O centralizatorach skończonych podgrup

O centralizatorach skończonych podgrup GL(n, Z) Rafał Lutowski Instytut Matematyki Uniwersytetu Gdańskiego III Północne Spotkania Geometryczne Olsztyn, 22-23 czerwca 2009

1 Wprowadzenie Grupy podstawowe płaskich rozmaitości Afiniczne równoważności płaskich rozmaitości Skończone grupy automorfizmów zewnętrznych Reprezentacje grup skończonych 2 Podgrupy centralizatorów w GL(n, Z) Twierdzenie Lemat Schura Dowód twierdzenia 3 Przykłady Grupa alternujaca A 5

Płaskie rozmaitości i grupy Bieberbacha X zwarta, spójna rozmaitość Riemanna z krzywizna sekcyjna równa zero (płaska rozmaitość). Γ = π 1 (X) grupa podstawowa X grupa Bieberbacha. X jest izometryczne z R n /Γ. Γ wyznacza X z dokładnościa do afinicznej równoważności.

Grupy Bieberbacha Definicja Grupa Bieberbacha to beztorsyjna grupa zdefiniowana przez krótki ciag dokładny 0 Z n Γ G 1. G skończona podgrupa GL(n, Z). G działa na Z n przez mnożenie macierzy. Element α H 2 (G, M) odpowiadajacy powyższemu rozszerzeniu jest specjalny, tzn. res G Hα 0 dla każdej nietrywialnej podgrupy H grupy G.

Grupa odwzorowań afinicznych Aff(X) grupa odwzorowań afinicznych X. Aff(X) jest grupa Lie. Aff 0 (X) składowa identyczności Aff(X). Aff 0 (X) jest torusem. Wymiar Aff 0 (X) równa się β 1 (X) pierwszej liczbie Bettiego X (β 1 (X) = rkz(γ)). Twierdzenie (Charlap, Vasquez 1973) Aff(X)/Aff 0 (X) = Out(Γ)

Skończone grupy odwzorowań afinicznych Wniosek Aff(X) jest skończona wtedy i tylko wtedy, gdy 1 β 1 (X) = 0 oraz 2 Out(Γ) <. Problem (Szczepański 2006) Które grupy skończone realizuj a się jako grupy automorfizmów zewnętrznych grup Bieberbacha z trywialnym centrum.

Wyznaczanie Out(Γ) Twierdzenie (Charlap, Vasquez 1973) 0 H 1 (G, Z n ) Out(Γ) N α /G 1. N α stabilizator α H 2 (G, Z n ) względem działania N GL(n,Z) (G) zdefiniowanego następujaco n a(g 1, g 2 ) = n a(n 1 g 1 n, n 1 g 2 n). H 1 (G, Z n ) jest grupa skończona. Indeks [N GL(n,Z) (G): N α ] jest skończony.

Skończone grupy automorfizmów zewnetrznych Przez naturalna reprezentację grupy G < GL(n, Z) będziemy rozumieli odwzorowanie τ = id G. Twierdzenie (Szczepański 96) Następujace warunki sa równoważne: 1 Grupa Out(Γ) jest nieskończona. 2 Normalizator N GL(n,Z) (G) grupy G w GL(n, Z) jest nieskończony. 3 Q-rozkład reprezentacji τ zawiera dwie izomorficzne składowe lub istnieje Q-nieprzywiedlna składowa, rozkładalna nad R.

Skończone grupy automorfizmów zewnetrznych Przez naturalna reprezentację grupy G < GL(n, Z) będziemy rozumieli odwzorowanie τ = id G. Twierdzenie (Szczepański 96) Następujace warunki sa równoważne: 1 Grupa Out(Γ) jest nieskończona. 2 Centralizator C GL(n,Z) (G) grupy G w GL(n, Z) jest nieskończony. 3 Q-rozkład reprezentacji τ zawiera dwie izomorficzne składowe lub istnieje Q-nieprzywiedlna składowa, rozkładalna nad R.

Reprezentacje grup skończonych R pierścień Z, Q, R, C, G grupa skończona. Homomorfizm ϱ: G GL(n, R) nazywamy reprezentacja grupy G. Reprezentacje ϱ, τ nazywamy R-izomorficznymi, jeżeli Q GL(n,R) g G Qϱ(g) = τ(g)q. Reprezentacja ϱ jest przywiedlna, jeżeli jest izomorficzna z reprezentacja postaci R n R[G]-moduł. ϱ 1... ϱ k.

Reprezentacje grup skończonych R pierścień Z, Q, R, C, G grupa skończona. Homomorfizm ϱ: G GL(n, R) nazywamy reprezentacja grupy G. Reprezentacje ϱ, τ nazywamy R-izomorficznymi, jeżeli Q GL(n,R) Qϱ = τq. Reprezentacja ϱ jest przywiedlna, jeżeli jest izomorficzna z reprezentacja postaci R n R[G]-moduł. ϱ 1... ϱ k.

Charaktery Charakterem reprezentacji ϱ nazywamy funkcję χ ϱ : G R g G χ ϱ (g) = Tr(ϱ(g)). R = C charaktery klasyfikuja reprezentacje.

Pytania Mamy krótki ciag dokładny 0 H 1 (G, Z n ) Out(Γ) N α /G 1 Czy N α /G może być dowolna grupa? Niech C α = N α C GL(n,Z) (G) Czy C α G/G = C α /Z(G) może być dowolna grupa? Czy istnieje grupa, która nie realizuje się jako podgrupa skończonego centralizatora dowolnej podgrupy GL(n, Z)?

Struktura skończonych centralizatorów Niech A oznacza rodzinę grup skończonych, bez grupy trywialnej, taka że dla każdego A A mamy A ma dokładnie jedna C-nieprzywiedlna reprezentację stopnia 1. Każda C-nieprzywiedlna reprezentacja A może być zrealizowana nad R. {A n } n 5 A (Riese, 2002). Twierdzenie Niech G < GL(n, Z) będzie grupa skończona, taka że C GL(n,Z) (G) jest skończony. Wtedy A<CGL(n,Z) (G)A A.

Lemat Schura Niech R oznacza pierścień, M i N lewe R-moduły. Lemat Niech f : M N będzie homomorfizmem R-modułów. Jeżeli M i N sa proste, to f jest izomorfizmem, badź f = 0. Ponadto, jeżeli M = N oraz R = C[G] jest pierścieniem grupowym, dla pewnej grupy skończonej G, to f jest homotetia, tzn. Wniosek λ C m M f(m) = λm. Niech M i N będa półprostymi modułami, które nie maja izomorficznych podmodułów. Wtedy Hom R (M, N) = 0.

Izomorfizmy reprezentacji K ciało charakterystyki 0. G grupa skończona. ϱ: G GL(n, K) reprezentacja grupy G o następujacym rozkładzie nad K k ϱ = m i ϱ i. i=1 ϱ i : G GL(n i, K) nieprzywiedlne, parami nieizomorficzne. m i ϱ i = m i j=1 ϱ i. B GL(n, K) wyznacza izomorfizm ϱ: Bϱ = ϱb.

Izomorfizmy reprezentacji Lemat B jest blokowa macierza diagonalna B = k B i, i=1 gdzie B i GL(m i n i, K) wyznaczaj a izomorfizmy reprezentacji m i ϱ i.

Szkic dowodu Załóżmy, że A < C GL(n,Z) (G) oraz A A. Pokażemy, że C GL(n,Z) (G) jest nieskończony. Niech τ = id G, ϱ = id A będa naturalnymi reprezentacjami grup odpowiednio G i A. Niech ϱ = k i=1 m iϱ i będzie rozkładem ϱ nad Q, tzn. τ = Q 1 τq. Q GL(n,Q) ϱ = Q 1 ϱq. Ponieważ τ ϱ = ϱ τ, więc τ = k i=1 τ i, gdzie τ i (m i ϱ i ) = (m i ϱ i )τ i.

Szkic dowodu Założenie: ϱ 1 nie jest trywialna. Przypadek 1: ϱ 1 jest C-nieprzywiedlna. Wtedy τ 1 = np gdzie n > 1 oznacza stopień reprezentacji ϱ 1, a p: G GL(m 1, Q) jest reprezentacja grupy G. Przypadek 2: ϱ 1 jest R-przywiedlna. Wtedy mamy rozkład τ 1 nad R: s τ 1 = d i p i. i=1 Jeżeli dla pewnego 1 j s, p j nie jest reprezentacja wymierna, to τ 1 zawiera Q-nieprzywiedlna, ale R-przywiedlna reprezentację.

Wniosek reprezentacje centralizatorów Wniosek: Centralizator C GL(n,Z) (G) jest nieskończony. Wniosek R-nieprzywiedlna podreprezentacja reprezentacji naturalnej podgrupy skończonego centralizatora jest albo trywialna, badź C-przywiedlna.

Realizacja A 5 jako Out(Γ) Γ grupa Bieberbacha zdefiniowana przez krótki ciag dokładny 0 Z n Γ G 1. α H 2 (G, Z n ) klasa definiujaca Γ. (Z n ) G = {z Z n g G gz = z} = 0 centrum Γ jest trywialne. N α = {n N GL(n,Z) (G) n α = α}. C α = N α C GL(n,Z) (G). Stwierdzenie Jeżeli Out(Γ) = A 5, to C α = Z(G).

Izomorfizm Out(Γ) z A 5 Mamy krótki ciag dokładny 0 H 1 (G, Z n ) Out(Γ) N α /G 1. Out(Γ) = A 5 jest grupa prosta, więc: H 1 (G, Z n ) = 0. N α /G = A 5. Możliwe sa tylko dwa przypadki: C α = Z(G). N α = G C α.

Centralne rozszerzenie przez A 5 Mamy krótki ciag dokładny 1 Z(G) C α A 5 1. C α cetralne rozszerzenie centrum grupy G przez A 5 zależy tylko od klasy kohomologii β H 2 (A 5, Z(G)) definiujacej powyższy ciag. Niech Z p q będzie trywialnym A 5 -modułem, gdzie p jest liczba pierwsza, q N. Mamy { H 2 Z2, p = 2 (A 5, Z p q) = 0, p 3 Jeżeli Z 2 Z(G) lub β = 0, to C α = Z(G) A 5, co jest niemożliwe.

Grupa SL(2, 5) Jeżeli Z 2 Z(G) oraz β 0, to ϱ: SL(2, 5) C α. SL(2, 5) = a, b, c a 2 c, b 3, (ab) 5, [a, c], [b, c], c 2. Z(SL(2, 5)) = c. Tablica charakterów SL(2, 5) c I. 1 b a ba b 2 a c cb (ba) 2 c(ba) 2 χ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 χ 2a 2 1 0 ω ω 4 ω + ω 4 2 1 ω 2 + ω 3 ω 2 ω 3 χ 2b 2 1 0 ω 2 ω 3 ω 2 + ω 3 2 1 ω + ω 4 ω ω 4 χ 3a 3 0 1 ω 2 ω 3 ω 2 ω 3 3 0 ω ω 4 ω ω 4 χ 3b 3 0 1 ω ω 4 ω ω 4 3 0 ω 2 ω 3 ω 2 ω 3 χ 4a 4 1 0 1 1 4 1 1 1 χ 4 4 1 0 1 1 4 1 1 1 χ 5 5 1 1 0 0 5 1 0 0 χ 6 6 0 0 1 1 6 0 1 1

Centrum G Z dokładnościa do izomorfizmu, istnieja trzy Z-nieprzywiedlne reprezentacje grupy Z 2, dane przez obraz generatora a tej grupy: (1) a [ 1 ] (2) a [ 1 ] [ ] 0 1 (3) a 1 0 Reprezentacja ϱ zawiera podreprezentację trywialna. W przeciwnym wypadku ϱ(c) = I G, a więc grupa Γ nie jest beztorsyjna. Element ϱ(c) Z(G) jest macierza blokowa postaci 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 [ 1 0 lub 0 1 ].

Elementy grupy G Niech g G. W postaci blokowej g ma postać: g 11 g 12 g 13 g 14 g = g 21 g 22 g 23 g 24 g 31 g 32 g 33 g 34. g 41 g 42 g 43 g 44 g ϱ(c) = ϱ(c) g, więc g = g 11 g 12 g 12 0 g 21 g 22 g 23 g 24 g 21 g 23 g 22 g 24. 0 g 42 g 42 g 44

Elementy grupy G Niech g G. W postaci blokowej g ma postać: [ ] g11 g g = 12. g 21 g 22 g ϱ(c) = ϱ(c) g, więc g = [ g11 0 0 g 22 ].

Grupy kohomololgii Pokażemy, że H 1 (G, Z n ) 0. H 2 (G, Z n ) = H 1 (G, Q n /Z n ). Centrum grupy Γ jest trywialne, więc H 1 (G, Z n ) = H 0 (G, Q n /Z n ) = (Q n /Z n ) G = {v Q n /Z n gv = v}. Niech γ H 1 (G, Q n /Z n ) odpowiada klasie α H 2 (G, Z n ), h γ. Dla dowolnego g G mamy Otrzymujemy [ ] 1 0 ϱ(c) = 0 1 0 (ϱ(c) 1)h(g) = (g 1)h(ϱ(c)). [ ] [ ] [ 0 0 h1 (g) g11 1 0 = 0 2 h 2 (g) 0 g 22 1 [ ] v (Q 0 n /Z n ) G H 1 (G, Z n ) 0 ] [ ] h1 (ϱ(c)) h 2 (ϱ(c))

Grupy kohomololgii Pokażemy, że H 1 (G, Z n ) 0. H 2 (G, Z n ) = H 1 (G, Q n /Z n ). Centrum grupy Γ jest trywialne, więc H 1 (G, Z n ) = H 0 (G, Q n /Z n ) = (Q n /Z n ) G = {v Q n /Z n gv = v}. Niech γ H 1 (G, Q n /Z n ) odpowiada klasie α H 2 (G, Z n ), h γ. Dla dowolnego g G mamy Otrzymujemy [ ] 1 0 ϱ(c) = 0 1 0 (ϱ(c) 1)h(g) = (g 1)h(ϱ(c)). [ ] [ ] 0 0 h1 (g) = 0 2 h 2 (g) [ ] v (Q 0 n /Z n ) G H 1 (G, Z n ) 0 [ g11 1 0 0 g 22 1 ] [ ] v 0

Reprezentacje SL(2, 5) oraz G Niech ϱ będzie rozkładem ϱ nad Q postaci ϱ = 1 ϱ 1, gdzie ϱ 1 nie zawiera reprezentacji trywialnej. τ = id G naturalna reprezentacja G. Niech τ = Q 1 τq, gdzie ϱ = Q 1 ϱq. Otrzymujemy τ = τ 0 τ 1, gdzie τ 1 ϱ 1 = ϱ 1 τ 1.

Macierz sprzężenia Niech q 11 q 12 q 13 q 14 Q = q 21 q 22 q 23 q 24 q 31 q 32 q 33 q 34 q 41 q 42 q 43 q 44 będzie postacia blokowa Q odpowiadajac a postaci ϱ(c). Qϱ (c) = ϱ(c)q, więc q 11 q 12 0 0 Q = q 21 q 22 q 23 q 24 q 21 q 22 q 23 q 24. 0 0 q 43 q 44

Pierwsza grupa kohomologii τ = Q 1 τq = τ 0 τ 1. τ (G) < τ 0 (g) 1, 1 τ 1 (g) g G = Q 1 G Q. G < G oraz (Q n /Z n ) G < (Q n /Z n ) G. Otrzymujemy g 11 g 12 g 12 0 1 0 0 0 G = g 21 1 g 23 g 23 0 g 21 g 23 1 g 23 0, 0 1 g 23 g 23 g 24 0 g 23 1 g 23 g 24 0 0 0 1 0 g 42 g 42 g 44

Pierwsza grupa kohomologii τ = Q 1 τq = τ 0 τ 1. τ (G) < τ 0 (g) 1, 1 τ 1 (g) g G = Q 1 G Q. G < G oraz H 1 (G, Z n ) H 1 (G, Z n ). Otrzymujemy g 11 g 12 g 12 0 1 0 0 0 G = g 21 1 g 23 g 23 0 g 21 g 23 1 g 23 0, 0 1 g 23 g 23 g 24 0 g 23 1 g 23 g 24 0 0 0 1 0 g 42 g 42 g 44

Pierwsza grupa kohomologii 0 v 1 2 Zk /Z k, k = deg(g 23 ). Mamy g 11 g 12 g 12 0 0 g 21 1 g 23 g 23 0 v g 21 g 23 1 g 23 0 v = 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 g 23 g 23 g 24 v 0 g 23 1 g 23 g 24 v = 0 g 42 g 42 g 44 0 2v v v 0 0 v v 0 Otrzymujemy H 1 (G, Z n ) 0 H 1 (G, Z n ) 0.

Pierwsza grupa kohomologii 0 v 1 2 Zk /Z k, k = deg(g 23 ). Mamy g 11 g 12 g 12 0 g 21 1 g 23 g 23 0 g 21 g 23 1 g 23 0 0 0 0 1 0 v v 0 = 0 v v 0 1 0 0 0 0 1 g 23 g 23 g 24 0 g 23 1 g 23 g 24 0 g 42 g 42 g 44 0 v v 0 = 0 v v 0 Otrzymujemy H 1 (G, Z n ) 0 H 1 (G, Z n ) 0.

Podsumowanie Nie każda grupę skończona można zrealizować jako centralizator pewnej podgrupy GL(n, Z). Nie każda grupę skończona można zrealizować jako podgrupę skończonego centralizatora pewnej podgrupy GL(n, Z). Jeżeli A 5 da się zrealizować jako grupa automorfizmów zewnętrznych pewnej grupy Bieberbacha z trywialnym centrum, to N α \ G nie zawiera elementów przemiennych z G.

Dziękuję za uwagę!