Problematyczne zadania - PDF Free Download

Politechnika Warszawska Wydziaª Matematyki i Nauk Informacyjnych Problematyczne zadania w Powszechnym Internetowym Konkursie dla Uczniów Szkóª rednich - MATEMATYKA Michaª Zwierzy«ski M.Zwierzynski@mini.pw.edu.pl Sielpia, 21.10.2016r.

Plan prezentacji Plan prezentacji 1 Kilka sªów o Konkursie i Wydziale 2 Czytanie ze zrozumieniem 3 Paradoksalne zadanie 4 Równanie logarytmiczne 5 Granica ci gu 6 Problemy z ekstremami M. Zwierzy«ski (MiNI PW) www.konkurs.mini.pw.edu.pl 21.10.2016 2 / 42

Kilka sªów o Konkursie i Wydziale Gmach Wydziaªu MiNI PW M. Zwierzy«ski (MiNI PW) www.konkurs.mini.pw.edu.pl 21.10.2016 3 / 42

Kilka sªów o Konkursie i Wydziale MiNI Akademia Matematyki Cykl zaj dla uczniów szkóª ponadgimnazjalnych. Do tej pory odbyªo si 46 wykªadów i nast puj cych po nich zaj warsztatowych. Projekt wspóªnansowany przez Urz d Miasta Stoªecznego Warszawy a zaj cia przygotowuj i prowadz pracownicy, doktoranci i studenci Wydziaªu MiNI. M. Zwierzy«ski (MiNI PW) www.konkurs.mini.pw.edu.pl 21.10.2016 4 / 42

Mathgs Kilka sªów o Konkursie i Wydziale O projekcie Ukazywanie matematyki i innych nauk ±cisªych przy u»yciu poklatkowej animacji klocków LEGO. Rozpocz li±my prac w wakacje bie» cego roku i powstaª pierwszy lmik przedstawiaj cy paradoks matematyczny trzech wi ¹niów (pierwowzór paradoksu Monty Halla). Zapraszamy do obejrzenia lmów na youtube (wersja polska oraz angielska). Wystarczy wpisa : Mathgs. M. Zwierzy«ski (MiNI PW) www.konkurs.mini.pw.edu.pl 21.10.2016 5 / 42

Mathgs Kilka sªów o Konkursie i Wydziale M. Zwierzy«ski (MiNI PW) www.konkurs.mini.pw.edu.pl 21.10.2016 6 / 42

Mathgs Kilka sªów o Konkursie i Wydziale M. Zwierzy«ski (MiNI PW) www.konkurs.mini.pw.edu.pl 21.10.2016 7 / 42

Kilka sªów o Konkursie i Wydziale Krótka historia Konkursu Ju» ponad 40 lat... W 1971 roku powstaª prekursow Konkursu Korespondencyjny Kurs Przygotowawczy z Matematyki (organizowany wspólnie z Politechnik Wrocªawsk ). W rekordowych latach w ci gu jednej edycji konsultowano 69 tys. prac. W 1999 roku, wraz z powstaniem wydziaªu MiNI, powstaª Konkurs w obecnej formie. W przeci gu miesi ca zacznie si XVIII edycja Konkursu. Ponad 75% nalistów to uczniowie spoza du»ych miast. Ponad 40% laureatów studiuje, lub studiowaªo, na wydziaªach PW. M. Zwierzy«ski (MiNI PW) www.konkurs.mini.pw.edu.pl 21.10.2016 8 / 42

Kilka sªów o Konkursie i Wydziale Przebieg Konkursu Multikonta. Nauka matematyki. Rozwi zania. Pierwszy (dwie tury) i drugi etap (trzy tury). Zadania wielokrotnego wyboru. Trzeci etap. Zadania otwarte. Nowo±! Póªnaª - zadania z pierwszego i drugiego etapu pod presj czasu. Finaª. 5 zada«o znacznych stopniu trudno±ci pod presj czasu. M. Zwierzy«ski (MiNI PW) www.konkurs.mini.pw.edu.pl 21.10.2016 9 / 42

Kilka sªów o Konkursie i Wydziale Miasta nalistów Konkursu M. Zwierzy«ski (MiNI PW) www.konkurs.mini.pw.edu.pl 21.10.2016 10 / 42

Kilka sªów o Konkursie i Wydziale Co daje Konkurs? Przygotowanie do matury. Laureaci otrzymuj indeksy MiNI. Laureaci wraz z nalistami otrzymuj maksymaln liczb punktów w post powaniu rekrutacyjnym na PW z matematyki. Zwyci zca oraz jego nauczyciel otrzymuj sprz t komputerowy ufundowany przez Rektora PW. Stypendium Rodziny Maciejko oraz Stypendium Fundacji mbanku. Kalkulatory graczne ufundowane przez Zibi CASIO. Nagrody ksi»kowe ufundowane przez Wydawnictwo Naukowe PWN. M. Zwierzy«ski (MiNI PW) www.konkurs.mini.pw.edu.pl 21.10.2016 11 / 42

Czytanie ze zrozumieniem Typ zada«w tym i kolejnym rozdziale Zadania bardzo wyselekcjonowane (znaczna wi kszo± zada«w Konkursie nie jest tak podchwytliwych) Zadania równie» testowane na uczniach, którzy wcze±niej wiedzieli,»e zadania b d bardzo podchwytliwe (i w tym wypadku statystyki s bardzo porównywalne z tymi z Konkursu, gdzie jednak uczniowie nie mieli tej informacji) Jeszcze raz przypominam,»e te zadania s bardzo wyselekcjowane i nie mo»na patrze na caªy Konkurs przez ich pryzmat, to»e ja jestem wredny nie oznacza,»e daj tylko i wyª cznie takiego typu zadania, a s jeszcze inni matematycy pracuj cy przy ukªadaniu zada«:) M. Zwierzy«ski (MiNI PW) www.konkurs.mini.pw.edu.pl 21.10.2016 13 / 42

Zadanie I Czytanie ze zrozumieniem Zadanie Niech q R. Zaznacz zdania prawdziwe. (A) 1 + q + q 2 +... + q n = 1 qn 1 q. (B) 1 + q + q 2 +... + q n = 1 qn+1. 1 q (C) 1 + q 2 + q 4 +... + q 2n = 1 q2n+1 1 q 2. (D) adna z pozostaªych odpowiedzi nie jest prawidªowa. wprowadzne w obecnej edycji Konkursu. Wylosowano 18 razy. Dobre odpowiedzi: 1, zªe: 15. M. Zwierzy«ski (MiNI PW) www.konkurs.mini.pw.edu.pl 21.10.2016 14 / 42

Zadanie II Czytanie ze zrozumieniem Zadanie Rozwa»my równanie ax 2 + bx + c = 0 ze zmienn rzeczywist x oraz parametrami rzeczywistymi a, b, c. Zaznacz zdania prawdziwe. (A) Je»eli a, b, c s liczbami dodatnimi, to równanie mo»e mie dodatni pierwiastek. (B) Je»eli a, b, c s liczbami dodatnimi, to równanie zawsze posiada ujemny pierwiastek. (C) Równanie mo»e posiada jeden pierwiastek rzeczywisty. (D) Równanie ma maksymalnie dwa ró»ne rozwi zania rzeczywiste. wprowadzne w obecnej edycji Konkursu. Wylosowano 20 razy. Dobre odpowiedzi: 2, zªe: 17. M. Zwierzy«ski (MiNI PW) www.konkurs.mini.pw.edu.pl 21.10.2016 15 / 42

Zadanie III Czytanie ze zrozumieniem Zadanie Zaznacz zbiór do którego nale» wszystkie rozwi zania nierówno±ci log 2010 (3x + 1) > log 2010 (2x). (A) (0, ). (B) 0, ). (C) ( 1, ). (D) R. Wylosowano 31 razy. Dobre odpowiedzi: 3, zªe: 25. 6 razy reklamowane. Statystyki dla podobnych bª dów: 11 dobrych na okoªo 100, reklamowane okoªo 30 razy. M. Zwierzy«ski (MiNI PW) www.konkurs.mini.pw.edu.pl 21.10.2016 16 / 42

Zadanie IV Czytanie ze zrozumieniem Zadanie Zbiór wszystkich rozwi za«nierówno±ci log x < x jest taki sam jak zbiór wszystkich rozwi za«nierówno±ci (A) log x 2 < 2x. (B) log x 3 < 3x. (C) x < 10 x. (D) 0 < x. Wylosowano 87 razy. Dobre odpowiedzi: 32, zªe: 48. M. Zwierzy«ski (MiNI PW) www.konkurs.mini.pw.edu.pl 21.10.2016 17 / 42

Zadanie V Czytanie ze zrozumieniem Zadanie Funkcj f(x) = sin 4 x + cos 4 x mo»na w dziedzinie przedstawi w postaci (A) 1 4 (3 + cos 4x). (B) 1 2 (1 + cos2 2x). (C) 1. (D) 1 2 (2 sin2 2x). Wylosowano 142 razy. Dobre odpowiedzi: 67, zªe: 70. W zªych odpowiedziach zazwyczaj zaznaczone jedna poprawna odpowied¹. M. Zwierzy«ski (MiNI PW) www.konkurs.mini.pw.edu.pl 21.10.2016 18 / 42

Dwie córki Paradoksalne zadanie Zadanie Nasz daleki krewniak, o którym nic nie pami tamy, oznajmia nam,»e ma dwoje dzieci i»e jedno z tych dzieci to dziewczynka. Jaka jest szansa na to,»e ten nasz krewniak ma dwie córki? (A) Co najmniej 1 2. (B) Co najwy»ej 1 2. (C) Co najwy»ej 1 3. (D) Co najwy»ej 2 3. Wprowadzone pod koniec poprzedniej edycji Konkursu. Wylosowano 20 razy. Dobra odpowied¹: 3, zªe odpowiedzi: 15. M. Zwierzy«ski (MiNI PW) www.konkurs.mini.pw.edu.pl 21.10.2016 20 / 42

Wyja±nienie Paradoksalne zadanie Zadanie Nasz daleki krewniak, o którym nic nie pami tamy, oznajmia nam,»e ma dwoje dzieci i»e jedno z tych dzieci to dziewczynka. Jaka jest szansa na to,»e ten nasz krewniak ma dwie córki? (A) Co najmniej 1 2. (B) Co najwy»ej 1 2. (C) Co najwy»ej 1 3. (D) Co najwy»ej 2 3. Na pierwszy rzut oka wydaje si,»e prawdopodobie«stwo tego,»e krewniak ma dwie córki wynosi 1, wi c poprawnymi odpowiedziami powinny by (A), (B), (D). 2 Jednak zastanówmy si : Zbiorem zdarze«elementarnych jest zbiór {(C, C), (C, D), (D, C), (D, D)}, gdzie zapis (A, B) - oznacza rodze«stwo, w którym A to starsze dziecko a B mªodsze, C oznacza chªopaka, D dziewczyn. Skoro wiemy,»e krewniak ma córk zbiór ten ogranicza si do {(C, D), (D, C), (D, D)},zbiorem zdarze«elementarnych przychylnych zdarzeniu,»e spotkana siostra na siostr,jest zbiór jednoelementowy {(D, D)},st d szukane prawdopodobie«stwo jest równe: p = 1. (odp. B,C,D) 3 M. Zwierzy«ski (MiNI PW) www.konkurs.mini.pw.edu.pl 21.10.2016 21 / 42

Zªoto Paradoksalne zadanie Zadanie W trzech jednakowych, nierozró»nialnych pudeªkach znajduj si kolejno: dwie sztabki zªota, dwie sztabki srebra, jedna sztabka zªota oraz jedna sztabka srebrna. W sposób losowy dokonujemy wyboru pudeªka oraz jednej sztabki w niej si znajduj cej. Udaªo nam si wylosowa sztabk zªota. Jaka jest szansa na to,»e w wybranym przez nas pudeªku jest jeszcze jedna sztabka zªota? (A) Co najwy»ej 2 3. (B) Dokªadnie 1 3. (C) Co najwy»ej 50%. (D) Co najwy»ej 50%. M. Zwierzy«ski (MiNI PW) www.konkurs.mini.pw.edu.pl 21.10.2016 22 / 42

Paradoksalne zadanie Monety, rozwi zanie - statystyki Wprowadzone pod koniec poprzedniej edycji Konkursu. Wylosowano 22 razy. Dobra odpowied¹: 1, zªe odpowiedzi: 17. M. Zwierzy«ski (MiNI PW) www.konkurs.mini.pw.edu.pl 21.10.2016 23 / 42

Zadanie Równanie logarytmiczne Zadanie Rozwi za równanie: log 5 (2 + x) = log 3 x 1 Zadanie z póª-naªu. 2 Ilo± wylosowa«w poprzedniej edycji: 10. 3 Ilo± przesªanych rozwi za«: 7. 4 Ilo± poprawnych rozwi za«: 0. 5 Ilo± poprawnych rozwi za«na przestrzeni lat: maksymalnie kilka procent wszystkich przesªanych rozwi za«. Poprzez poprawne rozwi zanie rozumiemy równie» zadania ocenione na mniej ni» maksymaln ocen (która jest równa 10), posiadaj ce drobne bª dy (np. rachunkowe). M. Zwierzy«ski (MiNI PW) www.konkurs.mini.pw.edu.pl 21.10.2016 25 / 42

Typowe bª dy Równanie logarytmiczne Zadanie Rozwi za równanie: log 5 (2 + x) = log 3 x 1 Brak wyznaczonej dziedziny, nie sprawdzenie wyniku, czy nale»y do dziedziny. 2 Uczestnicy, np. po podstawieniu x = 9 t (t R) przeksztaªcali do równowa»nego (w dziedzinie) równania 2 + 3 t = 5 t 3 Ka»dy zauwa»aª,»e oczywi±cie t = 1 jest rozwi zaniem. 4 Chc c wytªumaczy,»e znalezione rozwi zanie jest jedyne, zaczynaªy si problemy. M. Zwierzy«ski (MiNI PW) www.konkurs.mini.pw.edu.pl 21.10.2016 26 / 42

Równanie logarytmiczne Wytªumaczenia Zadanie Rozwi za równanie: 2 + 3 t = 5 t. 1 Tªumaczenia w stylu 'co± ro±nie szybciej, wolniej'. 2 Rysowanie fragmentu wykresu i stwierdzenia w stylu 'z wykresu jest to oczywiste'. 3 Jest to równanie 'wykªadnicze', wi c mo»e posiada co najwy»ej jedno rozwi zanie. Kontrprzykªad 4 t = 2 t 1 8 (po podstawieniu 2t = m otrzymujemy m 2 m + 1 8 = 0 i poniewa» > 0 oraz m 1 + m 2 > 0, m 1 m 2 > 0, to mamy dwa dodatnie rozwi zania dla m, st d i mamy dwa rozwi zania dla t). M. Zwierzy«ski (MiNI PW) www.konkurs.mini.pw.edu.pl 21.10.2016 27 / 42