KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM Matematyka Poziom rozszerzony Listopad 0 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź Wskazówki do rozwiązania. A x+ > x+ < x+ > x < x > 0. A W( ) +. B log log log log + log + log 8. A W 8x + x + x+ ( x x + x ) x + x + x+. D ( x+ ) + ( y ) S (, ), r Zadania otwarte kodowane Poprawna odpowiedź Wskazówki do rozwiązania. 9 a a 9 +, + 9 a 80 + 98,... 98,., 8..., sin0 b sin b 8. 0 0 + + 0 l: x y+ 0, d( Al, ), 0... 0, 9. 8 9 9 Jeśli ABCD jest podstawą dolną sześcianu, BDE przekrojem, OE h wysokością przekroju, O punktem przecięcia przekątnych kwadratu ABCD, to: OC BD, OC, h cos 0 h, 89899..., 899 0. lim n + ( n+ ) n n + n+ lim n + + n n 0, 0, + + n n 0 0 0 0 www.operon.pl
Zadania otwarte Matematyka. Poziom rozszerzony Modelowe etapy rozwiązywania. Rozwiązanie: sinx+ sin9x 0 sinxcosx 0 sinx 0 cosx 0 k k x p x p + p k C x 0, x 0 p Przekształcenie równania do alternatywy dwóch równań: sinx 0 cosx 0 kp p kp Zapisanie rozwiązań w postaci ogólnej: x x +, gdzie k Î C Zapisanie odpowiedzi uwzględniającej założenie: x 0. Rozwiązanie: x ( x x )< 0 x 0, x, x x ( x x )< 0 x (, ) ( 0, ) Zapisanie nierówności w postaci: x ( x x )< 0 0 0 Wyznaczenie pierwiastków: x 0, x, x Rozwiązanie nierówności: x ( x x )< 0 x (, ) ( 0, ). Rozwiązanie: x f'( x), f'( x) 0, x 0 x 0 x x Badamy znaki pochodnej i zapisujemy odpowiedź: w punkcie x 0 funkcja osiąga maksimum. x Wyznaczenie pochodnej funkcji: f'( x) x Wyznaczenie miejsc zerowych pochodnej i określenie znaków pochodnej: x ( ) 0 x 0ochodna dodatnia dla x (, ) (, 0 )ochodna x ujemna dla x ( 0, ) (, + ) Zapisanie odpowiedzi: w punkcie x 0 funkcja osiąga maksimum. 0 www.operon.pl
Modelowe etapy rozwiązywania. Rozwiązanie: Niech ABC będzie danym trójkątem, CD środkową trójkąta i EÎCDP, ÎBC. Rysujemy prostą równoległą do odcinka BC przechodzącą przez punkt A oraz prostą równoległą do odcinka AC przechodzącą przez punkt B. Punkt przecięcia prostych punkt F. Wtedy CE x, ED x, DF x. Oznaczamy ponadto: CP y, PB z, więc AF BC y+ z Zauważamy, że trójkąty CEP i EAF są podobne, zatem: y x y y z y+ z x z Postęp: Wykonanie rysunku z oznaczeniami: ABC dany trójkąt, CD środkowa trójkąta, EÎCDP, ÎBC. Narysowanie odcinka AF równoległego do BC oraz odcinka BF równoległego do AC. Zapisanie, że CE x, ED x, DF x, CP y, PB z, AF BC y+ z Zauważenie, że trójkąty CEP i EAF są podobne. y x y Wykazanie tezy : y z y+ z x z, co należało dowieść.. Rozwiązanie: a 8 q Zapisujemy układ: q < o jego rozwiązaniu otrzymujemy: a q q lub q. Drugi układ jest sprzeczny z warunkiem q <. a a 8 a 8 q Zapisanie układu równań: q < a q Przekształcenie układu do równania kwadratowego, np.: q q+ 0 Rozwiązanie układu równań: q lub q a a 8 Wybór rozwiązania i odpowiedzi: q a ( pkt, jeśli nie zapisano, że AF BC y + +z) ( pkt, gdy zapisano tylko jedno równanie) www.operon.pl
Modelowe etapy rozwiązywania. Rozwiązanie: liczb z na pierwszym miejscu: liczb z na pierwszym miejscu: 8 liczb z cyfrą inną niż, na pierwszym miejscu: Suma: 8 8 8 8800 0 Zapisanie liczby możliwości z cyfrą na pierwszym miejscu: Zapisanie liczby możliwości z cyfrą na pierwszym miejscu: 8 Zapisanie liczby możliwości z cyfrą inną niż lub na pierwszym miejscu: Wyznaczenie sumy wszystkich liczb: 8 8 8 8800. Rozwiązanie: a 8 a+ h h a, V hv, ( a a ), a ( 0, ) 0 V'( h) ( a a ), V' a a 0 0. Analizując znaki pochodnej, otrzymujemy: w punkcie a funkcja osiąga maksimum. I część Wyznaczenie wzoru funkcji określającej objętość ostrosłupa: Zapisanie związku między krawędzią boczną i krawędzią podstawy: h a Wyznaczenie wzoru na objętość ostrosłupa: V( a) ( a a ) Wyznaczenie dziedziny funkcji: a ( 0, ) (za I część się pkt) II część Zbadanie pochodnej i wyznaczenie ekstremum Wyznaczenie wzoru pochodnej funkcji: V'( a) ( a a ) Wyznaczenie miejsc zerowych pochodnej: V' 0 a 0 a Zbadanie znaków pochodnej i zapisanie wniosku dotyczącego maksimum funkcji: (za II część V'( a)> 0 dla a ( 0, ), V'( a)< 0 dla a (, ), zatem funkcja rośnie w przedziale się pkt) ( 0, ), maleje w (, ), stąd w punkcie a funkcja osiąga maksimum będące jednocześnie największą wartością funkcji. III część Wyznaczenie największej wartości funkcji V (za III część się pkt) www.operon.pl
Modelowe etapy rozwiązywania 8. Rozwiązanie: Badamy sytuację, gdy funkcja jest liniowa: m f( x), zatem nie ma miejsc zerowych. Badamy sytuację, gdy funkcja jest kwadratowa: m ¹ Wyznaczamy zbiór, dla którego istnieją dwa różne pierwiastki trójmianu kwadratowego: < 0 m (, ), + 0 m > 0 m, 0 dla m (,, + Zapisujemy wzór funkcji: g( m) m dla dla m, i rysujemy wykres. Postęp: Zapisanie i rozwiązanie warunku: a 0 m nie ma miejsc zerowych. Zapisanie i rozwiązanie warunku dla m ¹ : < 0 m (, ), + 0 m > 0 m, 0 dla m (,, + Zapisanie wzoru funkcji g : g( m) m dla dla m, Narysowanie wykresu funkcji g. ( pkt, jeśli popełniono błąd rachunkowy) www.operon.pl