolutnej i czasu absolutnego. Równaniem matematycznym wiążącym przestrzeń i czas jest równanie drogi obiektu: s = v t (1) zdefiniowane przez Galileusza. Miarą ruchu obiektu jest jego prędkość: s v =. (2) t Aby równanie (2) było określone z matematycznego punktu widzenia wymagane jest określenie drogi s, po której przemieszcza się obiekt. Zdefiniowanie określonego odcinka drogi s wymaga ustalonego układu odniesienia wraz z określeniem początku układu o współrzędnej zerowej. Określenie prędkości przemieszczającego się obiektu jest zatem obciążone dodatkowym błędem wynikającym z dokładności przyjętego układu współrzędnych (przemieszczania się początku układu w czasoprzestrzeni). oncepcja czasu absolutnego upadła w momencie, w którym okazało się, że prędkość światła jest wartością skończoną. onsekwencją tego zjawiska jest (zgodnie z postulatami Einsteina) istnienie czasu lokalnego i brak układu odniesienia absolutnego. Zamiany współrzędnych pomiędzy różnymi układami odniesienia dokonuje się za pomocą wzorów transformacyjnych Lorentza. Dzisiejszy stan wiedzy pozwolił na wprowadzenie definicji długości 1 metra, czyli odcinka drogi s, którego wyznaczenie nie wymaga zdefiniowania układu odniesienia. Jeden metr jest to droga jaką przebywa fala elektromagnetyczna 1 w próżni, w czasie t = s według Recommendation CI-1997. 299798458 Oznacza to że możliwe jest wyznaczenie odległości dwóch punktów w przestrzeni bez definiowania bezwzględnego układu odniesienia względem którego wyznacza się odległość tych punktów. Albo innymi słowy: istnieje możliwość zdefiniowania dowolnego układu lokalnego, którego początkiem jest dowolnie obrany (a nie wyznaczony np. środkiem mas Ziemi) punkt pozycji obiektu i możliwe jest zatem wyznaczenie współrzędnych pozycji i ruchu jednostki w tym układzie. Jeżeli obiekt 1 (164) 2006 45
Tadeusz Dąbrowski będzie przemieszczał się po powierzchni Ziemi to możliwe jest odtworzenie rzeczywistego kształtu Ziemi w tym układzie z dokładnością nieobciążoną potrzebą lokalizowania punktu środka mas Ziemi i błędów związanych z jego wyznaczeniem. DOŁADNOŚĆ ŻYROOMPASU LASEROWEGO Nawigacja na przestrzeni wieków pełniła zawsze funkcję integracyjną osiągnięć podstawowych dyscyplin naukowych takich jak: matematyka, fizyka, geodezja, itp. Osiągnięcia wieku XX pozwalają na wykorzystanie postulatów Einsteina dotyczących propagacji fali elektromagnetycznej w próżni a właściwie zdefiniowanie tej prędkości jako stałej fizycznej. Zgodnie z tymi postulatami prędkość propagacji fali elektromagnetycznej ma wartość stałą i nie zależy od prędkości źródła ani od prędkości obserwatora. Powyższe postulaty stanowiły podstawę do zdefiniowania założeń do budowy urządzenia pomiarowego, żyroskopu laserowego dwuczęstotliwościowego z transformacją Lorentza. Budowa urządzenia i zasada działania opisana została m. in. w [4], [5]. Określenie pozycji obiektu, według założeń teoretycznych, wyznaczone na podstawie pomiaru zmiany częstotliwości fali elektromagnetycznej przemieszczającego się układu pomiarowego określana będzie z dokładnością co 11 najmniej 10 sekundy kątowej. Dla urządzeń pomiarowych charakteryzujących się możliwością wyznacza- 11 nia przesunięć kątowych obiektów rzędu 10 sekundy kątowej dokładność wyznaczania modelu Ziemi jakim jest elipsoida WGS-84 jest niewystarczająca a same urządzenia pomiarowe mogą służyć raczej do weryfikacji (kontroli i aktualizacji) wartości parametrów określających model Ziemi jakim jest wspomniana elipsoida. Taka dokładność wyznaczania przesunięć kątowych obiektu pozwala na zdefiniowanie kinematycznego, lokalnego układu orientacji w przestrzeni [2], [3]. Lokalnego, dlatego że początek układu może zostać zdefiniowany w dowolnym punkcie na powierzchni Ziemi. inematycznego, dlatego że opiera się na kinematyce bryły sztywnej, za którą w założeniach służących do zdefiniowania układu uznano Ziemię. Nawet jeżeli dokładności pozycji obiektu uzyskiwane za pomocą układu pomiarowego żyroskopu laserowego dwuczęstotliwościowego [4], [5], które w oparciu o stworzoną teorię zostaną potwierdzone eksperymentalnie podczas badań prototypu urządzenia, są być może za duże dla realizacji podstawowych zadań 46 Zeszyty Naukowe AMW
Lokalny układ orientacji żyroskopu laserowego i jego dokładność wykonywanych przez okręty w morzu, to jeden zasadniczy aspekt ma tutaj znaczenie niepodważalne. Układ pomiarowy żyroskopu laserowego jest urządzeniem w pełni autonomicznym. Z pewnością wykorzystanie go w nawigacji zapoczątkuje proces, w którym zastosowanie żyroskopu w innych dziedzinach wiedzy, w tym przede wszystkim w geodezji, okaże się daleko bardziej uzasadnione. Niemniej jednak, wykorzystanie tego typu urządzeń w nawigacji morskiej może praktycznie wyeliminować człowieka (w sensie popełnianych przez niego błędów) z procesu prowadzenia nawigacji precyzyjnej, jak: manewrowanie w portach, na akwenach ograniczonych czy ścieśnionych, nie wspominając całej gamy zastosowań militarnych. LOALNY UŁAD ORIENTACJI ŻYROSOPU LASEROWEGO Wprowadźmy lokalny układ orientacji współrzędnych jak na rysunku 1. ω Z z x M Z r R P y Rys. 1. Lokalny układ orientacji współrzędnych Zgodnie z oznaczeniami dla czasu t moment kalibracji układu pomiarowego żyroskopu laserowego: ω Z M Z chwilowe położenie osi Ziemi; punkt chwilowego środka mas Ziemi, przy założeniu, że przechodzi przez niego chwilowe położenie osi Ziemi; P punkt na powierzchni Ziemi, punkt kalibracji układu pomiarowego żyroskopu laserowego początek lokalnego układu współrzędnych; x, y, z osie lokalnego układu współrzędnych; ( ) 1 (164) 2006 47
Tadeusz Dąbrowski r odległość punktu kalibracji P (początku lokalnego układu współrzędnych) od osi Ziemi - ω Z ; R wartość chwilowej odległości pomiędzy punktem środka mas Ziemi M Z a punktem kalibracji układu pomiarowego żyroskopu laserowego P. Oś P z jest równoległa do osi Ziemi ω Z i leży w płaszczyźnie wyznaczonej przez oś Ziemi ω Z i punkt kalibracji układu pomiarowego P. Oś P y leży w płaszczyźnie równoleżnikowej Ziemi jest prostopadła do osi P z oraz do osi P x. Oś P x wyznaczona jest przez przecięcie płaszczyzn: równoleżnikowej Ziemi P y oraz płaszczyzny wyznaczonej przez oś Ziemi i punkt P - P z. Współrzędne punktu kalibracji układu pomiarowego żyroskopu laserowego w lokalnym układzie orientacji wynoszą P = ( 0, 0, 0). Współrzędne te w układzie współrzędnych prostokątnych związanych w z układem WGS-84 mają następującą postać: P ( 0, 0, 0) = P ( xe, ye, z E ). Współrzędne punktu kalibracji układu pomiarowego możemy wyznaczyć w układzie elipsoidy WGS-84, dokonując następującej transformacji współrzędnych: z E P O E ϕ λ z E x E ye x E y E Rys. 2. Układ współrzędnych prostokątnych i geocentrycznych 48 Zeszyty Naukowe AMW
Lokalny układ orientacji żyroskopu laserowego i jego dokładność x y gdzie: ( x y, z ) z E E E = = = ( N + H ) ( N + H ) cos B cos L cos B sin L, (3) 2 ( N ( 1 e ) + H ) sin B E, E E współrzędne punktu kalibracji układu pomiarowego w układzie współrzędnych prostokątnych;, H współrzędne geodezyjne punktu kalibracji układu pomiarowego. B L, Wzory redukcyjne współrzędnych pozycji obserwowanych wyznaczone metodami astronomii geodezyjnej ϕ ', λ ' i ich transformację na elipsoidę WGS-84 możemy wyrazić jako [1]: gr gdzie: δ = ( ξ + ξ ) gr δ = ( η + η) B ; L, B = ϕ ' + δϕ + δ B, (4) L = λ ' + δλ + δ L gdzie: gr gr ξ, η, ξ, η grawimetryczne i względne odchylenia pionu; ϕ = ϕ ' + δ ϕ, λ = λ ' + δ λ gdzie: δ ϕ, δλ parametry uwzględniające krzywiznę linii pionu; ϕ ', λ ' współrzędne obserwowane przy wykorzystaniu metod astronomii geodezyjnej; H = P P E wysokość normalna otrzymywana przy wykorzystaniu wzoru (4); N = P G P E wysokość geoidy nad elipsoidą. 1 (164) 2006 49
Tadeusz Dąbrowski ( B, L) ( ϕ, λ) ( ϕ ', λ ') linia pionu W = const. ε P Θ = 2 2 ξ +η Θ H fizyczna powierzchnia Ziemi geoida P G N P E elipsoida odniesienia Rys. 3. Współrzędne pozycji układu pomiarowego [1] WNIOSI Wykorzystanie urządzeń pomiarowych charakteryzujących się możliwością 11 wyznaczania przesunięć kątowych obiektów rzędu 10 sekundy kątowej umożliwia zdefiniowanie niezależnego od pola siły ciężkości Ziemi układu lokalnego do wyznaczania współrzędnych pozycji i ruchu jednostki. O ile taka dokładność określania współrzędnych pozycji i wektora ruchu jednostki jest zbyt wysoka dla klasycznych zadań realizowanych w nawigacji morskiej, to może się sprawdzić w zadaniach nawigacji precyzyjnej, jak manewrowanie w portach, na akwenach ograniczonych czy ścieśnionych, oraz w całej gamie zastosowań militarnych, gdzie pierwszoplanowe znaczenie ma autonomiczność systemu. Dokładność wyznaczania pozycji w takim układzie może służyć do weryfikacji (kontroli i aktualizacji) wartości parametrów określających model Ziemi, jakim jest elipsoida WGS-84. 50 Zeszyty Naukowe AMW
Lokalny układ orientacji żyroskopu laserowego i jego dokładność Pełne wykorzystanie możliwości, jakie stworzyły systemy satelitarne, rozłożyło się na dziesiątki lat. Eksperymentalne potwierdzenie założeń teoretycznych 11 wyznaczania pozycji z określoną dokładnością ( 10 sekundy kątowej) przez wykorzystanie do tego celu żyroskopu laserowego dwuczęstotliwościowego stworzy zupełnie nowe możliwości wykorzystania systemu. Począwszy od zastosowań w nawigacji precyzyjnej: nawodnej, podwodnej, lądowej i powietrznej, żyroskop laserowy będzie można wykorzystać do zastosowań geodezyjnych: badań ruchów tektonicznych, pływów kontynentalnych, parametrów określonych modeli matematycznych Ziemi itp., a także telekomunikacyjnych, górnictwa i dla zabezpieczenia ogólnie pojętej bezpiecznej działalności człowieka na lądzie, w powietrzu, na i pod wodą. BIBLIOGRAFIA [1] Czarnecki., Geodezja współczesna w zarysie, Wiedza i Życie, 1996, Warszawa. [2] Dąbrowski T., Influence of a reference system on the accuracy of a ship s position, VIII International Maritime Conference: Safety of Surface, Subsurface and Flight over the Sea Aspects, Gdynia 2005, Polish Journal of Environmental Studies, 2005, Olsztyn, pp. 26 29. [3] owalski H., Galiński J., Dąbrowski T., Accuracy of the fix-further prospect, VIII International Maritime Conference: Safety of Surface, Subsurface and Flight over the Sea Aspects, Gdynia 2005, Polish Journal of Environmental Studies, 2005, Olsztyn, pp. 59 63. [4] owalski H., Galiński J., Transducer of a linear velocity with Lorentz Transformation, patent protection No P 349 142. [5] owalski H., Galiński J., Two-frequency laser light-guide gyroscopes, patent protection No P 366 324. [6] www.cbk.waw.pl [7] www.physics.berkeley.edu/research [8] www.wettzell.ifag.de 1 (164) 2006 51
Tadeusz Dąbrowski ABSTRACT The paper presents a concept of a kinematic orientation system in space. inematic local orientation system is not an absolute notion in Newton depiction. It is connected with rotational movement of the earth. Recenzent prof. dr hab. inż. Andrzej Felski 52 Zeszyty Naukowe AMW