Aleksandra Zalejko Konkurs Matematyczny OMEGA organizowany przez Zespół Szkół Nr im. Stefana Garczyńskiego w Zbąszyniu. http://omegamat.w.interia.pl Organizacja kolejnych edycji Konkursu Matematycznego OMEGA dla uczniów szkół gimnazjalnych jest efektem doświadczeń zdobytych w czasie dziesięcioletniej pracy w Klubie Młodych Matematyków Pitagoras. Przekonałam się, że konkursy sprzyjają aktywizacji uczniów, popularyzują matematykę, rozwijają zainteresowania matematyczne oraz ujawniają wśród uczniów talenty matematyczne. Zachętą do podjęcia trudu przygotowania się do konkursu jest określenie tematyki i rodzaju obowiązujących zadań. Istotna jest rola nauczyciela, który dopinguje do pracy, interesuje się osiągnięciami uczniów oraz służy radą i wskazówką. Wyjeżdżając wielokrotnie z moimi uczniami na konkursy miałam okazję obserwować techniczną stronę ich organizacji. Postanowiłam podzielić się moimi doświadczeniami z innymi nauczycielami poprzez zorganizowanie konkursu dla okolicznych gimnazjów. Etapy pracy nad przygotowaniem konkursu: - opracowanie zadań przygotowawczych; - opracowanie regulaminu konkursu; - rozesłanie do okolicznych gimnazjów informacji o konkursie wraz z regulaminem, drukiem karty zgłoszenia i zadaniami przygotowawczymi; - zaangażowanie uczniów naszego liceum do wykonania oprawy plastycznej konkursu i do przygotowania programu artystycznego, który obejrzą zaproszeni gimnazjaliści w czasie sprawdzania ich prac. Kolejne edycje konkursu odbyły się: maja 200 i kwietnia 2002. Trzecia edycja konkursu odbędzie się wbieżącym roku szkolnym - 28 marca 2003. Do tej pory w konkursie uczestniczyło 74 uczniów z gimnazjów. Podkreślić należy, że gimnazjaliści przy tej okazji mogli bliżej zapoznać się znaszą szkołą, a niektórzy z nich kontynuują nawet w niej naukę w Liceum Ogólnokształcącym lub Liceum Profilowanym. Najlepsi uczniowie w każdej edycji konkursu zostali nagrodzeni książkami. Przyznaje się też zawsze nagrodę zespołową dla tego gimnazjum, którego uczniowie zdobyli najwięcej punktów.
Zadania przygotowawcze Procenty. W zeszłym tygodniu na zajęciach kółka matematycznego było dokładnie tyle samo chłopców co dziewcząt. W tym tygodniu na kółku jest o 20% więcej niż tydzień temu, ale liczba dziewcząt stanowi tylko 45% liczby przybyłych osób. Czy w tym tygodniu przyszło więcej czy mniej dziewcząt niż tydzień temu? 2. W rodzinie Malinowskich 20% dochodów pochłaniają stałe opłaty czynsz, prąd, gaz itd. 5% pozostałych dochodów państwo Malinowscy wpłacają do banku. Jaki procent dochodów zostaje im na inne wydatki? 3. Dwaj sprzedawcy, panowie A i B, kupują pomidory u tego samego hurtownika. W sklepie pana A cena detaliczna jest o 25% wyższa od hurtowej, a w sklepie pana B o 30% wyższa od hurtowej. Pan A sprzedał 60 kg pomidorów, a pan B 20 kg. Który z nich więcej zarobił na pomidorach? O ile procent więcej? 4. Podczas zebrania Samorządu Szkolnego propozycję zorganizowania szkolnej dyskoteki poparło 7 osób, czyli więcej niż 60%, ale mniej niż 3 2 uczestników zebrania. Ile osób uczestniczyło w zebraniu? 5. Po 9 dniach podróży przez pustynię beduini zorientowali się, że wypili już 60% zapasów wody. Zostało im 48 bukłaków z wodą. O ile procent powinni zmniejszyć dzienne racje wody, jeśli ma jej wystarczyć na kolejne 8 dni? Wyrażenia algebraiczne 6. Zapisz w postaci jednomianu liczbę o5%większą od liczby o 0% mniejszej od liczby y. 7. W wyrażeniu y 2 2 2y 2 + 9 wstaw nawiasy tak, aby niezależnie od wartości zmiennej y otrzymane wyrażenie miało wartość: a) dodatnią, b) ujemną. 8. Zapisz w postaci wyrażeń algebraicznych odpowiedzi na poniższe pytania: a) a kilometrów na godzinę ile to metrów na sekundę, b) b metrów na sekundę ile to kilometrów na godzinę? 9. Krótszy bok prostokąta ma dwa razy więcej milimetrów niż dłuższy centymetrów. Zapisz w postaci jednomianu pole tego prostokąta, gdy: a) dłuższy bok ma a centymetrów b) krótszy bok ma b milimetrów. 0. Uzasadnij, że suma trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 3.. Udowodnij następujące twierdzenie: Suma liczby dwucyfrowej i liczby powstałej z przestawienia cyfr tej liczby jest liczbą podzielną przez. 2. Od kwadratu dowolnej liczby dwucyfrowej n odejmujemy kwadrat liczby powstałej z przestawienia cyfr liczby n. Wykaż, że otrzymana liczba jest podzielna przez 99, a także przez sumę cyfr liczby n. 3. Resztą z dzielenia przez 7 liczby a jest liczba 3. Jaka jest reszta z dzielenia przez 7 liczby 4razywiększej od a? 4. Uzasadnij, że liczba 3 n+2 +3 n jest podzielna przez 0 dla każdej liczby naturalnej n. 2
5. Wykaż, żedananierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x: a) x 2 +2x+ 0 b) x 2 4x+5>0 Równania, układy równań 6. Dla jakich całkowitych wartości a rozwiązanie równania ax + = 6 jest liczbą całkowitą? 7. 4 lata temu byłem 4 razy młodszy od mamy, a 0 lat temu byłem od niej młodszy 0 razy. Ile lat ma autor wypowiedzi? 8. Podaj wzór pozwalający obliczyć wysokość trójkąta równobocznego, gdy znamy jego pole P i obwód L. 9. Ile kilogramów roztworu 80 % należy zmieszać z 40 kg roztworu 60 %, aby otrzymać roztwór 70 %? 20. W pewnej grupie uczniów średnia wieku wynosi lat. Najstarszy z nich ma 7 lat, a średnia wieku wszystkich pozostałych wynosi 0 lat. Ilu uczniów liczy ta grupa? 2. Suma pewnych dwu liczb dodatnich jest dwa razy większa od ich różnicy. Ile wynosi stosunek większej z tych liczb do mniejszej? 22. Różnica kwadratów dwóch liczb naturalnych wynosi 23. Jakie to liczby? Funkcje 23. Narysuj wykres funkcji, która wszystkim liczbom rzeczywistym dodatnim przyporządkowuje wartość, wszystkim liczbom ujemnym wartość, a liczbie 0 wartość 0. 24. Dane są funkcje y = x + 2 i y = 2x 3. Oblicz, dla jakiego argumentu x wartości tych 2 funkcji są równe? 25. Podaj wzór dowolnej funkcji liniowej, której wykres leżywnastępujących ćwiartkach układu współrzędnych: a)i,ii,iii b)ii,iii,iv c)i,iii,iv d)i,ii,iv. 26. Funkcja określona jest następująco: x+... dla... x y= { 2x+ 4... dla... x> Oblicz wartości tej funkcji dla x = 0, x = i x = 2. Narysuj wykres tej funkcji. Podaj jej miejsca zerowe. Dla jakich argumentów wartości funkcji są dodatnie? 27. Oblicz pole figury ograniczonej wykresami funkcji: y = 2x 3, y = -x 3 i y = 3. 28. Punkty A = (0,-4), B = (-3,5), C = (m.,-) leżą na jednej prostej. Oblicz wartość m. Figury geometryczne 29. Dwa boki trójkąta prostokątnego mają długości 0cm i 20cm. Jaką długość może mieć trzeci bok? 30. Ramię trójkąta równoramiennego ma długość 29 cm, a wysokość poprowadzona do podstawy ma długość 2 cm. Jaka jest długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt? 3. Oblicz jaką długość ma promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o bokach długości 3,4,5. 32. Jaką wysokość ma romb o przekątnych długości 2cm i 6cm? 33. Kwadrat i trójkąt równoboczny mają taki sam obwód. Która z figur ma większe pole? 3
34. W kwadrat o boku 20cm wpisano okrąg. W okrąg ten wpisano kwadrat, w który z kolei wpisano okrąg itd. Jakie długości mają promienie kolejnych trzech okręgów? 35. Każdy bok kwadratu jest średnicą koła. Wspólna część tych kół tworzy wewnątrz kwadratu rozetę czterolistną. Oblicz obwód i pole tej rozety, jeżeli bok kwadratu ma długość 6cm. 36. Krawędź sześcianu ma długość 6 cm. Oblicz pole tego przekroju, który jest: a) kwadratem b) największym możliwym prostokątem. Zadania z I edycji Konkursu Matematycznego Omega Czas rozwiązywania: 90 minut.. Po ogłoszeniu sezonowej obniżki cen Piotr i Marek kupili buty, za które zapłacili 20 złotych korzystając z łącznej obniżki o 30%. Cena butów Piotra została obniżona o 25%, a Marka o 40 %. Ile kosztowały buty Piotra i Marka przed obniżką i po obniżce? 2. Węgiel z kopalni A pozostawia po spaleniu 5% popiołu, a węgiel z kopalni B pozostawia 20% popiołu. Ile procent popiołu pozostawia po spaleniu mieszanka węgla, w której stosunek węgla z kopalni A do węgla z kopalni B jest równy 2:3? 3. Z liczby dwucyfrowej a utworzono dwie liczby: pierwszą przez dopisanie cyfry na początku, drugą przez dopisanie cyfry na końcu. Uzasadnij, że iloczyn otrzymanych liczb pomniejszony o liczbę a jest podzielny przez 0. 4. Wykaż, że liczba 2+2 2 +2 3 +...+2 00 jest podzielna przez 3. 5. Na kole opisany jest trójkąt równoboczny i w to samo koło wpisany jest trójkąt równoboczny. Różnica boków tych trójkątów wynosi 2. Oblicz promień tego koła. 6. Oblicz pole figury zacieniowanej na rysunku wiedząc, że promienie okręgów o środkach A,O,D są równe długości boku sześciokąta foremnego ABCDEF. AB =a 4
Zadania z II edycji Konkursu Matematycznego Omega Czas rozwiązywania: 90 minut.. Cena biletu na mecz piłki nożnej wynosiła 60 złotych. Gdy cenę obniżono okazało się, że na mecz przychodzi o 50% widzów więcej, a dochód uzyskany ze sprzedaży biletów na jeden mecz wzrósł o 25%. O ile obniżono cenę biletu? 2. Jeżeli cyfrę dziesiątek pewnej liczby dwucyfrowej zwiększymy o 4, a jej cyfrę jedności zmniejszymy o 2 to otrzymamy liczbę mniejszą od 86. Jeśli zaś cyfrę dziesiątek tej liczby zmniejszymy o 2, a cyfrę jedności powiększymy o, to otrzymamy liczbę większą od 27. Jaka to liczba? 3. Rozważ trójkąt ABO, gdzie A i B są punktami przecięcia prostej o równaniu y = 2x 8 odpowiednio z osiami OX i OY, a punkt O jest początkiem układu współrzędnych. Dla jakiej wartości współczynnika a, prosta y = ax dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty o równych polach? 4. Na jednym kole opisano kwadrat, a na drugim trójkąt równoboczny. Jaki jest stosunek pól tych kół, jeśli pole kwadratu równe jest polu trójkąta? 5. Pień drzewa o długości 3 m rozpiłowano na dwie części w taki sposób, że jedna z nich ma trzy razy więcej centymetrów niż druga decymetrów. Jaka jest długość każdej części? 5