1. Elementy logiki matematycznej, rachunek zdań, funkcje zdaniowe, metody dowodzenia, rachunek predykatów Logika matematyczna, dział matematyki zajmujący się badaniem własności wnioskowania (dowodzenia) matematycznego oraz modeli teorii matematycznych. Początki logiki matematycznej sięgają drugiej połowy XIX w. (G.Boole, Ch.Peirce, G.Peano), ale jej uformowanie się i rozwój przypadają na wiek XX (G.Frege, D.Hilbert, B.Russell). Najciekawsze odkrycia w logice matematycznej poczynili K.Gödel i A.Tarski w latach 30 XX wieku. Oprócz logiki ogólnej (obejmującej także logikę intuicjonistyczną, logiki modalne i in.) wyodrębnia się w logice matematycznej następujące działy: teorię modeli, badającą związki między zbiorami zdań (formuł) a ich modelami, a także podającą konstrukcje modeli o specjalnych własnościach (A.Tarski, R.Vaught, T.Skolem); teorię rekursji, badającą efektywność konstrukcji matematycznych i logicznych oraz rozstrzygalność teorii; teoria ta bazuje na pojęciu funkcji obliczalnej (rekurencyjnej) wprowadzonym przez K. Gödla i niezależnie przez A. Turinga; teorię dowodu, badającą strukturę dowodów matematycznych i zagadnienia konstruktywności w matematyce (D.Hilbert, J.Herbrand, L.E.J.Brouwer, G.Gentzen).
Logika zdań, rachunek zdań Zdanie logiczne jest to wypowiedź, w której orzeka się coś o czymś, czyli w terminach tradycyjnej gramatyki jest to zdanie oznajmujące. W logice dwuwartościowej (klasycznej) zakłada się, że każde poprawnie zbudowane zdanie jest albo prawdziwe albo fałszywe jest to tak zwana zasada sprzeczności. Prawdę bądź fałsz nazywamy wartością logiczną (stałą logiczną) zdania i oznaczamy odpowiednio przez P lub 1 oraz F lub 0. Logika zdań bada prawdziwość zdań złożonych zależnie od wartości logicznych zdań składowych. Przy czym rozpatruje się tylko złożenia ekstensjonalne, czyli takie których prawdziwość zależy wyłącznie od wartości logicznych zdań składowych i łączących ich spójników zdaniowych. Zmienna zdaniowa (najczęściej oznaczana p, q, r ) jest literą reprezentującą dowolne zdanie lub inaczej zmienna zdaniowa wskazuje wolne miejsce, które może zostać wypełnione przez dowolne wyrażenie należące do kategorii zdań. Wartościowaniem nazywamy funkcję, która każdej zmiennej zdaniowej przyporządkowuje wartość logiczną 0 lub 1. Funkcję taką można uogólnić na zbiór wszystkich formuł rachunku zdań. Tautologią nazywamy formułę, która przy dowolnym wartościowaniu przybiera wartość logiczną 1. Wartość logiczna wyrażenia zdaniowego może być wyznaczona za pomocą wartości logicznych klasycznych funktorów zdaniowych. Funktorem zdaniowym n-argumentowym (spójnikiem zdaniowym) nazywamy funkcję, która każdemu układowi (p 1,p 2,,p n ), gdzie p i jest prawdą bądź fałszem, przyporządkowuje wartość logiczną 0 lub 1. Istnieje n 2 2 n-argumentowych funktorów zdaniowych. Dla n=1 istnieją cztery funktory, nazywamy je funktorami jednoargumentowymi: A 0 A 1 A 2 A 3 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1
Dla n=2 jest szesnaście funktorów, które nazywamy funktorami dwuargumentowymi: B 0 B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 B 7 B 8 B 9 B 10 B 11 B 12 B 13 B 14 B 15 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 01 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 10 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 11 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Tylko niektóre funktory są używane w systemach logicznych jako odpowiadające spójnikom zdaniowym występującym w dalszych wnioskowaniach. I tak funktor jednoargumentowy A 2 nazywa się negacją (nie) i oznaczamy go lub, oraz funktory dwuargumentowe: B 1 nazywa się koniunkcją (i, funkcją AND) i oznacza, B 7 nazywa się alternatywą (lub, funkcją OR) i oznacza, B 9 nazywa się równoważnością (wtedy i tylko wtedy) i oznacza, B 13 nazywa się implikacją (jeżeli to ) i oznacza, B 8 nazywa się strzałką Peirce a (funktorem jednoczesnego zaprzeczenia) i oznacza, B 14 nazywa się dysjunkcją (funkcją NAND, funktorem Sheffera, kreską Sheffera) i oznacza. Funktory te porządkuje się następująco:,,,,.
Podstawowe prawa logiki zdań 1. Prawa łączności (p q) r = p (q r) (p q) r = p (q r) 2. Prawa przemienności p q = q p p q = q p 3. Prawa rozdzielności (p q) r = (p r) (q r) (p q) r = (p r) (q r) 4. Prawa absorpcji (pochłaniania) p (p q) = p p (p q) = p 5. Prawo idempotentności p p = p p p = p 6. Prawo wyłączonego środka (tertium non datur) p p = F p p = P 7. Prawa de Morgana (p q) = p q (p q) = p q 8. Wzory dla P i F p P = p p F = p p F = F p P = P P = F F = P 9. Podwójne przeczenie (inwolutywność) ( p) = p 10. Wyrażanie funktorów przez pozostałe p q = p q p q = (p q) ( p q)
Metody dowodzenia twierdzeń 1. Dowód bezpośredni wprost Przez implikację - metoda ta polega na założeniu, że zdanie p jest prawdą i pokazaniu, że wówczas również zdanie q jest prawdziwe: p q. Przez równoważność - metoda ta polega na założeniu, że zdanie p jest prawdą i pokazaniu, że wówczas również zdanie q jest prawdziwe oraz na założeniu, że zdanie q jest prawdą i pokazaniu, że wówczas również zdanie p jest prawdą: p q. 2. Dowód nie wprost Metoda dowodu nie wprost opiera się na tautologii rachunku zdań, zwanej prawem kontrapozycji: ( p q ) ( q p ). Stosując tę metodę zakładamy, że q jest fałszem i pokazujemy, że p jest również fałszem. KWADRAT LOGICZNY Dla każdej implikacji prostej p q implikację q p nazywamy implikacją odwrotną, implikację q p nazywamy implikacją przeciwstawną, implikację p q nazywamy implikacją przeciwną. Na podstawie prawa kontrapozycji widać, że implikacje prosta i przeciwstawna są równoważne oraz implikacje odwrotna i przeciwna są równoważne. Zależności te przedstawia kwadrat logiczny: Przy tej samej przekątnej są umieszczone implikacje równoważne, natomiast do udowodnienia wszystkich spośród tych implikacji, wystarczy udowodnić dowolną parę tych implikacji umieszczonych na jednym boku kwadratu. p q q p p q q p
3. Dowód przez zaprzeczenie (ad absurdum) Metoda dowodu przez zaprzeczenie, zwanego też dowodem przez sprowadzeniem do sprzeczności, opiera się na równoważności: ( p q ) (p q ). Stosując to podejście zakładamy, że p jest prawdą a q fałszem i pokazujemy, że prowadzi to do sprzeczności, to znaczy, że p i nie prawda, że q jest fałszem. 4. Zasada indukcji matematycznej Niech p(n) będzie zdaniem, które dla każdego naturalnego n może być zdaniem prawdziwym lub fałszywym. Aby udowodnić, że zdanie p(n) jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych n, gdzie n n 0, wystarczy pokazać, że (i) (ii) zdanie p(n 0 ) jest prawdziwe, dla każdego k n 0, p(k) p(k+1), tzn. zdanie p(k+1) jest prawdziwe jeżeli tylko zdanie p(k) jest prawdziwe. 5. Dowód konstruktywny Dowód pewnego twierdzenia o istnieniu obiektu określa się jako konstruktywny, jeżeli podaje on gotowy algorytm do wyznaczenia poszukiwanego obiektu, o którego istnieniu mówi dane twierdzenie. Przykładem takiego dowodu jest podanie algorytmu na istnienie naturalnej sześciennej funkcji sklejanej, gdzie podaje się wzory pozwalające obliczyć współczynniki takiej funkcji z układu równań liniowych, co jest elementarnym zadaniem algebraicznym.
AUTOMATYCZNE DOWODZENIE TWIERDZEŃ Jest to dziedzina wiedzy, której celem jest konstruowanie programów komputerowych umożliwiających dowodzenie twierdzeń w teoriach, w których zostały sformułowane. Ponieważ klasyczny rachunek zdań jest rozstrzygalny, więc teoretycznie istnieje algorytm pozwalający dla dowolnej formuły rachunku zdań w skończonej liczbie kroków rozstrzygnąć, czy jest ona twierdzeniem tego rachunku. Wyniki rozważań dotyczących złożoności obliczeniowej wydają się przekreślać możliwość uzyskania algorytmu, który rozpoznawałby zbiór twierdzeń rachunku zdań zużywając do tego liczbę kroków wyrażoną zależnością wielomianową od długości formuły. Nie przekreśla to jednak możliwości konstruowania skutecznych w zastosowaniach algorytmów, które dotyczą tylko formuł o skończonej długości. Przykładem jest dowód problemu czterech barw.
Rachunek predykatów Logika predykatów wraz z logiką zdań stanowi całość logiki formalnej. Logika predykatów dostarcza praw wnioskowania odwołujących się do wewnętrznej budowy zdań, w której wyróżnia się predykaty (odpowiednik orzeczenia w gramatyce), argumenty predykatów (odpowiednik podmiotu w gramatyce) oraz wyrażenia zwane kwantyfikatorami (wskazujące czy predykat odnosi się do wszystkich czy do niektórych argumentów). W związku z tym logika predykatów często nazywana jest logiką kwantyfikatorów. UWAGA Zamiast słowa logika mówi się też teoria lub rachunek. WYRAŻENIA LOGIKI PREDYKATÓW Formuła atomowa (forma elementarna) jest to najprostsze zdanie w języku predykatów, składa się jedynie z predykatu wraz z odpowiednią liczbą argumentów. Dla zmiennych x 1, x 2,..., x n wyrażenie P(x 1, x 2,..., x n ) jest n-argumentową formułą atomową. Przykładowo formułami atomowymi są wyrażenia: jednoargumentowe x jest liczbą pierwszą, dwuargumentowe - x dzieli y. Formuła atomowa przekształca się w wyrażenie o większym stopniu złożoności, gdy zostanie poprzedzona kwantyfikatorem ogólnym dla każdego lub egzystencjalnym dla pewnego. Zmienną x określamy jako związaną w pewnym wyrażeniu, jeśli jest zmienną kwantyfikatora x lub x, w przeciwnym wypadku jest to zmienna wolna. Wyrażenie logiki predykatów nazywamy formą zamkniętą, jeżeli nie zawiera żadnych zmiennych wolnych.
Tautologie logiki predykatów 1. x P(x) = x P(x) x P(x) = x P(x) 2. x P(x) = x P(x) x P(x) = x P(x) 3. x y P(x,y) = y x P(x,y) 4. x y P(x,y) = y x P(x,y) 5. x P(x) x Q(x) = x [P(x) Q(x)] 6. x P(x) x Q(x) = x [P(x) Q(x)] 7. x P(x) x Q(x) x [P(x) Q(x)] 8. x [P(x) Q(x)] x P(x) x Q(x) 9. x [P(x) Q(x)] [ x P(x) x Q(x)] 10. x [P(x) Q(x)] [ x P(x) x Q(x)] 11. x y P(x,y) y x P(x,y) Logika predykatów pierwszego rzędu stanowi system formalny, w którym zmienne zdaniowe mogą być związane kwantyfikatorami, natomiast w logikach predykatów wyższych rzędów kwantyfikatorami mogą być związane również zmienne predykatywne. Każda teoria sformułowana w ramach logiki pierwszego rzędu nazywana jest teorią elementarną.