Zadania z paramerem Zadania z paramerem są bardzo nielubiane przez maurzysów Nie jes ławo odpowiedzieć na pyanie: dlaczego? Nie są o zadania o dużej skali rudności Myślę, że głównym powodem akiego sanu rzeczy jes nieumiejęność używania specyficznego sposobu rozumowania prowadzącego do ich rozwiązania Bardzo częso zdarza się, że z góry wiadomo, jak rozwiązywać akie zadanie jeszcze przed rozpoczęciem właściwych obliczeń By o pokazać, zosanie rozwiązanych przykładowych zadań Cudzysłów jes niezbędny, gdyż zadania e nie zosaną rozwiązane, lecz jedynie zosanie opisane, jak należy je rozwiązać Obliczenia zosaną pominięe Wykorzysaj ę okazję: spróbuj najpierw samodzielnie rozwiązać dane zadanie i w razie niepowodzenia: prześledź omówienie rozwiązania, wykonując wszelkie niezbędne obliczenia A więc do pracy: Zadanie Dla jakich m suma odwroności różnych pierwiasków równania (m + ) (m + ) + m + jes większa od? Jednocześnie: Równanie ma mieć dwa różne rozwiązania i musi być kwadraowe: m + i >, czyli (m + ) 4(m + ) > Suma odwroności pierwiasków równania ma być większa od : + + > > b + b m Zgodnie ze wzorami Viee y: a + > c c m + a Należy rozwiązać układ: m + (m + ) 4(m + ) >, kórego rozwiązanie jes rozwiązaniem całego zadania m + > m + Po wykonaniu wszyskich obliczeń orzymasz wynik: m, Zadanie Znajdź akie warości parameru m R, dla kórych jeden z pierwiasków 8 równania (m + ) + m + m jes sinusem, a drugi cosinusem ego samego kąa Równanie musi mieć dwa rozwiązania, niekoniecznie różne (sinus kąa może być równy cosinusowi), czyli musi być kwadraowe: m +, oraz 8 m 4 m(m + )
Sinus i cosinus ego samego kąa spełniają równanie sin α + cos α, czyli ma być: + ( + ) +, więc możemy skorzysać ze wzorów Viee y: 8 m m 8m m + oraz m + 6m + m + 6m + 8m m Orzymaliśmy równanie: 6m + 6m + Rozwiązaniem zadania jes rozwiązanie układu: m + 8 m 4 m(m + ) 8m m 6m + 6m + 7 + 7 Układ en ma dwa rozwiązania: m i m, kóre są rozwiązaniem zadania Zadanie Zbadaj liczbę rozwiązań równania + k k w zależności od warości parameru k (*) + k k Jes o ypowe równanie kwadraowo-podobne : po podsawieniu orzymujemy (**) + k k z dziedziną, bo Zwróćmy uwagę, że należy zbadać liczbę rozwiązań równania (*), a więc należy wziąć pod uwagę ile rozwiązań mają równania ypu: 7,,, w zależności od uzyskanych warości Jeżeli, o równanie ma jedno rozwiązanie, a jeżeli < - nie ma rozwiązań Gdy dla równania (**) obliczymy k + 4k, o Równanie (*) nie ma rozwiązań, gdy: > a) <, lub b), lub c) < < < rozwiązaniem punku a) jes k ( 4,) punk b) gdy k k 4 Dla k :, więc układ jes sprzeczny Dla k 4 : 4, więc układ jes sprzeczny Osaecznie przypadek b) nie zachodzi < c) zasępujemy w oparciu o wzory Viee y zapisem: < + czyli układ c) jes sprzeczny en przypadek akże nie zachodzi >, co daje k < < k >
Równanie (*) nie ma rozwiązań, gdy k ( 4,) Równanie (*) ma dwa różne rozwiązania, gdy równanie (**) ma dwa różne rozwiązania, z kórych żadne nie jes ujemne Musi więc by ć: > Rozwiązaniem ego układu jes k (, 4) + > Dla pozosałych warości k równanie ma jedno rozwiązanie, czyli dla k, { 4} Zadanie 4 Dla jakich m nierówność (m + 5m 6) (m ) + > jes spełnione dla każdego R? m + 5m 6 ( m 6 m ) Dla ych dwóch warości m nierówność jes pierwszego sopnia i: dla m 6 przyjmuje posać 4 + >, czyli nie jes spełniona dla każdego R dla m przyjmuje posać >, czyli jes spełniona dla każdego R m jes jednym z rozwiązań zadania Dla m R \ { 6,} nierówność jes kwadraowa i aby była spełniona dla każdego R, wykres rójmianu musi być parabolą z ramionami skierowanymi do góry, leżącą nad osią OX, m czyli: + 5m 6 > ramiona w górę < brak miejsc zerowych Rozwiązaniem ego układu jes m ( ;9,5) ( ; Wziąwszy pod uwagę m orzymujemy osaeczne rozwiązanie zadania: m ( ;9,5) ; Zadanie 5 Dla jakich m funkcja f() (m 4) 4 + m ma dwa miejsca zerowe, z kórych jedno jes mniejsze od, a drugie większe od? Funkcja musi być kwadraowa: m 4 Musi mieć dwa miejsca zerowe: 6 4(m )(m 4) >, co daje 7 7 7 + 7 m, Wykres funkcji musi być nasępujący: co daje układy: > m > 4 lub f() < > m < 4 f() >
Osaeczny wynik: m 4; Zadanie 6 Wyznacz a i b wiedząc, że liczba jes dwukronym pierwiaskiem wielomianu W() 5 + a + b Z emau zadania wynika, że wielomian musi mieć dwa pierwiaski: dwukrony: pojedynczy: p Wobec ego jego posać iloczynowi jes nasępująca: W() p, co po wykonaniu przekszałceń daje: ( ) ( ) W() (p + 6) + (6p + 9) 9p Porównując orzymane równanie z równaniem W() 5 + a + b orzymujemy układ równań: p + 6 5 6p + 9 a, kórego rozwiązaniem jes a,b 9 9p b Zadanie 7 Dla jakich m równanie (m ) 9 (m + 6) + m + ma dwa różne pierwiaski? Podsawiamy i orzymujemy: (**) (m ) (m + 6) + m + Równanie Liczba ma jedno rozwiązanie, gdy Liczba>; nie ma rozwiązań, gdy Liczba (wynika o z własności funkcji wykładniczej) Równanie wyjściowe ma więc dwa rozwiązania, gdy: m (m + 6) 4(m + )(m ) > m + > m m + 6 + > m Warunek: pierwszy gwaranuje, że równanie jes kwadraowe drugi że ma dwa różne pierwiaski rzeci i czwary, że pierwiaski równania (**) są dodanie Rozwiązując en układ orzymujemy: m (, Zadanie 8 Dla jakich warości parameru m równanie m ( sin ) 4m + sin + ma rozwiązanie? m + 4m Skoro m jes paramerem, a niewiadomą, o liczymy sin: sin ( m)( + m) Ponieważ funkcja sinus przyjmuje warości z przedziału,, należy rozwiązać układ:
m R \ {,} m + 4m, co daje wynik m,, ( m)( + m) m + 4m ( m)( + m) π Zadanie 9 Dla jakich warości parameru α, prosa y jes syczna do wykresu funkcji f() cos α sin α +? Korzysamy z własności, że współczynnik kierunkowy sycznej do wykresu funkcji jes f ', - punk syczności równy pochodnej funkcji w punkcie syczności: ( ) f' ( ), sąd '( ) ( ) Punk syczności należy do sycznej, więc: o y o y ( ) f Mamy dwa punky syczności: P (,), P (, ) Punk syczności należy eż do wykresu funkcji: a) dla punku P : f() cos α sin α + Rozwiązując o równanie orzymujemy sin α lub sin α α jes kąem osrym, więc musi być α b) dla punku P : f( ) ( ) ( ) cos α sin α +, co daje akie samo równanie, więc o samo rozwiązanie Jedynym rozwiązaniem zadania jes α Zadanie Dla jakich warości paramerów a i b resza z dzielenia wielomianu W() + + a + b przez wielomian P() + jes równa R() 4? Jeżeli wielomian W() dzielimy przez wielomian P(), o orzymamy wynik z dzielenia oznaczmy go Q(), i reszę R(), co można zapisać równaniem: W () Q() P() + R() P() + ( + )( ), czyli + + a + b Q() ( + )( ) + 4 Do osaniego równania: a) wsawiamy i orzymujemy a + b b) wsawiamy i orzymujemy a + b Orzymaliśmy układ równań, kórego rozwiązaniem jes a b 5