Dodatek 2. Wielowymiarowe modele GARCH MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI z R MPGzR (dodatek 2) Modele MGARCH 1 / 15
Ogólna specykacja modelu MGARCH Ogólna posta dla N-wymiarowego procesu MGARCH {y t }: y t = µ t + ϵ t, ϵ t N(0, Σ t ), gdzie: µ t : warto± oczekiwana, która mo»e by staª lub dana np. modelem VAR Σ t : warunkowa macierz kowariancji, która zale»y od swoich przeszªych realizacji {Σ t p : q = 1, 2,..., Q} oraz od przeszªych relizacji skªadnika losowego {ϵ t p ϵ t p : p = 1, 2,..., P} MPGzR (dodatek 2) Modele MGARCH 2 / 15
Klasykacja modeli MGARCH Modele MGARCH mo»na podzieli na trzy kategori, w zale»no±ci od specykacji równania dla wariancji (za Bauwens, Laurent i Rombouts, 2006): 1. Bezpo±rednie uogólnienie jednowymiarowych modeli GARCH (VEC GARCH oraz BEKK) 2. Liniowe kombinacje jednorównaniowych modeli GARCH (GO-GARCH oraz FactorGARCH) 3. Nieliniowe kombinacje jednorównaniowych modeli GARCH (DCC-GARCH) MPGzR (dodatek 2) Modele MGARCH 3 / 15
Model VEC-GARCH Posta modelu VEC-GARCH(1,1) (Bollerslev, Engle i Wooldridge, 1988): y t = µ t + ϵ t, ϵ t N(0, Σ t ) h t = ω + Ae t 1 + Bh t 1 h t = vech(σ t ) e t = vech(ϵ t ϵ t) gdzie operator vech(σ) oznacza wektor zªo»ony z N(N+1) 2 elementów macierzy Σ znajduj cych si na gªównej przek tnej oraz powy»ej tej przek tnej. MPGzR (dodatek 2) Modele MGARCH 4 / 15
Model VEC-GARCH Wady modelu VEC: 1. Du»a liczba parametrów: macierze A i B s wymiarów N(N+1) N(N+1) 2 2 2. Skomplikowane restrykcje na ω, A i B gwarantuj ce, aby Σ t speªniaªa warunki macierzy kowariancji. W celu zmniejszenia liczby parametrów, Bollerslev, Engle i Wooldridge (1988) zaproponowali model DVEC-GARCH (diagonal VEC), w którym macierze A i B s diagonalne, a tym samym: h ij,t = ω ij + a ij ϵ i,t 1 ϵ j,t 1 + b ij h ij,t 1. W modelu DVEC-GARCH pozostaje problem (2). MPGzR (dodatek 2) Modele MGARCH 5 / 15
Model BEKK-GARCH Posta restrykcji na parametry macierzy ω, A i B modelu VEC-GARCH, które gwarantuj póª-dodatni okre±lono± Σ t, zostaªa zaproponowana przez Engle'a i Kroner (1995) w modelu BEKK-GARCH(1,1) postaci: y t = µ t + ϵ t, ϵ t N(0, Σ t ) Σ t = ΩΩ + Aϵ t 1 ϵ t 1 A + BH t 1 B, gdzie Ω jest macierz górno-trójk tn, za± A i B s macierzami kwadratowymi o wymiarach N N. MPGzR (dodatek 2) Modele MGARCH 6 / 15
Model Factor-GARCH Dla wysokich warto±ci N mo»na stosowa modele, w których zakªada si,»e Σ t jest opisywana przez K N liczb wspólnych czynników. Tego typu modelem jest Factor GARCH(K,1,1) (por. Engle, Ng i Rothschild, 1990): y t = µ t + ϵ t, ϵ t N(0, Σ t ) ϵ t = Λf t + η t, η t N(0, Ω) Ω = diag(ω 2 1, ω 2 2,..., ω 2 N) f t N(0, H t ) H t = diag(h 1t, h 2t,..., h Kt ) h kt = γ k + α k f 2 k,t 1 + β k h k,t 1 dla k = 1, 2,..., K Σ t = ΛH t Λ + Ω Macierz Λ o wymiarach N K oraz warto± i dla f t warto±ci mo»na wyznaczy np. metod gªównych skªadowych MPGzR (dodatek 2) Modele MGARCH 7 / 15
Model GO-GARCH Model GO-GARCH(1,1) (Generalized Orthogonal GARCH, Van der Weide, 2002), który mo»na traktowa jako model Factor GARCH(N,1,1), jest postaci: y t = µ t + ϵ t, ϵ t N(0, Σ t ) ϵ t = Zx t, x t N(0, H t ) H t = diag(h 1t, h 2t,..., h Nt ) h it = γ i + α i x 2 i,t 1 + β i h it 1 dla i = 1, 2,..., N Idea modelu: wielowymiarowa macierz kowariancji warunkowej o wymiarze N(N+1) 2 jest zªo»eniem N jednowymiarowych modeli GARCH MPGzR (dodatek 2) Modele MGARCH 8 / 15
Model GO-GARCH Nieobserwowalne skªadniki x i,t s wzgl dem siebie niezale»ne o warunkowej wariancji h it oraz jednostkowej wariancji bezwarunkowej E(H t ) = I. Oznacza to,»e: Σ t = ZH t Z oraz E(Σ t ) = ZZ Jak uzyska Z? Macierz bezwarunkowej wariancji Σ = Var(y t ) jest zapisywana jako: Σ = ZZ = (V Λ 1/2 U)(U Λ 1/2 V ), gdzie: V : macierz wektorów wªasnych Σ Λ: diagonalna macierz warto±ci wªasnych Σ U: ortonormalna macierz rotacji MPGzR (dodatek 2) Modele MGARCH 9 / 15
GO-GARCH: Przyklad dla EUR/PLN oraz EUR/USD > library(gogarch) > z <- gogarch(y, ~garch(1, 1)); summary(z) Odwrotnosc macierzy Z (y = Zx): -0.84-0.62-0.55 0.79 Modele GARCH(1,2) dla y1 oraz y2 Est. StDev Prob Est. StDev Prob omega 0.015 0.010 1.257 0.053 0.028 0.0578 alpha1 0.117 0.026 1.248 0.103 0.034 0.0031 beta1 0.873 0.026 0.000 0.843 0.057 0.0000 MPGzR (dodatek 2) Modele MGARCH 10 / 15
GO-GARCH: Przyklad dla EUR/PLN oraz EUR/USD Conditional variance for EUR_PLN Conditional variance for EUR_USD 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 Conditional covariance Conditional correlation 3 2 1 0 1 0.5 0.0 0.5 MPGzR (dodatek 2) Modele MGARCH 11 / 15
DCC-GARCH Model DCC-GARCH (Dynamic Conditional Correlation, Engle 2002) jest postaci: y t = mu + ϵ t, ϵ t N(0, Σ t ) ϵ t = D t z t, Var(z t ) = P t Σ t = D t P t D t D t = diag( h 1t, h 2t,..., h Nt ) h t = ω + Aϵ t 1 ϵ t 1 + Bh t 1 P t = (Q t I ) 0.5 Q t (Q t I ) 0.5 Q t = (1 α β)q + αz t 1 z t 1 + βq t 1 gdzie P t jest macierz warunkowej korelacji, za± jest iloczynem Hadamarda (element by element) MPGzR (dodatek 2) Modele MGARCH 12 / 15
DCC-GARCH: przykªad > library(ccgarch); library(tseries) > z1 <- garch(y[,1], order = c(1, 1)); z1 <- coef(z1) > z2 <- garch(y[,2], order = c(1, 1)); z2 <- coef(z2) > omega <- c(z1[1], z2[1]); > A <- diag(c(z1[2],z2[2])); B <- diag(c(z1[3],z2[3])) > uncr <- cor(y) # unconditional correlation > dcc.para <- c(0.1,0.1) # alpha i beta > z <- dcc.estimation(inia=omega, inia=a, inib=b, ini.dcc=dcc.para, dvar=y, model="diagonal") > z$out # oszacowania parametrow a1 a2 A11 A22 B11 B22 alpha beta est. 0.053 1.092 0.089 0.214 0.873 0.000 0.128 0.732 StDev 0.020 0.031 0.043 0.287 0.100 0.228 0.013 0.068 > z$h # wariancje warunkowe (diagonala D_t) [1,] 1.377 1.389 [2,] 1.268 1.093 [3,] 1.279 1.179... > z$dcc # warunkowe korelacje (macierz P_t) [1,] 1-0.083-0.083 1 [2,] 1-0.086-0.086 1 [3,] 1 0.024 0.024 1... MPGzR (dodatek 2) Modele MGARCH 13 / 15
DCC-GARCH: Przyklad dla EUR/PLN oraz EUR/USD Conditional variance for EUR_PLN Conditional variance for EUR_USD 1 2 3 4 5 6 7 2 4 6 8 10 Conditional covariance Conditional correlation 3 1 0 1 2 0.8 0.4 0.0 0.4 MPGzR (dodatek 2) Modele MGARCH 14 / 15
Literatura: 1. Bauwens, L., Laurent, S. and Rombouts, J. (2006), Multivariate GARCH models: a survey, Journal of Applied Econometrics 21(1): 79-109 2. Bollerslev T, Engle R.F., Wooldridge J.M. (1988), A capital asset pricing model with time varying covariances, Journal of Political Economy 96: 116131. 3. Engle, R.F. (2002), Dynamic Conditional Correlation: A Simple Class of Multivariate Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Models, Journal of Business and Economic Statistics 20: 339350. 4. Engle R., Kroner F.K., (1995), Multivariate simultaneous generalized ARCH, Econometric Theory 11: 122150. 5. Engle R., Ng V.K., Rothschild M. (1990). Asset pricing with a factor-arch covariance structure: empirical estimates for treasury bills. Journal of Econometrics 45: 213238. 6. Van der Weide, R. (2002), GO-GARCH: A Multivariate Generalized Orthogonal GARCH Model, Journal of Applied Econometrics 17(5): 549-564. MPGzR (dodatek 2) Modele MGARCH 15 / 15