PRZEGLĄD STATYSTYCZNY R. XLIV - ZESZ\'T 1-1997 DANUTA STRAHL, MAREK WALESIAK NORMALZACJA ZMIENNYCH W SKALI PRZEDZIAŁOWEJ I ILORAZOWEJ W REFERENCYJNYM SYSTEMIE GRANICZNYM l. WPROWADZENIE Przy stosowanu metod porządkowana lnowego zachodz potrzeba ujednolcena charakteru zmennych czyl nadana m jednoltej preferencj oraz transformacj normalzacyjnej. Formuły normalzacyjne muszą być staranne doberane ze względu na rodzaj skal pomaru. Jak wadomo w teor pomaru wyróżna sę cztery podstawowe skale pomaru: nomnalną, porządkową, przedzałową lorazową. Na wartoścach poszczególnych skal, ze względu na dopuszczalne przekształcene, można wyznaczać następujące relacje: a) skala nomnalna - relacje: równośc, różnośc, b) skala porządkowa relacje: równośc, różnośc, wększośc, mnejszośc, c) skala przedzałowa - relacje: równośc, różnośc, mnejszośc, wększośc, równośc różnc przedzałów, d) skala lorazowa relacje: rownośc, różnośc, mnejszośc, wększośc, rownośc różnc przedzałów, rownośc stosunków mędzy poszczególnym wartoścam skal. Wykonywane operacj arytmetycznych dodawana odejmowana jest dopuszczalne na wartoścach skal przedzałowej. Skala lorazowa dopuszcza ponadto wykonywane na wartoścach skal operacj dzelena mnożena. Jedną dopuszczalną operacją empryczną na wartoścach skal nomnalnej porządkowej jest zlczane zdarzeń. Pamętając, że dopuszczalnym przekształcenam są te, które ne naruszają zasobu nformacj zawartej dla merzonej zmennej zaleca me stosować następujące formuły normalzacyjne (por. [5]): - dla skal przedzałowej - standaryzację lub untaryzację zerowaną; - dla skal lorazowej - przekształcena lorazowe: Dla porządku warto przypomneć, kedy zmenna jest merzona na wymenonych skalach. Otóż zmenna jest merzona na skal lorazowej, jeśl zbór jej możlwych wartośc zawera se w zborze R+ (stneje dla nej absolutny - naturalny - punkt zerowy, który oznacza zupełny brak welkośc merzonej zmennej) wartośc te można uporządkować jednoznaczne na os lczbowej z podanem stałej
~._._~ ~ 70 Danuta Slrahl, Marek Walesak..'" ~*,.. ~_~. ~._.. _.. ~~ ~.. ~~.w_~_" ~ (ale dowolnej) jednostk. Jako przykłady można podać: welkość sprzedaży, welkość produkcj, wartość udzelonych kredytów, przychody ze sprzedaży, kaptał własny banku. Z kole zmenna je..c:;t merzona na skal przedzałowej, gdy zbór możlwych jej wartośc (z umownym punktem zerowym) zawera se w zborze R wartośc te można uporządkować jednoznaczne na os lczbowej z podanem stałej (ale dowolnej) jednostk. Jako przykłady można podać: rentowność banku, wynk fnansowy, zyskowność aktywów, efektywność aktywów netto. Lteratura przedmotu zna wele formuł normalzacyjnych. Jednak rezultaty ch praktycznego wykorzystana wskazują na koneczność rozwjana modyfkacj procedur normalzacyjnych w celu WZlllOcnena ch własnośc dagnostycznych. Jedną z takch modyfkacj jest zastosowane formuł normalzacyjnych w tzw. referencyjnym systeme grancznym. Pomysł ten został przedstawony w pracy [4], ale był on ogranczony do normalzacj wykorzystującej tylko przekształcena lorazowe. Artykuł rozszerza to podejśce o formułę normalzacyjną zwaną untaryzacją zerowaną, a węc pokazuje możlwość normalzacj zmennych w warunkach szczególnych, zarówno dla skal lorazowej jak przedzałowej. Owe warunk szczególne wążą se z sytuacją, w której pojawają sę w ocene obektów określone ogranczena, normy, zalecena wpływające na ocenę obektu. Właśne zbór tych zaleceń, ogranczeń tworzy tzw. referencyjny system granczny (por. [4]) pozwalający wyróżnć obekty wyraźne gorsze ne spełnające zadanych czy zalecanych ogranczeń. 2. UNłTARYZACJA ZMIENNYCH W GRANICZNYM SYSTEMIE REFERENCYJNYM Wśród zmennych merzonych na skal przedzałowej lorazowej wyróżnać będzemy: L Stymulanty: l. Stymulanty bez progu veta (oznaczone symbolem SI)' których wartośc należą do zboru R+. Przykładam zmennych stymulant bez progu veta są: suma blansowa banku, przychody ze sprzedaży; 2. Stymulanty z progem veta xjj (oznaczane symbolem S2)' których wartośc należą do zboru R. Przykładam zmennych stymulant z progem veta są: zyskowność aktywów dla której zalecany próg mnmalny wynos 1 % (ro) = 1 %), współczynnk wypłacalnośc banków z mnmalnym progem ustalonym przez Bank Rozrachunków Mędzynarodowych (BIS) na pozome 8%; II. Destymulanty, których wartośc należą do zboru R+: L Destymulanty bez progu veta oznaczane symbolem Dl' Trzeba tu zaznaczyć, że destymulanty pownny na ogół posadać próg veta; 2. Destymulanty z progem veta (x~j) oznaczone symbolem D 2 Przykładam są tutaj znlenne dentyfkujące pozom zaneczyszczeń środowska z zadanym normam, udzał tzw. "złych długów" czy też kredytów "trudnych" w portfelu kredytowym banku z progem veta (w stablnych gospodarkach rynkowych ustalonym na pozome 5%);
~ n_._~"~.~ _. Normalzacja zmennych w skal przedzałowej lorazowej w referencyjnym systeme grancznym 71 _, ~.,",~ ~> _. _._" _._.'_ _ " ' ' " ' ~ " III. Nomnanty, których wartośc należą do zboru R+: l. Nomnanty oznaczone symbolem NI z wartoścą nomnalną x':j; 2. Nomnanty z zalecanym przedzałem wartośc (oznaczane symbolem NJ ogranczonym progam veta x~~ x~; 3. Nomnanty (oznaczone symbolem N 3 ) z określoną wartoścą nomnalną x':j dopuszczalnym przedzałem wartośc ogranczonym progam veta x:. x:,. Przykładem zmennej zalczanej do perwszego rodzaju może być lcba dec przypadająca na loo mejsc w przedszkolu (dla której x~. = 100). Przykładem zmennych należących do drugego rodzaju nomnant są: relacja należnośc do zobowązań, której wartośc pownny znaleźć sę w przedzale od 50% do 150% (stąd x~~ = 50% x~ = 150%); relacja zobowązań ogółem do aktywów ogółem, dla której x~~ = 0,57 x:. = 0,67. Przykładem zmennych nateżąhch do trzecego rodzaju nomnant jest relacja zobowązań długookresowych do kaptału własnego, dla której zadowalający pozom wynos 0,5, grance dopuszczalne od 0,40 do 1,00 (stąd x':j = 0,50; x~ = 0,40 x~; = 1,00). Tak węc referencyjny system granczny tworzy wektor:. {xs,. Xl),. xn,. XN'E[XN~. xnj. xn, = XN v xn} (1) OJ' OJ ' OJ ' OJ Oj' Oj,OJ Oj ll' W zależnośc od rodzaju zmennych zasady untaryzacj zerowanej w referencyjnym systeme grancznym są następujące: L Stymulanty 1. jes I z.. =,,'... ".,..,,',-_O' -,-'.-... (2) 'J max {Xj} - mn {Xj}, gdze: Xu - Zjj - wartość j-tej zmennej w -tym obekce, znormalzowana wartość j-tej zmennej w -tym obekce. 2. jes 2 x(; mn fxj} max fxj} - mn {Xj} dla X ~ x S ' - Ij:? Oj (3) ;._-.-_._--_..,_. "".. _~----". max{xj} - mn {x j } j j dla S Xj < Xoj
~. 72 Danuta Slrahl, Marek Walesak II. Oestymulanty l. jed ł max {Xu} - Xj max {Xj} =m~t;;j' (4) max {Xj} - Xj... ". max {Xj} - mn {Xj} ; mn {xj} max {Xj} Xj mn {xj} (5) lu. Nomnanty l. JEN ł Xj - max {Xj} -_o. max{xj} - mn {xj} dla dla X) =X~ (6) mn {xj} - Xj max {xj} - mn {Xy} X max {xj} max {xj} mn {xj} dla x Ij < xn Oj dla XN~ &. X &. xn Oj -..;;;:. Ij -..;;;:. Oj (7) mn {xj} I Xj max {xj} - mn {Xj} dla 2 Xj > X~2
Normalzacja zmennych 1\1 skal przedzalowej lorazowej w referencyjnym systeme fl:ramcl~n 73 Xj - max {Xj} max {XJ mn {Xj} X} - mn {Xj} ; max {Xj} - mn {Xj} Zj = dla Xj = x~ (8) max {xj} xj - dla Xo' < X ::;; X 3 ; N N 2 max{xj} - mn {Xj} ~ Ij Oj mn{x;j}-xj max{x;j} -mn{xj} dla Jeżel ZjE[-1; l]. normalzacja zmennych ma służyć metodom porządkowana obektów, to należy zaproponować marę syntetyczną, która może stanowć kryterum porządkowana. Marę agregatową pozwalającą na kwantyfkację stanu obektu budujemy w opa~ rcu o sumę znormalzowanych wartośc zmennych: (9) Z uwag na własnośc formuł normalzacyjnych (2-8) wartośc mary syntetycznej zawarte są w przedzale [-1; l]. Referencyjny system granczny pozwala wyróżnć obekty wyraźne gorsze, ne spełnające sformułowanych zaleceń, czy też progów mnmalnej satysfakcj oceny. Stąd zdefnujemy teraz progowq wartość mary agntgatowej, która jednocześne określ mnmalny pozom satysfakcj oceny obektu. Można teraz ustalć równeż próg veta dla wartośc mary agregatowej S o postac: l m So = L Zol' (10) mj=1
74 Danuta Strahl. Marek JValesak gdze: o ~J - mn {Xj) max {Xj} mn {xj} o max {xj} - xc! max{xj} - mn {xj} dla jesl dla jed} dla jed 2 (11) 1 dla jen l l dla jen 2 dla jen 3 Możemy przyjąć założene, że obekt Al ( = 1,..., n) otrzyma pozytywną akcepta (przynos mnmum satysfakcj w ocene), jeżel: (12) cję Wprowadzene referencyjnego systemu grancznego ma ogromne znaczene w zastosowanach praktycznych. Wszelke oceny bazujące na marach syntetycznych, jeżel ne wprowadzają progu mnmalnej satysfakcj okazują sę bardzo często zbyt "mękke" w 'Systeme oceny. Wszelke rankng budowane nawet w oparcu o marę agregatową, której wartośc należą do przedzału [O; 1] ne sygnalzują na le zblżene sę do zera jest dopuszczalne. Stąd też należy sądzć, że w welu systemach oceny granczny system referencyjny staje sę nesłychane ważny. 3. PRZYKŁAD Oceną objęto 14 banków w Polsce. Z uwag na lustracyjny charakter przykładu oraz ogranczone możlwośc dostępu do nformacj (wykorzystano ratng Gazety Bankowej nr 26 z dna 25 czerwca 1995 r.) wybrano do oceny następujące mernk: XI - udzał należnośc neregularnych w kredytach, X 2 - X 3 - X 4 X s - X 6 - X 7 - rentowność netto, stopa zwrotu z kaptału, zwrot na aktywach, współczynnk wypłacalnośc, płynność banku, fundusze podstawowe banku.
_._~ ~ ~ _~ ~- _..~~---- "'~ --._~ _ '" 4~ ---_._.-. ~ 8 Bank Depozytowo-Kredytowy SA... _~.,,-,---,-... _,.. --_...-._..._... -"._._~,,--_. 30,4 111,3 44,3..._..._-._-_.- 3,8 --~... 23,7 73,4 158,9 9 Bank Gdalsk SA 27,9 16,1 411,9 4,1 34,1 68,3 1----..:... 228,8 10 Polsk Bank Inwestycyjny SA 0,4 2,0 13,3..--_..,.. 0,4 13,6 -_._ 73,0 -_._- 105,9 II PKO BP 15,9 2,11 19,2 0,7 9,5.-~..._.._.-... ---------- 66,3 668,6 12 PEKAO SA 68,6 2,0 6,7 0,2 14,2 64,0 617,4 ---- '- 13 BISE SA 24,5 3,1 2,1 0,6 85,1 171,0 21,9 -- ~.~.- 1----' 14 ---_. -_.,._._- Invest Bank SA 4,4 1,9 _.._....,,_...-.,----_.. - 10,2 0,7 8,6 126,0 : 21,5 ~~-._---_. -~~_.~~.- Normalzacja zmennych IV skal przedzaloli'f>j j lorazowej l' referencyjnym systeme grancznym 7S Chcąc przyblżyć zakres merytoryczny nektórych mernków trzeba wspomneć, że przez należnośc ne regulowane należy rozmeć wszystke kredyty, w przypadku których kaptał bądź odsetk są spłacone netermnowo (według Gazety Bankowej do oblczena tego wskaźnka brana była wartość tych należnośc wraz z odsetkam). Płynność banku (beżąca) według metodolog NBP jest stosunkem aktywów w okrese zapadalnośc do 3 mesęcy do pasywów o takm samym okrese wymagalnośc. Rentowność netto pozwala ocenć le zysku netto (po opodatkowanu) wypracował bank na każde 100 zł ponesonych kosztów. Z kole stopa zwrotu z kaptału nformuje, jak jest zysk z tytułu zanwestowanego kaptału banku. Zwrot na aktywach (relacja zysku netto do aktywów ogółem) nformuje le zysku wypracowują wszystke aktywa banku. Wartośc perwotne znormalzowane zmennych podano w tab. 1 2. Według przyjętej przez nas klasyfkacj ustalone prog veta są następujące: Lp. XfED2(X~' = 5%) X2ES2(X~2 = O) X3ES2(X~3 = 10%) X4ES 2 (X!l= 1%) XsES2(X~S = 8%) X6EN2(X~~ = 90%; x~ = 120%) Tabela l Wartośc zmennych charakteryzujących wybrane bank... ".,... -_.._-,,-----_..~ Mernk <.. '_7~' Nazwa banku - XI X 2 Xl X 6 X 7 ~:tl:~ Bank Przemysłowo-Handlowy SA 24,2 27,9 72,8 89,0 o...:...._". _.'._.'".. ~..._",".. ~.,.. '......._.._._0.-_- _. --_...:..- f-._- 291,7 2 Bank Śląsk SA 47,3 20,2 97,2 4,6 14,8._---..._._. 69,0 295,7 3 Bank Zachodn SA 33,3 24,1 55,5 4,6. 19,1 90,0 207,1 - --- - - ' -..--...----.-...-.---.-.---.-.--...-...--.- --------..'- - 4 Powszechny Bank Kredytowy SA 29,4 16,7 75,6 3,2 20,6 70,0 195,6 1---_._._._--,-.-------------..-.- --.---------...-...-.---.--- f---' 5 Powszechny Bank Gospodarczy SA 6,8 16,5 73,2 1,8 18,0 70,0 121,1 1--------- 1- ------- -- - ----- -- - - -- --- ---- -._-_. --- 6 Welkopolsk Bank Kredytowy SA 25,1 11,5 77,0 2,5 10,6 102,0 82,4 --- 7 Pomorsk Bank Kredytowy SA 35,2 12,8 41,9 2,8 15,5 64,7 156,0,.,~-~~~... --- Ź ród 1 <>: Gazeta 8ankowa nr 26 z dn. 25 czerwca 1995 t. '-10;0-0>- - 8,0 Prog 5,0,_---=-- 90-120l0~ L.
Znormalzowane wartośc zmt."rmych charakteryzujących wybrane bank Tabela 2 Nazwa banku Mernk Lp. I XI X 2 X J I X 4 X s X 6 X 7 I 1 Bank Przemysłowo-Handlowy SA -0,349 I 0,743 l 0,092-0,766 0,436 2 Bank Śląsk SA -0,688 0,724 l 0,846 0,088-0,953 0,442 I 3 Bank Zachodn SA -0,482 1 0,864 0,562 0,846 0,144 1 0,310 4 Powszechny Bank Kredytowy SA -0,425 0,598 0,773 0,577 0,163 : -0,944 0,293 5 Powszechny Bank Gospodarczy SA -0,094 0,591 0,748 0,308 0,130-0,944 0,181 6 Welkopolsk Bank Kredytowy SA -0,362 0,412 0,788 0,442 0,034 1 0,123 I 7 Pomorsk Bank Kredytowy SA -0,510 0,459 0,419 0,500 0,097-0,993 0,233 c--' 8 Bank Depozytowo-Kredytowy SA -0,440 0,656 0,444 0,692 0,204 1-0,912 0,238! 1 9 Bank Gdańsk SA -0,403 0,577 0,492 0,750 0,334!-0,960 0,342 I 10 Polsk Bank Inwestycyjny SA l 0,072 0,1l8-0,962 0,073-0,916 0,158 I 1l PKO BP -0,227 0,100 0,180-0,904! 0,019 1-0,979 I 12 PEKAO SA -l 0,072-0,952-1 0,080-1 0,923 I 13 I 81SE SA -0,353 0,111 -I -0,923 I -1 I 0,033 14 lnvesl Bank SA 0,941 0,068 0,085-0,904 0,008-0,579 0,032 Prog znormalzowane 0,933 Ż ród l u: óhll'zcila wlasn~. 0,083 l 0,154 1 O! Lp. I. Warlośc mary agregatowej dla poszczególnych banków Nazwa Banku Wartość Lp. mary (9) I. Bank Zachodn SA 0,463 8. 2. 3. Welkopolsk Bank Kredytowy SA Bank Przemysłowo-Handlowy SA Nazwa Banku Bank Depozytowo-Kredytowy SA Tabela 3 Wartość mary (9) 0,126 0,348 9. Pomorsk Bank Kredytowy SA 0,059 0,308 10. lnvest Bank SA -0,050 4. Bank Sląsk SA 0,208 11. Polsk Bank Inwestycyjny SA -0,065 5. Bank Gdańsk SA 0,162 12. PKO BP -0,116 6. 7. Powszechny Bank Kredytowy SA Powszechny Bank Gospodarczy SA Ź t ó d ł o: obil'l'.cli.. wlasne. 0,148 13. BISE SA -0,305 0,131 14. PEKAO SA -0,41I [761
Normalzacja zmennych w skal przedzalolvej lorazowej IV referencyjnym systeme grancznym 77 Prog veta przyjęto za pracam [1] [2], a także w wynku własnych refleksj. Wartość progową dla mary syntetycznej oblczona na podstawe znormalzowanych progów wynos: 0,933 + + 0,083 + 0,154 + + 1 + So =..-... -...--.. -.--.----- = 0,310. 7 Zatem bank dla których S ~ 0,310 uzyskały ocenę pozytywną. Wartość mar agregatowych polczona na podstawe mary (9) dla poszczególnych banków zawera tab. 3. Akadema Ekonomczna we Wrocfawu LITERATURA [I] Bereza S., Zarządzane ryzykem hankowym, Zwązek Banków Polskch, Warszawa 1992. [2} Palterson R., Poradnk kredytowy dla hankowców, TWJGGER, Warszawa 1995. [3) Strahl D., Metody programowana rozwoju spoleczno-gospodarczego, PWE, Warszawa 1990. [4) Strahl D., Walesak M., Normalzacja zmennych w grancznym systeme referencyjnym, Zeszyt nr 3 Sekcj Klasylkacj Analzy Danych PTS pl. "Klasyl1kacja analza danych --- teora zastosowana". Jelena Góra - Wrocław - Kraków 1996. [5] Walesak M., S(1).ly.~lyczlla analza welowymarowa w badanuich marketngowych, Prace Naukowe Akadem Ekonomcznej we Wrocławu 1993 nr 654. Sera, Monograle opracowana nr 101. Praca wplyoęla do Rodakcj w CZ.'fWCU 1996 r. NORMALISATION OF VARIABLES ON A RANGE AND QUOTIENT SCALE IN A REFERENCE BOUNDARY SYSTEM Summar)' Ths paper s an ahempt at a detaled examnalon oj" normalsalon, whch dsc10ses the problem of lhe reference boundary system. The latler s comprehended as a sel or restrclons or recommendatons whch, n lhe operalon of normulsaton, enables lhe denllcalon of dstncuy worse objects that undermne certan eslablshed boundares or recommended vajues of vańables. A specal case or the object-model s the boundary model whch declares so-caued veto thresholds for varable values, or recomrnended values thal mply a mrumum satsfacton level n lhe assessment of objects. Objecl Al ( = I,..., n) wll receve a poslve acceplance (provde a mrumurn of assessment satsfaclon) f: where: SI s an aggregale rneasure permttng lhe quanljcaton of the state of the object, and s a sum or values or nornlajsed varabies; s" the veto threshold ror the value ol" aggregale value.