Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów Grafy są stosowane współcześnie w różnych działach nauki i techniki. Za pomocą grafów znakomicie modeluje się i rozwiązuje szeroki wachlarz złożonych problemów ekonomicznych, tak w skali mikro- jak i makro zarządzania. Teoria grafów jest bardzo ważnym narzędziem w zastosowaniu do pewnych zagadnień badań operacyjnych. Należy tutaj przede wszystkim wymienić takie zagadnienia jak: problem komiwojażera, problem przydziału, określenie najkrótszej drogi w grafie. Teorię grafów stosuje się najczęściej w sieciach transportowych i w sieciach czynności. W matematyce teorię grafów klasyfikuje się jako gałąź topologii. Jest ona jednak ściśle związana z algebrą i teorią macierzy. Krótki rys historyczny rozwoju teori grafów wygląda następująco: 1736 Leonard Euler (uważany za twórcę teorii grafów) 1847 G.R.Kirchhoff (teoria obwodów elektrycznych) 1857 A.Cayley (chemia: izomery węglowodorów nasyconych) 1859 W.R.Hamilton 1945 i dalsze - intensywny rozwój teorii grafów (N.Deo, F.Harary) i jej zastosowań G.1. Co to jest graf Figura przedstawiona na rysunku G.1. nazywa się grafem 1. Wyróżnione punkty nazywają się wierzchołkami grafu (ang. vertex), zaś linie noszą nazwę krawędzi grafu (ang. edge). Wymagane jest, aby każda krawędź i każdy wierzchołek miały swoją nazwę (etykietę). 1 Ściśle graf liniowy, ale ponieważ nie istnieją grafy nieliniowe to mówimy krótko graf.
Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 2 Rys. G.1. Przykład grafu liniowego Wierzchołki grafu oznaczamy v, v,...,. Zbiór wierzchołków oznaczymy jako 1 2 V v 1, v 2,..., v m i musi to być zbór niepusty (V ). Krawędzie grafu oznaczamy e, e,...,. Zbiór krawędzi oznaczymy jako 1 2 E e 1, e 2,..., e n i może to być zbór pusty. Gdy nie zachodzi obawa pomyłki, etykiety wierzchołków i krawędzi mogą być V 12 m E 12,,..., n. liczbami naturalnymi, tj.,,..., oraz Dla oznaczenia grafu G możemy zapisać krótko G V E składa się ze zbioru wierzchołków V i zbioru krawędzi E. v m e n,, co oznacza, że graf G Dowolna krawędź e k utożsamia się z nieuporządkowaną parą wierzchołków v, v. Wierzchołki v i oraz v j związane z krawędzią e k nazywa się i j wierzchołkami końcowymi krawędzi e k. O krawędzi e k mówimy, że jest ona incydentna z wierzchołkami v i oraz v j. G.1.1. Definicja grafu V i i 12,,..., m będzie dowolnym zbiorem skończonym i Niech niech S oznacza zbiór wszystkich (różnych) nieuporządkowanych par (i,j) S i, j i V j V. Pary (i,j) oraz (j,i) elementów zbioru V, to znaczy oznaczają: ten sam element - dla grafu nieskierowanego lub różne elementy - dla grafu skierowanego. G V, E oraz E S nosi nazwę grafu (nieskierowanego lub Para skierowanego w zależności od definicji zbioru S).
Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 3 G.1.2. Jak rysować grafy 1. kształt linii jest obojętny; graf musi tylko oddawać połączenia (incydencje) pomiędzy wierzchołkami za pomocą krawędzi 2. przecinanie się krawędzi nie jest wierzchołkiem Na przykład grafy na rysunku G.2. są identyczne (izomorficzne) choć na pierwszy rzut oka wydają się różne. Rys. G.2. Przykład grafu narysowanego na dwa sposoby Inny przykład to odwzorowanie za pomocą grafu problemu decyzyjnego postawionego przez L.Eulera tzw. problem mostów królewieckich (rysunek G.3.). "Królewiec położony po obu brzegach rzeki Pregoły i na dwóch wyspach jest połączony siecią siedmiu mostów. Należy wychodząc z dowolnego brzegu (A lub B) odwiedzić obie wyspy (C i D), niekoniecznie raz, i powrócić do punktu wyjścia przechodząc tylko raz przez każdy z 7 mostów." (L.Euler udowodnił, że problem ten nie ma rozwiązania). Rys. G.3. "Problem mostów królewieckich" G.2. Grafy - wybrane pojęcia G.2.1. Grafy nieskierowane pętla własna - krawędź grafu, której końce są incydentne (związane) z jednym wierzchołkiem (rys. G.1. - krawędź e 1 )
Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 4 krawędzie równoległe - krawędzie incydentne do tej samej pary wierzchołków (rys. G.1. - krawędzie e 5 i e 4 ) graf prosty - graf bez pętli własnych i krawędzi równoległych. wierzchołek izolowany - nie posiada żadnej krawędzi incydentnej do niego (rys. G.1. - wierzchołek v 6 ) stopień wierzchołka (d) - liczba krawędzi incydentnych z nim (rys. G.1. - stopień wierzchołka v 4 jest równy 3; d=3) graf zerowy - graf bez krawędzi ( E ) grafy izomorficzne - grafy pokrywające się. Warunkiem koniecznym jest: 1. taka sama liczba wierzchołków 2. taka sama liczba krawędzi 3. taka liczba wierzchołków o danym stopniu Warunku wystarczającego brak w teorii. Przykład grafów, które nie są izomorficzne, a warunek konieczny jest spełniony pokazuje rysunek G.4.. Oba grafy nie są izomorficzne choć mają: po 6 wierzchołków, po 5 krawędzi, po 3 wierzchołki o stopniu 1, po 2 wierzchołki o stopniu 2 oraz po 1 wierzchołku o stopniu 3. Rys. G.4. Grafy pozornie izomorficzne - grafy spełniające tylko warunek konieczny izomorfizmu podgraf - graf g V', E' jest podgrafem grafu G V E, jeżeli V' V, E' E oraz każda krawędź grafu g ma te same wierzchołki końcowe jak w grafie G. droga (łańcuch) - ciąg (skończony) naprzemienny wierzchołków i krawędzi rozpoczynający się i kończący wierzchołkami, taki że krawędź jest incydentna do wierzchołków poprzedzających i następujących po niej (rys. G.1. - ciąg {v 3, e 3, v 1, e 4, v 2, e 6, v 4, e 6, v 2, e 5, v 1 }) droga otwarta - droga rozpoczynająca się i kończąca różnymi wierzchołkami (rys. G.1. - ciąg {v 5, e 7, v 4, e 2, v 3, e 1, v 3, e 2, v 4 }) droga zamknięta - droga rozpoczynająca się i kończąca tym samym wierzchołkiem (rys. G.1. - ciąg {v 5, e 7, v 4, e 2, v 3, e 1, v 3, e 2, v 4, e 7, v 5 }) droga Eulera - droga przechodząca przez każdą krawędź grafu dokładnie jeden raz (patrz: problem mostów królewieckich) graf Eulera - graf G V E,, w którym wszystkie wierzchołki są stopnia parzystego (graf dla którego istnieje droga Eulera)
Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 5 ścieżka - (droga ekstremalna) droga otwarta, w której jeden wierzchołek pojawia się tylko jeden raz; można powiedzieć, że ścieżka "nie przecina" samej siebie (rys. G.1. - ciąg {v 3, e 3, v 1, e 5, v 2, e 6, v 4 }) obwód - droga zamknięta, w której tylko wierzchołek początkowy może pojawić się dwa razy (rys. G.1. - ciąg {v 3, e 3, v 1, e 5, v 2, e 6, v 4, e 2, v 3 }) obwód Hamiltona - obwód przechodzący przez wszystkie wierzchołki grafu (graf przykładowy z rys. G.1.. nie ma obwodu ponieważ wierzchołek v 6 jest izolowany) ścieżka Hamiltona - obwód Hamiltona z usuniętą krawędzią graf spójny - graf jest spójny jeżeli między każdą parą wierzchołków istnieje przynajmniej jedna ścieżka drzewo - graf spójny bez obwodów przekrój - każdy zbiór krawędzi grafu spójnego, którego usunięcie powoduje, że graf staje się niespójny. Graf z rys. G.1.. nie jest spójny ze względu na izolowany wierzchołek v 6. Usunięcie wierzchołka v 6 prowadzi do grafu spójnego. W takim nowym grafie przekrojem jest np. zbiór krawędzi {e 3, e 6 }. Usunięcie krawędzi e 3 oraz e 6 powoduje powstanie niespójności. Inne przekroje to: {e 2, e 6 } oraz {e 2, e 4, e 5 }. G.2.2. Macierzowy zapis grafu nieskierowanego macierz incydencji - grafu G V E macierz A mxn a ij gdzie, o m wierzchołkach i n krawędziach to 1 jeżeli krawędź e j jest incydentna z wierzchołkiem v i 0 w przeciwnym wypadku Własności macierzy incydencji: 1. liczba jedynek w każdej kolumnie = 2 2. liczba jedynek w wierszu = stopień wierzchołka 3. wiersz z zerami to wiersz wierzchołka izolowanego 4. krawędzie równoległe mają identyczne kolumny 5. jeżeli graf G jest niespójny to można podzielić macierz A na niezależne bloki diagonalne (po odpowiednim uporządkowaniu wierszy i kolumn) 6. rz A=m-1 macierz przyległości - grafu G V E macierz kwadratowa stopnia m A m a ij, o m wierzchołkach i n krawędziach to gdzie 1 jeżeli wierzchołki v i oraz v j łączy krawędź 0 w przeciwnym wypadku
Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 6 Własności macierzy przyległości: 1. liczba jedynek w wierszu (kolumnie) = stopień wierzchołka 2. wiersz (kolumna) z samymi zerami = wierzchołek izolowany 3. a ii 0 ozacza pętlę własną wierzchołka v i Przykład Rys. G.5. Graf nieskierowany do ilustracji zapisu macierzowego Macierze incydencji i przyległości grafu z rysunku G.5. są następujące A 6x9 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 A 6x6 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 G.2.3. Grafy skierowane i sieci graf skierowany (zorientowany) - graf G V E,, w którym za pomocą odwzorowania przekształcić można każdą krawędź e k, związaną z wierzchołkami v i oraz v j, w uporządkowaną parę wierzchołków (v i,v j ). O wierzchołku v i mówimy, że krawędź e k jest incydentna z wierzchołka v i, natomiast o wierzchołku v j mówimy, że krawędź e k jest incydentna do wierzchołka v j. krawędź skierowana (łuk) - krawędź w grafie skierowanym wierzchołek początkowy krawędzi (źródło krawędzi) - wierzchołek dla którego krawędź e k = (v i,v j ) jest incydentna z wierzchołka (v i ) wierzchołek końcowy krawędzi (odpływ krawędzi) - wierzchołek dla którego krawędź e k = (v i,v j ) jest incydentna do wierzchołka (v j )
Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 7 stopień wejściowy wierzchołka ( d v j wierzchołka v j stopień wyjściowy wierzchołka ( d v j wierzchołka v j ) - liczba krawędzi incydentnych do ) - liczba krawędzi incydentnych z wierzchołek izolowany - wierzchołek, dla którego stopień wejściowy i stopień wyjściowy są równe zero łuki równoległe (krawędzie skierowane równoległe) - krawędzie grafu skierowanego odwzorowane za pomocą tej samej uporządkowanej pary wierzchołków sieć - graf skierowany (zorientowany), bez pętli własnych i łuków równoległych (tj. graf prosty), bez wierzchołków izolowanych oraz obwodów skierowanych, w którym z każdym łukiem e k związana jest pewna nieujemna liczba zródło sieci - wierzchołek (v j ) o zerowym stopniu wejściowym ( d v j odpływ sieci - wierzchołek (v j ) o zerowym stopniu wyjściowym ( d v j sieć zredukowana - sieć o jednym źródle i jednym odpływie 0 ) 0 ) Pojęcia dróg, ścieżek, itd. są analogiczne jak w grafie nieskierowanym. Definiując te pojęcia należy pamiętać, że krawędzie grafu są skierowane, tj. para (v i,v j ) odpowiada zupełnie innej krawędzi niż para (v j,v i ) G.2.4. Macierzowy zapis grafu skierowanego G V, E o m wierzchołkach i n macierz incydencji - grafu skierowanego krawędziach (łukach) to macierz A mxn a ij gdzie 1 jeżeli krawędź e j jest incydentna z wierzchołka v i 1 jeżeli krawędź e j jest incydentna do wierzchołka v i 0 w pozostałych przypadkach Własności macierzy incydencji grafu skierowanego: 1. stopień wejściowy wierzchołka jest równy liczbie "-1" w wierszu 2. stopień wyjściowy wierzchołka jest równy liczbie "1" w wierszu 3. liczba jedynek w każdej kolumnie = 2 4. liczba jedynek w wierszu = stopień wierzchołka 5. wiersz z zerami to wiersz wierzchołka izolowanego 6. krawędzie równoległe mają identyczne kolumny
Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 8 7. jeżeli graf G jest niespójny to można podzielić macierz A na niezależne bloki diagonalne (po odpowiednim uporządkowaniu wierszy i kolumn) 8. suma elementów w kolumnie jest równa zero 9. rz A=m-1 macierz przyległości - grafu G V E macierz kwadratowa stopnia m A m a ij, o m wierzchołkach i n krawędziach to gdzie 1 jeżeli wierzchołki v i oraz v j łączy łuk (v i, v j ) 0 w przeciwnym wypadku Własności macierzy przyległości: 1. liczba "1" w wierszu = stopień wyjściowy wierzchołka 2. liczba "1" w kolumnie = stopień wejściowy wierzchołka 3. wiersz z samymi zerami = wierzchołek typu odpływ 4. kolumna z samymi zerami = wierzchołek typu źródło 5. wiersz (kolumna) z samymi zerami = wierzchołek izolowany 6. a ii 0 ozacza pętlę własną wierzchołka v i 7. jeżeli numeracja wierzchołków sieci jest taka, że dla każdego łuku (v i,v j ) numer wierzchołka v i v j i jednocześnie macierz przyległości jest macierzą trójkątną dolną, to graf skierowany nie posiada obwodów skierowanych Przykład Rys. G.6. Graf skierowany do ilustracji zapisu macierzowego Macierze incydencji i przyległości grafu z rysunku G.6. są następujące A 6x9 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 A 6x6 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 9 Literatura [1] Narshing DEO, "Teoria grafów oraz jej zastosowanie w technice i informatyce", PWN, Warszawa, 1980, Seria: Biblioteka Naukowa Inżyniera [2] Robert S.GARFINKEL, George L.NEMHAUSER, "Programowanie całkowitoliczbowe", PWN, Warszawa, 1978, Seria: Biblioteka Naukowa Inżyniera Spis treści dodatku G G. Wybrane elementy teorii grafów... 1 G.1. Co to jest graf... 1 G.1.1. Definicja grafu... 2 G.1.2. Jak rysować grafy... 3 G.2. Grafy - wybrane pojęcia... 3 G.2.1. Grafy nieskierowane... 3 G.2.2. Macierzowy zapis grafu nieskierowanego... 5 G.2.3. Grafy skierowane i sieci... 6 G.2.4. Macierzowy zapis grafu skierowanego... 7 Literatura... 9 Spis treści dodatku G... 9