Mechanika bry³y sztywnej

Mechanika bry³y sztywnej Uzupe³nienie uzupe³nienie mechanika bry³y sztywnej Bry³a sztywna. uch postêpowy i obrotowy 1 W paragrafie 1. dokonaliœmy podzia³u ruchów na postêpowe i obrotowe. Wszystkie punkty cia³a poruszaj¹cego siê ruchem postêpowym zakreœlaj¹ tory o identycznym kszta³cie i jednakowej d³ugoœci. uch postêpowy cia³a mo na wiêc opisywaæ jako ruch punktu materialnego, czyli obiektu o pomijalnie ma³ych rozmiarach i objêtoœci, a masie równej masie cia³a. Do opisu ruchu obrotowego wprowadza siê w fizyce pojêcie bry³y sztywnej cia³a, w którym odleg³oœci miêdzy poszczególnymi jego elementami nie zmieniaj¹ siê, pomimo si³ dzia³aj¹cych na cia³o podczas ruchu. Zarówno punkt materialny, jak i bry³a sztywna to modele, za pomoc¹ których przedstawiamy cia³a rzeczywiste. Na rysunku 1. przedstawiono ruch postêpowy ³odzi podwodnej. Zauwa, e odcinek ³¹cz¹cy dwa dowolnie wybrane punkty (np. P 1 i P ), w dowolnej chwili ruchu, P 1 P 3 P P 1 P 3 P P 3 P ys. 1 1

Uzupe³nienie Mechanika bry³y sztywnej jest równoleg³y do odcinka, który ³¹czy³ te punkty w poprzednich chwilach ruchu, czyli odcinek ten przemieszcza siê równolegle. Podczas ruchu obrotowego bry³y sztywnej wokó³ prostej, zwanej osi¹ obrotu, wszystkie punkty bry³y nie nale ¹ce do osi zakreœlaj¹ okrêgi (lub ³uki okrêgów) w p³aszczyznach prostopad³ych do osi obrotu. (Punkty nale- P 3 P 1 O rys. P ¹ce do osi pozostaj¹ nieruchome.) Na rysunku. zaznaczono tory trzech punktów wirnika, obracaj¹cego siê wokó³ osi obrotu przechodz¹cej przez punkt O i prostopad³ej do p³aszczyzny rysunku. W yciu codziennym mamy czêsto do czynienia z ruchami z³o onymi. Opis takich, czasem doœæ skomplikowanych ruchów u³atwia mo liwoœæ roz³o enia ich na ruch postêpowy i obrotowy, wzglêdem odpowiednio wybranego uk³adu odniesienia. Przyk³adem ruchów z³o onych mo e byæ ruch ko³a jad¹cego pojazdu lub tocz¹cej siê po pod³odze pi³ki. Nasze rozwa ania ograniczymy tylko do obrotów wokó³ ustalonej osi (czyli takiej, która nie zmienia swego po³o enia wzglêdem cia³a, ani orientacji w uk³adzie odniesienia, w którym rozwa amy ruch) i tylko o takich obrotach bêdziemy mówiæ w nastêpnych paragrafach. Z dotychczasowej nauki wiesz, e nied³¹czn¹ cech¹ ruchu jest jego wzglêdnoœæ. Z tego faktu wynika mo liwoœæ sk³adania (b¹dÿ rozk³adania) ruchów poprzez zastosowanie do opisu odpowiednio dobranych uk³adów odniesienia. W przypadku z³o onych ruchów bry³y sztywnej szczególnie u yteczna jest mo liwoœæ rozk³adania ich na sk³adowe, ³atwiejsze do opisu i analizy. Jako przyk³ad rozpatrzmy staczanie siê walca z równi pochy³ej (rys. 3). z' z x' y' x y rys. 3 Jego ruch w uk³adzie odniesienia xyz, zwi¹zanym z równi¹, nie jest ani ruchem postêpowym, ani obrotowym wokó³ sta³ej osi. Mo emy jednak wybraæ uk³ad odniesienia xyz, który przesuwa siê równolegle do równi z prêdkoœci¹ liniow¹ równ¹ prêdkoœci œrodka walca. Uk³ad odniesienia xyz wykonuje ruch postêpowy wzglêdem uk³adu xyz. Natomiast walec wykonuje ruch obrotowy wokó³ ustalonej osi w uk³adzie odniesienia xyz. W tym sensie ruch walca w uk³adzie xyz traktowaæ mo na jako za³o enie ruchu postêpowego i obrotowego wokó³ ustalonej osi.

Mechanika bry³y sztywnej Uzupe³nienie Wielkoœci kinematyczne w ruchu obrotowym Analizuj¹c ruch punktu materialnego po okrêgu wprowadziliœmy pojêcie szybkoœci k¹towej. Zwróæmy uwagê, e w przypadku ruchu obrotowego bry³y sztywnej k¹ty zakreœlone w tym samym czasie przez promienie wodz¹ce ró nych punktów bry³y s¹ takie same, natomiast drogi tzn. d³ugoœci odpowiednich ³uków s¹ ró ne dla punktów znajduj¹cych siê w ró nych odleg³oœciach od osi obrotu (rys. 4). r B r A Po³o enie cia³a obracaj¹cego siê wokó³ sta³ej osi obrotu jest wiêc ca³kowicie okreœlone przez B B' A A' podanie k¹ta zakreœlonego przez promieñ wodz¹cy dowolnego punktu bry³y a wiêc jednego k¹ta wspólnego dla ca³ej bry³y. K¹t ten nazywamy k¹tem obrotu bry³y. K¹t ten wyra amy w mierze ³ukowej (patrz Aneks 1.). rys. 4 Szybkoœci k¹towe ró nych punktów bry³y sztywnej w jej ruchu obrotowym wokó³ sta³ej osi s¹ sobie równe, natomiast szybkoœci liniowe nie. Bêdziemy zatem mówiæ o szybkoœci k¹towej ca³ej bry³y (jednakowej dla wszystkich jej punktów w danej t chwili). Szybkoœæ k¹towa to, jak siê domyœlasz, wartoœæ wielkoœci wektorowej zwanej prêdkoœci¹ k¹tow¹. Œrednia prêdkoœæ k¹towa bry³y sztywnej jest to wektor œr, którego: a) wartoœæ œr równa siê stosunkowi k¹ta zakreœlonego w pewnym czasie t przez obracaj¹ce siê cia³o do tego czasu: t, [ ] radian s 1 s (1) b) kierunek pokrywa siê z kierunkiem osi obrotu, c) zwrot jest zgodny z regu³¹ œruby prawoskrêtnej, która mówi, e: jeœli œrubê ustawimy wzd³u osi, to podczas jej obrotu zgodnego z obrotem bry³y zwrot prêdkoœci w ruchu postêpowym œruby wskazuje zwrot wektora (rys. 5). Wektor chwilowej prêdkoœci k¹towej nazywa siê krótko prêdkoœci¹ k¹tow¹ i oznacza przez. Okres obrotu T cia³a wokó³ nieruchomej osi jest to czas, w którym cia³o obraca siê o k¹t pe³ny ( radianów). Je eli prêdkoœæ k¹towa tego ruchu jest sta³a, to oczywiœcie sta³y jest okres T: T. () Taki ruch nazywamy ruchem obrotowym jednostajnym. rys. 5 œr 3

Uzupe³nienie Mechanika bry³y sztywnej Do opisu niejednostajnych ruchów obrotowych wprowadza siê wektor przyspieszenia k¹towego. przy t 0. (3) t Przyspieszenie k¹towe jest to stosunek przyrostu wektora prêdkoœci k¹towej do czasu t, w którym ten przyrost nast¹pi³. W przypadku ruchu obrotowego niejednostajnego wokó³ sta³ej osi kierunek wektora pozostaje sta³y i w zwi¹zku z tym wektor ma równie sta³y kierunek (te równoleg³y do osi). Zwrot wektora jest zgodny ze zwrotem wektora w przypadku ruchu obrotowego przyspieszonego, a przeciwny w przypadku ruchu obrotowego opóÿnionego. W ruchu obrotowym przyspieszonym wzglêdem ustalonej osi t, [] radian s 1. s Musisz jednak wiedzieæ, e nie zawsze tak jest na ogó³ (gdy oœ obrotu nie jest sta³a tzn. kierunek wektora zmienia siê) przyœpieszenie k¹towe ma inny kierunek ni prêdkoœæ k¹towa. 3 Energia kinetyczna bry³y sztywnej Ca³kowita energia kinetyczna bry³y sztywnej rozumianej jako uk³ad (zbiór) n sztywno ze sob¹ po³¹czonych punktów materialnych równa siê sumie energii kinetycznych tych punktów materialnych: n m i i E k, (4) i1 gdzie m i, i oznaczaj¹ odpowiednio masê i szybkoœæ liniow¹ i-tego punktu materialnego bry³y ( i 1,,... n). W ruchu postêpowym bry³y szybkoœci liniowe wszystkich jej punktów s¹ takie same, zatem w ruchu postêpowym: gdzie m i m i E jest mas¹ ca³ej bry³y. k n m m1, (5) i W ruchu obrotowym wokó³ sta³ej osi wartoœci prêdkoœci liniowych i ró nych punktów bry³y s¹ ró ne ale mo na je ³atwo powi¹zaæ z szybkoœci¹ k¹tow¹ bry³y (wzór (6)): i ri, (6) gdzie r i jest odleg³oœci¹ i-tego punktu od osi obrotu. Po podstawieniu (6) do (4) otrzymujemy: n Ek m1r1. (7) i1 4

Mechanika bry³y sztywnej Uzupe³nienie Suma, która wystêpuje w tym wzorze charakteryzuje bry³ê jest miar¹ bezw³adnoœci cia³a w jego ruchu obrotowym wokó³ sta³ej osi (spe³nia tak¹ rolê w ruchu obrotowym jak masa w ruchu postêpowym). Oznaczamy j¹ liter¹ I i nazywamy momentem bezw³adnoœci bry³y wzglêdem danej osi: n I m r. (8) i Wprowadzaj¹c to oznaczenie otrzymujemy wzór na energiê kinetyczn¹ ruchu obrotowego o postaci analogicznej do znanej dla ruchu postêpowego: i i E k I. (9) Nie jest to jednak pe³na analogia. Zdefiniowany przez nas moment bezw³adnoœci bry³y nie jest wielkoœci¹ tak uniwersaln¹ jak masa zale y on w istotny sposób od tego wokó³ jakiej osi obraca siê bry³a. Je eli w jakimœ uk³adzie odniesienia ruch bry³y mo na traktowaæ jako z³o enie ruchu postêpowego i obrotowego wokó³ istalonej osi, to w tym uk³adzie odniesienia ca³kowita energia kinetyczna bry³y równa siê sumie energii kinetycznych obu rodzajów ruchu. Momenty bezw³adnoœci niektórych bry³ 4 Poni ej podajemy momenty bezw³adnoœci prostych bry³ (jednorodnych) wzglêdem osi przechodz¹cych przez œrodek masy tych bry³ i bêd¹cych ich osiami symetrii (m oznacza zawsze masê cia³a). Momenty bezw³adnoœci wymienione w punktach a) i b) potrafisz obliczyæ samodzielnie, korzystaj¹c z diefinicji (8) pozosta³e podajemy jako u yteczn¹ informacjê. a) Cienka pêtla ko³owa o promieniu r; oœ obrotu prostopad³a do powierzchni pêtli: I mr. (10) b) Cienkoœcienna rura o promieniu r; oœ obrotu wzd³u osi geometrycznej rury: I mr. (11) O c) Prostoliniowy cienki prêt o d³ugoœci l; oœ obrotu prostopad³a do prêta: oœ I m 1 1 l. (1) 1 1 l l 5

Uzupe³nienie Mechanika bry³y sztywnej d) Walec pe³ny o promieniu r, oœ obrotu wzd³u osi geometrycznej walca: oœ I 1 mr. (13) e) Kula pe³na o promieniu r: I mr. (14) 5 O oœ Z definicji momentu bezw³adnoœci bry³y (i definicji œrodka masy) wynika jeszcze jedno bardzo u yteczne twierdzenie (wzór Steinera): moment bezw³adnoœci I cia³a wzglêdem dowolnej osi równa siê sumie momentu bezw³adnoœci I 0 tego cia³a wzglêdem osi równoleg³ej do poprzedniej i przechodz¹cej przez œrodek masy cia³a oraz iloczynu masy m cia³a i kwadratu odleg³oœci d pomiêdzy tymi osiami: I I 0 md. (17) Wynika st¹d, e moment bezw³adnoœci cia³a wzglêdem jakiejœ osi przechodz¹cej przez œrodek masy cia³a jest zawsze mniejszy od momentu bezw³adnoœci tego cia³a wzglêdem dowolnej innej równoleg³ej osi. ZADANIE Korzystaj¹c z twierdzenia Steinera, oblicz: a) moment bezw³adnoœci prêta wzglêdem osi prostopad³ej do prêta i przechodz¹cej przez jego koniec, b) moment bezw³adnoœci walca wzglêdem jego tworz¹cej, c) moment bezw³adnoœci kuli wzglêdem osi stycznej do jej powierzchni. 5 Przyczyny zmian ruchu obrotowego. Moment si³y Jak wiesz, przyczyn¹ zmiany stanu ruchu postêpowego cia³a jest zawsze dzia³anie niezerowej wypadkowej si³y. Zastanówmy siê, czy dzia³anie si³y jest te warunkiem wystarczaj¹cym dla wprawienia bry³y w ruch obrotowy lub, ogólniej, zmiany jej prêdkoœci k¹towej. 6

Mechanika bry³y sztywnej Uzupe³nienie Na rys. 6 przedstawiono drzwi wahad³owe osadzone na zawiasach. Dzia³aj¹ca na nie si³a (np. F 1 ) o kierunku zawartym w p³aszczyÿnie drzwi, nie spowoduje adnego ruchu, bo zostanie zrównowa ona przez si³ê dzia³aj¹c¹ na drzwi ze strony zawiasów. Jeœli jednak zadzia³amy si³¹ o kierunku prostopad³ym do p³aszczyzny drzwi (np. F ), to nast¹pi obrót drzwi wokó³ osi przechodz¹cej przez zawiasy. Zatem dzia³anie si³y na bry³ê jest warunkiem koniecznym, ale nie wystarczaj¹cym dla spowodowania obrotu. oœ z oœ obrotu F F 1 P r O F ys. 6 ys. 7 WyobraŸmy sobie, e bry³a przedstawiona na rys. 7 mo e siê obracaæ wokó³ osi przechodz¹cej przez punkt O. Punkt O jest punktem przeciêcia z osi¹ obrotu p³aszczyzny zawieraj¹cej wektor si³y F i prostopad³ej do osi. Oznaczmy liter¹ P punkt zaczepienia si³y F. Wektor o pocz¹tku w punkcie O i koñcu w punkcie P oznaczmy przez r. Iloczyn wektorowy wektorów r i F nazywamy momentem si³y F wzglêdem osi z i oznaczamy M. Wartoœæ momentu si³y dana jest wzorem: M r F sin, gdzie jest k¹tem miêdzy wektorami r i F. Aby zmieniæ stan ruchu obrotowego bry³y, dzia³aj¹ca na ni¹ si³a musi mieæ niezerowy moment wzglêdem osi obrotu, a wiêc k¹t musi byæ ró ny od zera i od 180. Dla danej wartoœci si³y i danego r moment si³y ma wartoœæ najwiêksz¹, gdy si³a dzia³a prostopadle do wektora r. Wówczas sin sin ( ) 1i M rf. Kierunek wektora momentu si³y jest prostopad³y do p³aszczyzny utworzonej przez wektory r i F, a jego zwrot zgodny z regu³¹ œruby prawoskrêtnej. Moment si³y ma wiêc kierunek osi, wokó³ której obraca siê bry³a, a zwrot zgodny ze zwrotem przyœpieszenia k¹towego (rys. 8). Praca W momentu si³y przy obrocie cia³a o k¹t : W M (18) jest wykonana w pewnym czasie t. Zatem dziel¹c obie strony wzoru (18) przed t mo emy obliczyæ szybkoœæ wykonywania tej pracy, czyli moc œredni¹ P œr : W Pœr M M t t œr (19) 7

Uzupe³nienie Mechanika bry³y sztywnej z M P r O F ys. 8 Moc œrednia w ruchu obrotowym wokó³ sta³ej osi równa siê iloczynowi wartoœci wypadkowego momentu si³ wzglêdem osi i œredniej szybkoœci k¹towej bry³y. 6 Moment pêdu bry³y i prawa dynamiki ruchu obrotowego ozwa my ruch obrotowy jednostajnie przyspieszony pewnej bry³y i obliczmy przyrost E k jej energii kinetycznej w czasie t, w którym wartoœæ prêdkoœci k¹towej bry³y roœnie od wartoœci 1 do : I I I E 1 k ( 1)( 1) (0) Poniewa ruch jest jednostajnie przyspieszony, wiêc œrednia szybkoœæ k¹towa. œr 1 E k I( 1 ) œr. (1) Z drugiej strony, zmiana energii kinetycznej bry³y równa siê pracy wykonanej przez wypadkowy moment si³: Ek M œrt, () sk¹d: Mt I I. (3) 1 Widzimy, e iloczyn wartoœci momentu si³y i czasu jego dzia³ania równa siê zmianie wielkoœci fizycznej LI. Ta wielkoœæ charakteryzuje bry³ê w ruchu obrotowym i nazywa siê wartoœci¹ momentu pêdu bry³y. Moment pêdu L bry³y ma taki sam kierunek i zwrot jak wektor prêdkoœci k¹towej: LI. (4) Dziel¹c obie strony równoœci (31) przez t otrzymujemy (w zapisie wektorowym): L M t, (5) gdzie L jest przyrostem wektora momentu pêdu. 8

Mechanika bry³y sztywnej Uzupe³nienie Uzyskane prawo zawiera bardzo istotn¹ informacjê. Wynika z niego, e wypadkowy moment si³ dzia³aj¹cych na bry³ê sztywn¹ jest równy szybkoœci zmian momentu pêdu tej bry³y. Jeœli wiêc wypadkowy moment si³ jest równy zeru, to moment pêdu bry³y nie ulega zmianie. Wniosek ten nazywamy prawem zachowania momentu pêdu. Dla uk³adu obracaj¹cych siê cia³ zmiana momentu pêdu mo e oczywiœcie nast¹piæ tylko w wyniku dzia³ania si³ (o niezerowych momentach wzglêdem osi obrotu) pochodz¹cych spoza tego uk³adu. Wzór (5) jest zupe³nie ogólny tzn. s³uszny bez zastrze enia o sta³oœci osi obrotu, jednak jego powszechnie u ywane przekszta³cenie (nazywane II zasad¹ dynamiki ruchu obrotowego) ju nie: M I, t MI. (6) Zapamiêtaj, e powy szy zwi¹zek jest s³uszny tylko w przypadku, gdy oœ obrotu pokrywa siê z osi¹ symetrii bry³y jednorodnej. PZYK AD 1 Na kr¹ ku o masie M i promieniu (rys. 9) zawieszono na nierozci¹gliwej, cienkiej, niewa kiej lince dwa obci¹ niki o masach m 1 i m ( m m1) i puszczono je. Wspó³czynnik tarcia M statycznego linki o kr¹ ek jest tak du y, e linka nie œlizga siê po kr¹ ku, lecz powoduje jego obrót. a) Obliczymy wartoœæ przyspieszenia uk³adu tych obci¹ ników, nie uwzglêdniaj¹c bezw³adnoœci kr¹ ka. Wypadkowa si³ zewnêtrznych F 1 i F powoduje ruch postêpowy uk³adu cia³, m 1 m nadaj¹c mu przyspieszenie m 1 g Fwyp a. m g m1 m ys. 9 Fwyp mg m1g ( m m1 ) g, wiêc a m m1 m m g. 1 b) Uwzglêdnimy teraz bezw³adnoœæ kr¹ ka. Zastosujemy drug¹ zasadê dynamiki dla ruchu postêpowego obci¹ ników i dla ruchu obrotowego kr¹ ka. Otrzymamy w ten sposób uk³ad trzech równañ. 9

Uzupe³nienie Mechanika bry³y sztywnej Zwróæ uwagê, e kr¹ ek obraca siê zgodnie ze wskazówkami zegara ruchem obrotowym przyspieszonym na skutek tego, e si³y napiêcia linki po obu stronach maj¹ ró ne wartoœci, zatem wypadkowy moment si³ dzia³aj¹cych na kr¹ ek jest ró ny od zera. Wyznacz zwroty momentów tych si³ i sprawdÿ, e moment si³y N jest zwrócony pod rysunek, a moment si³y N 1 do nas. Obieramy zwi¹zany z laboratorium uk³ad wspó³rzêdnych xy o pocz¹tku w œrodku kr¹ ka i o osiach zwróconych tak, jak pokazuje rysunek 10 (oœ y jest prostopad³a do p³aszczyzny rysunku i zwrócona pod rysunek). Oto równania ruchu: dla obci¹ nika o masie m 1 : N1 m1g m1 a, dla obci¹ nika o masie m : N mg m a, dla kr¹ ka o masie M i promieniu : N N 1 J. M N 1 N' 1 N' 1 = N 1 N' = N x y N N' m 1 m m 1 g ys. 10 m g Jednak N1 N, N N i a 1, bo a jest wartoœci¹ przyspieszenia stycznego punktu na obwodzie kr¹ ka. Zatem N1 m1g m1a, N mg ma, ( N N ) J a 1. Obliczaj¹c z dwóch pierwszych równañ N 1 i N i podstawiaj¹c te wyra enia do trzeciego, otrzymujemy wartoœæ przyspieszenia uk³adu a ( m m1) g J m1 m lub, wstawiaj¹c J M, a ( m m1) g. M m1 m Otrzymane wyra enie wskazuje, e gdy M m 1 m wynik jest taki sam, jak poprzednio. 10

Mechanika bry³y sztywnej Uzupe³nienie O analogiach miêdzy ruchem postêpowym i obrotowym 7 Mo na powiedzieæ, e analogie miêdzy wielkoœciami i ich wzajemnymi zwi¹zkami w opisie ruchu postêpowego i obrotowego s¹ bardzo ³atwe do zauwa enia. Poni ej podano w tabeli zestawienie wybranych analogonów. Zestawienie to mo e byæ u yteczne dla zapamiêtania np. postaci praw. Jednak z wszelkimi wnioskami czy ogólnieniami trzeba tu byæ nader ostro nym! ozumowanie przez analogiê mo e byæ zawodne! uch postêpowy uch obrotowy droga s prêdkoœæ liniowa masa m pêd p si³a F uogólniona postaæ II zasady dynamiki F p t droga k¹ta prêdkoœæ k¹towa moment bezw³adnoœci I moment pêdu L moment si³y M L M t energia kinetyczna m I moc P F œr P M œr Z³o enie ruchu postêpowego i obrotowego toczenie 8 Wspominaliœmy ju, e toczenie siê kuli, walca albo obrêczy mo emy rozpatrywaæ jako z³o enie ruchu postêpowego wzglêdem pod³o a i obrotowego wokó³ osi symetrii. Bêdziemy rozwa aæ toczenie siê bez poœlizgu. W takim przypadku punkt bry³y, stykaj¹cej siê w danej chwili z pod³o em ma w tej chwili prêdkoœæ wzglêdem pod³o a równ¹ zeru. Co wynika z tego faktu? Ka dy punkt bry³y w ruchu z³o onym ma prêdkoœæ równ¹ sumie dwóch prêdkoœci ruchu postêpowego i obrotowego (tylko punkty le ¹ce na osi nie poruszaj¹ siê po okrêgu). Skoro wypadkowa prêdkoœæ punktu A (rys. 11) jest równa zeru, oznacza to, e prêdkoœæ liniowa tego punktu (i wszystkich le ¹cych w odleg³oœci od osi obrotu) O post = obr A ys. 11 post 11

Uzupe³nienie Mechanika bry³y sztywnej w ruchu obrotowym ma tak¹ sam¹ wartoœæ, jak prêdkoœæ w ruchu postêpowym bry³y, czyli jak prêdkoœæ, z któr¹ przesuwa siê jej oœ: obr, ale obr, zatem. Taki jest zwi¹zek miêdzy szybkoœci¹ przesuwania siê bry³y a szybkoœci¹ k¹tow¹ jej obrotu. (Zastanów siê, która wielkoœæ by³aby wiêksza:, czy, gdyby bry³a toczy³a siê z poœlizgiem). D C O B A ys. 1 0,5 1,5 Jak¹ prêdkoœæ wypadkow¹ maj¹ inne punkty bry³y, np. te, które le ¹ na pionowej œrednicy, zaznaczonej na rysunku 1? Na przyk³ad punkt C ma prêdkoœæ wypadkow¹ z³o on¹ z dwóch prêdkoœci o zgodnych zwrotach i wartoœciach równych: w ruchu postêpowym i w ruchu obrotowym obr C, zatem C 15,. Zwróæ uwagê, e prêdkoœæ obr B jest zwrócona w lewo, ma wartoœæ równ¹, wiêc prêdkoœæ wypadkowa punktu B jest zwrócona w prawo i ma wartoœæ 05,. Wyjaœnij, dlaczego wypadkowa prêdkoœæ punktu D wynosi. Bry³a w danej chwili zachowuje siê tak, jakby wykonywa³a tylko obrót wzglêdem tzw. chwilowej osi obrotu A, równoleg³ej do osi O (rys. 13). uch tocz¹cej siê bez poœlizgu bry³y jest równowa ny takiemu obrotowi. A ys. 13 PZYK AD Z równi pochy³ej o wysokoœci h stacza siê bez poœlizgu walec o masie m i promieniu poprzecznego przekroju. Obliczmy wartoœæ prêdkoœci ruchu postêpowego walca u podstawy równi (rys. 14) Zadanie rozwi¹ emy dwoma sposobami. Sposób I Potraktujmy ruch staczaj¹cego siê walca jako z³o enie dwóch ruchów: obrotowego wzglêdem osi symetrii i postêpowego z prêdkoœci¹ równ¹ prêdkoœci œrodka masy. 1

Mechanika bry³y sztywnej Uzupe³nienie h ys. 14 Stosujemy drug¹ zasadê dynamiki dla obu ruchów i na jej podstawie piszemy równania ruchu. Z równi¹ wi¹ emy uk³ad xy (oœ y zwrócona jest pod rysunek). przyœpieszenie k¹towe w tym uk³adzie nadaje walcowi moment si³y tarcia, bo momenty pozosta³ych si³ (mg i F s ) lub te F zsuw, która je zastêpuje, s¹ równe zeru linie dzia³ania tych si³ przecinaj¹ oœ obrotu (rys. 15). Moment si³y tarcia ma wartoœæ T, bo T i jest zwrócony tak jak oœ y (sprawdÿ to!). T J 0. (7) F s y T O F zsuw h mg ys. 15 x uch postêpowy walca odbywa siê wzd³u osi x. Wypadkowa si³ dzia³aj¹cych na walec ma na tej osi wspó³rzêdne: mgsin T. mgsin T ma, (8) gdzie a jest wspó³rzêdn¹ przyœpieszenia ruchu postêpowego walca. Za³o yliœmy, e ruch odbywa siê bez poœlizgu, wiêc a. Z uk³adu równañ (7) i (8), o dwóch niewiadomych a i T: T J a 0, mgsin T ma po przeprowadzeniu obliczeñ otrzymujemy wyniki: 13

Uzupe³nienie Mechanika bry³y sztywnej mgsin mgj a, T J0 m m 0 sin. (9) J Zauwa, e wyniki te s¹ doœæ ogólne, stosuj¹ siê dla dowolnej bry³y obrotowej, która mo e siê staczaæ. Po wstawieniu momentu m bezw³adnoœci walca J0, otrzymujemy 0 a g 3 sin, T 1 mgsin. 3 Przyjrzyj siê tym wynikom i wyci¹gnij samodzielnie wnioski. S¹ one bardzo pouczaj¹ce, w szczególnoœci te, które dotycz¹ wartoœci si³y tarcia. uch postêpowy bry³y odbywa siê z przyœpieszeniem o wartoœci a, at zatem s, gdzie t h, zatem as; s, wiêc ostatecznie szybkoœæ koñcowa œrodka dowolnej bry³y obrotowej a sin wyniesie mg h, a walca 4 J0 3 gh. m Sposób II Potraktujmy teraz ruch staczaj¹cego siê bez poœlizgu walca jako ruch obrotowy wokó³ chwilowej osi obrotu A (rys. 16). Teraz do obliczenia wartoœci przyœpieszenia bry³y wystarczy jedno równanie. ó ny od zera moment si³y wzglêdem punktu A ma tylko F s y T h A mg ys. 16 x si³a ciê koœci. Moment tej si³y nadaje bryle w tym ruchu przyœpieszenie k¹towe. Oœ y jak poprzednio jest prostopad³a do rysunku i zwrócona pod rysunek. SprawdŸ, e moment si³y mg jest zwrócony zgodnie z t¹ osi¹. Jego wartoœæ wynosi mgsin mgsin( 180 ) mgsin. 14

Mechanika bry³y sztywnej Uzupe³nienie Druga zasada dynamiki przyjmuje wiêc postaæ: mgsin J, gdzie a, bo ruch odbywa siê bez poœlizgu. W tym przypadku moment bezw³adnoœci bry³y J musimy obliczyæ z twierdzenia Steinera: J J 0 m. mg J m a sin ( 0 ). Obliczona z tego wzoru wartoœæ przyœpieszenia bry³y wynosi: a mg sin, (30) J0 m i jest oczywiœcie taka sama, jak w sposobie I. Szybkoœæ koñcow¹ obliczamy tak, jak poprzednio. Traktuj¹c ruch bry³y jako czysty ruch obrotowy, nie obliczymy wartoœci si³y tarcia, si³a ta bowiem nie wystêpuje w równaniu ruchu jest zaczepiona na osi obrotu. Do wzoru (30) wstaw odpowiednie momenty bezw³adnoœci dla kuli i obrêczy i oblicz wartoœæ przyœpieszenia, z jakim staczaj¹ siê te bry³y z równi. Sposób III Szybkoœæ koñcow¹ walca mo emy tak e obliczyæ, korzystaj¹c z zasady zachowania energii mechanicznej. Walec rozpoczynaj¹cy ruch na szczycie równi ma (wzglêdem podstawy równi) energiê potencjaln¹ ciê koœci E p mgh. Podczas ruchu nastêpuje przemiana tej energii w energiê kinetyczn¹ ruchu postêpowego i obrotowego: E E E p k, postêpowego k, obrotowego, mg h m J0. ( szybkoœæ ruchu postêpowego, a szybkoœæ ruchu obrotowego u podstawy równi) Poniewa w ruchu bez poœlizgu w ka dej chwili, to: mg h m J J 0 0 m, sk¹d: Po wstawieniu J 0 1 m otrzymamy: mg h. J0 m 4 3 gh. 15

Uzupe³nienie Mechanika bry³y sztywnej Zwróæ uwagê, e przeprowadzone rozumowania i uzyskany wynik w postaci: mg h J0 m bêd¹ takie same dla ka dej bry³y obrotowej o promieniu. Wstawiaj¹c do tego wzoru odpowiednie momenty bezw³adnoœci J 0, otrzymamy szybkoœci koñcowe kuli walca i obrêczy. Znaj¹c szybkoœæ koñcow¹ i k¹t nachylenia równi, mo na obliczyæ wartoœci przyœpieszeñ, z którymi staczaj¹ siê te bry³y bez poœlizgu. ZADANIA 1. Wyjaœnij, dlaczego jajko ugotowane na twardo mo na odró niæ od surowego, wprawiaj¹c je w ruch obrotowy na stole.. Oblicz moment bezw³adnoœci kwadratowej ramki o boku a, wykonanej z cienkiego drutu o masie m, obracaj¹cej siê: a) wokó³ osi przechodz¹cej przez œrodki przeciwleg³ych boków, b) wokó³ jednego z boków. 3. Na jednorodny kr¹ ek o masie M 05kgi, promieniu 005, m nawiniêto cienk¹, nierozci¹gliw¹ i niewa k¹ linkê, która nie œlizga siê po kr¹ ku (rys. 17). Kr¹ ek mo e obracaæ siê bez oporów wokó³ osi przechodz¹cej przez jego œrodek prostopadle do powierzchni M (rys. obok). Na koñcu linki zawieszono obci¹ nik o masie m 05, kg i puszczono. Przyjmuj¹c g 10 m s, oblicz: m a) wartoœæ si³y napinaj¹cej linkê, b) wartoœæ przyœpieszenia k¹towego kr¹ ka, ys. 17 c) wartoœæ sk³adowej stycznej przyœpieszenia liniowego punktów na obwodzie kr¹ ka, d) szybkoœæ k¹tow¹ kr¹ ka i szybkoœæ liniow¹ punktów na jego obwodzie uzyskan¹ po up³ywie czasu t sod rozpoczêcia ruchu. 4. Oblicz stosunek energii kinetycznej ruchu obrotowego do: a) ca³kowitej energii kinetycznej, b) energii kinetycznej ruchu postêpowego, dla walca, kuli i cienkoœciennej obrêczy, tocz¹cych siê z prêdkoœci¹ v bez poœlizgu po poziomej powierzchni. Czy wyniki zmieni¹ siê, gdy ruch bêdzie odbywa³ siê wzd³u równi pochy³ej? Uzasadnij odpowiedÿ. 16