Nowe zadania z termodynamiki. 06.0.00. Zadanie. 0/8, moli gazu azotu (traktować jako gaz doskonały), znajdującego się początkowo (stan ) w warunkach T =00K, =0 a, przechodzi następującą serię przemian odwracalnych: A. gaz jest rozpręŝany izobarycznie do = ; B. gaz jest ogrzewany izochorycznie, przy czym =,5 ; C. gaz jest rozpręŝany izotermicznie do ciśnienia =. Uzupełnij podane niŝej tabele. Jaką entropię będzie miał układ (w J/K), jeśli w stanie początkowym () wynosiła ona,0 J/(K mol)? Naszkicuj rozwaŝane przemiany w układzie współrzędnych -. 0 00 A(-) B(-) C(-) (---) Rozwiązanie najlepiej rozpocząć od sporządzenia szkicu, który jest pierwszym stopniem zrozumienia opisywanego procesu (serii przemian). Wpisujemy najpierw parametry stanów,, i. =nrt / =0 00/0=00dm (zwróć uwagę na jednostki!). = i =, z czego wynika T =T =600K. = i =,5, zatem T =,5T =900K. Wreszcie T =T, a =, zatem = / =5 600/0=900dm. Ostatecznie tabela stanów wygląda następująco: 0 00 00 0 600 600 5 600 900 0 900 900 rzystąpić teraz moŝemy do obliczenia zmian wielkości termodynamicznych w poszczególnych przemianach (etapach) procesu. Dla przemiany A (-) mamy u A =nc T A =5 00=7,50 kj (zauwaŝ, skąd się wzięła liczba 5). h A =nc T A =κ u A =, 7,50=0,50 kj=q A. Wreszcie z pierwszej zasady termodynamiki w A = u A q A =7,50 0,50=,00 kj (zauwaŝ, Ŝe to samo otrzymać moŝna ze wzoru w A = A ). rzemiana B (-): u B =nc T B =5 00=7,50 kj, zatem juŝ bez liczenia moŝna zapisać h B =0,50 kj. onadto u B =q B i oczywiście w B =0. rzemiana C (-): h C =0 u C =0, bowiem T C =0. w C = nrt ln( / )= 0 900ln,5=,65 kj. Oczywiście q C = w C =+,65 kj. ozostają obliczenia zmian entropii: s A =nc ln(t /T )=0,5 ln=+,6 J/K; s B =nc ln(t /T )= 0,5 ln,5=+0, J/K; s C =nrln( / )=0ln,5=+,05 J/K (to samo otrzymamy z s C =q C /T ). Ostatecznie tabela przemian wygląda następująco:
A(-) +0,5,0 +7,5 +0,5 +,6 B(-) +7,5 0 +7,5 +0,5 +0, C(-) +,65,65 0 0 +,05 (---) +,65 6,65 +5,0 +,0 +8,5 ZauwaŜmy, Ŝe funkcje stanu bez przerwy rosną (cały czas temperatura i objętość nie spadają są stałe lub rosną) oraz Ŝe dla całego procesu (serii przemian) I zasada jest takŝe zachowana. ozostaje obliczenie końcowej entropii układu. Wiemy, Ŝe s = s s, zatem s =s + s. ozostaje tylko kwestia jednostek, poniewaŝ znamy molową entropię S =,0 J/(K mol). Ostatecznie s =ns + s =0/8,,0+8,5=9,9 J/K. Zadanie. 0/8, mola helu (traktować jako gaz doskonały) przechodzi cykl przemian odwracalnych: A izochoryczne ogrzewanie; B izotermiczne rozpręŝanie; C izochoryczne schłodzenie; D izotermiczne spręŝanie. Wybrane informacje o stanach węzłowych i przemianach znajdują się w tabelach. Uzupełnij tabele. Naszkicuj ten cykl w układach współrzędnych - i -T. 0,00 50 A(-) +5,00 B(-) 0,79 C(-) D(-) D (----) W powyŝszych tabelach dane są wydrukowane czarną czcionką, a po kolei obliczane wyniki czerwoną. odane rozwiązanie jest rozwiązaniem najkrótszym, choć obszernie skomentowanym. ) Wyliczmy =nrt / =0/8, 8, 50/0=500 dm. rzy podstawieniu w ka, objętość otrzymujemy od razu w dm. W kolejnych obliczeniach będę juŝ pomijał mnoŝenie i dzielenie przez 8,. ) = oraz w A =0, bo przemiana A jest izochoryczna. Aby obliczyć temperaturę T musimy skorzystać z ciepła przemiany A. Jest ono równe zmianie energii wewnętrznej towarzyszącej tej przemianie (izochora), zatem rzepisujemy u A =q A oraz ze wzoru u A =nc T A obliczamy T A. T A = u A /(nc )= 5000/(0,5)=500K. T A =T T, zatem T =750K. W obliczeniach uwzględniamy, ze C jednoatomowego gazu doskonałego wynosi,5r. ) Wyliczamy = T /T =0 750/50=0 ka. Wyliczamy zmianę entalpii towarzysząca przemianie A, h A =nc T A =κ u A =5/ 5,00=5,00 kj. Współczynnik adiabaty κ dla jednoatomowego gazu doskonałego wynosi 5/ (i lepiej nie wyliczać przybliŝonej jego wartości). Ostatnią wartością dla przemiany A jest jej entropia, równa s A =nc ln(t /T )=0,5 ln=,96 J/K. Osiągnęliśmy stan obliczeń przedstawiony poniŝej.
0,00 500 50 0,00 500 750 ) T =T, poniewaŝ przemiana B jest izotermą. rzy okazji moŝemy zauwaŝyć, Ŝe analogicznie musi być T =T. Nie znamy ani, ani, moŝemy jednak wyliczyć stosunek / = / z danej pracy rozpręŝania zawartej w tabeli przemian. oniewaŝ w B = nrt ln( / ), z czego wynika / =exp{ w B /(nrt )=exp{+079/(0 750)}=,000 (wychodzi,999889, ale chyba moŝemy spokojnie zaokrąglić). Stąd = /=7,50 ka, a = =000 dm. Dla izotermy w sposób oczywisty ( T=0) musi być u B =0 i h B =0. Zatem z pierwszej zasady termodynamiki ( u=q+w) q B = w B =+0,79 kj. Zmiana entropii s B =q B /T =Rln( / )=079/750=7,7 J/K. Osiągnęliśmy kolejny stan obliczeń przedstawiony poniŝej. 0,00 500 50 0,00 500 750 7,50 000 750 50 5) =, poniewaŝ przemiana C jest izochorą. Zatem = T /T =7,50 50/750=,50 ka. Tabela stanów jest wypełniona. 6) ozostałe wartości w tabeli przemian obliczymy z minimalnym uŝyciem kalkulatora. o pierwsze, dla cyklu wszystkie funkcje stanu nie zmieniają się, zatem u D =0; h D =0; s D =0. Następnie wpisujemy oczywiste w C =0 oraz u D =0 i h D =0. Mamy zatem: 0,00 500 50 0,00 500 750 7,50 000 750,50 000 50 A(-) +5,00 0 +5,00 +5,00 +,96 B(-) 0,79 C(-) D(-) D (----) A(-) +5,00 0 +5,00 +5,00 +,96 B(-) +0,79 0,79 0 0 +7,7 C(-) D(-) D +,86,86 (----) A(-) +5,00 0 +5,00 +5,00 +,96 B(-) +0,79 0,79 0 0 +7,7 C(-) 0 D(-) 0 0 D (----) 7) Z warunków u D =0 i h D =0 oraz bilansu ( u D = u A + u B + u C + u D ) widać, Ŝe u C musi wynieść 5,00 kj, podobnie h C = 5,00 kj. Oczywiście q C = u C. Następnie zauwaŝamy, Ŝe entropia przemiany C, s C =nc ln(t /T )=0,5 ln(/), a poniewaŝ ln(/)= ln, zatem bez liczenia (juŝ liczyliśmy w pkt ) widzimy, Ŝe s C = s A =,96 J/K. 8) raca izotermy D, w D, dana jest wzorem w D = nrt ln( / ). o podstawieniu danych liczbowych widać, Ŝe w D = 0 50ln(/). amiętając z pkt, Ŝe w B = 0 750ln, widzimy, Ŝe w D = w A /, co daje w D =+6,9 kj. Oczywiście q D = w D = 6,9 kj. Wartość entropii przemiany D moŝemy tak- Ŝe obliczyć z bilansu ( s D =0 oraz s D = s A + s B + s C + s D ), dla którego spełnienia musi być s D = 7,7 J/K. Jedynie dla obliczenia pracy cyklu w D =w A +w B +ws C +ws D musimy wykonać sumowanie, dające w D =w B +w D = 0,79+6,9=,86. oniewaŝ I zasada termodynamiki musi być spełniona dla kaŝdej przemiany (zatem takŝe dla przemian złoŝonych, w tym i cyklu), q D = w D =+,86. Ostatecznie tabele wyglądają jak niŝej.
0,00 500 50 0,00 500 750 7,50 000 750,50 000 50 ozostaje sporządzenie szkiców: A(-) +5,00 0 +5,00 +5,00 +,96 B(-) +0,79 0,79 0 0 +7,7 C(-) 5,00 0 5,00 5,00,96 D(-) 6,9 +6,9 0 0 7,7 D +,86,86 (----) T Zadanie. 50/8, mola wodoru (traktować jako gaz doskonały) przechodzi cykl przemian odwracalnych pokazany na rysunku. Wybrane informacje o stanach węzłowych i przemianach znajdują się w tabelach. Uzupełnij tabele. Naszkicuj ten cykl w układzie współrzędnych -. 50,00 50 500 A(-) +8,66 B(-) C(-) D(-) D (----) T odane jest ono w najbardziej skondensowanej formie. Tak rozwiązywałby je profesjonalista. raktycznie bez komentarza, ale logiczna kolejność jest zachowana. Spróbujcie opisać samemu postępowanie. Uwaga, jeŝeli jakaś wartość nie jest liczona (nie dokonano podstawienia liczb), to znaczy, Ŝe jest wyrozumowana!
Najpierw szkic w układzie -. Stany: =nrt / =50 50/50=50 dm ; / =exp{q A /nrt } =exp{866/(50 50)} =,99995=,000; = =500dm ; =0,5 =5 ka; = ; = ; T = /(nr)=5 500/50=750 K; T =T ; = / =500/=750 dm. 50,00 50 50 5,00 500 50 5,00 500 750 50,00 750 750 rzemiany: A: u A =0; h A =0; w A = q A = 8,66 kj; s A =866/50=+,66 J/K B: u B =50,5 500=+6,5 kj; h B =, 6,5=87,5 kj=q B ; w B = 6,5 87,5= 5,0 kj; s B =nc ln(t /T ) = 50,5ln=+9,6 J/K C: u C =0; h C =0; w C = 50 750ln0,5=+5,99 kj; q C = 8,66 kj; s C = 599/750=,66 J/K D: u D = 6,5 kj; h D = 87,5 kj=q D ; w D = 6,5+87,5=+5,0 kj; s D = 9,6 J/K D: u=0; h=0; s=0; w=+5,99 8,66=+7,6 kj; q= 7,6 kj. Jak widać, przy pewnej wprawie rozwiązywanie takich zadań wcale nie zajmuje duŝo miejsca, ani czasu. A(-) +8,66 8,66 0 0 +,66 B(-) +87,5 5,0 +6,5 +87,5 +9,66 C(-) 5,99 +5,99 0 0,66 D(-) 87,5 +5,0 6,5 87,5 9,66 D 7,6 +7,6 (----) Zadanie. ewna ilość wodoru (traktować jako gaz doskonały) przechodzi cykl przemian odwracalnych pokazany na rysunku. Wybrane informacje o przemianach znajdują się w tabelach. Dodatkowo wiadomo, Ŝe =. Uzupełnij tabele. Naszkicuj ten cykl w układzie współrzędnych -. h stan, Kpa, dm T, K Droga q, kj w, kj u, kj h, kj s, J/K A(-) B(-),800 7,690 C(-) (---)
Jest to zadanie trudne. Dlatego tym razem kluczowe elementy rozumowania zostaną skomentowane. Zaczynamy, jak zwykle od szkicu w układzie -. Komentarz: rzemiana - jest niewątpliwie izotermą. Znane są wprawdzie jeszcze inne przemiany izoentalpowe, ale nie są one odwracalne. rzemiana - musi być izobarą, jeśli bowiem h jest proporcjonalne do temperatury (co wiemy ze wzoru) i równocześnie do objętości (co widać na pierwotnym szkicu), to oznacza teŝ proporcjonalność temperatury od objętości, co zachodzi tylko w warunkach =const. Wreszcie przemiana - jest izochoryczna, przy czym T rośnie przy przejściu od stanu do stanu, bowiem h równieŝ wtedy rośnie. Rozwiązywanie rozpocząć naleŝy od wypisania równań opisujących dane nam wielkości. Równania te to:. h B =nc (T T ). s B =nc ln(t /T ). dodatkowo wiadomo, Ŝe = Widać od razu, Ŝe mamy aŝ trzy niewiadome: T, T i n. JeŜeli jednak zauwaŝymy, Ŝe =, czyli =, a dodatkowo w izobarze T, to mamy równanie. w postaci T =T. Mając takie trzy równania moŝemy juŝ znaleźć wszystkie trzy niewiadome. Rozpoczynamy od podstawienia (nowego) równania. do równania. i znalezienia n. Wiemy juŝ, Ŝe s B =nc ln(t /T )=nc ln(/), skąd n= s B /C /ln(/)= 7,690/,5/R/ln(/)=/R=/8, mola. W następnym kroku z równania. znajdujemy róŝnicę T T = h B /nc = 800/(,5)= 00 K. Wreszcie znając stosunek i róŝnicę temperatur T i T z łatwością znajdziemy obie ich wartości. T =T +00; T =T T =T +00 T =00 K; T =T =600 K. Następnie moŝemy juŝ znaleźć u B =κ h B =,800/,=,000 kj, a wreszcie, pamiętając, Ŝe q B = h B, z I zasady obliczamy w B = u B q B =,000 +,800= +0,800 kj (w porządku, praca dodatnia spręŝanie). Dla przemiany A h A =0 i u A =0, co pozwala nam znaleźć (wiedząc, Ŝe dla cyklu h =0 i u =0) z bilansu h C =+,800 kj i u C =+,000 kj; oczywiście w C =0, a q C = u C. Brakujące wartości wyliczamy: w A = nrtln= 600ln=,8 kj; q A = w A =+,8 kj; a wreszcie s A =nrln= q A /T=,0 J/K i s C z bilansu (moŝna teŝ bezpośrednio dane są). Ostatnimi obliczeniami są praca i ciepło dla cyklu (przez sumowanie wartości dla trzech etapów) w =+0,58 kj oraz q = 0,58 kj. Tabela przemian wygląda zatem następująco. A(-) +,8,8 0 0 +,0 B(-),800 +0,800,000,800 7,69 C(-) +,000 0 +,000 +,800 5,9 (---) +0,58 0,58
JeŜeli chodzi o tabelę stanów, to musielibyśmy znaleźć choćby jedno ciśnienie, co nie jest wykonywalne. Nawet w oparciu o przemianę B, zawsze tylko otrzymamy w B = / nrt = +0,800 kj. Wiemy zatem tylko to, co ująłem w poniŝszej tabeli. Jeśli ktoś nie wierzy, to dla dowolnie wybranego moŝe wypełnić tabelę stanów i wyliczyć w B ze wzoru w B = ( ). Zawsze wyjdzie +800 J. Wniosek stąd, Ŝe dla kaŝdego cyklu izoterma-izobara-izochora opartego na izotermie 600 K przy trójkrotnym rozpręŝeniu w izotermie otrzymamy takie same wartości wszystkich funkcji dla wszystkich trzech przemian i cyklu. 600 / 600 / 00 W. Chrzanowski 00