Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 4 Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii
Energia i praca T. Lesiak Mechanika klasyczna 2
Praca Praca (W) wykonana przez stałą siłę przy przemieszczeniu ciała wynoszącym Praca wykonana przez zmienną siłę (przypadek 1D) Praca wykonana przez zmienną siłę (przypadek 3D) Przy przemieszczeniu od położenia a do położenia b T. Lesiak Mechanika klasyczna 3
Praca wykonana przez siłę zmienną w czasie WEM02AN2.mpg T. Lesiak Mechanika klasyczna 4
Praca wykonana przez siłę zmienną w czasie Praca siły sprężystości: WEM03VD3.mpg Praca siły grawitacji: WEM03VD2.mpg T. Lesiak Mechanika klasyczna 5
Siły przyłożone do ciała nie zawsze wykonują pracę... T. Lesiak Mechanika klasyczna 6
Moc Jeżeli na układ działa siła zewnętrzna F, która w czasie Δt wykonała pracę W, to średnia moc w tym przedziale czasu wynosi: Moc mierzy tempo, z jakim wykonywana jest praca Moc chwilowa: WEM08AN1.mpg Wat - jednostka mocy (SI) 1 W = 1 wat = 1 Dżul / sekunda= 1 kg. m 2 / s 3 T. Lesiak Mechanika klasyczna 7
Zasady zachowania Zasada zachowania wielkości fizycznej F prawo przyrody stwierdzające, że w dwóch dowolnych chwilach czasu t 1 i t 2 wielkość F ma tę samą wartość dla rozważanego układu odosobnionego Uwagi: Układ odosobniony to zawsze pewna idealizacja zasady zachowania obowiązują z taką dokładnością, na jaką pozwala stopień izolacji danego układu fizycznego Zasady zachowania odgrywają ogromną rolę we wszystkich działach fizyki współczesnej Ich rolą jest przewidywanie, w pewnej mierze, przebiegu procesów fizycznych. Procesy te muszą bowiem zachodzić tak aby nie zmieniały się wartości zachowywanych wielkości fizycznych Wielkość zachowana = całka ruchu funkcja czasu, współrzędnych oraz prędkości PM układu, która podczas ruchu tego układu zachowuje stałą wartość określoną przez warunki początkowe Bardzo głęboki związek niektórych wielkości zachowanych z symetriami układu (Twierdzenie Noether) Niektóre z nich będą teraz omówione: na początek zasada zachowania energii T. Lesiak Mechanika klasyczna 8
Energia kinetyczna Jednym ze skutków wykonywania pracy nad układem jest zmiana jego prędkości. Rozważmy układ składający się z pojedynczego obiektu: Blok o masie m doznaje przemieszczenia pod wpływem działania siły wypadkowej f stan końcowy i stan początkowy Praca wykonana nad blokiem: Drugie prawo Newtona T. Lesiak Mechanika klasyczna 9
Energia kinetyczna Energia kinetyczna cząstki (obiektu, PM) o masie m poruszającego się z szybkością v Jeżeli nad układem została wykonana praca W ext oraz jedynym jej skutkiem jest zmiana szybkości układu, to praca wykonana nad układem jest równa zmianie jego energii kinetycznej Dwie uwagi: 1. Powyższe twierdzenie nie jest prawdziwe, jeśli układ doznaje innych zmian stanu (poza zmianami szybkości) oraz jeśli istnieją jakiekolwiek inne oddziaływania układu z otoczeniem poza wykonywaniem nad nim pracy. 2. Twierdzenie dotyczy szybkości, a nie prędkości układu WEM04VD1.mpg T. Lesiak Mechanika klasyczna 10
Praca a energia kinetyczna Rozważmy jednowymiarowy ruch (wzdłuż osi x) ciała o masie m poddanego działaniu siły F(x) Drugie prawo Newtona: Energia kinetyczna: Pochodna energii kinetycznej: Całkując to wyrażenie: T. Lesiak Mechanika klasyczna 11
Energia potencjalna Energia potencjalna energia zmagazynowana w układzie na skutek jego położenia lub konfiguracji jego składników. Układ ma pewną energię potencjalną posiada on potencjał do przekształcenia jej w inne formy energii np. w energię kinetyczną Zmiana położenia składników układu lub ich obrót może spowodować zmianę konfiguracji układu, a tym samym modyfikację jego energii potencjalnej Energia potencjalna dotyczy zawsze układu co najmniej dwóch obiektów Różne formy energii potencjalnej: grawitacyjna, sprężystości (elastyczna) elektromagnetyczna, chemiczna, jądrowa (szybkie) zmiany energii kinetycznej, potencjalnej grawitacyjnej i potencjalnej sprężystości T. Lesiak Mechanika klasyczna 12
Energia potencjalna Przykład grawitacyjnej energii potencjalnej: Układ (książka) w polu grawitacyjnym Ziemi jest podnoszony b.powoli Przemieszczenie: nad książką została wykonana praca Książka znajduje się w spoczynku przed i po wykonaniu pracy Energia książki w nowym, wyższym położeniu uzyskuje dodatkowy potencjał do przekształcenia się w energię kinetyczną Praca wykonana nad układem (książką) jest równoważna energii przekazanej do układu oraz ilościowo równa zmianie (grawitacyjnej) energii potencjalnej T. Lesiak Mechanika klasyczna 13
Energia potencjalna sprężystości Rozważmy masę i sprężynę o stałej sprężystości k Siła, jaką sprężyna wywiera na masę: Położenie masy m jest liczone względem położenia równowagi sprężyny (x = 0) Energia potencjalna sprężystości wyraża się wzorem: Może być ona uważana za energię zmagazynowaną w sprężynie zdeformowanej w stosunku do położenia równowagi Praca wykonana nad układem przez siłę zewnętrzną F: T. Lesiak Mechanika klasyczna 14
Ilustracja pojęcia energii potencjalnej WEM05VD2.mpg T. Lesiak Mechanika klasyczna 15
Energia potencjalna bardziej formalnie Definicja: jeśli dla sił istnieje jednoznaczna funkcja V, taka że dla i =1,2,,n to siły te nazywa się potencjalnymi, samą zaś funkcję nazywa się potencjałem sił Gradient: operator różniczkowy, który wielkości skalarnej (polu skalarnemu) przypisuje pewne pole wektorowe Ogólna postać funkcji V: Definicja: siły potencjalne nazywa się zachowawczymi, jeśli ich potencjał nie zależy od czasu Definicja: energia potencjalna układu PM w położeniach w polu sił zachowawczych to wartość potencjału Energia potencjalna = niezależny jawnie od czasu potencjał T. Lesiak Mechanika klasyczna 16
Energia potencjalna bardziej formalnie Rozważmy pracę wykonaną przez siłę zachowawczą przy przesunięciu : W = Z f i ~F ~ dr = Z f i ~r V ~ dr = V = V i V f Dla prostszego, jednowymiarowego przesunięcia dx: Z xf x i F x dx = V i V f V f (x) = Z xf x i F x dx + V i (= 0) Znając postać siły można wyliczyć potencjał i na odwrót: Przykład dla energii potencjalnej sprężystości: F x = dv dx V s = 1 2 kx2 F s = dv s dx = d dx ³ 12 kx 2 = kx Prawo Hooke a: odkształcenie ciała pod wpływem przyłożonej do niego siły jest (przynajmniej w pewnym zakresie wartości siły) wprost proporcjonalne do tej siły T. Lesiak Mechanika klasyczna 17
Siły zachowawcze i nie zachowawcze Siły zachowawcze: Praca wykonana przez siłę zachowawczą na PM, polegająca na przesunięciu go między dwoma punktami (a b) nie zależy od drogi, na której nastąpiło przesunięcie Praca siły zachowawczej na drodze zamkniętej wynosi zero Siły nie zachowawcze: Praca wykonana przez siłę nie zachowawczą na PM zależy od drogi, na której nastąpiło przesunięcie Obecność w układzie sił nie zachowawczych niezachowanie (rozpraszanie) energii mechanicznej Przykład: przy obecności siły tarcia praca wykonana nad książką zależy od drogi (jest większa na dłuższej, pomarańczowej drodze). Energia kinetyczna ruchu zamienia się częściowo w ciepło, podnosząc nieco temperaturę książki i otoczenia T. Lesiak Mechanika klasyczna 18
Zasada zachowania energii Def.: całkowita energia (mechaniczna) układu PM = suma energii kinetycznej i potencjalnej Zasada zachowania energii: jeżeli na układ działają wyłącznie siły zachowawcze to jego całkowita energia jest stała w czasie Inne sformułowanie: energia całkowita jest zachowana dla układu izolowanego, czyli nie oddziałującego z otoczeniem (nie wymieniającego z nim energii) oraz takiego, w którym działają wyłącznie siły zachowawcze W szczególnym przypadku, gdy występuje jedynie grawitacyjna energia potencjalna, zachowanie energii mechanicznej oznacza iż: Przykład: książka na stole pod wpływem siły tarcia kinetycznego (o współczynniku f k ), ulega przesunięciu na odległości d. Energia kinetyczna książki ulega zmniejszeniu o Zmiana energii mechanicznej: Przy obecności w układzie sił nie zachowawczych, pewna część energii układu zamienia się w energię wewnętrzną (kosztem energii mechanicznej) T. Lesiak Mechanika klasyczna 19
Zasada zachowania energii ułatwia rozwiązywanie problemów fizycznych Korzystając z zasady zachowania energii można podać ogólne rozwiązanie równania ruchu dla potencjałów zależnych jedynie od położenia (przykład jednowymiarowy) Rozwiązując to równanie względem v Całkując (*) Znajdujemy t=t(x); stąd x = x(t) rozwiązanie ruchu układu T. Lesiak Fizyka ogólna 20
Zasada zachowania energii ułatwia rozwiązywanie problemów fizycznych Bardzo prosty przykład: obliczmy prędkość klocka na dole (na wysokości y 2 ) T. Lesiak Mechanika klasyczna 21
Energia potencjalna a położenie równowagi układu Masa m oscyluje wokół położenia równowagi. Siła sprężystości jest zawsze skierowana ku punktowi x = 0 Położenie równowagi stabilnej układu odpowiada takiej jego konfiguracji, że energia potencjalna osiąga minimum (globalne) dv ( x) dx = 0 d 2 V(x) dx 2 > 0 T. Lesiak Mechanika klasyczna 22
Energia potencjalna a położenie równowagi układu Równowaga niestabilna maksimum potencjału Przedział równowagi obojętnej W jego obrębie PM nie dozna żadnej siły Punkt równowagi stabilnej Punkt równowagi nietrwałej T. Lesiak Mechanika klasyczna 23
Backup T. Lesiak Mechanika klasyczna 24