EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁ O 04 ( STR MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 06
Ogólne zasady oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania. Zadanie. (0 ) Wymagania ogólne. Wykorzystanie Zadanie. (0 ) Wymagania szczegółowe. Liczby rzeczywiste. Zdający oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych oraz stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych i rzeczywistych (.g). Poprawna odp. ( p.). Wykorzystanie. Liczby rzeczywiste. Zdający zna definicję logarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym (.h). Zadanie 3. (0 ). Modelowanie matematyczne.. Liczby rzeczywiste. Zdający stosuje pojęcie procentu i punktu procentowego w obliczeniach (.d). Zadanie 4. (0 ). Wykorzystanie. Wyrażenia algebraiczne. Zdający posługuje się wzorami skróconego mnożenia: (a ± b) (.a). Zadanie 5. (0 ). Wykorzystanie i tworzenie informacji.. Wyrażenia algebraiczne. Zdający oblicza wartość liczbową wyrażenia wymiernego dla danej wartości zmiennej (.e). Strona z 0
Zadanie 6. (0 ). Wykorzystanie 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający interpretuje geometrycznie układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi (8.d). Zadanie 7. (0 ) V. Użycie i tworzenie strategii. 7. Planimetria. Zdający korzysta ze związków między kątem środkowym, kątem wpisanym i kątem między styczną a cięciwą okręgu (7.a). Zadanie 8. (0 ). Wykorzystanie 4. Funkcje. Zdający wykorzystuje interpretację współczynników we wzorze funkcji liniowej (4.g). Zadanie 9. (0 ). Wykorzystanie 3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje proste równania wymierne, prowadzące do równań liniowych lub x+ x kwadratowych, np. =, + = x (3.e). x+ 3 x Zadanie 0. (0 ). Wykorzystanie 4. Funkcje. Zdający odczytuje z wykresu funkcji zbiór wartości (4.b). Zadanie. (0 ). Wykorzystanie 4. Funkcje. Zdający wyznacza wartość najmniejszą i wartość największą funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym (4.k). Zadanie. (0 ). Wykorzystanie 4. Funkcje. Zdający oblicza ze wzoru wartość funkcji dla danego argumentu (4.). Strona 3 z 0
Zadanie 3. (0 ) V. Użycie i tworzenie strategii. 7. Planimetria. Zdający znajduje związki miarowe w figurach płaskich, także z zastosowaniem trygonometrii (7.c). Zadanie 4. (0 ). Modelowanie matematyczne. 5. iągi liczbowe. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (5.c). Zadanie 5. (0 ). Wykorzystanie i tworzenie informacji. 5. iągi liczbowe. Zdający bada, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny (5.b). Zadanie 6. (0 ). Wykorzystanie i tworzenie informacji. 7. Planimetria. Zdający wykorzystuje własności figur podobnych w zadaniach (7.b). Zadanie 7. (0 ) V. Użycie i tworzenie strategii. 6. Trygonometria. Zdający, znając wartość jednej z funkcji trygonometrycznych, wyznacza wartości pozostałych funkcji tego samego kąta ostrego (6.d). Zadanie 8. (0 ). Wykorzystanie 7. Planimetria. Zdający znajduje związki miarowe w figurach płaskich (7.c). Zadanie 9. (0 ) V. Użycie i tworzenie strategii. 7. Planimetria. Zdający znajduje związki miarowe w figurach płaskich (7.c). Strona 4 z 0
Zadanie 0. (0 ). Wykorzystanie 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający bada równoległość i prostopadłość prostych na podstawie ich równań kierunkowych (8.c). Zadanie. (0 ). Wykorzystanie 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający wyznacza współrzędne środka odcinka (8.f). Zadanie. (0 ). Wykorzystanie 0. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Zdający wykorzystuje własności prawdopodobieństwa i stosuje twierdzenie znane jako klasyczna definicja prawdopodobieństwa do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń (0.d). Zadanie 3. (0 ). Wykorzystanie i tworzenie informacji. 9. Stereometria. Zdający wyznacza związki miarowe w bryłach obrotowych z zastosowaniem trygonometrii (9.b). Zadanie 4. (0 ). Wykorzystanie i tworzenie informacji. 9. Stereometria. Zdający wyznacza związki miarowe w wielościanach z zastosowaniem trygonometrii (9.b). Zadanie 5. (0 ). Wykorzystanie 0. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Zdający oblicza średnią arytmetyczną, średnią ważoną, medianę i odchylenie standardowe danych; interpretuje te parametry dla danych empirycznych (0.a). Strona 5 z 0
Zadanie 6. (0 ). Wykorzystanie 3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe; zapisuje rozwiązanie w postaci sumy przedziałów (3.a). Przykładowe rozwiązanie Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów. Pierwszy etap rozwiązania: Znajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego x + 5x 3. Obliczamy wyróżnik tego trójmianu: 5 7 5+ 7 Δ= 5 4 ( 3) = 49 i stąd x = = 3 oraz x = =, 4 4 stosujemy wzory Viète a: 3 5 x x = oraz x+ x =, stąd x = 3 oraz x =, podajemy je bezpośrednio, np. zapisując pierwiastki trójmianu lub zaznaczając je na wykresie x = 3, x =. rugi etap rozwiązania: Szkicujemy parabolę, której ramiona skierowane są ku górze i zaznaczamy na osi Ox miejsca zerowe trójmianu. Podajemy zbiór rozwiązań nierówności: (, 3 ), lub x (, 3 ),, lub ( x < 3 lub x > ). Schemat punktowania Zdający otrzymuje... p. gdy: poprawnie obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego x + 5x 3: x = 3, x = i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności popełni błędy przy obliczaniu pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionych błędów rozwiąże nierówność. Zdający otrzymuje... p. gdy: poda zbiór rozwiązań nierówności: (, 3 ) (, ) x, 3, + lub ( x < 3 lub x > ). + lub ( ) ( ) Strona 6 z 0
sporządzi ilustrację graficzną (oś liczbowa, parabola) i zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci: x < 3, x >, poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów. Uwaga: Jeśli pierwiastki trójmianu są wyznaczone przy zastosowaniu błędnej metody, to za całe rozwiązanie zdający otrzymuje 0 punktów. Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki kceptujemy zapis przedziałów nieuwzględniający porządku liczb na osi liczbowej lub błędów w przepisaniu, np.: (, ) ( 3, + ) lub (, ) ( 3, + ), lub (,3) (, ) +. Zadanie 7. (0 ). Wykorzystanie 3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje równania wielomianowe metodą rozkładu na czynniki (3.d). Przykładowe rozwiązania sposób Przedstawiamy lewą stronę równania w postaci iloczynowej, stosując metodę grupowania x x 3 x 3 0 x x 3 x 0 x+ 3 x + = 0. wyrazów ( ) ( ) Ponieważ wyrażenie sposób Stwierdzamy, że liczba 3 + + + = lub ( + ) + ( + ) =, stąd ( )( ) wielomian przez dwumian ( 3) postaci ( x )( x ) x + jest dodatnie, więc 3 x =. jest pierwiastkiem wielomianu x 3 + 3x + x+ 6. zielimy ten x +. Mamy więc równanie x + i otrzymujemy iloraz ( ) + 3 + = 0, a stąd otrzymujemy x = 3. Schemat punktowania Zdający otrzymuje... p. gdy zapisze lewą stronę równania w postaci iloczynowej, np.: ( x+ 3)( x + ) = 0 gdy podzieli wielomian x 3 3x x 6 x + 3, otrzyma iloraz ( x + ) i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. + + + przez dwumian ( ) Zdający otrzymuje... p. gdy wyznaczy rozwiązanie równania: x = 3. Strona 7 z 0
Zadanie 8. (0 ). Wykorzystanie i tworzenie informacji 3. Trygonometria. Zdający stosuje proste związki między funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego (6.c). Przykładowe rozwiązania sposób Przekształcamy wyrażenie ( ) sinα + cosα, stosując wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy i otrzymujemy sin α + sinαcosα + cos α. 3 Korzystając z tożsamości sin α + cos α =, otrzymujemy + sinαcosα =, a stąd sinαcosα =, a zatem sinαcosα =. 4 sposób Rysujemy trójkąt prostokątny, w którym oznaczamy długości przyprostokątnych a i b oraz a b zaznaczamy kąt ostry α taki, że sinα = lub cosα =. c c a c b α Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, wyznaczamy długość przeciwprostokątnej: c = a + b. Ponieważ ( sin cos ) 3 a b 3 a + ab+ b 3 α + α =, więc + =, czyli =. c c c c + ab ab 3 ab Stąd = + =, zatem c c c = 4. a b ab Ponieważ sinα = i cosα =, to c c c = 4. Zatem sinαcosα =. 4 Schemat punktowania Zdający otrzymuje... p. gdy przekształci wyrażenie ( ) sinα + cosα do postaci sin α + sinαcosα + cos α Strona 8 z 0
gdy narysuje trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości a i b, zaznaczy w tym a b a + ab+ b 3 trójkącie kąt α i zapisze sinα =, cosα = oraz = c c c i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje... p. gdy obliczy, że sinαcosα =. 4 Uwaga: Jeżeli zdający błędnie wyznaczy funkcje trygonometryczne do kąta wskazanego na rysunku i z tego korzysta, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów. Zadanie 9. (0 ) V. Rozumowanie i argumentacja. 7. Planimetria. Zdający wykorzystuje własności figur podobnych w zadaniach (7.b). Przykładowe rozwiązania sposób Niech = α. Ponieważ =, więc = α. W ΔE : E =, więc E = α. Trójkąt E jest prostokątny oraz E =, więc E = α. Podobnie trójkąt FG jest prostokątny i FG =, więc FG = α. Ponieważ trójkąty E i FG mają równe kąty, więc na podstawie cechy podobieństwa kkk są podobne. sposób Niech = E = α i = FG = β. Trójkąt E jest podobny do trójkąta (cecha kkk), bo = E = α oraz = E =. Podobnie trójkąt GF jest podobny do trójkąta, (cecha kkk), bo = FG = β oraz = FG =. Stąd trójkąt E jest podobny do trójkąta FG (z przechodniości relacji podobieństwa). Strona 9 z 0
Schemat punktowania Zdający otrzymuje... p. gdy wskaże w dwóch trójkątach spośród trójkątów, E i FG jedną parę równych kątów ostrych i na tym zakończy lub dalej popełni błędy, przy czym kąt przy wierzchołku musi być wskazany dwukrotnie, jako kąt w obu trójkątach i FG, np. zdający zapisze FG = lub stwierdzi, że jest to wspólny kąt trójkątów i FG (analogicznie z kątem przy wierzchołku w trójkątach i E) zapisze, że trójkąt jest podobny do trójkąta FG i do trójkąta E i stąd wywnioskuje, że trójkąt E jest podobny do trójkąta FG, ale nie wskaże żadnej pary równych kątów ostrych w tych trójkątach i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje... p. gdy przeprowadzi pełne rozumowanie. Uwagi:. Jeżeli zdający przyjmie konkretne miary kątów, to otrzymuje 0 punktów.. Jeżeli zdający przyjmie błędne zależności między kątami, to otrzymuje 0 punktów. Zadanie 30. (0 ) V. Rozumowanie i argumentacja.. Wyrażenia algebraiczne. Zdający posługuje się wzorami skróconego mnożenia: (a ± b) (.a). Przykładowe rozwiązanie Rozważmy wyraz an = n + n. Wyraz a n + można zapisać, jako a = n+ ( n + ) + ( n + ) = n + 6n + 4. Wtedy an+ an+ = n + n+ n + 6n+ 4= 4n + 8n + 4. Zatem a ( ) n + an+ = n +. Liczba n + jest naturalna. To kończy dowód. Schemat punktowania Zdający otrzymuje... p. gdy poprawnie zapisze sumę dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu, np: an+ an+ = n + n+ ( n+ ) + ( n+ ) i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. Strona 0 z 0
Zdający otrzymuje... p. gdy przeprowadzi pełne rozumowanie. Uwaga: Jeżeli zdający sprawdzi prawdziwość tezy tylko dla konkretnych wartości n, to otrzymuje 0 punktów. Zadanie 3. (0 ). Modelowanie matematyczne. 5. iągi liczbowe. Zdający stosuje wzory na n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i ciągu geometrycznego (5.c). Przykładowe rozwiązanie Wykorzystujemy wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i zapisujemy 7+ 89 równanie z niewiadomą n: Sn = n= 06. Obliczamy liczbę wyrazów ciągu arytmetycznego n: n = 4. Schemat punktowania Zdający otrzymuje... p. gdy zapisze równanie z niewiadomą n: 7 + 89 n = 06 7+ ( n ) r = 89 układ równań z niewiadomymi n i r: 7 + ( n ) r 06 = n i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje... p. gdy obliczy liczbę wyrazów ciągu arytmetycznego: 4. Strona z 0
Zadanie 3. (0 4) V. Użycie i tworzenie strategii. 7. Planimetria. Zdający znajduje związki miarowe w figurach płaskich (7.c). Przykładowe rozwiązania sposób Niech α oznacza najmniejszy kąt trójkąta. Zatem pozostałe dwa kąty tego trójkąta równe są α + 50 oraz 3α. Suma kątów trójkąta jest równa 80, więc α + 3α + α + 50 = 80, 5α = 30, α = 6. Stąd α + 50 = 76 oraz 3α = 78. sposób Niech α oznacza największy kąt trójkąta. Zatem pozostałe dwa kąty tego trójkąta równe są α 50 3 + α oraz. 3 Suma kątów trójkąta jest równa 80, więc α α + + 50 + α = 80, 3 3 α Stąd 6 3 = sposób α oraz 50 76 3 + =. 5α = 3, α = 78. Niech α oznacza ten kąt trójkąta, który nie jest ani największy, ani najmniejszy. Zatem pozostałe dwa kąty tego trójkąta równe są α 50 oraz 3( α 50 ). Suma kątów trójkąta jest równa 80, więc Stąd 50 = 6 α oraz ( ) ( ) α 50 + α + 3 α 50 = 80, 3 α 50 = 78. 5α = 380, α = 76. Schemat punktowania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... p. Zdający zapisze: kąty trójkąta w zależności od jednego kąta, np.: α α α, α + 50, 3α lub, 50, 3 3 + α, lub α 50, α, 3( α 50 ) Strona z 0
układ dwóch równań, np. układ trzech równań, np. α + α + 50 + β = 80 β = 3 α, α + β + γ = 80 γ = 3α β = α + 50 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... p. Zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, np.: α α α + 3α + α + 50 = 80 lub + + 50 + α = 80, lub α 50 + α + 3( α 50 ) = 80 3 3 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 3 p. Zdający obliczy jeden z kątów trójkąta, np.: α = 6 lub α = 78, lub α = 76 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. Rozwiązanie pełne... 4 p. Zdający obliczy wszystkie kąty trójkąta. Uwagi:. Jeżeli zdający tylko poda kąty ( 6, 76, 78 ), to otrzymuje punkt.. Jeżeli zdający tylko poda kąty i sprawdzi wszystkie warunki zadania, to otrzymuje punkty. Strona 3 z 0
Zadanie 33. (0 5) V. Użycie i tworzenie strategii. 3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje zadania (również umieszczone w kontekście praktycznym), prowadzące do równań i nierówności kwadratowych (3.b). Przykładowe rozwiązanie Przyjmujemy oznaczenia: x początkowa liczba osób planujących wyjazd, gdzie x jest liczbą naturalną dodatnią; y początkowy koszt wynajęcia busa przypadający na jednego uczestnika biwaku, y > 6. Zapisujemy zależność między ostateczną liczbą osób uczestniczących w wyjeździe, a ostatecznym jednostkowym kosztem wynajęcia busa, np.: ( x ) ( y ) x y = 960 Zapisujemy układ równań, np.. ( x+ ) ( y 6) = 960 Z pierwszego równania wyznaczamy 960 y =, x + 6 = 960. 960 x =, y podstawiamy do drugiego równania i rozwiązujemy 960 960 ( x + ) 6= 960. x + ( y 6 ) = 960. y Przekształcamy to równanie do równania Przekształcamy to równanie do równania kwadratowego, np.: x + x 0= 0. kwadratowego, np.: y 6y 7680 = 0. Obliczamy Δ= 4 + 480 =, Obliczamy Δ= 56 + 3070 = 76, x = =, co jest sprzeczne 6 76 y = = 80, co jest sprzeczne z założeniem x > 0, z założeniem y > 6, + x = = 0. 6 + 76 y = = 96. Obliczamy liczbę osób, które wyjechały Obliczamy początkową liczbę osób na biwak x + =. planujących wyjazd x = 960 = 0 oraz 96 obliczamy liczbę osób, które wyjechały na biwak x + =. Odpowiedź: Ostatecznie na biwak wyjechało osób. Strona 4 z 0
Schemat punktowania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania... p. Zapisanie zależności między ostateczną liczbą osób uczestniczących w wyjeździe, a jednostkowym kosztem wynajęcia busa, np.: ( x+ ) ( y 6) = 960, gdzie x oznacza początkową liczbę osób planujących wyjazd, a y jednostkowy początkowy koszt wynajęcia busa. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... p. Zdający zapisze układ równań z niewiadomymi x i y odpowiednio z początkową liczbę osób planujących wyjazd i jednostkowym początkowym kosztem wynajęcia busa: x y = 960 ( x+ ) ( y 6) = 960. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 3 p. Zdający sprowadzi układ równań do równania z jedną niewiadomą, np.: 960 960 ( x + ) 6= 960 lub ( y 6 ) 960 + =, lub x + x 0 = 0, x y lub y 6y 7680 = 0. Uwaga: Zdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną niewiadomą. Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... 4 p. Zdający rozwiąże równanie z niewiadomą x z błędem rachunkowym i konsekwentne obliczy liczbę osób uczestniczących w biwaku rozwiąże równanie z niewiadomą x i nie obliczy liczby osób uczestniczących w biwaku, rozwiąże równanie z niewiadomą y i nie obliczy liczby osób uczestniczących w biwaku, obliczy y z błędem rachunkowym i konsekwentne obliczy liczbę osób uczestniczących w biwaku. Rozwiązanie pełne... 5 p. Zdający obliczy liczbę osób uczestniczących w biwaku:. Uwagi:. Jeżeli zdający tylko poda rozwiązanie, to może otrzymać maksymalnie punkt.. Jeżeli zdający założy, że koszt jest liczbą całkowitą, rozpatrzy rozkłady liczby 960 na iloczyn dwóch czynników, wśród których są rozkłady: Strona 5 z 0
0 96 = 960 80 = 960 i poda poprawną odpowiedź, to może otrzymać maksymalnie punkty. 3. Jeżeli zdający przyjmie x jako liczbę osób, które ostatecznie pojechały na biwak i poda x + = 4, to może otrzymać maksymalnie 4 punkty. Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki +. Jeżeli zdający popełni błąd (np.: x = = lub rachunkowy) w wyznaczaniu pierwiastków równania kwadratowego, przy czym otrzyma przynajmniej jedno rozwiązanie naturalne i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać 5 punktów.. Jeżeli zdający otrzyma poprawne równanie wymierne, a następnie przekształci je z błędem do równania kwadratowego i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać 5 punktów, o ile otrzymane równanie ma przynajmniej jedno rozwiązanie naturalne. Strona 6 z 0
Zadanie 34. (0 4). Modelowanie matematyczne. 0. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Zdający zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych, niewymagających użycia wzorów kombinatorycznych; stosuje zasadę mnożenia, wykorzystuje własności prawdopodobieństwa i stosuje twierdzenie znane jako klasyczna definicja prawdopodobieństwa do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń (0.b,d). Przykładowe rozwiązania sposób Zdarzeniem elementarnym jest uporządkowana para ( x, y ) dwóch różnych liczb ze zbioru { 0,,,...,99 }, który zawiera liczb. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa Ω= 89. Wszystkie zdarzenia elementarne są równo prawdopodobne. Mamy więc do czynienia z modelem klasycznym. Niech oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest 30. Zatem zdarzeniu sprzyjają następujące zdarzenia elementarne: ( 0, 0 ), (,9 ), (,8 ), ( 3,7 ), ( 4,6 ), ( 6,4 ), ( 7,3 ), ( 8, ), ( 9, ), ( 0,0 ). ch liczba jest równa = 0. Prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe 0 P( ) = = = =. Ω 89 9 89 80 Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy dwie różne liczby dwucyfrowe, których suma jest równa 30 jest równe 80. sposób Zdarzeniem elementarnym jest zbiór dwuelementowy { x, y } dwóch różnych liczb ze zbioru { 0,,,...,99 }, który zawiera liczb. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest! 89 Ω= = = = 4005. Wszystkie zdarzenia elementarne są równo 88!! prawdopodobne. Mamy więc do czynienia z modelem klasycznym. Niech oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest 30. Zatem zdarzeniu sprzyjają następujące zdarzenia elementarne: równa ( ) { 0,0 }, {,9 }, {,8 }, { 3,7 }, { } 4,6. ch liczba jest równa = 5. Prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe 5 P( ) = = = =. Ω 45 89 9 89 80 Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy dwie różne liczby dwucyfrowe, których suma jest równa 30 jest równe 80. Strona 7 z 0
sposób Rysujemy drzewo z uwzględnieniem wszystkich gałęzi, które prowadzą do sytuacji sprzyjających zdarzeniu (polegającemu na tym, że suma wylosowanych liczb będzie równa 30). 89 0 0 89 9 89 89 8 3 7 4 89 6 6 89 4 7 3 89 8 89 9 89 0 89 0 Prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe P( ) = 0 = =. 89 9 89 80 Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy dwie różne liczby dwucyfrowe, których suma jest równa 30 jest równe 80. Schemat punktowania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... p. Zdający zapisze, że wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych jest wypisze zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu : 9,, ( 0, 0 ), (,9 ), (,8 ), ( 3,7 ), ( 4,6 ), ( 6,4 ), ( 7,3 ), ( 8, ), ( ) ( 0,0 ) lub { 0, 0 }, {,9 }, {,8 }, { 3,7 }, { 4,6 }, zapisze, że = 0 lub = 5, Strona 8 z 0
narysuje drzewo ilustrujące przebieg doświadczenia (na rysunku muszą wystąpić wszystkie istotne gałęzie) i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... p. Zdający zapisze, że wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych jest oraz wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu : ( 0,0 ), (,9 ), (,8 ), ( 3,7 ), ( 4,6 ), ( 6,4 ), ( 7,3 ), ( 8, ), ( ) ( 0,0 ) lub { 0,0 }, {,9 }, {,8 }, { 3,7 }, { 4,6 } Strona 9 z 0 9,, zapisze, że wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych jest oraz zapisze, że =0 lub = 5, obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: 89 Ω=, lub Ω= lub ( ) 89 Ω=, lub Ω= 4005, narysuje drzewo ze wszystkimi istotnymi gałęziami i zapisze prawdopodobieństwa na wszystkich istotnych odcinkach jednego z etapów lub na jednej z istotnych gałęzi i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 3 p. Zdający obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: Ω= 89 oraz zapisze, że =0 obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: ( ) Ω= lub 89 Ω=, lub Ω= 4005 oraz zapisze, że = 5, obliczy prawdopodobieństwo wzdłuż jednej istotnej gałęzi narysowanego drzewa: 89 i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Rozwiązanie pełne... 4 p. Zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia : P( ) = =. Ω 80 Uwagi:. Jeżeli zdający poprawnie wyznaczy moc zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych, ale przy wyznaczaniu liczby zdarzeń sprzyjających zdarzeniu pominie jedno zdarzenie elementarne lub popełni błąd przy zliczaniu poprawnie wypisanych zdarzeń elementarnych
sprzyjających zdarzeniu i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 3 punkty.. Jeżeli zdający błędnie zapisze, że wszystkich liczb dwucyfrowych jest 89 i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 3 punkty. 3. Jeżeli w rozwiązaniu występuje sprzeczność modeli probabilistycznych, to zdający może otrzymać, co najwyżej punkty. 4. kceptujemy sytuacje, gdy zdający zamiast wypisywania zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu zapisze następujące sumy 0 + 0, + 9, + 8, 3+ 7, 4 + 6, 6 + 4, 7 + 3, 8 +, 9 +, 0 + 0 (lub tylko 0 + 0, + 9, + 8, 3+ 7, 4 + 6 ). 5. Jeżeli zdający zapisze, że wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych jest, ale przy wypisywaniu zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu, zapisuje sumę 5 + 5 i na tym zakończy to otrzymuje punkt. 6. Jeżeli zdający bez żadnych obliczeń poda tylko wynik, np., to otrzymuje za całe 80 rozwiązanie punkt. Strona 0 z 0