Model Isinga. Katarzyna Sznajd-Weron

Podobne dokumenty
Krytyczność i przejścia fazowe. Katarzyna Sznajd-Weron

Krytyczność, przejścia fazowe i symulacje Monte Carlo. Katarzyna Sznajd-Weron Physics of Complex System

Wstęp do fizyki statystycznej: krytyczność i przejścia fazowe. Katarzyna Sznajd-Weron

Co to jest model Isinga?

Fizyka statystyczna i termodynamika Wykład 1: Wstęp. Katarzyna Sznajd-Weron Katedra Fizyki Teoretycznej

Układ (fizyczny) Fizyka Systemów Złożonych (Physics of Complex Systems) Wyk 1: Wstęp

Przejścia fazowe w 1D modelu Isinga

Obliczenia inspirowane Naturą

Modele sieciowe fizyki statystycznej i symulacje Monte Carlo. Katarzyna Sznajd-Weron

model isinga 2d ab 10 grudnia 2016

Równowaga w układach termodynamicznych. Katarzyna Sznajd-Weron

e E Z = P = 1 Z e E Kanoniczna suma stanów Prawdopodobieństwo wystąpienia mikrostanu U E = =Z 1 Wartość średnia energii

Układy statystyczne. Jacek Jurkowski, Fizyka Statystyczna. Instytut Fizyki

Wielki rozkład kanoniczny

Modelowanie Agentowe Układów Złożonych Wstęp. Katarzyna Sznajd-Weron

Ilustracja metody Monte Carlo obliczania pola obszaru D zawartego w kwadracie [a,b]x[a,b]

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 14 Maszyna Boltzmanna

Równoległe symulacje Monte Carlo na współdzielonej sieci

WĘDRÓWKI ATOMÓW W KRYSZTAŁACH: SKĄD SIĘ BIORĄ WŁASNOŚCI MATERIAŁÓW. Rafał Kozubski. Instytut Fizyki im. M. Smoluchowskiego Uniwersytet Jagielloński

17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek

Klasyfikacja przemian fazowych

Fizyka statystyczna Fenomenologia przejść fazowych. P. F. Góra

Momentem dipolowym ładunków +q i q oddalonych o 2a (dipola) nazwamy wektor skierowany od q do +q i o wartości:

Badanie słabych przemian fazowych pierwszego rodzaju w eksperymencie komputerowym dla trójwymiarowego modelu Ashkina-Tellera

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 9 Sieci rekurencyjne. Autoasocjator Hopfielda

Program MC. Obliczyć radialną funkcję korelacji. Zrobić jej wykres. Odczytać z wykresu wartość radialnej funkcji korelacji w punkcie r=

Dynamiki rynków oligopolistycznych oczami fizyka

Algorytmy MCMC (Markowowskie Monte Carlo) dla skokowych procesów Markowa

Kwantyle. Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p. , że. Możemy go obliczyć z dystrybuanty: P(X x p.

Modelarnia krytyczność i złożoność

Stochastyczna dynamika z opóźnieniem czasowym w grach ewolucyjnych oraz modelach ekspresji i regulacji genów

Metody inwersji Bayesowskiej -L7- IGF PAN, 21.IV.2005

PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω)

Elementy termodynamiki i wprowadzenie do zespołów statystycznych. Katarzyna Sznajd-Weron

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek

Zespół kanoniczny N,V, T. acc o n =min {1, exp [ U n U o ] }

Wykład 8 i 9. Hipoteza ergodyczna, rozkład mikrokanoniczny, wzór Boltzmanna

Wykładnicze grafy przypadkowe: teoria i przykłady zastosowań do analizy rzeczywistych sieci złożonych

16 Jednowymiarowy model Isinga

TERMODYNAMIKA MODELU FALICOVA KIMBALLA SYMULACJE MONTE CARLO

Przejścia fazowe w uogólnionym modelu modelu q-wyborcy na grafie zupełnym

Metody probabilistyczne

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 10 Sieci rekurencyjne. Autoasocjator Hopfielda

Ogólny schemat postępowania

Potęga modeli agentowych

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Wykorzystanie sieci rekurencyjnych w optymalizacji grafowej

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa

Fizyka statystyczna Teoria Ginzburga-Landaua w średnim polu. P. F. Góra

Metoda Monte Carlo. Katarzyna Sznajd-Weron

Wykład 1 Próba i populacja. Estymacja parametrów z wykorzystaniem metody bootstrap

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI

Rozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE

Rzadkie gazy bozonów

2. P (E) = 1. β B. TSIM W3: Sygnały stochastyczne 1/27

S ścianki naczynia w jednostce czasu przekazywany

Algorytmy MCMC i ich zastosowania statystyczne

Algorytm Metropolisa-Hastingsa

Wstęp do sieci neuronowych, wykład 9 Sieci rekurencyjne. Autoasocjator Hopfielda

Wielowymiarowy próbnik Gibbsa

Ważne rozkłady i twierdzenia

Redukcja wariancji w metodach Monte-Carlo

Spis treści. Przedmowa Obraz makroskopowy Ciepło i entropia Zastosowania termodynamiki... 29

Elementy termodynamiki

Prawdopodobieństwo geometryczne

Modelowanie rynków finansowych z wykorzystaniem pakietu R

Elementy termodynamiki

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.

Procesy stochastyczne

Funkcje charakteryzujące proces. Dr inż. Robert Jakubowski

LABORATORIUM PODSTAW TELEKOMUNIKACJI

Równowaga. równowaga metastabilna (niepełna) równowaga niestabilna (nietrwała) równowaga stabilna (pełna) brak równowagi rozpraszanie energii

Maksymalne powtórzenia w tekstach i zerowa intensywność entropii

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice

1 Rachunek prawdopodobieństwa

Prezentacje do wykładu: Modelarnia krytyczność i złożoność

Ferromagnetyki, paramagnetyki, diamagnetyki.

Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3

GRA Przykład. 1) Zbiór graczy. 2) Zbiór strategii. 3) Wypłaty. n = 2 myśliwych. I= {1,,n} S = {polować na jelenia, gonić zająca} S = {1,,m} 10 utils

Podstawy OpenCL część 2

Geometryczna zbieżność algorytmu Gibbsa

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Termodynamika materiałów

Czym się różni ciecz od ciała stałego?

Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Stochastyczne dynamiki z opóźnieniami czasowymi w grach ewolucyjnych

Model Pasywnego Trasera w Lokalnie Ergodycznym Środowisku

Statystyki kwantowe. P. F. Góra

Mikroekonometria 6. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński

Nadsubtelne pola magnetyczne 57 Fe w kwazibinarnych fazach Lavesa Sc(Fe Ni 1 x x ) 2 zsyntetyzowanych pod wysokim ciśnieniem

Problemy i rozwiązania

FIZYKA STATYSTYCZNA. d dp. jest sumaryczną zmianą pędu cząsteczek zachodzącą na powierzchni S w

Tematy prac magisterskich i doktorskich

Monte Carlo, bootstrap, jacknife

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Podstawy termodynamiki

Transkrypt:

Model Isinga Katarzyna Sznajd-Weron

Temperatura Curie ciągłe przejście fazowe magnes ferromagnetyk Przejście fazowe Katarzyna Sznajd-Weron Ferromagnetyk T T c Paramagnetyk T > T c Jak to zrozumieć?

Model Isinga (Lenza-Isinga?) 1920 Lenz wymyślił prosty model 1925 rozprawa doktorska Ernsta Isinga Brak przejścia fazowego w 1D Konkluzja: brak przejścia w dowolnym wymiarze Jedyna praca Isinga L H = J <i,j> S i S j h i S i

Beitrag zur Theorie des Ferromagnetismus Ising, Ernst. Zeitschrift für Physik Volume: 31 Issue 1 (1924)

Artykuły nawiązujące do modelu

Model Isinga w 1D brak przejścia L L H = J 1D S i S j h S i H = J i=1 S i S i+1 h S i <i,j> i i Z = exp βh = exp βh S i =±1 S 1 =±1 S 2 =±1 S L =±1 f = F N = kt lim N 1 N lnz = ktlnz max m = f h T = 0 T > 0

Complexity and criticality, strony 115-241

Energia swobodna - ścisłe rozwiązanie modelu Isinga w 1D

Podatność - ścisłe rozwiązanie modelu Isinga w 1D

Energia wewnętrzna

Ciepło właściwe

Ising się mylił

Dalsze losy modelu Isinga Przejście fazowe w 2D bez pola Średnie pole: T c = qj k B = 4 J k B Peierls (1936): T c = 2.885 J Onsager (1944): sinh 2J k B T k B = 1, T c = 2.269 J k B Nie istnieje rozwiązanie w 2D+pole i 3D Symulacje Komputerowe 3D i 2D z polem

Rozwiązanie średniopolowe m = tanh βjzm + βh m 0 = tanh βjzm 0 = tanh T c T m 0 T c = Jz/k B

Rozwiązanie średniopolowe

Rozwiązanie średniopolowe

Wynik analityczny w 2D

Argument Landaua o braku porządku w 1D dla oddziaływań krótkozasięgowych L min E E 0 min E E 0 ε E 0 + ε ΔE = ε W stanie równowagi energia swobodna minimalna: F = E TS ΔF = ΔE TΔS = ε TΔS

Co ze zmianą entropii? L S = k B lnω Ω = L 1 L 1 ΔF = ΔE TΔS = ε TΔS = ε Tk B ln(l 1) Dla L mamy ΔF < 0 Energia maleje gdy pojawia się ściana domenowa!!!

Co jeśli oddziaływanie dalekozasięgowe? (Efekt Thoulessa)

Algorytm Metropolisa

Algorytm Metropolisa 1MCS = N losowań Wylosuj jeden spin S i Oblicz energię E = E(S i ) = S i J σ j nn S j Oblicz energię E = E( S i ) = S i J σ j nn S j Oblicz zmianę energii ΔE = E E Jeżeli ΔE 0 to S i S i Jeżeli ΔE > 0 to wylosuj r z przedziału [0,1] i akceptuj nową konfigurację jeżeli: r < p = exp ΔE k B T, k B = J = 1

Wylosuj spin S i Oblicz ΔE obrotu S i S i Obróć spin TAK NIE ΔE < 0? S i S i Wylosuj x U(0, 1) Obróć spin TAK x < exp( ΔE/ NIE S i S i T)? iter N? TAK Oblicz magnetyzację NIE

Trajektorie dla T=1.85, L=100 (symulacje Jakub Pawłowski)

Trajektorie dla T=2.26 (symulacje Jakub Pawłowski)

Przejście fazowe w modelu Isinga (symulacje Maciej Tabiszewski)

Symulacja Monte Carlo Modelu Isinga dla zadanej temperatury T Przygotuj stan początkowy układu Pozwól mu ewoluować jak? Poczekaj aż ustali się magnetyzacja Zanotuj wartość m Powtarzaj to dużo razy Policz średnią magnetyzację Jaka to średnia? N m =< S i > 1 N i=1 S i

Średnia po zespole Średnia po czasie i średnia po zespole Średnia po czasie Układ ergodyczny to średnia po zespole = średnia po czasie

Ewolucja układu w czasie (ferromagnetyk) niska temperatura Oddziaływanie porządkuje Temperatura losowe zmiany W niskich temperaturach porządek W wysokich temperaturach nieporządek m =< S i > = 1 N i=1 N S i

Dynamiki w modelu Isinga

Ewolucja gęstości prawdopodobieństwa dp r dt = s r dp r dt = s r W s r P s s r W r s P r W s r P s W r s P r = 0 W s r P s = W r s P r Warunek stacjonarności Warunek równowagi szczegółowej P r = Zexp βe r Rozkład w równowadze W s r W r s = P r P s = Zexp βe r Zexp βe S = exp( βδe)

Prawdopodobieństwo przejścia dynamika Metropolisa: W M = min[1, exp( βδe)] dynamika Glaubera lub heat-bath: W G = 1 1 + exp(βδe) W temperaturze T = 0: 0 jeśli ΔE > 0 W(ΔE) = W 0 jeśli ΔE = 0 1 jeśli ΔE < 0

Prawdopodobieństwo przejścia

Rozkład magnetyzacji w czasie dla T=1.85 (symulacje Jakub Pawłowski)

Rozkład magnetyzacji w czasie dla T=2.26 (symulacje Jakub Pawłowski)

Relaksacja w T=0 z aktualizacją sekwencyjną

Co jeśli aktualizacja synchroniczna?

Jaki jest typ przejścia fazowego? Przejścia nieciągłe: Skok parametru porządku β = 0 Histereza (czułość na warunki początkowe) Współistnienie faz Brak skalowania?

Jaki jest typ przejścia fazowego?

Dyskusja o typie przejścia Dla W 0 0.5 absorpcyjny stan ferromagnetyczny Dla W 0 > 0.5 stan stacjonarny zależy od typu aktualizacji Dla aktualizacji synchronicznej nieciągłe przejście fazowe w W 0 = 0.5 T = 0 brak równowagi