Geometria Wykreślna Wykład 3

Geometria Wykreślna Wykład 3

OBRÓT PUNKTU Z obrotem punktu A związane są następujące elementy obrotu: - oś obrotu - prosta l, - płaszczyzna obrotu - płaszczyzna, - środek obrotu - punkt S, - promień obrotu - odcinek AS o długości r, - skierowany kąt obrotu kąt ASA 1 l k S r w A A 1 Obrotem punktu A dookoła prostej l nazywa się przejście punktu A do nowego położenia A 1 po łuku okręgu k, który leży w płaszczyźnie prostopadłej do l.

Obrót punktu A wokół prostej pionowej l odbywa się w płaszczyźnie poziomej εl (rys.a). Ślad pionowy tej płaszczyzny przechodzi przez rzut pionowy A". Na płaszczyźnie rysunku rzut poziomy A' punktu A jest obracany do położenia A 1 ', natomiast rzut pionowy A" przesuwany równolegle do osi po śladzie pionowym płaszczyzny ε do położenia A 1 " (wysokość punktu A nie ulega zmianie). Analogicznie wykonuje się obrót punktu A wokół prostej celowej l tyle, że obrót odbywa się odbywa się w płaszczyźnie czołowej εl (rys.b). l" a) A" k" S" A" 1 v = b) " A" k" l"=s" A" 1 k' l' A' 1 A' r' r' 1 A' k' S' A' 1 h = ' l'=s' 3

OBRÓT PROSTEJ Obrotem prostej m, płaszczyzny α lub figury Γ dookoła osi obrotu l o skierowany kąt obrotu ω nazywa się obrót, dookoła tej osi, tylu punktów prostej m, płaszczyzny α lub figury Γ, aby ich nowe położenia jednoznacznie określały tę prostą, płaszczyznę lub figurę (m 1, α 1, Γ 1 ). Obroty wykonuje się w celu wyznaczenia rzeczywistych wielkości elementów konstrukcji (długości, kąty między prostymi). 4

Obrót może być realizowany w płaszczyźnie poziomej (ε π 1 )(rys.a). Wówczas rzut poziomy A' przechodzi do położenia A 1 ' (obrót) natomiast rzut pionowy A" do położenia A 1 " (przesunięcie) bez zmiany wysokości. Rzeczywistą długość odcinka AB określa odcinek A 1 ''B''. Kąt α jest natomiast kątem nachylenia odcinka AB do rzutni π 1. W przypadku gdy poszukujemy rzeczywistej długości odcinka AB oraz kąta nachylenia do rzutni π 2 obrotu należy dokonać w płaszczyźnie czołowej (ε π 2 )(rys.b). Przykład Dane są rzuty odcinka AB. Wyznaczyć rzeczywistą długość odcinka oraz kąt nachylenia do rzutni π 1 i π 2 a) b) 5

Przykład Dana jest prosta m. Na prostej m odłożyć odcinek AB o określonej długości d. h = ' C" C' B' B" A"=l" m" B' 1 m' 1 A' m' l' m" 1 d C" 1 C' 1 Aby odmierzyć na prostej ściśle określoną długość trzeba tę prostą sprowadzić do płaszczyzny czołowej bądź poziomej. Na początek obiera się na prostej m dowolny punkt A. Następnie ustala się w jakiej płaszczyźnie ma być wykonany obrót oraz wybiera odpowiednią oś obrotu l. Przykładowo, niech osią obrotu będzie prosta celowa, co oznacza, że obrót wykonany zostanie w płaszczyźnie czołowej. Wybieramy dowolny punkt na prostej m (pkta) i wprowadzamy przez ten punkt prostą obrotu l. Potrzeba jeszcze jednego punktu, którego położenie po obrocie pozwoli określić końcowe położenie prostej. Niech będzie to punkt C. Dokonuje się więc obrotu punktu C" do położenia C 1 " z równoczesnym przesunięciem punktu C' w płaszczyźnie czołowej do położenia C 1 '. Rzuty C 1 ' i A' określają nowe położenie (m 1 ') rzutu poziomego prostej m. Na rzucie tym można teraz odmierzyć zadaną długość d. Wprowadza się więc punkt B 1 ' w odległości d od punktu A'. Następnie przenosi się go, w sposób podany na rys., na rzuty prostej m w położeniu początkowym. 6

OBRÓT PŁASZCZYZNY Aby określić rzeczywistą wielkość elementów tworzących płaszczyznę (zarówno odcinków, jak i kątów zawartych między nimi) należy tak obrócić płaszczyznę, aby znalazła się w położeniu równoległym do rzutni π 2 czy też π 1. Przykład Wykorzystując obrót wyznaczyć rzeczywistą wielkość trójkąta ABC. A" A' M" M' B" B' p' p" A" 1 A' 1 l" C"=M" 1 C'=l' p' 1 M' 1 B' 1 B"=k" 1 k' C" 2 A" 2 C' 2 A' 2 W płaszczyźnie trójkąta ABC obiera się prostą poziomą p, tzn. wykreśla się równolegle do rzut pionowy p". Prosta p" przecina się z bokiem A''B'' w punkcie M". Rzut poziomy M' leży na odnoszącej. Punkty C' i M' wyznaczają rzut poziomy p' prostej p. Następnie obraca się trójkąt wokół osi l tak aby prosta p stała się prostą celową (prostopadła do rzutni π 2 ). Po obrocie rzut pionowy trójkąta jest odcinkiem. Aby wyznaczyć rzeczywistą wielkość trójkąta należy go sprowadzić, w naszym przypadku, do płaszczyzny poziomej. W tym celu dokonuje się obrotu wokół prostej celowej k. Po obrocie rzut pionowy trójkąta jest odcinkiem leżącym na prostej równoległej do. Oznacza to, że w rzucie poziomym otrzymuje się rzeczywistą wielkość trójkąta (boki i kąty bez skróceń). 7

KŁADY Kładem płaszczyzny α na rzutnię π nazywa się jej obrót dookoła osi będącej prostą wspólną płaszczyzny i rzutni l=α π o taki skierowany kąt obrotu (zawarty między tymi płaszczyznami), aby w nowym położeniu płaszczyzna α o zjednoczyła się z rzutnią π. Praktyczne znaczenie ma kład wykonywany na jedną z rzutni (π 1, π 2 ) lub na płaszczyznę równoległą do rzutni. Konstrukcję kładu płaszczyzny α stosuje się do wyznaczenia wzajemnych położeń elementów należących do płaszczyzny α (wzajemne odległości, kąty), albo do wyznaczenia wielkości figur leżących na tej płaszczyźnie. A l C o p B n m C m o B o n o o po Podniesieniem z kładu płaszczyzny α o zjednoczonej z rzutnią π nazywa się jej obrót dookoła osi będącej prostą wspólną płaszczyzny i rzutni l=α π o taki skierowany kąt obrotu zawarty między tymi płaszczyznami aby w nowym położeniu płaszczyzna α o zjednoczyła się z dana płaszczyzną α. A o 8

KŁAD I PODNIESIENIE Z KŁADU PŁASZCZYZNY RZUTUJĄCEJ Jeżeli płaszczyzna α jest prostopadła do rzutni (rzutująca) to jej kład, jak również kłady wszystkich elementów leżących na α, oznacza się indeksem w przeciwnym przypadku indeksem o. Osią obrotu jest ślad poziomy płaszczyzny α. Rzut poziomy nie zmienia swego położenia natomiast kład punktu A znajduje się na kładzie prostej rzutującej, czyli na prostej prostopadłej do śladu poziomego, w odległości równej wysokości punktu A. 9

Analogicznie wykonuje się kład płaszczyzny pionowo-rzutującej na rzutnię π 2. W tym przypadku osią obrotu podczas wykonywania kładu jest ślad pionowy płaszczyzny α. 10

Przykład Dane są rzuty trójkąta ABC leżącego na płaszczyźnie poziomo rzutującej α. Wyznaczyć wielkość trójkąta ABC. 11

Konstrukcję kładu płaszczyzny rzutującej można wykorzystać do określenia kąta nachylenia dowolnej płaszczyzny określonej śladami do dowolnej rzutni. Przykład Wyznaczyć kąt nachylenia danej płaszczyzny α do rzutni π 1. Aby wyznaczyć kąt nachylenia płaszczyzny α do rzutni π 1 należy wprowadzić płaszczyznę poziomo-rzutującą tak, aby ślady poziome obydwu płaszczyzn były do siebie prostopadłe. Rozwiązaniem zadania jest kąt zawarty między krawędzią wspólną obu płaszczyzn k a rzutnią π 1. Rzeczywistą wartość tego kata można określić dopiero po dokonaniu kładu krawędzi k na rzutnię π 1. 12

KŁAD PUNKTU PŁASZCZYZNY NIERZUTUJĄCEJ Kładem punktu A na rzutnię π nazywamy obrót punktu A dookoła osi obrotu l leżącej na rzutni π o taki skierowany kąt obrotu, aby po obrocie punkt A w nowym położeniu A o znalazł się na rzutni π. 1 A o h l=h S A r A' r A" A A v X v 2 13

W celu dokonania kładu punktu A na rzutnię π należy obrócić go dookoła zadanej osi obrotu l leżącej na rzutni. Osią obrotu jest najczęściej ślad płaszczyzny (v lub h ) przechodzącej prze ten punkt A. Obrót punktu A wykonuje się w przestrzeni na płaszczyźnie (l, π) obracając go dookoła osi l (np śladu płaszczyzny) tak aby znalazł się na rzutni π (punkt A o ). W praktyce konstrukcję kładu należy przeprowadzić w płaszczyźnie rysunku. W związku z tym kładziemy punkt A na rzutnię wykorzystując konstrukcję kładu punktu w płaszczyźnie rzutującej. Kład punktu A obracamy następnie dookoła środka obrotu S aż zajmie nowe położenie A o na śladzie płaszczyzny. 14

KŁAD I PODNIESIENIE Z KŁADU PŁASZCZYZNY NIERZUTUJĄCEJ Aby wykonać kład na rzutnię π danej figury leżącej w płaszczyźnie nierzutującej należy wyznaczyć kład A o tylko jednego dowolnego punktu A tej figury na rzutnię π. Kłady pozostałych punktów wyznacza się stosując zasady powinowactwa osiowego. Aby wykonać podniesienie z kładu z rzutni π danej figury na płaszczyznę nierzutującą należy podnieść z kładu kład A o punktu A tej figury. Podniesienia z kładu pozostałych punktów wyznacza się stosując zasady powinowactwa osiowego. 15

Przykład Dane są rzuty trójkąta ABC leżącego w płaszczyźnie nierzutującej. Wykorzystując konstrukcję kładu wyznaczyć jego rzeczywista wielkość. Poszczególne pary pkt-ów wyznaczają trzy proste a, b i c; które tworzą pł.α. Jeżeli skonstruujemy ślady H a, H b i H c (wystarczą dwa) to śladem poziomym pł.α będzie prosta h α =H a H b. Obróćmy pł.α=abc dookoła jej śladu h α o taki skierowany kąt obrotu ω, aby po obrocie pł.α nakryła się z rzutnią Π 1. Wg konstrukcji kładu pkt pł. nierzutującej wyznaczamy na rzutni Π 1 kład A o pkt.a. Kłady pkt-ów B i C czyli B o i C o możemy uzyskać w ten sam sposób. Można wyznaczyć je także w sposób pośredni. Rzut b`=a`b` przecina oś obrotu h α w pkt H b, który podczas obrotu prostej b nie zmienia swego położenia. Zatem kładem prostej b jest b o =H b A o. Przez pkt B wykreślona prosta B`S B prostopadła do osi obrotu h α jest śladem poziomym pł. obrotu dla pkt B i przecina prostą b o w pkt B o. Podobnie wykreślamy kład C o. 16

W przypadku kładu płaszczyzny określonej śladami stosuje się konstrukcję kładu i podniesienia z kładu punktu leżącego w tej płaszczyźnie przedstawioną poniżej. W pierwszej kolejności należy dokonać kładu płaszczyzny dowolnej. Do tego celu można zastosować konstrukcje pełną (rys.a) lub uproszczoną (rys.b). a) b) V v V v V' X V' X V S h h h h V o v o v o V o 17

a) b) H o H o H v v S h o v v h o H" X H" X H h H h 18

Znając konstrukcję kładu płaszczyzny nierzutującej możemy dokonać kładu dowolnego punktu leżącego w tej płaszczyźnie stosując zasadę przynależności punktu do płaszczyzny i zasadę powinowactwa osiowego. Tak więc aby dokonać kładu punktu należy najpierw dokonać kładu prostej przechodzącej przez ten punkt i przynależnej do danej płaszczyzny. Kład punktu będzie leżał na kładzie prostej do której przynależy. Konstrukcję kładu punktu z wykorzystaniem prostej poziomej p, czołowej c i dowolnej a pokazano na poniższym rysunku. a) b) c) v v c" p" A" Vp A" V A" a" V' p X V' X V' a H" c H" a X A' c' A' A' a' p' h h H c Vp o c o h v o p o A o v o A o v o A o V o H a V a v a o V a o 19

Uogólniając powinowactwo osiowe przekształca poprzez wzajemną odpowiedniość jeden dany układ płaski α` w drugi nowy układ płaski α o, i odwrotnie. a) b) c) po A o h o c o A o h o A o H o a a o v v Va v h o H o c" H o c p" A" Vp A" A" a" V' p H" X X V'a X H" c H" a c' p' A' H A' A' a' h h h H c H a 20

Bardzo często stosowane są kłady nie na rzutnię π 1 i π 2 lecz na płaszczyznę równoległą do tych rzutni. Mamy wówczas do czynienie z kładem różnicowym. Kładem różnicowym punku A na płaszczyznę równoległą do rzutni π nazywamy obrót punktu A dookoła osi obrotu l leżącej na płaszczyźnie o taki skierowany kąt obrotu aby po obrocie punkt A znalazł się w nowym położeniu A o na płaszczyźnie. Przykład Wyznaczyć odległość punktu A od prostej m. 1" m" v = "=k" A" Aby wyznaczyć odległość punktu A od prostej m należy płaszczyznę, którą A i m wyznaczają, położyć na rzutnię lub na płaszczyznę równoległą do rzutni. Płaszczyznę kładu można obrać jako płaszczyznę poziomą α prowadząc v α =α'' przez punkt A''. Następnie należy wyznaczyć krawędź k. Kłady punktów A i 1 pokrywają się z ich rzutami poziomymi. Aby otrzymać kład prostej m należy przyjąć na niej dowolny punkt B i wykonać jego kład. Punkty B o i 1 o wyznaczają prostą m o. Odległość punktu A od prostej m to odcinek prostopadły e wytyczony pomiędzy A o i m o. B B" B' B o mo 1'=1 o e m' k' A'=A o 21