Prezentacje do wykładu: Modelarnia krytyczność i złożoność

Transkrypt

1 Prezentacje do wykładu: Modelarnia krytyczność i złożoność Katarzyna Weron Wrocław, 2012 Projekt Rozwój potencjału i oferty edukacyjnej Uniwersytetu Wrocławskiego szansą zwiększenia konkurencyjności Uczelni współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

2 Modelarnia krytyczność i złożoność (Wstęp) Katarzyna Sznajd-Weron

3 Model wiernie odwzorowujący rzeczywistość karykatura co jest najważniejsze? uniwersalność, badania podstawowe, rozwój dziedziny weryfikacja teorii możliwość podejścia analitycznego testowanie metod obliczeniowych

4 Klasyfikacja modeli Zgodność z rzeczywistością: wysoka (precyzyjne) lub niska (proste modele) Poziom opisu: mikroskopowy lub makroskopowy Dynamika (reguły): deterministyczne lub losowe Oddziaływania: siły, energie, reguły Zmienne (czas, przestrzeń, stany): dyskretne lub ciągłe

5 Równanie logistyczne, Verhulst (1838) dn dt c N 1 c rc N K t 1 t t 1 c t Barnacle Goose population, Źródło: Armson, R., Cockroft, J.M. and Stone, J.A.R. (2000). Modelling a Barnacle Goose Population, Teaching Mathematics and its applications, Vol.19, No.2, pp.74-82

6 Thomas Schelling i jego pomysł Nagroda Nobla 2005 z Ekonomii za wykorzystanie teorii gier do zrozumienia konfliktów i współpracy Mikro motywy i makro zachowanie ( ): segregacja przestrzenna ludzi (c) 2011 Katarzyna Sznajd-Weron 5

7 Model Schellinga (1971) Agenci mogą być tylko dwóch typów i początkowo rozmieszczeni są losowo na sieci Agent jest nieszczęśliwy jeżeli ma w otoczeniu większość obcych W każdym kroku symulacji jeden nieszczęśliwy, losowo wybrany agent jest przesuwany do losowo wybranej wolnej komórki Czego moglibyśmy się spodziewać? Zobaczmy (c) 2011 Katarzyna Sznajd-Weron 6

9 Jaka nauka płynie z tego modelu? Model segregacji ze względu na pewną cechę (rasa, płeć, wiek, styl życia, pozycja, zamożność) Nikt nie preferuje ścisłej segregacji Ostra segregacja mimo łagodnych preferencji Mikro motywy i makro zachowanie (c) 2011 Katarzyna Sznajd-Weron 8

10 Nowe zjawiska Emergencja - całkowita segregacja pojawia się jako wynik oddziaływań pomiędzy osobnikami Krytyczność - segregacja pojawia się poniżej pewnej krytycznej wartości tolerancji Maurits Cornelis Escher, SKY & WATER

11 Complexity P.W. Anderson 1977 nagroda Nobla z fizyki prace nad nieuporządkowanymi układami magnetycznymi, które w efekcie pozwoliły na rozwój urządzeń (pamięć) używanych w komputerach. Najbardziej kreatywny fizyk (wg. analizy José Soler, 2006) P. W. Anderson, More Is Different Science, New Series, Vol. 177, No (Aug. 4, 1972), pp

12 Złożoność Co innego niż zawiłość (skomplikowanie) Emergencja Krytyczność Nieprzewidywalność Dziwne pętle, sprzężenia zwrotne Maurits Cornelis Escher, ASCENDING AND DESCENDING

13 Modelarnia - krytyczność i złożoność Katarzyna Sznajd-Weron Instytut Fizyki Teoretycznej, Uniwersytet Wrocławski 13 lutego 2012 Katarzyna Sznajd-Weron Modelarnia - krytyczność i złożoność

14 Literatura Landau, D. P. and Binder, K. A Guide to Monte Carlo simulations in Statistical Physics, Cambridge University Press (2005) Heermann, W. Podstawy symulacji komputerowych w fizyce, WNT (1997) J. J. Binney, N. J. Dowrick, A. J. Fisher, M. E. J. Newman, Zjawiska krytyczne. Wstęp do grupy renormalizacji, PWN, Warszawa (1998) J. Klamut, K. Durczewski, J. Sznajd, Wstęp do fizyki przejść fazowych, (Wyd. PAN 1979) K. Christensen and N. R. Moloney, Complexity and Criticality, Imperial College Press (2005) Katarzyna Sznajd-Weron Modelarnia - krytyczność i złożoność

15 Model Isinga H = J σ i σ j h σ i, σ i = ±1 (1) <i,j> i gdzie < i, j > oznacza sumowanie po parach najbliższych sąsiadów (nn od nearest neighbors). spin wraz z najbliższym sąsiedztwem sieć jednowymiarowa sieć dwuwymiarowa kwadratowa/prostokątna sieć dwuwymiarowa heksagonalna Katarzyna Sznajd-Weron Modelarnia - krytyczność i złożoność

16 Ferromagnetyk czy antyferromagnetyk? N - liczba wszystkich cząstek M - liczba par σ i σ j = 1 (antyferromagnetycznych) N M - liczba par σ i σ j = +1 (ferromagnetycznych) Energia układu: H = J <i,j> σ i σ j = J [+1(N M) 1M] = J(N 2M) Dla M = 0 mamy H = H ferro = JN Dla M = N mamy H = H antiferro = JN Dla J > 0 min wartość ma H ferro, a max H antiferro Dla J < 0 min wartość ma H antiferro, a max H ferro (2) Katarzyna Sznajd-Weron Modelarnia - krytyczność i złożoność

17 Metody analizy modelu Ścisłe rozwiązanie w 1D z polem i bez pola Ścisłe rozwiązanie w 2D bez pola Analityczne metody przybliżone Metoda średniego pola Metoda Grupy Renormalizacyjnej Metoda szeregów wysokotemperaturowych Metoda symulacji komputerowych MC Katarzyna Sznajd-Weron Modelarnia - krytyczność i złożoność

18 Metoda Monte Carlo Metoda obliczania wielkości dających się przedstawić w postaci wartości oczekiwanej pewnych rozkładów probabilistycznych. Niech a oznacza poszukiwaną wielkość i jest wartością oczekiwaną a = EX pewnej zmiennej losowej X. Jeżeli jesteśmy w stanie generować niezależne wartości S 1, S 2,... z rozkładu zmiennej X, to z mocnego prawa wielkich liczb wynika, że: 1 lim n n (S S n ) = a. (3) Metoda Monte Carlo polega więc na szacowaniu wielkości a przez średnią z pewnej odpowiednio dobranej n elementowej próby. Jak dobrać tą próbę? Katarzyna Sznajd-Weron Modelarnia - krytyczność i złożoność

19 Jak dobrać losową próbę (fizyka statystyczna)? Każdy układ przy niezmiennych warunkach zewnętrznych znajduje się w stanie równowagi termodynamicznej, a jeżeli przy takich warunkach nie jest w stanie równowagi to w końcu do stanu równowagi termodynamicznej przechodzi. W stanie równowagi prawdopodobieństwo tego, że układ znajdzie się w stanie i: P eq i = 1 Z exp( βe i), (4) E i - energia i-tego stanu β = 1/k B T, a k B = J K 1 jest stałą Boltzmanna Z = α exp( βe i ) suma stanów (partition function) Katarzyna Sznajd-Weron Modelarnia - krytyczność i złożoność

20 Co się dzieje zanim układ dojdzie do równowagi? Hamiltonian stan równowagi Musimy włożyć ręką dynamikę Dynamika podanie prawdopodobieństwa przejścia W i j ze stanu i do j Stan układu - konfiguracja (2 N możliwych konfiguracji - możemy ponumerować i = 1,..., 2 N ) P i (t) - prawdopodobieństwo znalezienia układu w stanie i, w chwili t Dla t powinno P i (t) P eq i Ewolucja układu - równanie fundamentalne (Master) dp i (t) dt = [P i (t)w i j P j (t)w j i ], (5) i j Katarzyna Sznajd-Weron Modelarnia - krytyczność i złożoność

21 Jak wyznaczyć prawdopodobieństwa przejścia? W stanie równowagi: dp i (t) dt = 0 [P i (t)w i j P j (t)w j i ] = 0. (6) i j Powyższy warunek będzie na pewno spełniony gdy zachodzi warunek równowagi szczegółowej: Z żądania aby w stanie równowagi: otrzymujemy warunek: P i (t)w i j = P j (t)w j i. (7) Z 1 e E i /k B T W i j = Z 1 e E j/k B T W j i (8) W i j W j i = e Ej/kBT e E i /k B T = e (E j E i )/k B T, (9) Katarzyna Sznajd-Weron Modelarnia - krytyczność i złożoność

22 Prawdopodobieństwa przejścia niejednoznaczne dynamika Metropolisa, zaproponowana w pracy N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller, E. Teller, J. Chem. Phys. 21, 1087 (1953): W i j = W M ( H) = min(1, exp( β H)), (10) H zmiana energii związaną z przejściem ze stanu i do j dynamika Glaubera, zaproponowana w pracy R. J. Glauber, J. Math. Phys. 4, 294 (1963): W i j = W σk σ k = W 0 1 σ k tanh β q <k> gdzie W 0 jest stałą wybraną przez Glaubera jako 1/2. J kq σ q (11) Katarzyna Sznajd-Weron Modelarnia - krytyczność i złożoność

23 Algorytm Metropolisa 1 Wybierz (losowo) węzeł i. 2 Oblicz zmianę energii H = H( σ i ) H(σ i ) odpowiadającą obrotowi spinu tzn. σ i σ i 3 Jeżeli H 0 wówczas obróć spin (σ i σ i ) i wróć do punktu 1, w przeciwnym razie idź do punktu 4. 4 Wygeneruj liczbę losową r z rozkładu jednostajnego na przedziale (0, 1). 5 Jeżeli r exp( H/k B T ) to zmianę akceptuj. 6 Wróć do 1 Wykonanie N razy kroków 1 5 powyższego algorytmu oznacza, że minął jeden krok Monte Carlo (MCS). Katarzyna Sznajd-Weron Modelarnia - krytyczność i złożoność

24 Magnetyzacja w Modelu Isinga Jeżeli mierzymy magnetyzację: m = 1 N N σ i (12) i=1 po każdym kroku Monte Carlo to po pewnym czasie (termalizacji) możemy zauważyć, że stabilizuje się ona na pewnej wartości m st, a raczej fluktuuje wokół tej wartości. Żeby otrzymać zależność pomiędzy równowagową wartością magnetyzacji a temperaturą, dla każdej temperatury T wykonujemy pewną liczbę lsym symulacji wg. powyższego algorytmu i obliczamy: < m st (T ) >= 1 lsym m i lsym st(t ). (13) W praktyce najczęściej przyjmuje się, że stałe J = 1, k B = 1 i wtedy mówimy o zredukowanej temperaturze. Katarzyna Sznajd-Weron i=1 Modelarnia - krytyczność i złożoność

25 Przejście fazowe w Modelu Isinga Rysunek: Zależność magnetyzacji od temperatury w dwuwymiarowym modelu Isinga bez pola dla siatki heksagonalnej, kwadratowej i trójkątnej. Wyniki uzyskane droga symulacji Monte Carlo przez pana Macieja Tabiszewskiego (październik 2009). Rozmiar siatki , czas termalizacji 100MCS, liczba uśrednień Jak widać im większa liczba sąsiadów tym wyższa temperatura krytyczna. Katarzyna Sznajd-Weron Modelarnia - krytyczność i złożoność

26 Stan początkowy Losowe jednorodne rozmieszczenie spinów na sieci - w każdym węźle sieci z równym prawdopodobieństwem może się znaleźć cząstka o momencie magnetycznym +1, jak i 1. Taki stan odpowiada sytuacji wysokotemperaturowej, dla któ rego magnetyzacja m = 0. Wszystkie cząstki mają taki sam moment magnetyczny (stan ferromagnetyczny). Taki stan odpowiada temperaturze T = 0, gdy magnetyzacja m = 1. Katarzyna Sznajd-Weron Modelarnia - krytyczność i złożoność

27 Cykliczne warunki brzegowe Czy znajdujemy się na brzegu (if) - bleee Skorzystanie z funkcji modulo. Pomocnicza jednowymiarowej tablicy statycznej b (od boundary) zdefiniowanej następująco: b[0] = N; b[n + 1] = 1; for( int i = 1; i < N + 1; + + i) b[i] = i; (14) Lewy najbliższego sąsiada spinu S[x][y] to S[b[x 1]][y] Katarzyna Sznajd-Weron Modelarnia - krytyczność i złożoność

28 Jak losować? W jaki sposób wybrać losowo węzeł x? Skorzystaj z generatora liczb losowych, najlepiej Mersenne Twistera Wylosuj liczbę x [1, N], gdzie N jest rozmiarem układu Jeżeli symulujemy układ dwuwymiarowy to można oczywiście używać tablic dwuwymiarowych i wobec tego losować dwie liczby x, y, ale nie jest to konieczne. Jak zrealizować polecenie, że jakieś zdarzenie ma zajść z prawdopodobieństwem p, a z 1 p nie? Skorzystaj z generatora liczb losowych, najlepiej Mersenne Twistera Wylosuj liczbę r (0, 1] i porównać ją z parametrem p Jeśli p r wówczas zdarzenie zajdzie, w przeciwnym wypadku nie zajdzie Katarzyna Sznajd-Weron Modelarnia - krytyczność i złożoność

29 Katarzyna Sznajd-Weron Modelarnia - krytyczność i złożoność

30 Temperatura krytyczna w modelu Isinga Brak w 1D z oddziaływaniem najbliższego sąsiedztwa (inna sprawa oddział. dalekozasięgowych) Energia swobodna: F = E TS, (15) gdzie E jest energią wewnętrzną, a S entropią: S = k B ln Ω. (16) Zmiana energii wewnętrznej związana z pojawieniem się jednej pary przeciwległych spinów wynosi: F = 2J k B T ln N. (17) W 2D bez pola T c = ( )J/k B i magnetyzacja: [ cosh 2 2β ( m = sinh 2 sinh 4 2β 1 )] 1/8. (18) 2β Katarzyna Sznajd-Weron Modelarnia - krytyczność i złożoność

31 Model Gazu Sieciowego Układ na sieci d-wymiarowej o długości boku L z cyklicznymi warunkami brzegowymi. Każdy węzeł sieci może znajdować się w jednym z dwóch stanów n i = 0, 1 (pusty, zajęty), gdzie i = 1,..., L d (oddziaływanie sztywnych sfer) Energia oddziaływania pomiędzy cząstkami zadana jest hamiltonianem: H = 4J n i n j, (19) <i,j> Jeżeli wprowadzimy następujące podstawienie zmiennych: n i = σ i σ i = 2n i 1, (20) wówczas otrzymamy zmienne spinowe σ i = ±1 i model Isinga Katarzyna Sznajd-Weron Modelarnia - krytyczność i złożoność

32 Przejście fazowe w Modelu Gazu Sieciowego Zakładamy, że całkowita liczba cząstek N = L d k=1 n i (21) się nie zmienia (magnetyzacja jest stała) Dla 2D i koncentracji cząstek c = 1/2 przejście fazowe w tej samej temperaturze co dla modelu Isinga T 0 = ( )J/k B. Dla T < T 0 mamy do czynienia z uporządkowaniem istnieje obszar o bardzo wysokiej gęstości cząstek i obszar prawie pusty Katarzyna Sznajd-Weron Modelarnia - krytyczność i złożoność

33 Algorytm symulacji - dynamika Kawasakiego 1 Ustal stan początkowy - np. losowo rozmieszczone cząstki na sieci (z prawdopodobieństwem c miejsce sieci będzie zajęte, a z 1 c puste; w ogólnym przypadku c [0, 1]). 2 Wybierz losowo parę sąsiadujących miejsc i oraz j. 3 Jeżeli n i n j (tzn. wybrana została cząstka i dziura) wówczas oblicz zmianę energii H, jaka towarzyszyłaby przesunięciu cząstki w puste miejsce i idź do punktu 3, w przeciwnym wypadku wróć do punktu 2. 4 Przesuń cząstkę z prawdopodobieństwem W = min[1, exp( H/k B T )]. 5 Wróć do punktu 2. Katarzyna Sznajd-Weron Modelarnia - krytyczność i złożoność

34 Model Katza, Lebowitza i Spohna (KLS) Wyobraźmy sobie teraz, że istnieje jakaś siła, która napędza cząstki w jednym z kierunków (np. pole elektryczne lub grawitacyjne) Jeżeli założymy, że pole napędzające cząstki działa wzdłuż kierunku y to prawdopodobieństwo przesunięcia cząstki wyniesie: W = min[1, exp([ H + E y]/k B T )], (22) gdzie E jest wielkością pola działającego wzdłuż osi y, a y = 1, 0, 1 w zależności od kierunku przesunięcia cząstki (+1 wzdłuż pola, 1 w przeciwnym kierunku do pola). Nie da się tego modelu zapisać przy pomocy hamiltonianu! Typowa sytuacja dla układów nierównowagowych - zamiast hamiltonianem, układ opisany jest regułą dynamiczną. Katarzyna Sznajd-Weron Modelarnia - krytyczność i złożoność

35 Jak zmienia się T c w 2D modelu KLS wraz z E? 1 Dla E = 0 mamy zwykły gaz sieciowy, czyli dla c = 1/2 T 0 = ( )J/k B. 2 Wzrost E wzrost liczby zerwanych połączeń 3 W równowagowym modelu Isinga temperatura krytyczna spada z liczbą sąsiadów 4 Mniej połączeń dla większych E to niższa temperaturę krytyczną? 5 Dokładnie odwrotnie wraz z wzrostem E rośnie temperatura krytyczna T c 6 Intuicja pochodząca z układów równowagowych kompletnie nas zawiodła. 7 Symulacje wykazały, że dla E, T c 1.4T 0 (S. Katz, J.L. Lebowitz and H. Spohn, Phys. Rev. B 28, 1655 (1983); J. Stat. Phys. 34, 497 (1984).). Katarzyna Sznajd-Weron Modelarnia - krytyczność i złożoność

36 Istnienie korelacji dalekozasięgowych dla T > T c! Kowariancja (miara zgodności X, Y ): Cov(X, Y ) =< (X < X >)(Y < Y >) >, (23) gdzie < X > jak zwykle oznacza wartość oczekiwaną (średnią) zmiennej losowej X (oznaczanej w matematyce zwykle jako EX): < X >= p i x i. (24) i W praktyce używa się raczej unormowanej kowariancji, którą nazywamy współczynnikiem korelacji: ρ XY = Cov(X, Y ) DXDY, (25) gdzie DX = (VarX) jest odchyleniem standardowym, a VarX wariancją zmiennej losowej X zdefiniowanej jako: VarX =< (X < X >) 2 >. (26) Katarzyna Sznajd-Weron Modelarnia - krytyczność i złożoność

37 Korelacje potęgowe w KLS dla T > T c? W modelu KLS korelacji dalekozasięgowych występują dla T > T c, czyli w przypadku gdy układ jest jednorodny. W KLS dla T > T c korelacje zależą od odległości w sposób potęgowy W układach równowagowych takie korelacje występują jedynie w pobliżu punktu krytycznego. Katarzyna Sznajd-Weron Modelarnia - krytyczność i złożoność

38 Co się dzieje w KLS dla T < T c? Dla niskich temperatur pojawia sie oczywiście separacja fazy gęstej i rzadkiej, podobnie jak w równowagowym gazie sieciowym. Różnica pomiędzy układem równowagowym i nierównowagowym ujawnia się jednak w granicy pomiędzy fazami. W przypadku nierównowagowym granica ta jest poszarpana i wykonuje błądzenie losowe, natomiast w przypadku modelu KLS granica ta jest gładka. Katarzyna Sznajd-Weron Modelarnia - krytyczność i złożoność

39 Mukamel (PRL,1998): Model dyfundujących cząstek na okręgu. Siatka 1D z cyklicznymi warunkami brzegowymi o długości N (pierścień) Każdy węzeł jest zajęty przez jedną z cząstek A, B, C Ewolucja podlega losowej sekwencyjnej dynamice zdefiniowanej następująco: W każdym kroku czasowym wybierana jest losowo para sąsiadów Cząstki są zamieniane zgodnie z następującymi regułami: AB q BA, BA 1 AB (27) BC q CB, CB 1 BC (28) CA q AC, AC 1 CA. (29) Liczba cząstek (N A, N B, N C ) każdego rodzaju jest zachowana Katarzyna Sznajd-Weron Modelarnia - krytyczność i złożoność

40 Mukamel (PRL,1998): Separacja faz Dla q = 1 symetryczna dyfuzja, układ jest nieuporządkowany Dla q < 1 ściany...ab...,...bc...,...ca... są stabilne z nieporządku powstają stany typu...aabbccaaab... Domeny rosną z czasem jak ln t/ lnq Ostatecznie następuje całkowita separacja na 3 domeny A...AB...BC...C W układzie skończonym domeny A będą się rozpadać w czasie rzędu q min{n B,N C }, itp. W granicy termodynamicznej to jest asymptotyczne zachowanie Katarzyna Sznajd-Weron Modelarnia - krytyczność i złożoność AB q BA, BA 1 AB (30) BC q CB, CB 1 BC (31) CA q AC, AC 1 CA. (32)

41 Przejścia fazowe w 1D? Według powszechnych wierzeń, klasycznych argumentów Landaua oraz ścisłych dowodów w przypadku niektórych układów, przejścia fazowe nie występują w układach jednowymiarowych ze skończonym zasięgiem oddziaływań. W jednowymiarowym modelu Isinga nie ma przejścia fazowego - wynik ścisły Twierdzenie van Hove a: w jednowymiarowych układach z bliskim zasięgiem oddziaływania i oddziaływanie sztywnych sfer nie występują przejścia fazowe. Twierdzenie Mermina-Wagnera: W układach jedno- i dwuwymiarowych opisanych modelem Heisenberga uporządkowanie magnetyczne nie występuje dla temperatur T > 0. W układach nierównowagowych to nie musi być prawda! Katarzyna Sznajd-Weron Modelarnia - krytyczność i złożoność

42 Trzęsienia Ziemi i inne katastrofy Katarzyna Sznajd-Weron Instytut Fizyki Teoretycznej, Uniwersytet Wrocławski 21 lutego 2012 Katarzyna Sznajd-Weron Trzęsienia Ziemi i inne katastrofy

43 Literatura Z. Olami, H.J.S. Feder, and K. Christensen, Self-Organized Criticality in a Continuous, Nonconservative Cellular Automaton Modeling Earthquakes. Phys. Rev. Lett. 68, (1992). K. Christensen, Self-Organization in Models of Sandpiles, Earthquakes, and Fireflies. Ph.D. thesis, 1-131, University of Aarhus, Denmark (1992) ( K. Christensen and N. R. Moloney, Complexity and Criticality, Imperial College Press (2005) Symulacja modelu OFC na stronie Katarzyna Sznajd-Weron Trzęsienia Ziemi i inne katastrofy

44 Zamiast wstępu Physica A 340 (2004): Complexity and criticality Per Bak ( ) Per Bak was a born phenomenologist, strongly influenced by Landau Computational Philosophy - Lessons from simple models Too complicated! was invariably his reaction to... Katarzyna Sznajd-Weron Trzęsienia Ziemi i inne katastrofy

45 Trzęsienia Ziemi - szeregi czasowe Rysunek: Trzęsienia ziemi w południowej Kalifornii (dane z katalogu SCSN, Największe wśród zapisanych N = trzęsień ma rozmiar s max = Katarzyna Sznajd-Weron Trzęsienia Ziemi i inne katastrofy

46 Trzęsienia Ziemi - rozkład Rysunek: Roczna liczba trzęsień ziemi o rozmiarze S > s (katalog SCSN, ). Rozmiar jest miarą energii uwolnionej w trakcie trzęsienia. Jak widać N(S > s) s B, linia przerywana ma nachylenie B = Katarzyna Sznajd-Weron Trzęsienia Ziemi i inne katastrofy

47 Co wiadomo o trzęsieniach ziemi? To powinno znaleźć się w modelu: Trzęsienia Ziemi są spowodowane powolnym stałym ruchem płyt tektonicznych względem siebie; pojawia się gdy odkształcenie nie jest w stanie dłużej wytrzymać naprężeń Energia odkształcenia jest kumulowana przez długi czas i szybko uwalniana Trzęsienia Ziemi pojawiają się z przerwami Katarzyna Sznajd-Weron Trzęsienia Ziemi i inne katastrofy

48 Dwuwymiarowy model sprężynowy Burridge a i Knopoffa (1967) Rysunek: Bloki są połączone między sobą sprężynami o stałych sprężystości K. Ponadto każdy blok jest połączony sprężyną o stałej sprężystości K L z górną płytą. Płyty poruszają się względem siebie z prędkością V, co powoduje równomierny wzrost siły działającej na każdy z bloków. Trzęsienie ziemi wyzwala się gdy siła działająca na każdy z bloków przekroczy opór (wartość siły tarcia), związany z dolną płytą. Katarzyna Sznajd-Weron Trzęsienia Ziemi i inne katastrofy

49 Dwuwymiarowy model sprężynowy Burridge a i Knopoffa Trzęsienie ziemi gdy siła działająca na każdy z bloków przekroczy wartość siły tarcia) Ślizgające się po dolnej płycie bloki oddziałują z najbliższymi sąsiadami zwiększają siłę działającą na nn To może wywołać przesunięcie kolejnych bloków trzęsienie ziemi rozprzestrzenia się Trzęsienie ziemi kończy się gdy siły działająca na wszystkie bloki progowa wartość siły tarcia statycznego Całkowita liczba przesuniętych bloków s wyznacza wielkość trzęsienia ziemi. Katarzyna Sznajd-Weron Trzęsienia Ziemi i inne katastrofy

50 Model blokowy OFC (Olami, Feder, Christensen 1992) Sieć L L bloków (i, j) = 1,..., L Zmienna dynamiczna to całkowita siła sprężystości F i,j działająca na blok (i, j) Przesunięcie x i,j mierzone jest względem punktu zaczepienia do górnej płyty Katarzyna Sznajd-Weron Trzęsienia Ziemi i inne katastrofy

51 Model blokowy OFC (Olami, Feder, Christensen 1992) F i,j całkowita siła sprężystości działająca na blok (i, j) Blok się przesuwa gdy F i,j > F th f i 1,j i,j, f i+1,j i,j, f i,j 1 i,j, f i,j+1 i,j siły wywierane przez 4 sąsiadujące sprężyny f L i,j siła wywierane przez przesuwającą się górną płytę Korzystając z prawa Hooke a: F i,j = f i 1,j i,j + f i+1,j i,j + f i,j 1 i,j + f i,j+1 i,j + f L i,j (1) = K(x i 1,j x i,j ) + K(x i+1,j x i,j ) K(x i,j 1 x i,j ) + K(x i,j+1 x i,j ) + K L (0 x i,j ) = K(x i 1,j + x i+1,j + x i,j 1 + x i,j+1 4x i,j ) K L x i,j. Katarzyna Sznajd-Weron Trzęsienia Ziemi i inne katastrofy

52 Model blokowy OFC F i,j = K(x i 1,j + x i+1,j + x i,j 1 + x i,j+1 4x i,j ) K L x i,j.(2) x i,j - pozycja spoczynkowa bloku gdy siła F i,j = 0: 0 = K(x i 1,j + x i+1,j + x i,j 1 + x i,j+1 4 x i,j ) K L x i,j. (3) Odejmując stronami równania (2) i (3) otrzymujemy: F i,j = (4K + K L )( x i,j x i,j ). (4) Zmiana siły spowodowana przesunięciem bloku (i, j): δf i+1,j = K( x i,j x i,j ) = K 4K + K L F i,j (5) Katarzyna Sznajd-Weron Trzęsienia Ziemi i inne katastrofy

53 Model blokowy OFC Dla wszystkich najbliższych sąsiadów (nn) będzie tak samo. Gdy blok (i, j) się przesunie to potem wróci do pozycji spoczynkowej (F i,j = 0), a wzrosną proporcjonalnie siły wywierane na nn: F nn F nn + αf i,j, (6) F i,j 0, (7) α = K. 4K + K L (8) Katarzyna Sznajd-Weron Trzęsienia Ziemi i inne katastrofy

54 Algorytm Modelu OFC - Automat komórkowy 1 Przygotuj stan początkowy w dowolnej stabilnej konfiguracji tzn. F i,j < F th dla każdego (i, j), np. wylosuj dla każdego węzła sieci F i,j (0, F th ). 2 Zwiększ siłę dla każdego węzła o δf : 3 Jeśli F i,j > F th, zrelaksuj węzeł (i, j): F i,j F i,j + δf. (9) F nn F nn + αf i,j, F i,j 0. (10) Kontynuuj aż do chwili gdy F i,j F th dla każdego (i, j) 4 Wróć do 2 Katarzyna Sznajd-Weron Trzęsienia Ziemi i inne katastrofy

55 Parametry Modelu OFC 1 Wartość progowej wartości tarcia F th jest bez znaczenia, więc dla wygody F th = α 1/4 - nie cała siła F i,j jest rozłożona na nn (dyssypacja) 3 Dla α = 1/4 energia zachowana 4 α > 1/4 nie ma sensu 5 δf = F th max(f i,j ) Katarzyna Sznajd-Weron Trzęsienia Ziemi i inne katastrofy

56 Stany stacjonarne w Modelu OFC Przestrzeń i czas są dyskretne Dynamiczne zmienne F i,j są ciągłe Liczba stabilnych konfiguracji jest nieskończona Nie wiadomo czy istnieją periodyczne (powtarzające się) konfiguracje Stan stacjonarny: średni dopływ = średni odpływ Wzrost w każdym miejscu sieci o δf zanim zacznie się relaksacja Spadek w trakcie relaksacji związany z poślizgiem każdego bloczka o (1 4α)F r b, gdzie F r b > F th jest wartością siły tuż przed relaksacją. W rogach zamiast czynnika 4α, będzie 3α lub 2α Katarzyna Sznajd-Weron Trzęsienia Ziemi i inne katastrofy

57 Stany stacjonarne w Modelu OFC Średni dopływ: Średni odpływ: < influx >=< δf > L 2 (11) < outflux > = [(1 4α) < P b Fb r > + (1 3α) < P e Fe r > + (1 2α) < P c Fc r >]] < s >, (12) gdzie P b, P e, P c są gęstością bloków wewnątrz układu, na krawędziach i na rogach, a < s > średnią liczbą lawin. < influx >=< outflux > < s > Katarzyna Sznajd-Weron Trzęsienia Ziemi i inne katastrofy

58 Szeregi czasowe (time series) dla OFC Rysunek: Wyniki symulacji w stanie stacjonarnym dla L = 256 i α = 1/4. Największa odnotowana lawina s max = (wszystkich lawin N = 10 4 ). Katarzyna Sznajd-Weron Trzęsienia Ziemi i inne katastrofy

59 Rozkład lawin dla OFC Rysunek: Rozkład lawin dla α = 1/4. Katarzyna Sznajd-Weron Trzęsienia Ziemi i inne katastrofy

60 Inne układy z lawinami o rozkładzie potęgowym Pożary lasów Deszcze Lawiny w stosach piasku, ryżu, szklanych kulek itp. Wybuchy na słońcu Zaciemnienia (blackouts) Korki uliczne Fluktuacje cen towarów Katarzyna Sznajd-Weron Trzęsienia Ziemi i inne katastrofy

61 Inne modele SOC Model pryzm piasku, Bak-Tang-Wiesenfeld (BTW) Model sterty ryżu (Oslo) Model ewolucji biologicznej Bak-Sneppen (BS) Katarzyna Sznajd-Weron Trzęsienia Ziemi i inne katastrofy

62 SOC - Self Organized Criticality Powolny dopływ energii (naprężenie, ziarnka piasku) lub inny rodzaj napędzania Ograniczona pojemność związana z istnieniem pewnego progu Uwalnianie energii w postaci lawin (sporadycznie, a nie w sposób ciągły) Powolnie napędzane nierównowagowe układy z dynamiką progową samoorganizują się do stanu stacjonarnego, w którym za zdarzeniami o dowolnym rozmiarze stoi ten sam mechanizm (prawa potęgowe) Katarzyna Sznajd-Weron Trzęsienia Ziemi i inne katastrofy

63 Model pryzmy piasku w 1D 1 Inicjalizacja: Przygotuj pryzmę w dowolnej stabilnej konfiguracji, tj. z i z th dla każdego i 2 Dopływ energii: Dodaj ziarnko w losowym miejscu i Dla i = 1 z 1 z Dla i = 2,..., L z i z i + 1 z i 1 z i Relaksacja: Dla i = 1 z 1 z z z z Dla i = 2,..., L 1 z i z i 2 z i±1 z i±1 + 1 Dla i = L z L z L 1 z L 1 z L Kontynuuj aż z i z th 4 Wróć do 2 Katarzyna Sznajd-Weron Trzęsienia Ziemi i inne katastrofy

64 Model pryzmy piasku w 2D 1 Inicjalizacja: Przygotuj pryzmę w dowolnej stabilnej konfiguracji, tj. z i z th dla każdego i 2 Dopływ energii: Dodaj ziarnko w losowym miejscu i z i z i Relaksacja: Jeśli z i > z th wówczas: z i z i 4 z nn z nn + 1 Kontynuuj relaksację wszystkich komórek i aż z i z th dla dowolnego i 4 Wróć do 2 Katarzyna Sznajd-Weron Trzęsienia Ziemi i inne katastrofy

65 Model i rzeczywistość Katarzyna Sznajd-Weron

66 Co było ostatnio? Dane czasowe (szeregi czasowe): Trzęsienia Ziemi Lawiny (piasku, ryżu, kamieni, szklanych kulek) Deszcze Pożary Wymierania gatunków i wiele innych Modele Samoorganizującej się krytyczności Stały, powolny dopływ energii Wartość progowa Relaksacja Gwałtowne uwalnianie energii

67 Modele układów społecznych Zrozumienie zjawisk społecznych segregacja przestrzenna efekt świadka (bystander) Dynamika opinii Wyniki referendum Wybory polityczne Marketing Dynamika kultury Dynamika języka

70 Gdzie szukać danych (marketing)

71 Jak porównać model z takimi danymi?

72 Jak porównać model z danymi?

73 Wybory parlamentarne Kraj jest podzielony na regiony Każdemu regionowi przydzielona jest pewna liczba miejsc Q max W każdym regionie każda partia przedstawia listę Q l Q max kandydatów Wyborcy głosują na partię i kandydata Partia zdobywa liczbę miejsc n l ~ liczba uzyskanych głosów w regionie n l pierwszych kandydatów z listy zostaje wybranych

74 Od czego zależy liczba głosów? Kandydat i zdobywa v i głosów Q li liczba kandydatów na liście l i (z której pochodzi kandydat) N li sumaryczna liczba głosów zdobyta przez kandydatów z listy l i P v, Q, N Rozkład liczby głosów zdobytych przez kandydatów Może nie zależy od Q, N ale od v 0 = N/Q? (średnia liczba głosów na kandydata w ramach listy)

75 Faktycznie ważna jest średnia!

76 Od czego zależy liczba głosów? Czy w takim razie P v, Q, N P 0 v, v 0? Przeskalujmy zmienną v v v 0 = vq N

77 Dane empiryczne wybory polityczne

78 Jaki model? Zdecydowany wyborca stara się przekonać innych do głosowania na swojego kandydata Na początku tylko kandydaci mają opinię chcą głosować na siebie Kandydaci próbują przekonać znajomych Przekonany wyborca staje się aktywny Aktywny wyborca stara się przekonać następnych Itd Przekonywanie z prawd. r

79 Co jeszcze w modelu? Dla każdego kandydata jedno drzewo Przekonywanie z prawdopodobieństwem r Każdy wyborca ma wielu znajomych k? Nie każdy tyle samo (różne k) Musimy założyć rozkład p(k) W każdym kroku iteracji przekonani wyborcy starają się przekonać swoich nieprzekonanych znajomych z prawd. r Notujemy liczbę przekonanych Kończymy gdy ta liczba osiągnie N (wielkość elektoratu tej partii w okręgu wyborczym)

80 Musimy założyć rozkład P(k) a) Sieć połączeń w internecie b) Sieć współpracy pomiędzy aktorami c) Sieć współpracy między fizykami wysokich energii d) Sieć współpracy pomiędzy neurologami

81 Kontakty seksualne w sieci węzły: ludzie (kobiety; mężczyźni) połączenia: kontakty seksualne Liljeros et al. Nature 2001

82 Rozkład z danych empirycznych Rozkład liczby znajomych: p k k α, α > 1 Minimalna liczba znajomych k min Parametry modelu: r = 0.25, k min = 10, α = 2.45

83 Kalibracja modelu Wyznaczone parametry z dopasowania do danych Na ile realistyczne są to wartości parametrów?

84 Czego mogliśmy się dowiedzieć? Czy ważne są takie modele? Dlaczego? Co jest najistotniejsze? Jak to sprawdzić? Zadanie domowe zastanów się?

85 P.S. Modele ograniczonego zaufania Modele dynamiki opinii z ciągłą zmienną O 0,1 Model Deuanta et al. Jeśli dwie opinie różnią się więcej niż o T wówczas ich nie zmieniamy W przeciwnym wypadku opinie się do siebie zbliżają Model Krause-Hegselmanna Agent zmienia opinię na średnią z wszystkich pozostałych, którzy różnią się od niego najwyżej o T

86 Porównanie modeli Model Deffuanta Model Krause-Hegselmanna Ciągłe zmienne O 0,1 Ciągłe zmienne O 0,1 Topologia: graf zupełny Aktualizacja losowa sekwencyjna losowy wybór dwóch agentów O O O n 2 O n 1 1 n 1 2 n 1 O O n 1 n 2 T O O n 2 n 1 O O n 1 n 2 Topologia: graf zupełny Aktualizacja synchroniczna Średnia opinii wszystkich agentów należących do przedziału zaufania agenta [O-T,O+T]

87 Stany stacjonarne Liczba partii dana jest wzorem c=[1/2t] Dla T=0.5 c=1 czyli mamy konsensus Dla T=0.2 c=2 czyli mamy polaryzację itd. Osiągany jest stan końcowy z c partiami

88 Co jest ważne? Modele różnią się między sobą Różnice są nieistotne Co jest ważne? Próg ograniczonego zaufania segregacja Zbliżanie się opinii konsensus w grupach Czy coś jest ważniejsze?

89 Automaty komórkowe i mrówki Katarzyna Sznajd-Weron

90 Mrówki i feromony Komunikacja między mrówkami chemotaxis Upuszczają feromony na powierzchnię, po której się poruszają Ścieżka feromonowa pozostaje jakiś czas na powierzchni Pozostałe mrówki podążają za zapachem

91 ścieżki mrówek model AC

92 Model Sieć jednowymiarowa o długości L Każde miejsce sieci zajęte przez maksymalnie jedną mrówkę Indeksujemy węzły sieci i=1,,l W każdej komórce sieci dwie zmienne: S i = 1,0 (komórka zajęta lub pusta) σ i = 1,0 (komórka zawiera feromon lub nie) Dwa zbiory zmiennych dynamicznych, stan zadany przez konfiguracje: S t = (S 1 (t), S 2 (t),, S L (t)), {σ(t)} = (σ 1 t, σ 2 t,, σ L t ).

93 Model Mrówki nie mogą się cofać Prawdopodobieństwo ruchu w przód rośnie, gdy mrówka czuje przed sobą feromon Stan układu jest aktualizowany w dwóch krokach: Krok I: Zbiór {S} (pozycje mrówek) jest aktualizowany synchronicznie (typowe dla Automatów komórkowych) zgodnie z pewnymi regułami Krok II: Zbiór {σ} (obecność lub brak feromonu) jest aktualizowany synchronicznie

94 Kroki I Jeśli S i t = 1 (komórka zajęta przez mrówkę) wówczas mrówka idzie do komórki i + 1 z prawdopodobieństwem: P S = Q jeśli S i+1 t = 0, σ i+1 t = 1 q jeśli S i+1 t = 0, σ i+1 t = 0 0 jeśli S i+1 t = 1.

95 Kroki II Jeśli σ i t = 1 wówczas σ i t + 1 = 1 z prawdop. P σ = 1 jeśli S i t + 1 = 1 po kroku I 1 f jeśli S i t + 1 = 0 po kroku I Jeśli σ i t = 0 wówczas σ i t + 1 = 1 jeśli S i t + 1 = 1 po kroku I f prawdopodobieństwo parowania feromonu na jednostkę czasową

96 Przykład

97 Model linii autobusowej

98 Jaką opisujemy sytuację? Rozważmy autobusy poruszające między przystankami wzdłuż linii autobusowych Idealna sytuacja autobusy są rozłożone równomiernie i każdy zabiera mniej więcej tyle samo pasażerów Fluktuacje może się zdarzyć, że autobus się spóźni Czas upływa i więcej pasażerów oczekuje na ten autobus niż zwykle Autobus musi zabrać więcej pasażerów będzie jeszcze bardziej spóźniony itd. Tak może powstać tłok w autobusie

99 Jak zbudować model (BRM)? Liczba autobusów zmienna zachowana Liczba pasażerów w autobusie nie jest stała Układ 1D z cyklicznymi warunkami brzegowymi autobus jedzie od pętli do pętli Sieć jednowymiarowa o długości L Indeksujemy węzły sieci i=1,,l W każdym węźle sieci dwie zmienne: Jeśli węzeł jest zajęty przez autobus τ i = 1 w przeciwnym wypadku τ i = 0 Jeśli węzeł jest zajęty przez pasażera φ i = 1 w przeciwnym wypadku φ i = 0 Nie może zajść τ i = φ i = 1

100 Model BRM Wybierz losowo węzeł i Jeśli τ i = 0, φ i = 0 wówczas φ i 1 z prawdopodobieństwem λ (może pojawić się pasażer) Jeśli τ i = 1, τ i+1 = 0 to prawdopodobieństwo μ: μ = α jeśli φ i+1 = 0 μ = β jeśli φ i+1 = 1 β < α = 1 τ i 0, τ i+1 1, φ i+1 = 0 z μ (autobus jedzie)

101 Jakie parametry? L długość sieci ρ zagęszczenie autobusów λ, prawdopodobieństwo pojawiania się pasażera β prawdopodobieństwo ruchu autobusu, który zabrał pasażera

102 Wyniki symulacji komputerowych ρ = M L - gęstość autobusów

103 Prędkość średnia częstość przeskoku Jakieś wnioski?

104 Wróćmy do mrówek

105 Model Nagela-Schreckenberga

106 Kwestia aktualizacji jest ważna! Rysunek pochodzi z pracy: Wolfgang Radax and Bernhard Rengs, Timing matters: Lessons From The CA Literature On Updating, arxiv: v1 (2010)

107 Modele agentowe oczami INNYCH (ekologów i ekonomistów) Katarzyna Sznajd-Weron

108 Biology, Sociology, Geology by Computational Physicists, 2006 "Physicists pretend not only to know everything, but also to know everything better. This applies in particular to computational statistical physicists like us"

109 Wszyscy szukają wskazówek

110 Wytyczne dla rozwoju modelu Zdecyduj czy modelowanie typu ABM jest odpowiednie dla rozważanego problemu Zaprojektuj model Zaimplementuj model Przeanalizuj

111 Kiedy użyć ABM wg. Randa i Rusa? Nie dla układów złożonych z małej liczby elementów Lokalne i potencjalnie złożone oddziaływania Niejednorodność agenci mogą być różnych typów, mieć różne wartości cech (np. różnić się zasobnością portfela) Różnorodne topologie środowiska Interesuje nas dynamika, a nie tylko stany końcowe Procesy adaptacyjne Co jeszcze? Co jest najważniejsze?

112 Projektowanie modelu decyzje: Cel i zakres działania modelu Agenci typy agentów, co odróżnia agentów należących do różnych typów Cechy agentów każdy będzie miał listę cech, jakie wartości tych cech, które to zmienne dynamiczne (np. czarni i biali;za i przeciw) Zachowania reguły zmieniające stany układu Środowisko (fizyczne, sieć społeczna, itp) topologia Wielkości wejściowe i wyjściowe (Input & Output) Czas (krok czasowy) + inicjalizacja

113 Weryfikacja Jak dobrze implementacja odpowiada koncepcji modelu? Dokumentacja Opisz dokładnie koncepcję (często po stronie INNYCH) Opisz dokładnie zaimplementowany algorytm Opisy powinny być takie, aby dały się łatwo porównać Test programu na przykładach

114 Ocena modelu na ile odpowiada rzeczywistości Micro-face validation: mechanizmy i cechy modelu na oko odpowiadają rzeczywistym? Macro-face validation: powstałe struktury i ewolucja układu odpowiada na oko rzeczywistości? Empirical input validation: wprowadzone do modelu dane (wartości parametrów) odpowiadają rzeczywistości? Empirical output validation: Wyniki modelu zgadzają się z danymi rzeczywistymi Czy macie jakieś inne pomysły

115 Craig Reynolds, 1986 Model skoordynowanego ruchu zwierząt: stada ptaków (bird flocks) ławic ryb (fish schools) Boids (Boidy) - flocking creatures Podstawowy model - trzy proste lokalne reguły zachowań boida Różnorodne zastosowania: The 1992 Tim Burton film Batman Returns was the first. It contained computer simulated bat swarms and penguin flocks [Craig Reynolds:

116 Podstawowy model Boidów Separacja (Separation): zachowanie bezpiecznej odległości od sąsiadów Wyrównanie (Alignment): dopasowanie prędkości i kierunku lotu do sąsiadów Spójność (Cohesion): kierowanie się do środka grupy sąsiednich boidów Rysunki pochodzą ze strony Craiga Reynoldsa:

117 Sąsiedztwo Sąsiedztwo charakteryzowane przez: Odległość mierzona od środka boida Kąt mierzony od kierunku lotu boida Osobniki znajdujące się poza sąsiedztwem są ignorowane Znaczenie sąsiedztwo w modelu: ograniczona percepcja (np. ryby w mętnej wodzie) Definiuje obszar oddziaływać między boidami W sąsiedztwie mogą się znajdować też : przeszkody, drapieżniki lub pożywienie

118 Boid detale Zmienne dynamiczne charakteryzujące boida: Współrzędne: x, y Prędkości: v x, v y Ewolucja zmiennych dokładnie na: Referacie Krzysztofa Cacha Zachęcam do zajrzenia na YouTube mnóstwo filmów dotyczących prawdziwych i symulowanych zachowań stadnych

119 Jak weryfikować modele? Zweryfikowany model przestaje być zabawką i staje się narzędziem Co to znaczy zweryfikować? Eksperyment przywilej fizyki? Obserwacja jak to robić?

120 Modelowanie Bottom-up Stawiamy pytania (Jaki problem rozwiązujemy?) Zbieramy istotne informacje dotyczące jednostek na niższym poziomie (Agent-based), np.: dot. ludzi jeśli modelujemy grupy społeczne zwierząt, roślin itp.. jeśli modelujemy populację biologiczną Formułujemy teorie dotyczące ich zachowań (model) Implementujemy jako symulację komputerową lub rozwiązujemy analitycznie (rzadko się udaje) Obserwujemy pojawianie się na poziomie układu pewnych własności związanych ze stawianymi pytaniami

121 Pattern-oriented modeling (POM) Cel POM - modelowanie bardziej rygorystyczne i wszechstronne Strategia wyjaśnienie obserwowanych wzorów Wzory niosą w sobie informację o wewnętrznej organizacji układu trzeba ją rozszyfrować Pojedynczy wzór to za mało niepewność modelu Rysunek pochodzi z artykułu Grimm i innych, Science 310, (2005)

122 Znaleźć odpowiednią rozdzielczość Jak znaleźć odpowiedni poziom szczegółowości modelu? Model zbyt prosty nie nadaje się do prognozowania może zaniedbać istotne własności układu ogranicza możliwości wyjaśniania zjawisk zachodzących w rzeczywistym układzie Model zbyt skomplikowany analiza modelu utrudniona zbyt dużo szczegółów zaciemnia obraz ogranicza możliwości wyjaśniania zjawisk zachodzących w rzeczywistym układzie

123 POM i lasy bukowe Europy Środkowej Model dostarczył niezależnie prognoz dotyczących cech lasu, które nie były brane pod uwagę w trakcie budowy, rozwoju i testowania modelu. Struktura wiekowa i przestrzenny rozkład starych gigantycznych drzew okazały się zgodne z rzeczywistością.

124 Jeden wzór może nie wystarczyć! Podstawowe cechy modeli Boidów: Starają się unikać zderzeń Dopasowują prędkość do sąsiadujących osobników Starają się trzymać blisko sąsiadów Zaproponowano 11 teorii dwa wzory obserwowany NND<1 długości ryby W modelach 1-9 wpływ od uśrednionego sąsiedztwa, a w wpływ od jednego losowego p = 0 0 wszystkie w tym samym kierunku p = 90 0 w losowych W rzeczywistości p 10 0,20 0

125 Odporność na detale 9 modeli z regułą większościową dało prawie identyczne wyniki Pozostałe różnice okazały się nieistotne Odporność na nieznaczące detale siła ABM Odkrywamy najważniejszy mechanizm!

126 Pomyśl sam(a) lub w towarzystwie Jakie są największe wady modeli agentowych? Jakie są największe zalety takich modeli? Jak to wytłumaczyć innym?

127 Wykładniki krytyczne Katarzyna Sznajd-Weron

128 Literatura Termodynamika równowagowych przejść fazowych nierównowagowe przejścia fazowe Model perkolacji Model Isinga Samoorganizująca się krytyczność

129 Przejścia ciągłe i nieciągłe ciągłe przejście fazowe

130 Ciągłe przejście fazowe

131 Różnice pomiędzy ciągłym i nieciągłym przejściem fazowym Ciągłe przejścia fazowe Brak utajonego ciepła przemiany q = T S 1 S 2 = 0 Nieciągłe przejścia fazowe Utajone ciepło przemiany q = T S 1 S 2 0 Brak skoku entropii: S 1 S 2 = 0 Skok entropii: S 1 S 2 0 Brak współistnienia faz Brak stanów metastabilnych Skalowanie w pobliżu punktu krytycznego (wykładniki krytyczne) Parametr porządku zmienia się w sposób ciągły Współistnienie faz Stany metastabilne (np. przechłodzenie) 1982 trywialne wykładniki Parametr porządku zmienia się w sposób nieciągły

132 Stan krytyczny i fluktuacje Funkcja korelacyjna parametru porządku: G r 1, r 2 < φ r 1 φ r 2 > = φ 2 +< δφ(r 1 ) δφ r 2 > Niech r = r 1 r 2 G r e r/ξ r d 2+η Definicja punktu krytycznego: T T c ξ

133 Przykład: d=2, η=1/4 (model Isinga) 2 =r max / =r max /2 =r max 10 0 G(r) 1 =100 r max G(r) =r max / =r max /2 =r max r 10-2 =100 r max r Im dłuższy promień korelacji tym wolniej zanika funkcja korelacyjna Promień korelacji miara zasięgu korelacji

134 Wykładniki krytyczne t = T c T T c zredukowana temperatura m T, 0 t β, m T c, h h 1/δ χ T, 0 c T, 0 ξ T, 0 t γ t α t ν G r, T c, 0 r d+2 η, G r 1, r 2 =< σ 1 σ 2 > < σ 1 >< σ 2 >

135 Związki pomiędzy wykładnikami α + 2β + γ = 2 (Rushbrooke) γ = β(δ 1) (Widom) γ = 2 η ν (Fisher) 2 α = νd (Josephson) Wykładniki krytyczne dla modelu Isinga: d α (1) 0 Wyniki ścisłe (Onsager) β 1/ (3) 1/2 γ 7/ (5) 1 δ (2) 3 η 1/ (5) ν (4) 1/2 Wyniki ścisłe, takie same jak MFA

136 Uniwersalność Ta sama klasa uniwersalności

137 Dynamiczne skalowanie τ ξ z Krytyczny wykładnik dynamiczny Promień korelacji Krytyczne spowolnienie Czas relaksacji ξ T, 0 t ν τ 1 T/T c zν

138 H = J Model Pottsa nn Model Isinga jako specjalny przypadek? δ σi σ j, σ i = 1,2,, q Wykładnik dynamiczny dla różnych q w 2D wg. różnych autorów Jak wyznaczyć taki wykładnik? 4-stanowy model Pottsa dla T = T c ; dla q<4 przejście ciągłe dla q>4 przejście nieciągłe

139 Jak wyznaczyć z? Układy o skończonym rozmiarze (finite size scaling theory): τ L L z dla T = T c i wystarczająco dużych L wymiar liniowy sieci

140 Skalowanie skończonego rozmiaru τ L L z dla T = T c

141 Jak wyznaczyć czas relaksacji? φ T =< A t A t + T > exp T τ + const Funkcja korelacyjna dla magnetyzacji Funkcja korelacyjna dla energii

142 Finite size scaling (FSS) ξ T, 0 t ν Dla L < maksimum w pseudo-krytycznej temperaturze T c L T c L T c T c θ = 1 ν L θ dla dużych L Dwuwymiarowy model Isinga FSS ciepło właściwe c t α L α/ν podatność χ t γ L α/ν promień korelacji ξ t ν L parametr porządku m t β L β/ν

143 Przykład: Perkolacja ukierunkowana (DP)

144 czas t DP jako proces dynamiczny pozycja i t N(t) Układ 2 D 1D układ dynamiczny (1+1)

145 DP jako dyfuzja z reakcją chemiczną (a) (b) (c) (d) (e) (a) A 0 wymieranie (b,c) A A dyfuzja (d) A 2A rozmnażanie (e) 2A A koagulacja (tylko dwa możliwe stany - pusty i zajęty)

146 Kod w C generujący klaster DP

147 czas t DP w wymiarze 1+1 pozycja i

148 Parametr porządku ρ > 0 stacjonarna gęstość cząstek w fazie aktywnej ρ = 0 stacjonarna gęstość cząstek w fazie bez cząstek Stany absorpcyjne dynamika prowadzi do nich, ale nie może z nich wyprowadzić

149 Fluktuacje parametru porządku w stanie stacjonarnym Żeby wyznaczyć stacjonarną wartość uśredniamy po czasie (długi przedział)

150 Rola warunków początkowych Całkowicie aktywna konfiguracja: ρ 0 = 1 Pojedyncze ziarno (cząstka) Jednorodne warunki początkowe z ρ 0 < 1 crossover ρ 0 = 1 Critical initial slip

151 Średniej liczba cząstek w czasie dla DP krytyczna N ( t ) q ~ q t

152 Wyniki Rafała Topolnickiego

153 Wyniki Rafała Topolnickiego Rozmiary sieci

156 Analiza szeregów czasowych Katarzyna Sznajd-Weron

158 Co to jest szereg czasowy? Proces stochastyczny funkcja, która każdej chwili t przyporządkowuje pewną zmienną losową Xt Szereg czasowy proces o przeliczalnym zbiorze T Czasem potocznie szeregiem czasowym nazywamy realizację procesu. Punkty indeksowe DJIA X t : t T

159 Przykład: Błądzenie przypadkowe Cząstka startuje z zera i zmienia losowo swoją pozycję o jednostkę w lewo z prawdopodobieństwem (1-p) i w prawo z p W każdym kroku czasowych niezależny ruch Przykładowe trajektorie dla p= X t 0 X t 0 X t t t t (c) 2005 Rafał Weron 4

161 Proste korelacja x(t+1)od x(t) Odwzorowanie Henona x n+1 = x 2 n y n y n+1 = x n Biały szum

162 Dla błądzenia przypadkowego 0.4 r t N(0,0.1) 4 X t+1 = X t + r t r t 0 X t t t r t+1 0 X t r t X t 7

163 Funkcja (opóźnionej) korelacji (AutoCorrelation Function) Dla szeregu czasowego Zt wykreślamy funkcję autokorelacji acf(z,k) jako funkcję opóźnienia k 8

164 Funkcja acf dla 1626 wartości (gaussowskiego) białego szumu Gęstość rozkładu gaussowskiego (normalnego) 2,5% 95% 2,5% masy -1,96 1,96 Dwustronny 95% przedział ufności dla białego szumu (ruchu Browna): ±1,96/ L, gdzie L = Opóźnienie 9

168 Badanie długoterminowej zależnosci Pierwsza połowa 20-tego wieku hydrolog H.E.Hurst bada rzekę Nil Zmiany poziomu wody skorelowane na przestrzeni wielu lat Ciąg przyrostów poziomu Nilu nie jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie Badanie długoterminowych zależności wyzwanie dla Hursta 13

169 Analiza R/S (Hurst, 1951) H=0.5 dane pochodzą z ciągu niezależnych zmiennych losowych o takim samym rozkładzie H>0.5 badany proces posiada własność długoterminowej zależności (efekt długiej pamięci) H<0.5 proces przebywa krótszą drogę (częściej zmienia kierunek) niż ruch Browna w tym samym czasie Dla ciągu przyrostów Nilu H=

171 Analiza R/S (Hurst, 1951) Podziel szereg danych o długości N na d podprzedziałów o długości n (można to zrobić tylko dla takich n, dla których nd=n) Dla każdego podprzedziału: - oblicz średnią Em i odchylenie std. Sm zwrotów - odejmij średnią od zwrotów Xi,m=Zi,m Em, i=1,,n - zbuduj szereg skumulowanych zwrotów (c) 2005 Rafał Weron 16

176 Analiza DFA (Detrended Fluctuation Analysis) Podziel szereg danych (zwrotów) o długości N na d podprzedziałów o długości n Dla każdego podprzedziału: - wyznacz trend liniowy z(t)=at+b - odejmij trend liniowy i policz odchylenie std.: F( n) 1 n n t 1 ( y( t) z( t)) 2 Policz średnią wartość F śr funkcji F(n) Wykreśl F śr jako funkcję n (c) 2005 Rafał Weron 21