Wykład 1 Informatyka Stosowana 3 października 2016 Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października 2016 1 / 26
Wykłady : 45h (w semestrze zimowym) ( Egzamin) 30h (w semetrze letnim ) ( Egzamin) Zajęcia praktyczne: 15h - ćwiczenia w semestrze zimowym 15h - laboratoria w semetrze letnim Aby przystapić do egzaminu należy mieć zaliczone ćwiczenia Zaliczenie egzaminu od 50% punktów (przy każdym zadaniu podana liczba punktów) Dla studentów 1-ego roku obecność na wykładach jest obowiazkowa!!! (podczas wykładu moga być sporzadzane listy obecności) Dopuszczalne 3 nieusprawione nieobecności Nieobecności można usprawiedliwiać Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października 2016 2 / 26
Jak wyglada egzamin? Imię i nazwisko... liczba punktów:... Informatyka Stosowana, EGZAMIN, 2016.09.09 2x + y z + w = 0 i) y + 2z + w = 1, ii) A = 3x 2z = 2. Zad.1 1 0 2 1 1 2 3 1 1, b = 1 0 1 (1p) Rozwiazać układ równań i) (bez stosowania metody podstawiania!!!)., iii) Rzad 1 { x 2y 6 3x + y 1. Zad.2 Zad.3 Zad.4 Zad.5 (1.5p) Obliczyć A 1 i A 1 b, gdzie A i b zadane sa ii). (1.5p) Rozwiazać graficznie i za pomoca odpowiedniego "układu równań" układ nierówności iii). (1p) Znaleźć wartość największa i najmniejsza funkcji f (x, y) = x + y przy warunkach: (1p) Podać definicję pierścienia. x + y 6, 3x + y 2, x 0, y 0. Zad.6 (1p) Sprawdzić, czy odwzorowanie f (x 1, x 2 ) = (2x 1, x 2 2, 2x 1 + x 2 ) jest liniowe.. Zad.7 (2p) W zbiorze R określamy działania i następujaco: a b = a + b 1, a b = 2ab + 1.Wyznaczyć: a) element neutralny e działania, b) element odwrotny dla dowolnego a. Obliczyć 1 1, 2 1. c) wyznaczyć element neutralny e względem działania, (uwaga!!: dla każdego a jest inny ) d) element odwrotny do a względem działania. Obl. 3 1, 4 1. Zad.8 Zad.9 (1p) Sprawdzić, czy wektory (1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 1), (0, 1, 0, 1) sa liniowo niezależne w R 4. (2p) Rozważmy punkty A = (3, 1, 2), B = (1, 2, 3), C = (0, 1, 0). Wyznaczyć: a) równanie płaszczyzny π przechodzacej przez punkty A,B i C; b) kosinus kata ABC; c) długość środkowej BS d) odległość od płaszczyzny π punktu (1, 1, 1). Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października 2016 3 / 26
Kontakt : najlepiej rozpoczać od kontaktu mailowego: mbucko@utp.edu.pl osobisty (najlepiej podczas konsultacji, ale dogodny termin można umówić również mailowo) termin konsultacji podam wkrótce ( łacznie 1,5h ) planuję 7:15-7:45 w sali wykładowej 1B do ustalenia zostaje 1h treści wykładów nie trzeba przepisywać, pliki będa udostępniane pliki z wykładów moga nie zawierać wykresów, rozwiazań zadań, itp. i dlatego warto je notować tzw. "szybki" kontakt ze Starosta (numer telefonu do kontaktu) Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października 2016 4 / 26
Co w Syllabusie? a) logika b) analiza matematyczna c) algebra d) rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna (?) e) elementy programowania liniowego Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października 2016 5 / 26
Literatura podstawowa 1. Leitner R., Zarys matematyki wyższej dla studentów cz.i, WNT Warszawa 2. Marek W., Onyszkiewicz J., Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach, PWN Warszawa 3. Maćkiewcz A., Algorytmy algebry liniowej metody bezpośrednie, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej 4. Stankiewicz W., Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych cz. IA, cz.ib PWN Warszawa 1975 5. Plucińska A., Pluciński E., Probabilistyka: Rachunek prawdopodobieństwa, Statystyka matematyczna, Procesy stochastyczne WNT, Warszawa Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października 2016 6 / 26
Literatura uzupełniajaca 1. Białynicki - Birula A., Algebra, PWN Warszawa 2. Żakowski B. W., Kołodziej W., Matematyka WNT, Warszawa 1975 3. Jakubowski J., Sztencel R., Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, SCRIPT Warszawa 2001r. 4. Gewert M, Skoczylas Z. - cała seria Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października 2016 7 / 26
Elementy logiki matematycznej Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października 2016 8 / 26
Logika matematyczna zajmuje się zdaniami w sensie logiki, tzn. takimi zdaniami orzekajacymi, które sa prawdziwe albo fałszywe. Zdanie prawdziwe ma wartość logiczna 1. Zdanie fałszywe ma wartość logiczna 0. Zdania oznaczamy małymi literami: p, q, r,... Zdania pytajace i rozkazujace nie sa zdaniami w sensie logiki. Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października 2016 9 / 26
Przykład 1. "13 jest liczba parzysta" ma wartość logiczna 0 (bo fałsz) 2. "13 jest nieszczęśliwa liczba " nie jest zdaniem (logicznym), bo nie jest ani prawdziwe ani fałszywe. Z jednego albo kilku zdań możemy utworzyć nowe zdania (tzw. zdania złożone) przy użyciu operatorów logicznych (zwanych również spójnikami zdaniowymi albo funktorami zdaniotwórczymi). Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października 2016 10 / 26
Podstawowe operatory logiczne: operator jednoargumentowy zaprzeczenie (negacja) operatory dwuargumentowe koniunkcja alternatywa alternatywa rozłaczna implikacja równoważność Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października 2016 11 / 26
zaprzeczenie (negacja) zdania p oznaczamy p albo p czytamy: "nieprawda, że p"; tabelka wartości p p 0 1 1 0 Jaka wartość logiczna ma zdanie ( p)? (tzw. podwójne zaprzeczenie) Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października 2016 12 / 26
koniunkcja zdań p i q oznaczamy p q czytamy: "p i q" tabelka wartości p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 Koniunkcja dwóch zdań jest prawdziwa tylko wtedy, gdy oba zdania sa prawdziwe. Najłatwiej liczac p q po prostu wymnożyć wartości logiczne składowych zdań. W informatyce: If (warunek1)&(warunek2) then..., If (warunek1)&&(warunek2) then... Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października 2016 13 / 26
alternatywa zdań p i q oznaczamy p q czytamy: "p lub q" tabelka wartości p q p q 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Alternatywa dwóch zdań jest prawdziwa, gdy co najmniej jedno ze zdań jest prawdziwe. Alternatywa dwóch zdań jest fałszywa tylko wtedy, gdy oba zdania sa fałszywe. W informatyce: If ( warunek 1 or warunek 2 ) then... If ( warunek 1 warunek 2 )... Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października 2016 14 / 26
alternatywa rozłaczna, różnica symetryczna, xor zdań p i q oznaczamy p q czytamy: "albo p albo q" ("albo" oznacza : "dokładnie jedno ze zdań p i q ") tablica wartości p q p q 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Działanie XOR dwóch zdań jest prawdziwe, gdy dokładnie jedno ze zdań jest prawdziwe. Działanie XOR dwóch zdań jest fałszywe, gdy zdania p i q maja te same wartości logiczne. Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października 2016 15 / 26
implikacja (wynikanie) oznaczamy p q czytamy "jeżeli p to q" tabelka wartości p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 Implikacja jest fałszywa tylko wtedy, gdy z prawdy wynika fałsz. Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października 2016 16 / 26
równoważność p q czytamy: "p wtedy i tylko wtedy, gdy q" tabelka wartości p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Dwa zdania sa równoważne, gdy maja takie same wartości logiczne, czyli sa równocześnie prawdziwe, albo równocześnie fałszywe. Zaprzeczeniem działania jest działanie XOR, zatem p XOR q (p q) Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października 2016 17 / 26
Przykład p - zdanie " Bydgoszcz jest stolica Polski", q - zdanie " UTP jest w Bydgoszczy" Określić wartość logiczna zdań: p, q, p q, p q, p q, q p, p q. Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października 2016 18 / 26
Definicja Tautologia (inaczej prawem rachunku zdań) nazywamy zdanie złożone, które jest prawdziwe niezależnie od wartości logicznych zdań, z których jest złożone. Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października 2016 19 / 26
Niektóre prawa rachunku zdań: 1. prawo podwójnego przeczenia : ( p) p 2. prawo wyłaczonego środka: p ( p) 3. prawa de Morgana: 4. (p q) p ( q) 5. p q ( q) ( p) 6. (p q) r (p r) (q r) 7. (p q) r (p r) (q r) (p q) ( p) ( q) (p q) ( p) ( q) Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października 2016 20 / 26
Kwantyfikatory Definicja Wyrażenie "dla każdego x" nazywamy kwantyfikatorem ogólnym i oznaczamy x. Wyrażenie "istnieje x" nazywamy kwantyfikatorem szczegółowym i oznaczamy x. Zapis x X x X p(x) oznacza: dla każdego x ze zbioru X zachodzi p(x). p(x) oznacza: w zbiorze X istnieje x taki, że zachodzi p(x). Oczywiście x p(x) x p(x) ale x p(x) x p(x) Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października 2016 21 / 26
Przykład x R x 2 + 4 > 0 - zdanie prawdziwe Zatem również x R x 2 + 4 > 0 jest zdaniem prawdziwym. x R x R x 2 + 4 = 0 - zdanie fałszywe x 2 4 = 0 - zdanie prawdziwe n N 4n > 20 - zdanie fałszywe (bo np. liczby 1, 2, 3, 4, 5 tej nierówności nie spełniaja) x R y R x + y = 2 - prawda, bo taki y ma wartość y = 2 x x R y R xy 2 0 - prawda, bo taka nierówność jest prawdziwa dla x 0 Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października 2016 22 / 26
Prawa de Morgana dla kwantyfikatorów: ( x p(x)) x ( p(x)) ( x p(x)) x ( p(x)) Zatem ponieważ x R x 2 + 1 > 0 jest prawda, więc zaprzeczenie jest fałszem ( x R x 2 + 1 > 0) x R ( (x 2 + 1 > 0)) x R x 2 + 1 0 ponieważ x R (x 1) 2 < 0 jest fałszem, więc zaprzeczenie jest prawda ( x R (x 1) 2 < 0) x R ( (x 1) 2 < 0) x R (x 1) 2 0 Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października 2016 23 / 26
Zdefiniowana logikę wykorzystujemy w budowaniu tzw.bramek logicznych (->Wikipedia->Bramka logiczna) Bramka logiczna - element konstrukcyjny maszyn i mechanizmów (dziś zazwyczaj: układ scalony...), realizujacy fizycznie pewna prosta funkcję logiczna, której argumenty (zmienne logiczne) oraz sama funkcja moga przybierać jedna z dwóch wartości, np. 0 lub 1. Podstawowymi elementami logicznymi, stosowanymi powszechnie w budowie układów logicznych, sa elementy realizujace funkcje logiczne: alternatywy, koniunkcji, negacji. Sa to odpowiednio bramki OR, AND i NOT. Za pomoca dwóch takich bramek (OR i NOT lub AND i NOT) można zbudować układ realizujacy dowolna funkcję logiczna. Bramki NAND (negacja koniunkcji) oraz NOR (negacja sumy logicznej) nazywa się funkcjonalnie pełnymi, ponieważ przy ich użyciu (tzn. samych NAND lub samych NOR) można zbudować układ realizujacy dowolna funkcję logiczna. Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października 2016 24 / 26
Zatem bramka logiczna realizuje pewna prosta funkcję logiczna o argumentach 0 i 1. W zależności od składowych funkcji logicznych mamy następujace rodzaje bramek: bramka NOT (zaprzeczenie ) bramka AND (iloczyn logiczny ) bramka NAND ( NOT AND = ) bramka OR (alternatywa logiczna ) bramka NOR (NOT OR = ) bramka XOR (NEQ) (alternatywa rozłaczna) bramka XNOR ( = NOT XOR, czyli zaprzeczenie alternatywy rozłacznej) Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października 2016 25 / 26
Dziękuję za uwagę! Informatyka Stosowana Wykład 1 3 października 2016 26 / 26