Politechnika Rzeszowska im. Ignacego Łukasiewicza w Rzeszowie Wydział Elektryczny Kierunek: Informatyka Systemy akwizycji i przesyłania informacji Projekt zaliczeniowy Temat pracy: Okna wygładzania ZUMFL Marcin Kostera Piotr Sitek Rzeszów 2002
Rozdział ten wyjaśnia jak użycie okien zapobiega wyciekowi widma i poprawia analizę uzyskanych sygnałów. Patrz examples\analysis\windxmpl.llb dla przykładu sposobu użycia okna analizy VI, dostępnego w palecie Functions>>Analyze>>Signal Processing>>Windows. Wprowadzenie do okien wygładzania W praktycznych aplikacjach próbkowania sygnałów możesz uzyskać tylko skończony zapis sygnału, nawet jeśli dokładnie przestrzegasz zasad i warunków próbkowania. Niestety dla systemu dyskretno czasowego zapis próbkowania skończonego daje w wyniku ścięty przebieg falowy, który ma inną charakterystykę spektralną niż pierwotny sygnał ciągły. Te nieciągłości powodują wyciek (rozmycie) widma informacji spektralnej, dając w wyniku widmo dyskretno czasowe, które jest rozmazaną wersją oryginalnego ciągłego widma czasowego. Prostym sposobem poprawy charakterystyki spektralnej próbkowanego sygnału jest zastosowanie okien wygładzania. Podczas przeprowadzania analizy Fouriera lub analizy spektralnej na danych o skończonej długości, możesz użyć okien do zminimalizowania krawędzi przejścia twego okrojonego przebiegu falowego, zmniejszając w ten sposób rozmycie widma. Użyte w ten sposób okna wygładzania działają jak predefiniowane wąskopasmowe filtry dolnoprzepustowe. O rozmyciu widma i oknach wygładzania Gdy używasz DTF/FFT do określenia częstotliwościowego składu sygnału, zazwyczaj przyjmuje się, że dane jakie posiadacie są pojedynczym okresem okresowo powtarzającego się przebiegu falowego, jak pokazano na Rys. 3-1. Pierwszy z pokazanych przebiegów jest przebiegiem próbkowanym. Przebieg falowy odpowiadający temu okresowi jest następnie powtarzany w czasie, by stworzyć przebieg okresowy. Rys. 3-1. Okresowy przebieg falowy stworzony z okresu próbkowanego. Z powodu założenia okresowości przebiegu falowego powstaną nieciągłości pomiędzy kolejnymi okresami. Dzieje się tak kiedy próbkowane są niecałkowite liczby cykli. Te sztuczne nieciągłości pojawiają się jako bardzo wielkie częstotliwości w widmie sygnału, częstotliwości, które nie były obecne w sygnale oryginalnym. Częstotliwości te mogłyby być znacznie większe niż częstotliwość Nyquista i jak widzieliście wcześniej, będą zobrazowane gdzieś między 0 i f s /2. Widmo jakie otrzymasz poprzez użycie DFT/FFT nie będzie więc rzeczywistym widmem oryginalnego sygnału, ale wersją zatartą. Wygląda ono tak jakby energia o jednej częstotliwości rozlała się wszystkich pozostałych częstotliwości. To zjawisko znane jest jako rozmycie widma. Rysunek 3-2 pokazuje falę sinusoidalną i odpowiadającą jej transformatę Fouriera. Przebieg falowy z próbkowaną dziedziną czasu pokazany jest na wykresie 1. Ponieważ transformata Fouriera zakłada okresowość, powtarzasz ten przebieg falowy w czasie, a okresowy przebieg falowy fali sinusoidalnej z Wykresu 1 pokazany jest na Wykresie 2. Odpowiadająca mu reprezentacja widmowa pokazana jest na Wykresie 3. Ponieważ zapis czasu na Wykresie 2 2
jest okresowy bez żadnych nieciągłości, jego widmem jest pojedyncza linia pokazująca częstotliwość fali sinusoidalnej. Powodem, że przebieg falowy na Wykresie 2 nie ma żadnych nieciągłości jest to, że próbkowaliście całkowitą liczbę cykli przebiegu falowego (w tym przypadku 1). Rys. 3-2. Przebieg sinusoidalny i odpowiadająca mu transformata Fouriera. Na Rysunku 3-3 widzisz widmową reprezentację próbkowania niecałkowitej liczby cykli falowego przebiegu czasowego (mianowicie 1,25). Wykres 1 składa się teraz z 1,25 cykli fali sinusoidalnej. Kiedy powtarzasz to okresowo, powstały przebieg falowy, jak pokazano na Wykresie 2, składa się z nieciągłości. Odpowiadające mu widmo pokazane jest na Wykresie 3. Zauważcie jak energia jest teraz rozłożona na szeroki zakres częstotliwości. To rozmycie energii jest rozmyciem widma. Energia wycieka z jednej linii FFT i rozkłada się na wszystkie pozostałe linie. 3
Rys. 3-3. Widmowa reprezentacja próbkowania niecałkowitej liczby próbek Rozmycie istnieje z powodu skończonego zapisu czasowego sygnału wejściowego. By przezwyciężyć wyciek, jednym z rozwiązań jest wybranie skończonego zapisu czasu od nieskończoności do + nieskończoności. Następnie FFT obliczyłby pojedynczą linię o właściwej częstotliwości. Czekanie na skończony czas jest jednak niemożliwe w praktyce. Tak więc ponieważ jesteś ograniczony do wybrania skończonego zapisu czasowego, do zmniejszenia wycieku używana jest inna technika znana jako okienkowanie. Wielkość wycieku widmowego zależy od amplitudy nieciągłości. Im większa nieciągłość tym większy wyciek i odwrotnie. Możesz użyć okienkowania do zmniejszenia amplitudy nieciągłości na granicach każdego okresu. Składa się ono z mnożenia zapisu czasowego przez skończonej długości okno, którego amplituda zmienia się gładko i stopniowo w kierunku zera na krawędziach. Pokazane jest to na Rysunku 3-4, gdzie oryginalny sygnał czasowy jest okienkowany przy użyciu okna Hamminga. Zauważ, że czasowy przebieg falowy okienkowanego sygnału stopniowo zwęża się do zera na końcach. Dlatego gdy przeprowadzamy analizę Fouriera i analizę spektralną na danych skończonej długości możecie użyć okienek do zminimalizowania krawędzi przejścia waszego próbkowanego przebiegu falowego. Funkcja okna wygładzania zastosowana do danych zanim zostaną przetransformowane w dziedzinę częstotliwości minimalizuje wyciek widma. Zauważcie, że jeśli zapis czasowy zawiera całkowitą liczbę cykli, jak pokazano na Rysunku 3-2, to założenie okresowości nie daje w wyniku żadnych nieciągłości i w ten sposób nie ma żadnego wycieku widma. Problem ten narasta tylko gdy macie niecałkowitą liczbę cykli. 4
Rys. 3-4. Sygnał czasowy okienkowany przy użyciu okna Hamminga Aplikacje okienkowania Jest kilka powodów używania okienkowania. Niektóre z nich to: Zdefiniowanie czasu trwania obserwacji. Zmniejszenie wycieku widmowego. Odseparowanie sygnału o małej amplitudzie od sygnału o większej amplitudzie o częstotliwościach bardzo zbliżonych do siebie. Właściwości różnych typów funkcji okienkowania Zastosowanie okna do okienkowania sygnału w dziedzinie czasu odpowiada mnożeniu sygnału przez funkcję okna. Ponieważ mnożenie w domenie czasu jest równoważne funkcji splotu w dziedzinie częstotliwości, widmo okienkowanego sygnału jest splotem widma sygnału oryginalnego z widmem okna. Tak więc, okienkowanie zmienia kształt sygnału w domenie czasu, jak również wpływa na widmo, które widzicie. Wiele różnych typów okien jest dostępnych w palecie Functions>>Analyze>>Signal Processing>>Windows. W zależności od twej aplikacji jedno może być bardziej użyteczne niż inne. Niektóre z tych okien to: Prostokątne (Żadne) Okno prostokątne ma wartość jeden w swym przedziale czasowym. Matematycznie może być zapisane jako: 5
dla gdzie N jest długością okna. Zastosowanie prostokątnego okna odpowiada nie używaniu żadnego okna. Jest tak ponieważ funkcja prostokątna po prostu obcina sygnał do skończonego odcinka czasu. Okno prostokątne ma największą ilość wycieku widma. Okno prostokątne dla N = 32 pokazane jest na Rysunku 3-5. Rys. 3-5. Okno prostokątne. Okno prostokątne jest użyteczne do analizowania przebiegów nieustalonych, które mają czas trwania krótszy niż czas okna. Jest ono używane także w śledzeniu kolejności (?), gdzie efektywna wielkość próbkowania jest proporcjonalna do prędkości wału w maszynach wirujących. W tej aplikacji wykrywa ono podstawowy rodzaj wibracji maszyny i jego harmoniczne. Hanninga Okno to ma kształt podobny do kształtu połowy cyklu fali kosinusoidalnej. Definiujące je równanie ma postać: dla Okno Hanninga z N=32 pokazane jest na Rysunku 3-6. Rys. 3-6. Okno Hanninga Okno Hanninga jest użyteczne do analizy przebiegów nieustalonych dłuższych niż czas trwania okna, a także do aplikacji ogólnego zastosowania. 6
Hamminga Okno to jest zmodyfikowaną wersją okna Hanninga. Jego kształt jest również podobny do fali kosinusoidalnej. Może być on zdefiniowany jako dla Okno Hamminga z N=32 pokazane jest na Rysunku 3-7. Rys. 3-7. Okno Hamminga Widzicie, że okna Hanninga i Hamminga są w pewien sposób podobne. Jednakże zauważcie, że w domenie czasu, okno Hamminga nie sięga tak blisko zera przy krawędziach jak okno Hanninga. Kaiser-Bessela Okno to jest elastycznym oknem, którego kształt użytkownik może zmodyfikować poprzez nastawienie parametru beta. Tak więc w zależności od swej aplikacji możesz zmienić kształt okna by kontrolować wielkość wycieku widma. Okno Kaiser-Bessela dla różnych wartości beta pokazane jest na Rysunku 3-8. 7
Rys. 3-8. Okno Kaiser-Bessela Zauważ, że dla małych wartości beta, kształt jest bliski do kształtu okna prostokątnego. W rzeczywistości dla beta=0,0 otrzymacie okno prostokątne. Gdy zwiększacie beta okno pochyla się ku bokom. Okno to jest dobre do wykrywania dwóch sygnałów o prawie takiej samej częstotliwości, ale znacząco różnych amplitudach. Trójkątne Okno to ma kształt trójkąta. Dany jest on przez dla Okno trójkątne dla N=32 pokazane jest na Rysunku 3-9. 8
Rys. 3-9. Okno trójkątne Flat Top Okno to ma najlepszą dokładność amplitudową ze wszystkich funkcji okienkowych. Zwiększona dokładność amplitudowa (± 0,02 db dla sygnałów dokładnie pomiędzy cyklami całkowitymi) jest kosztem selektywności częstotliwości. Okno Flat Top jest najbardziej użyteczne w dokładnym mierzeniu amplitudy pojedynczych składowych częstotliwości przy niewielkiej pobliskiej energii widmowej w sygnale. Okno Flat Top może być zdefiniowane jako gdzie Okno Flat Top pokazane jest na Rysunku 3-10. Rys. 3-10. Okno Flat Top Wykładnicze Okno to ma kształt funkcji wykładniczej gasnącej. Matematycznie może być ono wyrażone jako: dla 9
gdzie f jest wartością końcową. Wartością początkową okna jest jeden i stopniowo wygasa ono w kierunku zera. Wartość końcowa funkcji wykładniczej może być nastawiana pomiędzy 0 i 1. Okno wykładnicze dla N=32 z wartością końcową określoną jako 0,1 pokazane jest na Rysunku 3-11. Rys. 3-11. Okno wykładnicze Okno to jest użyteczne przy analizie przebiegów nieustalonych (sygnałów, które istnieją tylko przez krótki okres czasu) których czas trwania jest dłuższy niż długość okna. Okno to może być zastosowane do sygnałów zanikających wykładniczo, takich jak odpowiedź struktur o małym tłumieniu, które są pobudzone uderzeniem (na przykład młotkiem). Okna do analizy widmowej a okna do konstrukcji współczynników Okna VI w LabVIEW są zaprojektowane dla aplikacji do analizy widmowej. W tych aplikacjach, sygnał wejściowy jest okienkowany przez przepuszczenie go przez jedno z okien VI. Sygnał zokienkowany jest następnie podawany do opartego na DFT VI dla wyświetlenia i analizy domeny częstotliwości. Funkcje okna zaprojektowane do analizy widmowej muszą być DFT-parzyste, termin zdefiniowany przez Fryderyka J. Harrisa w jego referacie O użyciu okien do analizy harmonicznych za pomocą dyskretnej transformaty Fouriera (Protokół z IEEE, Tom 66, Nr 1, Styczeń 1978). Funkcja okna jest DFT-parzysta, jeśli jej iloczyn skalarny przy całkowitych cyklach ciągów sinusoidalnych jest równoważny zero. Innym sposobem myślenia o ciągu DFT-parzystym jest taki, że jego DFT nie ma składowych urojonych. Rysunek 3-12 i Rysunek 3-13 ilustruje okno Hanninga i jeden cykl modelu sinusoidalnego dla rozmiaru próbki 8. Możecie zobaczyć, że DFT-parzyste okno Hanninga nie jest symetryczne względem swego punktu środkowego, a jej ostatni punkt nie jest równy pierwszemu, w znacznym stopniu podobnie jak pełen cykl przebiegu sinusoidalnego. 10
Rys. 3-12. Okno Hanninga dla rozmiaru próbki 8. Rys. 3-13. Forma sinusoidalna dla rozmiaru próbki 8. Na koniec DFT zakłada, że ciągi wejściowe są okresowe tj., że analizowany sygnał jest w rzeczywistości powiązaniem sygnału wejściowego. Rysunek 3-14 pokazuje trzy takie cykle poprzednich ciągów, demonstrując gładkie okresowe rozwinięcie okna DFT-parzystego i pojedynczego cyklu formy sinusoidalnej. 11
Rys. 3-14. Rozwinięcie okresowe Innym typem aplikacji okienkowej jest ta z projektu filtra FIR. Aplikacja ta wymaga by okna były symetryczne względem swego punktu środkowego. Dalsze informacje o filtrowaniu znajdziesz w Części III, Analiza Pomiarowa w LabVIEW, podręcznika Pomiary LabVIEW. Poniższe równania funkcji okna Hanninga ilustrują różnicę pomiędzy funkcją okna DFTparzystego (analiza spektralna) i funkcją okna symetrycznego (projekt współczynnika). Funkcja okna Hanninga dla analizy spektralnej: dla Funkcja okna Hanninga dla symetrycznego projektu współczynnika: dla Te dwa równania pokazują, że możesz zastosować funkcje okna symetrycznego poprzez niewielką modyfikację użycia funkcji okna DFT-parzystego. Jakiego typu okna mam użyć? Teraz kiedy widzieliście kilka z wielu różnych typów dostępnych okien, możecie zapytać, Jaki typ okna powinienem użyć? Odpowiedź zależy od typu sygnału jaki macie i od tego czego szukacie. Wybranie właściwego okna wymaga pewnej wiedzy o sygnale, który analizujecie. W podsumowaniu, Tabela 3-1 pokazuje różne typy sygnałów i odpowiednie okna, których możesz z nimi użyć. 12
Tabela 3-1. Sygnały i okna Typ sygnału Przebiegi nieustalone, których czas trwania jest krótszy niż długość okna Przebiegi nieustalone, których czas trwania jest dłuższy niż długość okna Aplikacje ogólnego zastosowania Śledzenie rozkazów Analiza systemu (pomiary odpowiedzi częstotliwościowych) Separacja dwóch tonów o częstotliwościach bardzo bliskich siebie, ale bardzo różnych amplitudach Separacja dwóch tonów o częstotliwościach bardzo bliskich siebie, ale prawie równych amplitudach Dokładne pomiary amplitudy pojedynczego tonu Okno Prostokątne Wykładnicze, Hanninga Hanninga Prostokątne Haninga (dla losowego pobudzenia) Prostokątne (dla pseudolosowego pobudzenia) Kaiser-Bessel Prostokątne Flat Top W wielu przypadkach możesz nie mieć wystarczającej wiedzy o sygnale, więc musisz eksperymentować z różnymi typami okien by wybrać najlepsze. 13