Topologia I Wykład 4. Stefan Jackowski 24 października 2012 Przeciąganie topologii przez rodzinę przekształceń X zbiór. f = {f i : X Y i } i I rodziną przekształceń o wartościach w przestrzeniach topologicznych (Y i, T i ). T (f) najmniejsza topologia w X, w której wszystkie odwzorowania f i : (X, T (f)) (Y i, T i ) są ciągłe. Topologia T (f) jest generowana przez rodzinę zbiorów {f 1 i (U i ) U i T i, i I }. Baza T (f): zbiory {f 1 i 1 (U i1 )... f 1 i k (U ik )} gdzie U ik T ik, k N. Odwzorowanie g : (Z, T Z ) (X, T (f)) jest ciągłe i I złożenie (Z, T Z ) g (X, T (f)) f i (Y i, T i ) jest ciągłe.
Przepychanie topologii przez rodzinę przekształceń Y zbiór. g := {g j : X j Y } j J rodziną przekształceń określonych na przestrzeniach topologicznych (X j, T j ). T (g) największa topologia w Y, w której wszystkie odwzorowania {g j : X j Y } j J są ciągłe. T (g) = {U Y : j J g 1 j (U) T j } Odwzorowanie (Y, T (g)) f (Z, T Z ) jest ciągłe j J złożenie (X j, T j ) g j (Y, T (g)) f (Z, T Z ) jest ciągłe. Cztery konstrukcje przestrzeni topologicznych Podprzestrzeń (X, T ), A X, definiujemy topologię (A, T A) Przestrzeń ilorazowa: (X, T ), p : X Y surjekcja na zbiór Y. Definiujemy topologię w zbiorze Y : (Y, T (p))). Produkt kartezjański rodziny przestrzeni {(X s, T s )} (X s, T s ) p s X s Suma prosta rodziny przestrzeni: {(X s, T s )} X s j s (X s, T s )
Topologia w podzbiorze przestrzeni topologicznej (X, T ) ι: A X T A := T (ι) = {ι 1 (U) U T } = {U A U T } Odwzorowanie (X, T ) (A, T A) jest ciągłe złożenie (X, T ) f (A, T A) ι (X, T ) jest ciągłe. Jeśli odwzorowanie f : (X, T X ) (Y, T Y ) jest ciągłe oraz A X, to obcięcie f A : (A, T X A) (Y, T Y ) też jest ciągłe. Podprzestrzeń przestrzeni Hausdorffa jest przestrzenią Hausdorffa. Dowolna podprzestrzeń przestrzeni metryzowalnej jest metryzowalna. Jeśli (X, d) jest przestrzenią metryczną oraz A X, to zachodzi równość topologii w A: T (d) A = T (d A). Topologia w zbiorze klas abstrakcji relacji równoważności Przestrzeń ilorazowa: (X, T ), p : X Y surjekcja na zbiór Y. Definiujemy topologię T (p) w zbiorze Y jako największą topologię, w której p jest ciągłe: T (p) = {V Y p 1 (V ) T X } Odwzorowanie f : (Y, T (p)) (Z, T Z ) jest ciągłe wtedy i tylko wtedy gdy złożenie (X, T X ) p (Y, T (p) f (Z, T Z ) jest ciągłe. Uwaga Przestrzeń ilorazowa przestrzeni Hausdorffa nie musi mieć własności Hausdorffa. Przestrzeń ilorazowa przestrzeni metryzowalnej nie musi być metryzowalna (nawet jeśli jest Hausdorffa).
Przykład: Odcinek z podwojonym zerem X := {(x 1, x 2 ) R 2 1 x 1 1, x 2 = 0 lub 1} z topologią euklidesową, Y = [ 1, 1] {0 } będzie zbiorem p : X Y, p(x 1, x 2 ) := x 1 jeśli (x 1, x 2 ) (0, 1), p(0, 1) := 0. W przestrzeni (Y, T (p)) punkty 0, 0 nie posiadają rozłącznych otoczeń (a wszystkie inne pary różnych punktów mają). Produkt kartezjański rodziny przestrzeni {(X s, T s )} Produkt (iloczyn) kartezjański rodziny zbiorów: Zbiór: X s := {φ : S X s φ(s) X s } {x s } Rzutowania: p := { X s p t X t } t S, p t ({x s } ) := x t Produkt kartezjański rodziny przestrzeni topologicznych: s, T s ) := (X ( X s, T (p)) wraz z (ciągłymi) odwzorowaniami ( X s, T (p)) p t (X, T t ).
Produkt kartezjański rodziny przestrzeni {(X s, T s )} cd Dla rodziny odwzorowań ciągłych {(Y, T Y ) f s (X s, T s )} istnieje dokładnie jedno odwzorowanie ciągłe (Y, T Y ) f (X s, T s ) takie, że s S, p s f = f s Odwzorowanie f : (Y, T Y ) (X s, T s ) jest ciągłe wtedy i tylko wtedy gdy współrzędne f, czyli złożenia (Y, T Y ) f (X s, T s ) p t (X t, T t ), t S są ciągłe. Produkt kartezjański (X s, T s ) jest przestrzenią Hausdorffa (X s, T s ) jest przestrzenią Hausdorffa. Produkt kartezjański rodziny przestrzeni metryzowalnych Twierdzenie Produkt kartezjański niepustych przestrzeni (X s, T s ) jest przestrzenią metryzowalną (X s, T s ) jest przestrzenią metryzowalną i wszystkie one, poza przeliczalną liczbą są jednopunktowe. Metryka w skończonym produkcie przestrzeni metrycznych (X 1, d 1 ) (X k, d k ), d(x, y) := k d(x i, y j ) Metryka w przeliczalnym produkcie (X i, d i ) d (x, y) := k 1 2 i d (x i, y j ) gdzie d i (x i, y i ) := min(d i (x i, y i ), 1).