Termodynamika Techniczna dla MWT, wykład 4. AJ Wojtowicz IF UMK

Transkrypt

1 Wykład 4. Gazy.. Gaz doskonały, półdoskonały i rzeczywisty.. Równanie stanu gazu doskonałego; uniwersalna stała gazowa.3. RównowaŜne sformułowania równania stanu gazu doskonałego; stała gazowa.4. Odstępstwa gazów rzeczywistych od gazu doskonałego; stopień ściśliwości Z.4.. Ciśnienie i temperatura zredukowana.4.. Uogólniony wykres stopnia ściśliwości.5. Równanie stanu gazu rzeczywistego. Przemiany gazu doskonałego; praca.. Przemiana izotermiczna gazu doskonałego... Praca w przemianie izotermicznej gazu doskonałego.. Praca wykonywana przez gaz doskonały przy stałej objętości i stałym ciśnieniu - 3 -

2 . Gazy Bardzo często czynnikiem roboczym w urządzeniach cieplnych są gazy. Gaz to jeden ze stanów skupienia w jakich mogą występować substancje materialne. Cząsteczki gazu zajmują całą dostępną im objętość, nie tworzą teŝ stałej konfiguracji w przestrzeni. Poruszają się bezładnym ruchem z róŝnymi prędkościami, a oddziaływania między nimi sprowadzają się przede wszystkim do zderzeń. Zderzenia pomiędzy cząsteczkami gazu prowadzą do stanu równowagi termodynamicznej określonego przez dwa parametry intensywne, np. przez temperaturę i ciśnienie gazu. Dodatkowo znajomość jednego parametru ekstensywnego, takiego jak objętość lub masa, pozwala nam takŝe określić, z jaką ilością gazu mamy do czynienia, a więc w pełni określa stan gazu... Gaz doskonały, półdoskonały i rzeczywisty Gaz doskonały to model gazów rzeczywistych, w którym cząsteczki gazu nie oddziałują ze sobą, z wyjątkiem odpychania podczas spręŝystych zderzeń. Zakładamy takŝe, Ŝe wymiary cząsteczek są pomijalnie małe i przyjmujemy, Ŝe ciepło właściwe gazu doskonałego nie zale- Ŝy od temperatury. Gazami doskonałymi są wszystkie gazy rzeczywiste dla małych gęstości i w niewielkim zakresie temperatur; zakres temperatur moŝe być znacznie większy dla gazów, których cząsteczki są atomami, takich jakich gazy szlachetne. Gaz doskonały z definicji spełnia równanie stanu gazu doskonałego i prawo Avogadry (równanie stanu gazu doskonałego i prawo Avogadry wyprowadzimy z kinetycznej teorii gazu doskonałego; w dalszych wykładach). Gaz półdoskonały to gaz doskonały, którego ciepło właściwe zaleŝy od temperatury. Gaz rzeczywisty to gaz, który jest gazem doskonałym lub półdoskonałym dla odpowiednio niskiej gęstości, i który wykazuje odstępstwa od gazu doskonałego dla większych gęstości (wyŝsze ciśnienia i niŝsze temperatury)... Równanie stanu gazu doskonałego; uniwersalna stała gazowa Gaz doskonały spełnia z definicji równanie stanu gazu doskonałego: P v R () gdzie P to ciśnienie gazu, v to objętość właściwa molowa gazu, temperatura gazu, a R to uniwersalna stała gazowa. Rzeczywiste gazy spełniają to równanie dla dostatecznie niskich gęstości (niskie ciśnienia, niezbyt niskie i niezbyt wysokie temperatury). Uniwersalna stała gazowa kj J R 8,345 lub kmol K mol K. Z prawa Daltona o ciśnieniach cząstkowych moŝna udowodnić, Ŝe równanie stanu gazu doskonałego obowiązuje zarówno dla gazów jednoskładnikowych (czystych) jak i dla mieszaniny róŝnych gazów. Prawo Daltona jest spełnione dla nie reagujących ze sobą gazów rzeczywistych (dla dostatecznie niskich gęstości), a z kolei prawo Daltona wynika bezpośrednio z teorii kinetycznej. Ciśnienia cząstkowe będą równe: R R R R n ; P n ;... itd, gdzie to objętość mieszaniny gazów. v v P Stosując prawo Daltona otrzymujemy: - 3 -

3 R R R P P + P +... n + n +... R vm n+ n +... gdzie v m jest objętością właściwą molową mieszaniny gazów (objętość zajmowana przez gazy podzielona przez liczbę moli gazów w tej objętości; liczba moli mieszaniny gazów jest równa sumie liczb moli kaŝdego ze składników mieszaniny). Dla przypomnienia, mol danej substancji ma masę M gramów, gdzie M to masa cząsteczkowa danej substancji ( kilomol, kmol, będzie miał masę M kg). Mówiąc o masie jednego mola (jednego kmola) powiemy, ze wynosi ona M g/mol, lub M kg/kmol; przy czym obie liczby będą miały te same wartości. W jednym molu (kmolu) danej substancji znajduje się ok. 6,0 0 3 (0 6 ) atomów (lub cząsteczek) tej substancji. Liczbę tę nazywa się liczbą Avogadry N A. Liczbę moli (kmoli) danej substancji będziemy oznaczać literą n. N n, N A gdzie N to liczba atomów (cząsteczek) danej substancji..3. RównowaŜne sformułowania równania stanu gazu doskonałego; stała gazowa Dla substancji czystej, dzieląc równanie stanu gazu doskonałego () przez M, masę jednego kmola substancji (wyraŝoną w kg/kmol), otrzymamy: P v P v M R M R gdzie v to objętość właściwa (objętość kg danej substancji) a R to stała gazowa (róŝna dla róŝnych gazów czystych). Dla mieszanin, np. dla powietrza, wygodniej jest stałą gazową wziąć z tablic (np. z tabeli A.5, Properties of arious Ideal Gases at 5 C, 00 kpa, R.E. Sonntag, C. Borgnakke, G.J. van Wylen, Fundamentals of hermodynamics), choć moŝna ją takŝe obliczyć, znając skład mieszaniny. Dla czystej substancji: R R M 8,345 kj M kg K i obliczenie stałej gazowej R nie przedstawia Ŝadnych trudności. MnoŜąc równanie () przez n (liczbę kmoli) i () przez m (masę gazu w kg) otrzymamy inne równowaŝne postacie równania stanu gazu doskonałego: i P nr (3) P mr. (4) gdzie R to uniwersalna stała gazowa, R stała gazowa, a, jak poprzednio, objętość gazu. W równaniach (), (3) i (4), stosujemy zasadniczo jednostki układu SI, z tym, Ŝe, ze względów praktycznych, jednostką ilości materii jest kmol, jednostką energii jest kj i, w konsekwencji, jednostką ciśnienia jest kpa. Oba równania (3) i (4) moŝna takŝe zapisać w następującej postaci: ()

4 P P, równowaŝnej empirycznym prawom Boyle a-mariotte a (P ~ /), Gay-Lussaca ( ~ ). i Charlesa (P ~ ). Zadanie. Obliczyć masę powietrza zawartego w pokoju o wymiarach 8x0x3 m, jeśli ciśnienie wynosi 00 kpa, a temperatura 5 C. Zakładamy, Ŝe powietrze jest gazem dokonałym. Wykorzystaj wartość stałej gazowej powietrza podaną w tabelach parametrów gazu doskonałego dla wybranych gazów (tabela A.5. SBvW, Properties of arious Ideal Gases at 5 C, 00 kpa). Rozwiązanie. m P R 00 kn m 40m 0,87 knm kgk 98,K 3 80,5kg Zadanie. Zbiornik o objętości 0,5 m 3 zawiera 0 kg gazu doskonałego o masie cząsteczkowej 4. emperatura wynosi 5 C. Obliczyć ciśnienie gazu w zbiorniku. Rozwiązanie. P mr R m M 8,345 knm kmolk 0kg 98,K 3 4 kg kmol 0,5m 066kPa.4. Odstępstwa gazów rzeczywistych od gazu doskonałego; stopień ściśliwości Z Aby ilościowo określić odstępstwa gazów rzeczywistych od gazu doskonałego i umoŝliwić w ten sposób obliczenie poprawki jaką naleŝałoby uwzględnić, definiujemy stopień ściśliwości Z: Pv Z. R Mamy wówczas: Pv Z R gdzie parametr Z naleŝałoby dobrać dla kaŝdej pary parametrów P i. Dla gazu doskonałego, dla którego spełnione jest równanie gazu doskonałego, Z będzie równe. Z postaci tego wzoru wynika, Ŝe Z moŝna interpretować jako zmianę objętości właściwej molowej (względem wartości dla gazu doskonałego) spowodowanej odstępstwem od praw gazu doskonałego. Na rys. 4. pokazano stopień ściśliwości dla azotu w funkcji ciśnienia i temperatury. Pokazane na diagramie krzywe zostały policzone azot N przy pomocy programu ES dla róŝnych temperatur (0, 30, 50, 00 i Z Pv/R,0 300 K) i ciśnień (od 00 kpa do 35 MPa, z wykorzystaniem równania stanu Lee- Keslera. Stopień ściśliwości Z 0,5 0,0 0 K 30 K 50 K 00 K 300 K ciśnienie krytyczne 0, 0 ciśnienie P, MPa Rys. 4.. Stopień ściśliwości Z w funkcji ciśnienia P i temperatury dla azotu. Analizując rys. 4. moŝna zauwaŝyć, Ŝe dla wszystkich temperatur Z zmierza do jedności gdy P zmierza do zera. ak

5 więc, gdy ciśnienie zmierza do zera relacje P-v- odpowiadają coraz dokładniej równaniu stanu gazu doskonałego. Po drugie, dla temperatur w granicach 300 K i powyŝej, stopień ściśliwości Z jest bliski jeden dla ciśnień do około 0 MPa. o oznacza, Ŝe równanie stanu gazu doskonałego moŝe być stosowane do azotu (i powietrza) w tym zakresie z dobrą dokładnością. DuŜe odstępstwa od gazu doskonałego występują dla temperatur i ciśnień bliskich temperatury i ciśnienia krytycznego (6, K, 3,39 MPa). Z szybko rośnie takŝe dla wysokich ciśnień, powyŝej 30 MPa, niezaleŝnie od temperatury. Model gazu doskonałego załamuje się teŝ całkowicie w otoczeniu punktu krytycznego i w obszarze pary wilgotnej i cieczy. Przydatność diagramu w formie pokazanej na rys. 4. jest dość wątpliwa, gdyŝ będzie miał on inną postać dla kaŝdego gazu..4.. Ciśnienie i temperatura zredukowana Okazuje się jednak, Ŝe dla zredukowanych wartości ciśnienia i temperatury, zdefiniowanych w następujący sposób: P Pr Pkr r kr gdzie P kr i kr to odpowiednio ciśnienie i temperatura krytyczna dla danego gazu, wartości parametru Z są, dla róŝnych gazów rzeczywistych, bardzo bliskie. Dotyczy to w szczególności prostych gazów o sferycznych cząsteczkach..4.. Uogólniony wykres stopnia ściśliwości Wykres Z w funkcji ciśnienia zredukowanego P r z temperaturą zredukowaną r jako parametrem, nazywamy uogólnionym wykresem (diagramem) stopnia ściśliwości Z. Jeśli do obliczeń wykorzystano uogólnione równanie stanu Lee-Keslera, moŝna go nazywać diagramem Lee-Keslera. Diagram Lee-Keslera przedstawiony jest jako rys. D. w dodatku D do podręcznika SBvW i jest dostępny na platformie Moodle dla słuchaczy kursu ermodynamiki echnicznej..5. Równanie stanu gazu rzeczywistego Model gazu rzeczywistego oparty na równaniu stanu gazu rzeczywistego Lee-Keslera (lub Nelsona-Oberta) został wykorzystany w programie ES (Prof. S. Bhattacharjee, San Diego State University). Programu moŝna uŝyć do obliczeń dla szeregu róŝnych gazów, jednak jego zastosowanie wymaga wprowadzenia danych oddzielnie dla kaŝdego punktu (stanu). Rezygnując z dokładności jaką zapewnia program ES, moŝna i czasem warto wykorzystać w miarę proste i fizycznie zrozumiałe równanie van der Waalsa: a P+ ( v b) R, v w którym współczynnik a stanowi poprawkę na ciśnienie uwzględniającą oddziaływania pomiędzy cząsteczkami gazu, a współczynnik b wprowadza poprawkę na objętość zajmowaną przez te cząsteczki. Współczynniki a i b są dane wzorami: a a kr 0R i Pkr b b kr 0R, P kr 7 a 0 i 65 b 0. 8 (5)

6 Bardziej pracochłonne jest wykorzystanie uogólnionego równania stanu Lee-Keslera, z drugiej strony wprowadzenie wzorów do arkusza kalkulacyjnego (np. excela) umoŝliwia wielokrotne ich wykorzystanie dla szeregu róŝnych gazów (wzory wykorzystują temperaturę i ciśnienie zredukowane).. Przemiany gazu doskonałego; praca Równanie stanu gazu doskonałego stwarza moŝliwość analizy przemian, które mogą zachodzić w gazach doskonałych, moŝna takŝe przy jego pomocy otrzymać równania opisujące zaleŝności pomiędzy parametrami stanu dla danego procesu. Szczególnie waŝna jest zaleŝność pomiędzy parametrami P i, gdyŝ to od niej zaleŝeć będzie całka Pd pomiędzy stanami i, która moŝe mieć charakter pracy związanej ze zmianą objętości w trakcie danej przemiany... Przemiana izotermiczna gazu doskonałego Jeśli podczas przemiany utrzymujemy stałą temperaturę gazu doskonałego to przemianę taką nazywamy przemianą izotermiczną (spręŝaniem lub rozpręŝaniem izotermicznym). W trakcie takiej przemiany zmieniające się obciąŝenie tłoka powoduje zmianę ciśnienia gazu. Spadkowi temperatury gazu, towarzyszącemu zwykłe rozpręŝaniu się gazu przeciwdziała regulowany grzejnik, który utrzymuje stałą temperaturę gazu. Uproszczony układ realizujący taką przemianę pokazano na rys. 4.. Rys. 4.. Układ realizujący przemianę izotermiczną. Niewielka zmiana obciąŝenia powoduje nieduŝe obniŝenie ciśnienia i temperatury gazu w cylindrze. Grzejnik reaguje zwiększonym transferem ciepła, tak by utrzymać stałą temperaturę gazu w cylindrze. zmienne obciąŝenie P 3 K regulowany grzejnik Rys Przemiana izotermiczna gazu doskonałego na wykresie P-. Podczas przemiany objętość gazu zwiększa się od wartości do. Z równania stanu gazu doskonałego mamy:

7 P nr, równanie, które opisuje zaleŝność ciśnienia od objętości gazu. PoniewaŜ temperatura jest stała, równanie to jest równaniem hiperboli. Na rys. 4.3 pokazano wykres P- obrazujący przemianę izotermiczną zachodzącą w układzie. Przemiana zachodzi pomiędzy punktami i na wykresie; punktom tym odpowiadają objętości i gazu podlegającego przemianie. Dla gazu rzeczywistego: P Z nr gdzie Z jest stopniem ściśliwości. Dla gazu doskonałego Z. Ze wzoru tego wynika, Ŝe, w zaleŝności od wartości Z, ciśnienie moŝe być dla gazu rzeczywistego mniejsze lub większe niŝ dla gazu doskonałego.... Praca w przemianie izotermicznej gazu doskonałego Podczas rozpręŝania się gazu w przemianie izotermicznej pokazanej na rys. 4. i 4.3, obcią- Ŝony tłok przesuwa się do góry, wykonując pracę: W Pd. PoniewaŜ, dla gazu doskonałego, podstawiając P nr, P nr do wyraŝenia podcałkowego, po wyłączeniu przed całkę stałych otrzymamy: d W nr nr ln. Dla rozpręŝania jest większe od, zatem W> 0, dla spręŝania, W< 0. Pomimo, Ŝe dostarczamy ciepło, temperatura gazu nie zmienia się. Energia wewnętrzna jest stała, a dostarczone ciepło bilansuje się z wykonywaną przez gaz doskonały pracą. U Q W 0. Q W Dla gazu rzeczywistego, przy załoŝeniu, Ŝe Z, stopień ściśliwości, nie zmienia się w trakcie przemianie, WnZR ln. Oznacza to, Ŝe wykonana praca, dla Z <, będzie trochę mniejsza niŝ dostarczone ciepło, czyli Ŝe zmianie ulec musiała takŝe energia wewnętrzna. Energia wewnętrzna gazu rzeczywistego zaleŝy nie tylko od temperatury, ale takŝe od ciśnienia

8 .. Praca wykonywana przez gaz doskonały przy stałej objętości i stałym ciśnieniu PoniewaŜ praca w przemianie gazu doskonałego będzie równa: W Pd, dla przemiany izobarycznej (przy stałym ciśnieniu) przed całkę moŝna wynieść ciśnienie P. Zatem: ( ) P W Pd P d P. Dla przemiany izochorycznej (przy stałej objętości): W Pd 0, przy stałej objętości tłok nie porusza się, a więc praca wykonywana przez tłok będzie równa zero. Sprawdzian. Gaz doskonały, którego początkowe ciśnienie wynosi 3 kpa, zajmuje objętość równą 4 m 3. W tabeli podano wartości ciśnienia i objętości gazu (w tych samych jednostkach) na zakończenie pięciu róŝnych procesów. Dla którego z tych procesów punkty odpowiadające stanowi początkowemu i końcowemu leŝą na tej samej izotermie? a b c d e P (kpa) (m 3 ) 7 3 Odp. a, b, d, e Zadanie. W cylindrze znajduje się L tlenu o temperaturze 0 C pod ciśnieniem 5 atm. Gaz ogrzewamy do temperatury 35 C i spręŝamy do objętości 8,5 L. Jakie jest końcowe ciśnienie gazu wyraŝone w atmosferach? UŜyj równania stanu gazu doskonałego. Zweryfikuj obliczenia uŝywając modelu gazu rzeczywistego Lee-Keslera. Skorzystaj z programu ES; znajdź P bezpośrednio i wylicz z równania stanu gazu doskonałego uwzględniając poprawki na Z i Z znalezione przy pomocy programu ES. Rozwiązanie. Dla gazu idealnego: P nr P P P nr nr nr

9 ( ) ( 73+ 0) P P 5 5,4,05,5atm 8,5 Wynik z programu ES dla modelu PG P.6 atm Dla gazu rzeczywistego: Z programu ES (model RG), Z 0,989, m 0,408 kg, Z 0,98759, P,4 atm Z równania stanu gazu doskonałego z poprawką na Z i Z: ( ) ( 73+ 0) Z 0,98759 P P 5 5,4,05,5atm 0,9984,atm Z 8,5 0,989 Wyniki są zgodne. Zadanie. Jeden mol tlenu jest rozpręŝany izotermicznie w temperaturze 30 K od objętości początkowej L do objętości końcowej 9 L. Jaką pracę wykona gaz podczas rozpręŝania? Wykonaj obliczenia dla gazu doskonałego, zweryfikuj dla gazu rzeczywistego uŝywając programu ES. Rozwiązanie. Dla gazu doskonałego: W nr ln dla gazu rzeczywistego: W nz R ln 9 8, ln 577,50 0, ,44J ( 0, ,99903) ) 84,44J 0, ,44 83,J sr Wykonana praca będzie dla gazu rzeczywistego niŝsza o ok.,3 J