FOUIEOVA ANALýZA JAN MALÝ Obsah 1. Fourierovy ady klasika 2 2. Fourierovy ady v Hilbertov prostoru 3 3. S ítání Fourierových ad 5 4. Fourierova transformace v L 1 7 5. Distribuce 8 6. Fourierova transformace distribucí 11 7. Po ítání Fourierových transformací 13 1
Fourierovy ady 1. Fourierovy ady klasika 1.1. Periodické funkce. ekneme, ºe funkce f : C má periodu p 0, jestliºe f(x + p) = f(x) pro v²echna x. Funkce sin x, cos x, sin nx (n Z) apod. mají periodu. Pro funkce sin 2x, sin 3x,... íslo není nejmen²í perioda, ale je to perioda. Sou et funkcí s periodou je funkce s periodou, platí samoz ejm i pro sou ty nekone ných ad. Tématem této partie bude otázka, které funkce se dají napsat ve tvaru tzv. trigonometrické ady ( (1) f(x) = c 0 + ak cos kx + b k sin kx ), c 0, a 1, a 2,..., b 1, b 2, C. Kaºdá taková funkce musí mít periodu, tudíº sta í studovat chování na intervalu ( π, π. 1.2. Komplexní tvar trigonometrické ady. adu (1) si m ºeme p epsat do tvaru (2) f(x) = c k e ikx, kde c 0 z stává a k= c k = a k ib k, c k = a k + ib k, k N. 2 2 Komplexní tvar se h predstaví, ale snáze se s ním po ítá. 1.3. Lebesgueovy prostory. Nech J je interval a p 1. Symbolem L p (J) budeme zna it mnoºinu v²ech funkcí f : J C takových, ºe ( 1/p f p := f(x) dx) p <. J ekneme, ºe ada funkcí k f k konverguje k funkci f v prostoru L p (J), jestliºe lim n s n f p = 0, kde s n je n-tý áste ný sou et ady. Nap. s n = f 1 + + f n pro f k a s n = f n + + f n pro adu k= f k. 1.4. Skalární sou in. Skalární sou in funkcí f, g L 2 (J) denujeme jako (f, g) := f(x)g(x) dx. J Symbol ḡ zna í komplexn sdruºenou funkci. Pro reálnou verzi prostoru L 2 je p echod ke komplexn sdruºené funkci irelevantní. Skalární sou in spl uje pravidla (pro f, g, h L 2 (J)) (1) (f, g) = (g, f), (2) (λf, g) = λ(f, g), (3) (f + g, h) = (f, h) + (g, h), (4) f 0 na mnoºin kladné míry = (f, f) > 0. V²imn me si, ºe f 2 = (f, f) 1/2. ekneme, ºe funkce f, g jsou navzájem kolmé (na J), jestliºe (3) f(x)g(x) dx = 0. J Primárn je tento termín ²it na míru prostoru L 2, dá se v²ak pouºít i v jiných situacích, kdy integrál v (3) konverguje. Pokud funkce jsou navzájem kolmé, pak jsou lineárn nezávislé. Lineární nezávislost funkcí f 1,..., f k L 2 (J) znamená, ºe pro ísla c 1,..., c k C platí k c k f k = 0 skoro v²ude = c 1 = c 2 = = c k = 0. j=1 1.5. Lemma (o kolmosti goniometrických funkcí). Funkce e ikx, k Z, jsou navzájem kolmé. 2
1.6. Fourierova ada. P edpokládejme, ºe funkce f L 1 (( π, π ) se dá zapsat ve tvaru (2) a ada konverguje v prostoru L 1. Vynásobme adu zprava funkcí e imx a integrujme p es ( π, π. Dostaneme π π π f(x)e imx dx = c k e ikx e imx dx = c k e ikx e imx dx π = π k= π π c k e imx e imx dx = c m, k= nebo leny s k m se vykolmí. Odtud je vid t, ºe abychom m li ²anci na rozvoj (2), koecienty by m ly mít tvar (4) c m = 1 π π f(x)e imx dx Má-li trigonometrická ada koecienty získané podle vzorce (4) z funkce f, nazývá se Fourierovou adou funkce f. eálný tvar Fourierovy ady je a 0 (5) 2 + ( ak cos kx + b k sin kx ), kde (6) a k = 1 π b k = 1 π π π π π π f(x) cos kx dx, k = 0, 1, 2,..., f(x) sin kx dx, k = 1, 2,.... Ve srovnání s (1) pouºíváme tradi ní zna ení a 0 /2 místo c 0, coº je motivováno post ehem, ºe funkce 1 je mezním p ípadem funkce cos kx pro k = 0 v (6). 1.7. Lemma (iemannlebesgue). Nech J je interval a f L 1 (J). Potom f(x)e ikx dx = 0. lim k ± J 1.8. Poznámka. Lemma platí i pro interval J nekone né délky a k necelé. Pro Fourierovy ady znamená mj. ºe Fourierovy koecienty funkce z L 1 (( π, π ) jdou vºdy k nule. 1.9. Jednostranné limity. Zna íme f(x+) := lim t x+ f(t), f(x ) := lim f(t). t x 1.10. V ta (Dirichlet Jordan). Nech f : je -periodická, omezená a po ástech monotonní. Potom Fourierova ada funkce f konverguje. Její sou et je f(x) v bodech spojitosti funkce f a 1( ) f(x+) + f(x ) 2 v bodech nespojitosti funkce f. 1.11. Poznámka. Je velký rozdíl mezi t ídou funkcí, pro které Fourierova ada konverguje a t ídou funkcí, pro které má smysl. Existují i spojité funkce, pro které Fourierova ada n kde diverguje (av²ak mnoºina bod divergence musí mít v takovém p ípad míru nula). V tu o konvergenci Fourierovy ady skoro v²ude (platí pro funkce z L 2 (( π, π )) je velmi t ºké dokázat. 2. Fourierovy ady v Hilbertov prostoru 2.1. Hilbert v prostor. Nekone n rozm rnou analogií eukleidovského prostoru je tzv. Hilbert v prostor. Hilbert v prostor je unitární prostor H, který je úplný, to znamená, ºe kaºdá Cauchyovská posloupnost je konvergentní. Hilbert v prostor se vyzna uje tím, ºe v n m m ºeme najít ortonormální systém (tj. systém navzájem kolmých jednotkových vektor ), která tvo í bázi vzhledem k nekone ným sou t m. P ipome me, ºe prvek u se pokládá za sou et adu k u k prvk H (jako v kaºdém NLP), jestliºe áste né sou ty konvergují k u v norm. Skalární sou in prvk u a v v Hilbertov prostoru se zna í (u, v). Pro ú ely Fourierových ad je praktické uvaºovat Hilbert v prostor nad t lesem komplexních ísel. Tato zm na nep iná²í p íli² mnoho nep íjemností, jen hlavn je t eba si dát pozor na asymetrii (v, u) = (u, v). 3
ekneme, ºe Hilbert v prostor H je separabilní, jestliºe v n m existuje spo etná mnoºina S, jejíº uzáv r je H. Hilbertovy prostory, s nimiº se lov k setkává v praxi, jsou zpravidla separabilní. V separabilním Hilbertov prostoru je kaºdý ortonormální systém spo etný a dá se tedy uspo ádat do posloupnosti. 2.2. Ortogonalizace. Kaºdou posloupnost vektor unitárního prostoru lze opravit na ortonormální tzv. GramSchmidtovou ortogonalizací. Nejprve odstraníme leny posloupnosti, které jsou lineárními kombinacemi p edchozích, a tak dostaneme posloupnost lineárn nezávislých vektor. Pokud uº leny posloupnosti {u n } jsou navzájem lineárn nezávislé, p i azujeme postupn e n podle p edpisu kde Posloupnost {e n } uº je ortonormální a u n+1 = u n+1 e n+1 = u n+1 u n+1, n (u n+1, e k ) e k. Lin(e 1..., e n ) = Lin(u 1,..., u n ), n N. 2.3. V ta (iesz-fischer). Nech {e k } je ortonormální systém v Hilbertov prostoru H a {c k } je posloupnost komplexních ísel. Jestliºe c k 2 <, potom c k e k konverguje v H. 2.4. Úplný ortonormální systém. Ortonormální systém {e k } k v (separabilním) Hilbertov prostoru se nazývá úplný, jestliºe uº k n mu není moºné doplnit dal²í ortonormální prvek. 2.5. Abstraktní Fourierova ada. Nech {e k } k je úplný ortonormální systém v (separabilním) Hilbertov prostoru H. Fourierovy koecienty prvku u H jsou ísla ada se nazývá abstraktní Fourierova ada prvku u. û k := (u, e k ) û k e k k 2.6. V ta. V kaºdém separabilním Hilbertov prostoru existuje (spo etný) úplný ortonormální systém. 2.7. V ta. Nech {e k } k je úplný ortonormální systém. Potom (a) (ozvoj do abstraktní Fourierovy ady) pro kaºdý prvek u H je u = k û k e k, (b) pro kaºdé dva prvky u, v H je (u, v) = k û kˆv k. (c) (Parsevalova rovnost) pro kaºdý prvek u H je u 2 = k û k 2 2.8. Aplikace. Pomocí ortogonalizace se dají konstruovat úplné ortonormální posloupnosti v Hilbertových prostorech funkcí a studovat rozvoje funkcí do ad. Pro r zné výpo ty mají uplatn ní nap. Legendrovy i Hermitovy polynomy, o nichº je moºné se do íst v literatu e. Zde se omezíme na klasické Fourierovy ady. Prostor L 2 (( π, π ), kde rovnost prvk je chápána jako rovnost funkcí skoro v²ude, je Hilbert v prostor. Funkce e k = 1 e ikt, k Z tvo í úplný ortonormální systém v prostoru L 2 (( π, π ), a tak v ta 2.7 dopl uje informace a dává nový pohled na klasické Fourierovy ady. 4
3. S ítání Fourierových ad Najít Fourierovu adu k dané funkci je rutinní úlohou vedoucí na pouºití vzorc (6). T º²í je najít sou et dané Fourierovy ady. K tomu je uºite né uv domit si souvislost mezi Fourierovou adou a zobecn nými mocninnými adami. Máme-li se íst Fourierovu adu c k e ikt k= v bod t, je vhodné provést substituci z = e it a tím ada p echází na (7) c k z k k= Málokdy se nám po²t stí, aby ada (7) byla Laurentovou adou holomorfní funkce. ƒast ji se hodí p epis z k = z k (z je komplexní jednotka!). Tím problém p evedeme na nalezení sou tu Taylorovy ady. 3.1. P íklad. Uvaºujme funkci k+1 sin kt f(t) = ( 1) = Im ( 1) k Po substituci z = e it máme takºe pro t ( π, π) je Sou tem ady f(arg z) = Im ( 1) k+1 zk k+1 eikt k. k = Im ln(1 + z) = arg(1 + z) = 1 2 arg z, f(t) = t 2. k+1 sin kt ( 1) k je tedy pilovitá -periodická funkce na, která splývá s t/2 na intervalu ( π, π). V lichých násobcích π je sou et nula, jak se snadno p esv d íme p ímým dosazením. 3.2. P íklad. Uvaºujme funkci f(t) = sin kt k 2 = Im ( 1) k+1 eikt k 2. Po substituci z = e it máme kde Zde asi sou et ady neuhodneme. Máme g (z) = zg (z) = f(arg z) = Im g(z), g(z) = g (z) = z k 1 k, z k k z k k 2. ln(1 z), z = ln(1 z), Vy e²ení p íkladu brání problém s hledáním primitivní funkce. 5
3.3. P íklad. Uvaºujme funkci f(t) = k cos kt ( 1) k 2. Kdybychom p evád li na z = e it, setkali bychom se s podobným problémem jako vý²e v p íkladu 3.2. Zderivováním ady len po lenu dostaneme f k+1 sin kt (t) = ( 1) = t, t ( π, π), k 2 (p evedli jsme na p íklad 3.1), tedy f(t) = t 2 + C. K do e²ení pouºijeme p íklad 12.15 ze zimního semestru, podle n hoº ( 1) k C = k 2 = π2 12. 3.4. P íklad. Uvaºujme funkci Zderivováním dostaneme f(t) = f (t) = k=0 k=0 cos (2k + 1)t (2k + 1) 2. sin (2k + 1)t. 2k + 1 Substitucí z = e it p evedeme na nalezení imaginární ásti z 2k+1 g(z) = 2k + 1 = 1 2 ln 1 + z 1 z. k=0 Máme Im g(e it ) = 1 1 + eit arg 2 1 e it = 1 ( arg e it arg( e it ) ) = 1 4 4 (t (t π)) = π, t (0, π) 4 a podobn f (t) = Im g(e it ) = π, t ( π, 0) 4 Je tedy f(t) = π t + C. 4 K nalezení konstanty pouºijeme p íklad 12.15 ze zimního semestru, podle n hoº 1 C = (2k + 1) 2 = π2 8. k=0 6
Fourierova transformace 4. Fourierova transformace v L 1 4.1. Motivace. Jestliºe -periodická funkce f má Fourier v rozklad f(x) = c k e ikx, k= znamená to, ºe je sou tem harmonických kmit o frekvencích k s vahou c k. N které funkce mohou být zapsané v obecn j²ím tvaru (8) f(x) = a M kde M je spo etná mnoºina. Pouºijeme-li speciáln c a e iax, (mnoºina s ítacích index nejsou celá ísla!) (9) M = {k/l : k Z}, l > 1, funkce f je periodická, ale její perioda l je v t²í, protoºe frekvence jsou hust²í. Jestliºe M obsahuje ísla, jejichº pom r je iracionální, pak (aº na triviální koecienty u p íslu²ných s ítanc ) funkce f není periodická a ada (8) se nedá pokládat za Fourierovu adu. (Nap. f(x) = sin x + sin πx.) Frekven ní analýza je dostupná i v p ípad, ºe dochází k nekone nému zahu² ování frekvencí. Kdyº p i stejn silném signálu se frekvence zahu² ují, ale p ísp vek jednotlivé frekvence do celku se sniºuje, v limit máme jakousi hustotu jejich rozloºení a funkce f není vyjád ena adou, ale integrálem tvaru (10) f(x) = g(y) e iyx dy. Taková funkce není periodická, protoºe p i zahu² ování frekvencí se zv t²uje perioda a v limit dostáváme periodu nekone nou, tedy ºádnou. Frekven ní analýza funkcí ve tvaru (8) a (10) se dá zahrnout pod jednu st echu v rámci jednotící teorie distribucí. Nejprve v²ak se budem zabývat jednodu²²ím problémem, jak najít hustotu g, pokud funkce f p ipou²tí rozklad (10). 4.2. Fourierova transformace. Je-li f L 1 () integrovatelná funkce, denujeme 1 (11) ˆf(x) := e ixy f(y) dy. Funkce ˆf se nazývá Fourierova transformace funkce f. Její d leºitost spo ívá hlavn v tom, ºe za jistých podmínek lze pak funkci vyjád it jako (12) f(x) = 1 e ixy ˆf(y) dy ímº máme provedenu frekven ní analýzu funkce f a zápis (12) nám umoº uje pouºívat uºite né vzorce 1 fourierovského kalkulu. Konstanta se p idává za tím ú elem, aby vynikla symetrie mezi vzorci (11) a (12). Funk ní hodnoty ˆf(y) hrají analogickou roli jako koecienty Fourierovy ady. Místo ˆf n kdy pouºíváme zna ení Ff. Také zna íme ˇf(x) = Ff(x) = 1 e ixy f(y) dy. (rozdíl mezi p edpisem pro F a F je ve znaménku exponentu). Operátor F je komplexn sdruºený ve smyslu F f = Ff. V dal²ím budeme symbolem x zna it identickou funkci x x. 4.3. V ta. Nech f : C je integrovatelná funkce. Potom ˆf je omezená spojitá funkce a lim ˆf(x) = 0. x 4.4. V ti ka. Nech f, g L 1 (). Potom f(x)ĝ(x) dx = 7 ˆf(x) g(x) dx.
4.5. V ta. Nech f : C je integrovatelná funkce. Nech funkce f a xf jsou integrovatelné. Potom ˆf je spojit diferencovatelná a xf = i( ˆf). 4.6. V ta. Nech f L 1 () je spojit diferencovatelná funkce a f L 1 (). Potom f = ix ˆf. 4.7. V ta (o inverzním vzorci). Nech f i ˆf jsou integrovatelné funkce. Potom neboli ( ˆf)ˇ= ( ˇf)ˆ= f, ( ˆf)ˆ( x) = f(x). 4.8. Konvoluce. Konvoluce funkcí f, g L 1 () je funkce, která se denuje p edpisem f g (x) = f(x y) g(y) dy. Na L 1 je operace konvoluce symetrická a výsledek je op t funkce z L 1. Konvoluce má v matematice mnohostranné pouºití, pro Fourierovu transformaci platí pozoruhodný vzorec (13) f g = ˆf ĝ, f, g L 1. Operace konvoluce se dá zobecnit i na jiné typy operand, jsme-li p ísn j²í na výb r funkce f, m ºem operovat s ²ir²ím systémem funkcí g. Pro n které páry funkcí (tím spí² distribucí, viz. dále) v²ak konvoluce nemá ºádný rozumný smysl. Inverzní furmule nám dá vzorec pro Fourierovu transformaci sou inu (14) fg = 1 ˆf ĝ, f, g L 2 L 1. Vzorec (14) platí i obecn ji, diskuse jeho deni ního oboru není lehká. 5. Distribuce 5.1. Motivace. Kaºdá rozumná veli ina reálné prom nné je charakterizovaná svým rozd lením, které udává její úhrn p es intervaly. Veli iny se v t²inou modelují jako funkce, pokud f : J C je integrovatelná funkce a L J je interval, úhrn veli iny f p es L je f(x) dx, zatímco funkce f samotná L je její hustota. Umíme si v²ak také p edstavit takovou veli inu δ 0, jejíº úhrn p es interval L by byl jedna pokud L obsahuje po átek a nula jinak. Taková veli ina by byla mezní p ípad, limita pro j posloupnosti veli in s hustotami f j, t eba { j, x (0, 1 j (15) f j (x) = ), 0 jinak. Veli ina δ 0 je koncentrovaná v bod 0, podobn bychom zavedli veli inu δ a o celkovém úhrnu 1 koncentrovanou v bod a a lineární kombinace veli in δ a diskrétními veli inami. Abychom dali takovým pojm m p esný matematický význam a zárove jednotný rámec, který by zahrnul pod jednou st echou funkce a diskrétní veli iny, denujeme distribuce. P ínos distribucí bude dvojí. Distribuce dávají jednotící pohled na veli iny s hustotou a koncentrované veli iny. Pokud by nám ²lo jen o to, sta ilo by zavést tzv. komplexní míry. Míry jsou objekty vhodné k modelování fyzikálních veli in které se mohou (ale nemusí) koncentrovat do mnoºin Lebesgueovy míry nula (nap. idealizovaná hmotnost). Teorie distribucí nám v²ak také umoº uje vytvá et nové objekty formálním derivováním starých objekt, Formálnost derivování je mín na tak, ºe nepoºadujeme, aby derivace existovala v klasickém smyslu. Moºnost bezmezného derivování je velmi uºite ná pro teorii Fourierovy transformace. Distribuce, p esn ji temperované distribuce, jsou objekty, které zahrnují integrovatelné funkce, lze je s ítat, násobit polynomy, derivovat a párovat s tzv. testovacími funkcemi. Párování je bilineární forma na kartézském sou inu S S, kde S je mnoºina v²ech temperovaných distribucí a S je mnoºina v²ech rychle klesajících testovacích funkcí. Protoºe vymezení distribucí jako objekt m ºe být právem chápáno jako p íli² vágní, denujeme je jako spojité lineární fukcionály (formy) na prostoru S. Tento p ístup nám také umoº uje vymezit rovnost distribucí, nebo jedna distribuce m ºe být vygenerována r znými zp soby. 8
5.2. Neur itý integrál. Pro pohodlí zde zopakujeme pár pojm z teorie integrálu. M jme funkci f denovanou na intervalu I. ekneme, ºe f je lokáln integrovatelná na I, jestliºe f je integrovatelná na kaºdém intervalu a, b I. (Nap. funkce f(x) = 1/x je lokáln integrovatelná na intervalu (0, 1), ale není na n m integrovatelná.) Nech f je lokáln integrovatelná funkce na I. Funkce F : I C se nazývá neur itý integrál funkce f, jestliºe F (b) F (a) = b a f(x) dx pro kaºdý interval a, b I. Pokud F je neur itý integrál funkce f na I, potom funkce f + C, kde C je konstanta, jsou také neur ité integrály a ºádné jiné neur ité integrály funkce f na I nemá. Neur itý integrál je n co jako primitivní funkce, ale na rozdíl od primitivní funkce je odvozen od jiného druhu integrálu (Lebesgueova místo Newtonova). Neur itý integrál funkce f zna íme f (bez udání mezí). 5.3. Testovací funkce. ekneme, ºe ϕ : C je rychle klesající testovací funkce, jestliºe ϕ je nekone n diferencovatelná a sou in x m ϕ (k) je omezený pro kaºdý ád k {0, 1, 2,... } a stupe mocniny m {0, 1, 2,... }. Mnoºina v²ech rychle klesajících testovacích funkcí se nazývá Schwartz v prostor a zna í S. Nap. funkce e x2 leºí v S. 5.4. Konvergence testovacích funkcí. Nech ϕ, ϕ j S, j = 1, 2,..., jsou testovacích funkce. ekneme, ºe posloupnost {ϕ j } j konverguje k ϕ v S, zna íme ϕ j ϕ, jestliºe x m ϕ (k) j (x) x m ϕ (k) (x) stejnom rn pro kaºdý ád k {0, 1, 2,... } a kaºdý stupe mocniny m {0, 1, 2,... }. 5.5. Denice distribuce. Temperované distribuce jsou spojité lineární funkcionály na S. Prostor v²ech temperovaných distribucí se zna í S. Je²t se v matematice pracuje s oby ejnými distribucemi, distribucemi bez p ívlastku, v tomto textu se jimi v²ak nebudeme zabývat a pojem distribuce budeme pouºívat ve významu temperovaná distribuce. Základní úkon s distribucí je párování. Distribuce S se páruje s testovací funkcí ϕ S a z formálního hlediska jde o hodnotu funkce (funkcionálu) S S v bod (testovací funkci) ϕ S. Jenom místo zna ení S(ϕ), obvyklého pro záznam hodnoty funkce v bod, pouºíváme zna ení S, ϕ. V denici distribuce se je²t vyskytuje termín spojitý. Ten se chápe jako následující vlastnost: ekneme, ºe funkcionál S je spojitý na S, jestliºe pro kaºdou posloupnost {ϕ j } j testovacích funkcí platí ϕ j ϕ = S, ϕ j S, ϕ. 5.6. egulární a diskrétní distribuce. Distribucím se také n kdy íká zobecn né funkce. Termín pochází z toho, ºe mnohé funkce lze chápat jako speciální p ípad distribucí. Existují ov²em funkce, které se zahrnutí do kontextu distribucí vymykají. Nech f : C je integrovatelná funkce. Funkci f budeme tém ztotoº ovat s distribucí (16) S f : ϕ f(x)ϕ(x) dx, ϕ S. Funkci f budeme nazývat hustota distribuce S f. Distribucím vzniklým tímto zp sobem se íká regulární distribuce. Protoºe po ztotoºn ní f S f by symbol f(ϕ) byl matoucí, dáváme p ednost symbolice párování, totiº f, ϕ = f(x)ϕ(x) dx. Obecn ji, za regulární distribuce budeme povaºovat distribuce tvaru (16) i kdyº f je jen lokáln integrovatelná, av²ak musíme dát pozor, aby p edpis byl distribucí (nap. funkce f(x) = e x je lokáln integrovatelná, ale nedává p edpisem (16) spojitý lineární funkcionál na S ). Diskrétní distribuce budou distribuce tvaru c a δ a, a M kde M je spo etná mnoºina a c a jsou komplexní koecienty, c a < +. a M Funkcionál δ a je tzv. Diracova distribuce a denuje se pomocí párování (17) δ a, ϕ = ϕ(a), ϕ S. 9
V t²inou budeme mluvit o Diracov distribuci v souvislosti s δ 0. 5.7. Násobení a derivování distribucí. Je-li S lineární funkcionál na S, denujeme jeho derivaci S p edpisem (18) S, ϕ = S, ϕ, ϕ S. Sou in funkce ψ S a distribuce S S denujeme jako (19) ψs, ϕ = S, ψϕ, ϕ S. Speciáln (20) xs, ϕ = S, xϕ, ϕ S. Vzorce (18) a (20) m ºeme iterovat, výsledek zápí²eme v symbolice párování. Je-li p polynom, dostaneme iterováním vzorce (20) (21) ps, ϕ = S, pϕ. Podobn iterování vzorce (18) dostaneme vzorec pro k-tou derivaci (22) S (k), ϕ = ( 1) k S, ϕ (k). Vzorce (18), (22) jsou evidentním zobecn ním formule pro integrování per partes. Ke kaºdé distribuci m ºeme najít reprezentaci ve tvaru kone ného sou tu x m S (k) mk, m,k kde S mk jsou regulární nebo diskrétní distribuce popsané v 5.6. Toto vyjád ení není jednozna né a pouºití diskrétních distribucí z n ho lze vyeliminovat. Po ád m jme na pam ti, ºe distribuce jsou zobecn né funkce, ale ne funkce. Zacházíme tedy s nimi opatrn a provádíme jen takové operace, které jsou výslovn povoleny. Zatím to jsou operace s ítání, násobení testovací funkcí, derivace a párování s testovacími funkcemi. K t mto operacím p ibude Fourierova transformace. Výslovn je zakázáno násobit dv distribuce mezi sebou, nebo i násobit distribuci funkcí, která není testovací. V n kterých p ípadech sice takový sou in m ºe mít smysl, ale o tom m ºe rozhodnout jen zku²ený matematik. Nap íklad sou in δ 0 δ 0 v teorii temperovaných distribucí smysl rozhodn nemá. Existují upravené teorie, v nichº se dá násobit, ov²em za cenu ztráty jiných rozumných vlastností. 5.8. Poznámka. Mezi funkcemi a distribucemi existuje mezi lánek v obecnosti, tzv. míry. Zatímco pro funkce je primární hodnota v bod a pro distribuce hodnota na testovací funkci, míry `m í mnoºiny. P esto po jistém ztotoºn ní m ºeme chápat {integrovatelné funkce} {míry} {distribuce} Míry jsou veli iny, které mohou mít hustotu, tj. A (pak se dají ztotoºnit s lokáln integrovatelnými funkcemi), ale také se mohou koncentrovat do mnoºin míry nula (nap. míry v 3 se mohou koncentrovat do bod, k ivek a ploch). Míry zahrnují i diskrétní distribuce popsané v 5.6. Diracova distribuce je typickým p íkladem míry bez hustoty, jako mnoºinová funkce je to { 1, a A, A 0, a / A. Fyzikální interpretace je A ρ mnoºina hmotnost za p edpokladu, ºe p ipustíme i hmotné body a podobné p ípady koncentrované hmoty. V dimenzi jedna lze nezáporné míry získat jako distributivní derivace monotonních funkcí. Nap. Diracovu distribuci dostaneme jako distributivní derivaci Heavisideovy funkce { (23) δ 0 = H 1, x 0,, H(x) = 0, x < 0. 10
V literatu e se míry spolu s funkcemi za azují mezi distribuce ádu nula, a (minimální) ád distribuce se denuje jako nejmen²í moºný po et iterací derivování, který je nutný k vytvo ení dané distribuce z míry. 5.9. Konvergence distribucí. Pomocí prostoru S m ºeme zavést konvergenci distribucí. ekneme, ºe posloupnost {S k } k distribucí konverguje k distribuci S, jestliºe S k, ϕ S, ϕ, ϕ S. Nap íklad funkce f k denované v (15) konvergují ve smyslu distribucí k Diracov distribuci. Zajímavé je, ºe ke kaºdé distribuci najdeme posloupnost funkcí (dokonce funkcí z S ), které k ní konvergují. 5.10. Za azení prostor funkcí do distribucí. Je-li f omezená spojitá funkce, nemusí být integrovatelná, ale p i azení S f : ϕ f(x) ϕ(x) dx, ϕ S má i tak smysl jako temperovaná distribuce. Podobn funkce z Lebesgueových prostor L p (), 1 p, jsou distribuce nultého ádu. 5.11. V ta. Distribuce S e²í rovnici S = 0, práv kdyº existuje C C tak, ºe S = S C. 5.12. V ta. Distribuce S e²í rovnici (x a)s = 0, práv kdyº existuje C C tak, ºe 5.13. P íklad. e²me rovnici S = Cδ a. (24) xs = 1 v distribucích. Výsledek by m l být n co jako funkce 1/x, ale smysl párování pro S 1/x je nejasný, integrál S, ϕ ϕ(x) x pro v t²inu testovacích funkcí diverguje. Moºný význam takového párování dá aº integrování per partes. Distribuci x 1 denujeme p edpisem x 1, ϕ = ϕ(x) ln x dx. Tedy distribuce x 1 je derivace funkce ln x ve smyslu distribucí. Distribuce x 1 má ád 1. M ºeme se p esv d it, ºe distribuce x 1 e²í rovnici (24). Dal²í e²ení dostaneme p ipo ítáním násobku Diracovy distribuce δ 0 a lze dokázat, ºe víc moºností e²ení uº není, srv. 7.4. 5.14. Distribuce v n-rozm rném prostoru. Teorii temperovaných distribucí lze bez problém p evést do n, pouze namísto jednoho operátoru derivování máme n operátor x i, i = 1,..., n, a namísto namísto jednoho operátoru x-násobení máme n operátor x i, i = 1,..., n, tedy x i f je funkce x x i f(x). Platí, téº, ºe omezené spojité funkce na n a funkce z L p ( n ) jsou distribuce nultého ádu. dx 6. Fourierova transformace distribucí 6.1. Fourierova transformace distribuce. Nech S S je distribuce. Fourierovu transformaci FS distribuce S denujeme p edpisem Podobn, Tato denice je roz²í ením p vodní denice FS, ϕ := S, ˆϕ, ϕ S. FS, ϕ := S, ˇϕ, ϕ S. Ff(x) = 1 11 e ixy f(y) dy,
kterou jsme pouºili pro funkce f L 1 (). Pro diskrétní distribuce tvaru µ = a M c k δ a, kde M je spo etná mnoºina a c a jsou komplexní koecienty spl ující c a < +, je a M Fµ(x) = 1 a M c a e iax. Tato denice je konzistentní se vzorcem (17), a koli z tohoto vzorce p ímo nevyplývá, totiº, funkce e iay nejsou povolené testovací funkce. (Prostor S je schváln úzký aby se jeho prvky daly testovat v²echny distribuce. Pro speciální podt ídy distribucí by bylo moºné uvaºovat ²ir²í systémy testovacích funkcí.) 6.2. Fourierova transformace násobku a derivace. V ty 4.5 a 4.6 nám dávají návod, v jakém tvaru hledat vzorce pro Fourierovu transformaci násobku a derivace. Vskutku, platí podobn F(xS) = i(fs), F(S ) = ixfs, F(xS) = i(fs), F(S ) = ixfs. 6.3. V ta (o inverzním vzorci). Nech S je temperovaná distribuce. Potom F(FS) = F(FS) = S. 6.4. Poznámka. Je-li f integrovatelná funkce, je Ff omezená spojitá funkce (tedy podle 5.10 distribuce nultého ádu) a F(Ff) uº má obecn smysl jen v distribucích, nebo Ff nemusí být integrovatelná. V ta 6.3 je tedy podstatným zesílením v ty 4.7. 6.5. Fourierova transformace v Hilbertov prostoru. Nech f L 2 (). Potom funkci f m ºeme p i adit distribuci S f nultého ádu podle 5.10. ekneme, ºe funkce u L 2 () je Fourierovou transformací funkce f, jestliºe FS f = S u, zna íme u = ˆf. Podobn denujeme ˇf. Pro funkce f L 1 () L 2 () dávají ob denice (stará a nová) ˆf stejný výsledek. Fourierova transformace na prostoru L 2 je izometrický izomorsmus L 2 na sebe, totiº platí následující v ta. 6.6. V ta (Plancherel). Nech f L 2 (). Potom ˆf L 2 () existuje a Pro f L 2 () platí inverzní formule ˆf 2 = f 2. ( ˆf)ˇ= ( ˇf)ˆ= f. 6.7. Poznámka. V kapitole o Fourierových adách jsme pouºívali funkce Toto ozna ení roz²í íme i na necelá ísla, tedy e k : x 1 e ikx, k Z. e y (x) = e x (y) = 1 e ixy. Pro Fourierovy ady v Hilbertov prostoru L 2 (( π, π ) máme f = k Z(f, e k ) e k, zatímco inverzní vzorec pro Fourierovi transformaci je formáln (25) f = (f, e y )e y dy. Vada na kráse je, ºe není snadné dát vzorci (25) p esný význam, nap. (f, e y ) = f(t)e y (t) dt = 1 e ity f(t) dt 12
nemá smysl jako skalární sou in na L 2 (), protoºe funkce e y v tomto prostoru nejsou. 6.8. Aplikace Fourierovy transformace na diferenciální rovnice. Fourierova transformace p evádí sloºit j²í operaci derivace na jednodu²²í operaci násobení funkcí ix. Tím se diferenciální rovnice p evád jí na algebraické rovnice. Metodu budeme ilustrovat na p íkladu diferenciální rovnice } u + u = f (26) f L 1 (), u( +) = u(+ ) = 0 Aplikujeme-li Fourierovu transformaci na ob strany rovnice (26), dostaneme (x 2 + 1)û = ˆf, takºe ˆf û = x 2 + 1 Zbývá jen mali kost, spo ítat Fourierovu transformaci funkce f a inverzní Fourierovu transformaci funkce ˆf/(x 2 + 1). Záleºitost si m ºeme zjednodu²it pomocí tzv. fundamentálního e²ení. Denujme fundamentální e²ení diferenciálního operátoru u + u jako e²ení ve smyslu distribucí diferenciální rovnice } u + u = δ 0 (27) u( +) = u(+ ) = 0 (obecn, fundamentální e²ení se denuje i pro n které jiné diferenciální operátory s konstantními koe- cienty). Potom metodou derivování podle parametru, anebo pomocí Fourierovy transformace, se dá odvodit, ºe w e²í (27) = w f e²í (26). Sta í tedy vy e²it rovnici (27). Aplikujeme-li Fourierovu transformaci na ob strany rovnice (27), dostaneme (x 2 + 1)û = 1 Sta í tedy najít (inverzní) Fourierovu transformaci k funkci (x 2 +1) 1. K tomu m ºeme pouºít reziduovou v tu (n co podobného uº jsme po ítali v komplexní analýze). V praxi je v t²inou jednodu²²í po ítat e²ení diferenciální rovnice p ímo neº Fourierovu transformací, naopak se setkáme s výpo tem Fourierovy transformace pomocí e²ení diferenciální rovnice. P esto je metoda Fourierovy transformace silným nástrojem teorie diferenciálních rovnic, zvlá²t parciálních. Pro ú ely posledn jmenovaných je t eba ov²em zobecnit Fourierovu transformaci do vy²²í dimenze. 6.9. Fourierova transformace v n. Fourierovu transformaci komplexní integrovatelné funkce f na n denujeme p edpisem 1 ˆf(x) = e ix y f(y) dy. () n/2 n Je t eba zaregistrovat jen dv zm ny: konstanta závisí na dimenzi a sou in x y je skalární sou in. Fourierova transformace v n se chová podobn jako v, nap íklad parciální derivaci podle x j p evádí na násobení funkcí ix j. 7. Po ítání Fourierových transformací 7.1. Poznámka. V této kapitole budeme ob as zapisovat funkce nep esným zp sobem f(x) namísto f a oba zápisy kombinovat, nap íklad ve výrazech jako Ff +sin x, jinak by zápisy byly v n kterých p ípadech nep ehledné. Vºdy si uv domme, ºe Fourierova transformace se dá obrátit, takºe skoro kaºdý p íklad dává dva góly, dá se íst zleva doprava a zprava doleva. 7.2. P íklad. Je dobré si zapamatovat, jak se Fourierova transformace chová vzhledem k symetriím. Snadno spo ítáme { Ff(x), f sudá, (Ff)( x) = Ff(x) = Ff(x), f lichá, tedy Fourierova transformace zachovává sudost a lichost. Dále odtud plyne, ºe je-li f reálná a sudá, pak Ff je reálná, je-li f reálná a lichá, pak Ff je ryze imaginární. 13
Dal²í uºite ný vzorec je o lineární zám n prom nných ϕ(x) = ax + b. Máme (28) F(f ϕ)(x) = 1 a e ibx x a (Ff)( a ). ve vy²²í dimenzi je nutno p epsat prvé 1/a jako 1/a n. 7.3. P íklad. Uº víme z denice, ºe tedy podle inverzní formule je ˆδ 0 = () 1/2, F 1 = () 1/2 δ 0. V²imn me si, ºe uº tato Fourierova transformace má smysl jenom v distribucích. V dal²ím nebudeme analogický komentá explicitn zmi ovat. 7.4. P íklad. e²me rovnici (29) xu = 0 v distribucích. Po aplikaci Fourierovy transformace dostaneme tedy Fu = C i(fu) = 0, (integra ní konstanta). (Lze dokázat, ºe jiná e²ení uº nejsou.) Aplikujeme inverzní transformaci a dostaneme (s jinou konstantou) u = Cδ 0. 7.5. P íklad. Bu f(x) = 1 2 sgn x. Potom f je distribuce nultého ádu. Máme f = δ 0, tedy po transformaci ixff = () 1/2. Odtud Ff = i() 1/2 x 1 + Cδ 0 (viz. p íklady 5.13, 7.4). Zbývá ur it konstantu C. Jelikoº f je lichá, podle p íkladu 7.2 je Fourierova transformace lichá a tudíº C = 0 a Ff = i() 1/2 x 1. 7.6. P íklad. Nech f = χ ( 1,1), tedy f = 1 na ( 1, 1) a 0 jinde. Potom f = δ 1 δ 1, tedy po transformaci ix ˆf(x) = () 1/2 (e ix e ix ) = 2i() 1/2 sin x. Odtud 1/2 sin x ˆf(x) = (π/2) x. Pravá strana se dá spojit dodenovat v nule. Výsledek máme ov en aº na len Cδ 0, ale f je integrovatelná, takºe ˆf je spojitá a C tudíº musí být nula. 7.7. P íklad. Bu f(x) = e x2 2. Funkce f spl uje diferenciální rovnici tedy po transformaci f = xf, ix ˆf = i( ˆf). Ejhle, funkce ˆf spl uje stejnou diferenciální rovnici. Protoºe rovnice je lineární, musí být ˆf = cf. Konstantu c spo ítáme p ímo z denice Fourierovy transformace, totiº c = ˆf(0) = () 1/2 e x2 2 dx = 1. (To je v podstat Laplace v integrál. který jsme spo ítali v zimním semestru pomocí p evodu na dvourozm rný integrál a polárních sou adnic.) Vidíme, ºe funkce e x2 2 se Fourierovou transformací zobrazí sama na sebe. Ze vzorce (28) dále dostaneme pro a = 2t (30) f(x) = e tx2 = ˆf(x) = 1 2t e x2 4t. 14
7.8. P íklad. Bu f(x) = 1 2 e x. Funkce f spl uje diferenciální rovnici tedy po transformaci Odtud f + f = δ 0, (x 2 + 1) ˆf = () 1/2. ˆf(x) = () 1/2 1 x 2 + 1 7.9. P íklad. Nech f(x) = (x 2 + 1) 1. Pro po ítání Fourierovy transformace máme t i moºnosti. První moºnost je pouºít p íklad 7.8 a inverzni formuli. Bohuºel, pozd ji chceme práv tento výsledek pouºít k d kazu inverzní formule, takºe bychom dostali d kaz kruhem. Lep²í moºnost je pouºít rovnost (x 2 + 1)f = 1, po transformaci ( ˆf) + ˆf = () 1/2 δ 0, coº je diferenciální rovnice pro ˆf, jejímº e²ením odvodíme výsledek. Je²t jiná nezávislá moºnost je po ítat Fourierovu transformaci funkce f z denice a na výpo et integrálu pouºít reziduovou v tu. Výsledek je ˆf(x) = (π/2) 1/2 e x. 7.10. P íklad. Bu f(x) = arctg x. Potom f (x) = 1 x 2 +1, tedy podle p edchozího p íkladu 7.9 po transformaci ixff = (π/2) 1/2 e x. Odtud Ff = i(π/2) 1/2( e x 1 + x 1 ). x Zde jsme rozloºili e x jako (e x 1) + 1, protoºe distribuce e x 1 x má smysl jako funkce a rovnici xu = 1 umíme e²it. Jelikoº f je lichá, Ff musí být lichá a s lenem Cδ 0 naloºíme jako v p íkladu 7.5. Uv domme si, ºe funkce f je omezená a spojitá, a p esto není Fourierovým obrazem komplexní míry, natoº funkce. Otázka, ke kterým funkcím lze najít Fourier v vzor v klasickém smyslu, v bec není lehká a odpov je p íli² asto záporná. Teorie distribucí v tomto ohledu není komplikací, ale vysvobozením. 7.11. Poznámka. Uvaºujme integrovatelnou funkci u, jejíº druhá derivace je také integrovatelná. Poloºme f = u + u. Uvaºujme integrál e ix(z y) f(y) (31) w(z) = x 2 dx dy. + 1 2 Vyintegrujme nejprve podle x. Jelikoº znalost Fourierovy transformace funkce (x 2 + 1) 1 (p íklad 7.9) dává e ix(y z) (32) x 2 + 1 dx = πe y z, dostaneme w(z) = π e z y f(y) dy. Derivováním podle parametru dostaneme w + w = f, coº spolu s integrovatelností funkce w dává w = u, viz. téº 6.8. Nyní integrál (31) integrujme nejprve podle y. Dostaneme w(z) = () 1/2 ixz e ˆf(x) x 2 + 1 dx. Jelikoº u + u = f, máme (x 2 + 1)û = ˆf, tedy dohromady u(z) = () 1 w(z) = () 1/2 e ixz û(x) dx = (û)ˇ(z), takºe jsme ov ili inverzní formuli aspo pro u spl ující dané p edpoklady. 15