ANALIZA DOKŁADNOŚCI WYNIKU POMIARÓW

ĆWICZENIE 3 ANALIZA DOKŁADNOŚCI WYNIKU POMIARÓW 3.. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest nauczenie studentów określania błędów granicznych oraz niepewności całkowitej w pomiarach bezpośrednich i pośrednich oraz poprawnego zapisu wyniku pomiarów. 3.2. Wprowadzenie 3.2.. Ogólne informacje o błędach pomiaru Wynik pomiaru na ogół różni się od wartości prawdziwej (rzeczywistej) wielkości mierzonej. Różnica między wynikiem a wartością prawdziwą nazywana jest błędem pomiaru. W praktyce wartość prawdziwa nie jest znana i zastępowana jest wartością umownie prawdziwą (poprawną) akceptowalną w danych okolicznościach. W praktyce pomiarowej wyróżnia się trzy rodzaje błędów: błędy systematyczne, przypadkowe oraz nadmierne. Pod pojęciem błędu systematycznego rozumie się różnicę między średnią arytmetyczną z nieskończonej liczby wyników pomiarów tej samej wielkości mierzonej, wykonanych w tzw. warunkach powtarzalności a wartością prawdziwą wielkości mierzonej. Natomiast różnicę między wynikiem pomiaru a średnią z nieskończonej liczby wyników wykonanych w powyższych warunkach uważa się za błąd przypadkowy. W praktyce nie mamy dostępu ani do wartości prawdziwej, ani nie jest możliwe wykonanie nieskończonej liczby pomiarów i dlatego możemy jedynie wyznaczyć przybliżone wartości (estymaty) tych błędów. Nie miniemy się z prawdą, jeśli powiemy, że błędami systematycznymi są błędy, które podczas pomiarów tej samej wartości pewnej wielkości, wykonywanych w tych samych warunkach, pozostają stałe zarówno co do wartości bezwzględnej jak i co do znaku lub błędy zmieniające się według określonego prawa wraz ze zmianą warunków. Źródłami błędów systematycznych sa metody i przyrządy pomiarowe, niezachowanie wymaganych warunków pomiaru, obserwator. Charakterystyczną cechą błędów systematycznych jest możliwość całkowitego lub częściowego ich usunięcia z wyniku pomiaru. Wśród błędów systematycznych wyróżnia się trzy ważne grupy: Błędy podstawowe - są to błędy przyrządów pomiarowych występujące podczas stosowania ich w tzw. warunkach odniesienia (lub inaczej znamionowych) podanych przez producenta. Głównymi ich przyczynami są: niedokładność wzorcowania i niedokładności konstrukcyjne oraz technologiczne narzędzi pomiarowych. Błędy podstawowe są błędami stałymi i mogą być w czasie pomiaru kompensowane przez stosowanie poprawek do wskazań przyrządów. Poprawka jest równa wartości oszacowanego błędu systematycznego ze znakiem przeciwnym. Błędy dodatkowe - są to błędy, których źródłem są zmiany właściwości przyrządów pomiarowych i obiektu pomiaru pod wpływem zmian warunków pomiaru w stosunku do przyjętych jako warunki odniesienia. Cechą charakterystyczną błędów dodatkowych jest Warunki powtarzalności obejmują.: tę samą procedurę pomiarową, tego samego obserwatora, ten sam przyrząd pomiarowy stosowany w tych samych warunkach, to samo miejsce, powtarzanie w krótkich odstępach czasu

2 Laboratorium podstaw techniki eksperymentu to, że ich wartości zmieniają się przy ustalonej wartości wielkości mierzonej, według znanego prawa jako funkcje wielkości wpływowych. Normalne warunki wpływowe i wartości błędów dodatkowych podawane sa przez producentów aparatury pomiarowej. Błędy metody wynikające głównie z oddziaływania przyrządow pomiarowych na obiekt pomiaru, np. powodowane poborem energii przez przyrząd ze źródła sygnału mierzonego. Wśród błędów metody ważną grupę stanowią błędy związane ze stosowaniem przybliżonych modeli badanych zjawisk lub wzorów empirycznych. Błędy metody można na ogół sprowadzić do wartości pomijalnych przez stosowanie odpowiednich poprawek rachunkowych lub właściwy dobór warunków pomiaru. Błędami przypadkowymi są błędy zmieniające się w sposób nieprzewidziany podczas wykonywania dużej liczby pomiarów tej samej wielkości w warunkach praktycznie niezmiennych. Główne przyczyny powstawania: niedoskonałość zmysłów obserwatora i brak dostatecznej koncentracji podczas pomiarów, rozrzut wskazań przyrządów pomiarowych powodowany niestałością ich właściwości statycznych i dynamicznych, krótkotrwałe zmiany wielkości wpływowych. Ograniczenie wpływu błędów przypadkowych uzyskuje się przez wielokrotny pomiar tej samej wartości wielkości i przyjęcie średniej arytmetycznej jako wyniku ostatecznego. Osobną grupą błędów są błędy nadmierne, zwane omyłkami lub błędami grubymi. Powodują one jawne zniekształcenie wyniku pomiaru. Najczęstszymi przyczynami pojawienia się tych błędów są: nieprawidłowy odczyt lub błędny zapis wyniku pomiaru, zastosowanie niewłaściwego przyrządu lub pomiar przyrządem uszkodzonym. Istnieją odpowiednie procedury statystyczne umożliwiające ocenę uzyskanych wyników i ewentualne ich unieważnienie z powodu błędów nadmiernych. Wszelkie pomiary można podzielić na techniczne oraz dokładne. W pomiarach technicznych stosuje się metody już wypróbowane, których błędy są zbadane i wiadomo jest, że błędy systematyczne są znacznie większe od przypadkowych. Ponieważ błędem dominującym jest błąd systematyczny, wykonuje się na ogół jeden pomiar wielkości i - po usunięciu ewentualnych błędów metody - określa się jego dokładność zazwyczaj przez wyznaczenie błędu granicznego systematycznego. W pomiarach dokładnych głównym błędem jest błąd przypadkowy. Błędy systematyczne natomiast powinny być eliminowane przez: dobór odpowiedniej metody pomiarowej i przyrządów, staranne zabezpieczenie układu przed wpływem wszelkich czynników zewnętrznych, stosowanie poprawek umożliwiających usunięcie błędów metody i błędów wskazań przyrządów. Mimo staranności wykonania pomiaru pozostają błędy powodowane ograniczoną dokładnością wyznaczania poprawek oraz błędy, których przyczyny powstawania obserwator nie zna. Pozostałości błędów systematycznych oraz błędy przypadkowe powinny znależć odzwierciedlenie w zdefiniowanej niżej całkowitej niepewności pomiaru. 3.2.2. Błędy graniczne systematyczne w pomiarach bezpośrednich i pośrednich W praktyce spotykamy się na ogół z pomiarami technicznymi. W pomiarach tych dominują błędy systematyczne. W poprawnie wykonanym pomiarze należy liczyć się z błędem podstawowymi x p, dodatkowym x d i ewentualnie z błędem metody x m. Po usunięciu tego ostatniego przez uwzględnienie poprawki p = x m (3.)

Ćwiczenie 3: Analiza dokładności wyniku pomiarów 3 do wyniku całkowity błąd pomiaru jest równy x = x + x (3.2) Najczęściej nie są znane ani dokładne wartości ani też znaki błędów podstawowych i dodatkowych, lecz ich graniczne wartości bezwzględne x gp i x gd. Wówczas możliwe jest jedynie określenie błędu granicznego jako p d x = x + x (3.3) g gp gd Jeśli przyrząd stosowany jest w warunkach zbliżonych do warunków normalnego użytkowania i jeśli nie ma podstaw do wystąpienia błędu metody o istotnym poziomie, to błąd systematyczny graniczny w pomiarze bezpośrednim można szacować na podstawie błędu podstawowego (np. błędu klasy) przyrządu pomiarowego jako x g = x (3.4) gp W pomiarach pośrednich, gdzie wartość y wielkości mierzonej Y określana jest przy zastosowaniu równania Y= f( X, X2,... X J ) (3.5) w którym X, X 2,... X J są wielkościami mierzonymi bezpośrednio, zaś f jest znaną zależnością funkcyjną, błąd systematyczny graniczny można oszacować opierając się na wzorze y g J = f X j= j x gj (3.6) gdzie x gj jest błędem systematycznym granicznym wielkości X j w punkcie x j (będącym wynikiem jej pomiaru), zaś pochodne cząstkowe względem X, X 2,.., X J oblicza się w punkcie (x,x 2,...,x J ). Stosowanie metody różniczki zupełnej do oceny błędów systematycznych zgodnie z (3.6) prowadzi do wyników zawyżonych, zwłaszcza gdy liczba zmiennnych J > 3, dlatego wielu specjalistów teorii pomiarów zaleca ocenę tych błędów metodami statystycznymi opisanymi w rozdz. 2.4, 2.5. 3.2.3. Zapis wyniku pomiaru Zapis wyniku pomiaru powinien umożliwiać ocenę dokładności z jaką została określona wartość wielkości mierzonej. W tym celu podaje się jednocześnie z wynikiem pomiaru x wartość błędu x g x p = x ± x g (3.7) gdzie x p jest poprawną wartością wielkości X. Zapis ten praktykowany w badaniach eksperymentalnym jest równoznaczny z zapisem x x x ; x+ x (3.8) p g g Obecnie stosowanych jest kilka zasad obliczania i podawania błędu x g. Na 3

4 Laboratorium podstaw techniki eksperymentu szczególną uwage zasługuje propozycja obliczania błędu zgodnie z następującymi zasadami: wartość liczbową błędu należy zaokrąglać "w górę" i zapisywać liczbą o jednym miejscu znaczącym, np.:2, 0,02, zapis błędu pomiaru w postaci dwu cyfr znaczących jest zalecany w pomiarach dokładnych oraz wówczas, gdy wskutek zaokrąglenia do jednej cyfry znaczącej wartość błędu zwiększyłaby się więcej niż o 0%. Wynik pomiaru oblicza się z jednym miejscem dziesiętnym więcej niż to, na którym zaokrąglono błąd, po czym zaokrągla go się (zgodnie z regułą zaokrąglania liczb) tak, aby ostatnia cyfra wyniku odpowiadała miejscem wartości liczbowej błędu, np.: (2±) cm, (9,45±0,3) ma. 3.2.4. Liczbowe miary i klasyfikacja niepewności pomiaru Niepewność u pomiaru jest parametrem pozwalającym na wyznaczenie granic przedziału zawierającego z założonym prawdopodobieństwem nieznaną wartość rzeczywistą (prawdziwą) mierzonej wielkości. Zakłada się, że niepewność całkowita ma zawsze wielokrotność kσ (gdzie σ jest odchyleniem standardowym całej populacji) lub ks (S - jest estymatorem (oceną) σokreślonym na podstawie otrzymanych wyników z próby należącej do populacji). Rozróżnia się następujące pojęcia: niepewność standardową niepewność standardową łączną u= σ (3.9) u ł n i= 2 i = σ = σ ł (3.0) niepewność całkowitą ( ) u k α uł (3.) c = gdzie mnożnik k(α) jest wartością zmiennej standaryzowanej, dobieraną ze względu na założone prawdopodobieństwo dla określonego rozkładu. Niepewność pomiaru może zawierać wiele składowych niepewności. Niektóre z nich można wyznaczyć na podstawie otrzymanego rozrzutu wyników serii pomiarów. Inne, na przykład niepewności wynikające z niedoskonałości aparatury pomiarowej, ocenia się na podstawie odchyleń standardowych, obliczonych na podstawie przewidywanych rozkładów prawdopodobieństwa. W świetle najnowszych ustaleń organizacji międzynarodowych zajmujących się pomiarami niepewność została podzielona na dwa typy: typ A - niepewność wyznaczana metodami statystycznymi, typ B - niepewność wyznaczana innymi metodami. Można przyjąć, że niepewność typu A odpowiada niepewności powodowanej efektami przypadkowym a niepewność typu B niepewności powodowanej efektami systematycznymi. Podczas określania niepewności typu A nie ma istotnych problemów. Na ogół wykonuje się serię pomiarów i wyznacza estymator (ocenę) odchylenia standardowego. Oszacowanie niepewności typu B metodami statystycznymi nie jest łatwe, ponieważ nie

Ćwiczenie 3: Analiza dokładności wyniku pomiarów 5 dysponujemy serią wyników pomiarów. Ocena ta opiera się na innych mniej obiektywnych metodach, które zostaną omówione niżej. 3.2.5. Ocena niepewności całkowitej typu A 3.2.5.. Pomiary bezpośrednie Niepewność standardową typu A oceniamy na podstawie serii n wyników pomiarów, w których uwzględniono wszystkie poprawki. W tym celu określamy: wartość średnią z wyników (estymator wartości prawdziwej) x = n n i= x i (3.2) odchylenie standardowe wartości średniej, uważane za niepewność standardową typu A n ( ) ua = Sx = x x nn i (3.3) ( ) i= 2 Niepewność całkowitą typu A określa się według wzoru u = k ( α ) u (3.4) Ac A A Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład normalny i znamy odchylenie standardowe σtego rozkładu albo jeżeli dysponujemy liczną serią wyników (przyjmuje się obecnie n > 30), to mnożnik k A (α) przyjmuje wartości zmiennej standaryzowanej Z, odczytanej z tablic rozkładu normalnego dla określonego prawdopodobieństwa αnazywanego poziomemufności. Wybrane, najczęściej stosowane wartości mnożnika k A (α)=z α dla określonego poziomu αzebrano w tabeli 3.. Tabela 3.. Rozkład normalny Gaussa (wartości z αw funkcji prawdopodobieństwa α) α 0,6827 0,90 0,95 0,9545 0,99 0,9973 z α,000,645,960 2,000 2,576 3,000 Jeśli rozkładem zmiennej losowej X jest rozkład normalny i nie znamy parametrów tego rozkładu, a próba jest mało liczna (w praktyce n 30), to współczynnik k A (α) przyjmuje wartości zmiennej standaryzowanej t Studenta i odczytujemy go z tablic rozkładu Studenta dla założonego prawdopodobieństwa α(albo q = - α)oraz dla liczby stopni swobody m = n. W tabeli 3.2. zebrano wybrane wartości t. 5

6 Laboratorium podstaw techniki eksperymentu Tabela 3.2. Rozkład Studenta (wartości tw funkcji liczby stopni swobody m i prawdopodobieństwa α) t m \ α 0,6827 0,90 0,95 0,9545 0,99 0,9973,84 6,3 2,7 3,97 63,66 235,80 2,32 2,92 4,30 4,53 9.92 9,2 3,20 2,35 3,8 3,3 5,84 9,22 4,4 2,3 2,78 2,87 4,60 6,62 5, 2,02 2,57 2,65 4,03 5,5 6,09,94 2,45 2,52 3,7 4,90 7,08,89 2,36 2,43 3,50 4,53 8,07,86 2,3 2,37 3,36 4,28 9,06,83 2,26 2,32 3,25 4,09 0,06,8 2,23 2,28 3,7 3,96,05,80 2,20 2,25 3, 3,85 2,04,78 2,8 2,23 3,05 3,76 3,04,77 2,6 2,2 3,0 3,69 4,03,76 2,4 2,20 2,98 3,64 5,03,75 2,3 2,8 2,95 3,59 6,03,75 2,2 2,7 2,92 3,54 7,03,74 2, 2,6 2,90 3,5 8,03,73 2,0 2,5 2,88 3,48 9,03,73 2,09 2,4 2,86 3,45 20,03,72 2,09 2,3 2,85 3,42 25,02,7 2,06 2, 2,79 3,33 30,02,70 2,04 2,09 2,75 3,27 35,0,70 2,03 2,07 2,72 3,23 40,0,68 2,02 2,06 2,70 3,20 45,0,68 2,0 2,06 2,69 3,8 50,0,68 2,0 2,05 2,68 3,6 00,005,660,0984 2,025 2,626 3,077,000,645,960 2,000 2,576 3,000 Końcowy wynik pomiaru zapisujemy w postaci 3.2.5.2. Pomiary pośrednie x = x± u dla α=...(3.5) p Ac W pomiarach pośrednich mierzona wielkość Y jest funkcją J wielkości X j mierzonych bezpośrednio (porównaj wzór (3.5)). Dla każdej wielkości X j wykonujemy serię pomiarów i na jej podstawie obliczamy wartość średnią x j i niepewność standardową u Aj zgodnie z (3.2) i (3.3). Następnie obliczamy wartość średnią wyniku jako niepewność standardową dla średniej y y= f( x, x2,..., x J ) (3.6)

Ćwiczenie 3: Analiza dokładności wyniku pomiarów 7 u = Ay J Y j= X j 2 u Aj (3.7) Należy pamiętać, że określenie niepewności wg (3.7) jest słuszne jedynie wtedy, gdy liniowość funkcji (3.5) jest wystarczająco dobra, zmienne X, X 2,...,X J (a także ich oceny x, x 2,..., x J ) są wzajemnie niezależne. W przypadku nie spełnienia powyższych warunków analiza niepewności komplikuje się. Pozostaje jeszcze oszacowanie niepewności całkowitej. Jeśli spełnione są warunki do zastosowania rozkładu normalnego (np., gdy n j > 30 dla każdej wartości j), to do oceny niepewności całkowitej stosujemy k A (α)=z α,gdy natomiast próby są mało liczne (n j 30), to stosuje się - dla założonego prawdopodobieństwa α rozkład Studenta o efektywnej liczbie stopni swobody liczonej wg zależności Welcha-Satterwhite a m e = J u Y n X j= j 4 Ay 4 j u 4 Aj (3.8) W której n j jest liczbą wyników pomiarów wielkości X j. Jeśli m e nie jest liczbą naturalną, to zaokrąglamy ją do najbliższej naturalnej zawsze w dół. 3.2.6. Ocena niepewności typu B Niepewność wyniku pomiaru typu B określa się przy zastosowaniu jednego z dwóch rozkładów prawdopodobieństwa: rozkładu normalnego lub rozkładu jednostajnego (równomiernego). Z rozkładu normalnego korzysta się zazwyczaj w przypadku, gdy z jakichkolwiek wiarygodnych źródeł, na przykład świadectwa kalibracji, znana jest całkowita niepewność typu B u = k ( α ) u (3.9) Bc B B najczęściej określona dla tzw. trzysigmowego przedziału ufności, czyli dla poziomu ufności α = 0,9973. Wówczas standardowa niepewność typu B jest równa ubc ub = (3.20) k B( α) Najczęstszą sytuacją, z jaką mamy do czynienia w praktyce pomiarowej, jest konieczność oceny niepewności standardowej typu B wynikającej z błędów aparatury pomiarowej. Zwykle jedyną dostępną informacją o błędzie aparatury pomiarowej jest wartość graniczna błędu x g, określona najczęściej za pomocą wskaźnika klasy przyrządu analogowego lub podana w postaci błędu podstawowego przyrządu cyfrowego. Niepewność standardową typu B określa się wówczas przy założeniu, że rozkład błędu jest jednostajny w przedziale ± x g zgodnie ze wzorem xg ub = (3.2) 3 Wtedy niepewność całkowitą wyznaczamy zgodnie z zależnością ubc = kb ( α ) ub (3.22) Można wykazać, że dla przyjętego poziomu ufności α współczynnik k B ( α) = 3 α. Ocena niepewności standardowej typu B za pomocą powyższej procedury występuje w praktyce rzadko. Na ogół poprzestajemy na ocenie niepewności granicznej, równej błędowi granicznemu wnoszonemu przez przyrząd pomiarowy. 7

8 Laboratorium podstaw techniki eksperymentu 3.3. Program ćwiczenia. Korzystając z instrukcji do przyrządów, przeprowadzić ocenę błędów granicznych wybranych wyników pomiarów uzyskanych podczas wykonywania ćw. i 2. Zapisać poprawnie wyniki uwzględniając błędy pomiarów. 2. Wykonać 5 serii po 5 pomiarów napięcia DC wygenerowanego (symulacja) za pomocą programu Ime-Lab. Dla każdej serii określić t, S t oraz niepewność u Ac na poziomie ufności α = 0,6827; α = 0,9545; α = 0,9973. Wyniki zestawić w tabeli. Zaobserwować rozrzut wartości średniej oraz estymatora odchylenia standardowego. 3. Powtórzyć pkt 2 dla 5 serii po 40 pomiarów. 4. Za pomocą programu Ime-Lab wygenerować 200 wyników pomiaru napięcia. Poza laboratorium określić wartość średnią, estymator odchylenia standardowego oraz przygotować histogram i zinterpretować wyniki badań. 5. Korzystając z programu Ime-Lab dokonać obserwacji i pomiaru napięcia na wyjściu transformatora (rys. 3.). Określić niepewność całkowitą typu A wynikającą z rozrzutu wyników pomiarów oraz niepewność typu B, której źródłem jest błąd systematyczny woltomierza. Przyjąć α = 0,95. Zinterpretowaæ wyniki badań. Transformator Woltomierz cyfrowy Komputer Rys. 3.. Układ do pomiaru napięcia na wyjściu transformatora. 3.4. Wskazówki do wykonania ćwiczenia i sprawozdania Realizacja ćwiczenia odbywa się przy zastosowaniu programu komputerowego ImeLab-. Program ten umożliwia współpracę komputera z multimetrem f-my METEX i opcjonalnie - generację (opcja symulacja) wyników pomiaru. Na rys. 3.2 pokazany jest panel główny programu podczas pracy w trybie symulacyjnym oraz współpracy z woltomierzem. Program umożliwia gromadzenie wyników w plikach z rozszerzeniami *dat oraz *csv. W trakcie badań na ekranie monitora odbywa się wizualizacja wyników.

Ćwiczenie 3: Analiza dokładności wyniku pomiarów 9 (a) (b) Rys.3.2. Panel główny programu ImeLab-: a - podczas pracy w trybie symulacyjnym (demo), b - podczas współpracy z woltomierzem f-my METEX. 9

0 Laboratorium podstaw techniki eksperymentu 5. Literatura 3.. Mała encyklopedia metrologii. WNT, Warszawa 989. 3.2. Międzynarodowy słownik podstawowych i ogólnych terminów metrologii. GUM 996. 3.3. Turzeniecka D.: Ocena niepewności wyniku pomiarów. Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej. Poznań 997