Analiza płyt i powłok MES Zagadnienie wyboczenia Wykład 3 dla kierunku Budownictwo, specjalności DUA+TOB/BM+BŚ+BO Jerzy Pamin i Marek Słoński nstytut Technologii nformatycznych w nżynierii Lądowej Politechnika Krakowska Podziękowania: M. Radwańska, J. Jaśkowiec, A. Wosatko ADNA R&D, nc.http://www.adina.com ANSYS, nc. http://www.ansys.com ROBOT http://www.autodesk.com Zakres wykładu Klasyfikacja modeli i elementów skończonych Elementy skończone dla płyt zginanych Elementy skończone dla powłok MES w symulacji wyboczenia Zjawisko wyboczenia Algorytm analizy wyboczenia MES Zagadnienia nieliniowe Katastrofy budowlane
Podręczniki Klasyfikacja modeli i elementów skończonych Obniżenie wymiarowości: ustroje prętowe (geometrycznie jednowymiarowe) ustroje powierzchniowe (dwuwymiarowe) ustroje bryłowe (trójwymiarowe) Elementy skończone dla mechaniki: 1D - kratowy (truss) 1.5D - belkowy (beam), ramowy (frame) 2D - PSN (panel, plane stress), PSO (plane strain), symetria osiowa (axial symmetry) 2.5D - płytowy (plate/slab), powłokowy (shell) 3D - bryłowy (volume)
Płyta zginana [1] Podstawowa niewiadoma: ugięcie w (x, y ) Naprężenia (uogólnione) Rysunki zaczerpnięte z podręcznika: G. Rakowski, Z. Kacprzyk, Metoda elementów skończonych w mechanice konstrukcji Zginanie - odkształcenia i naprężenia uogólnione Teoria płyt cienkich Kirchhoffa-Love a Krzywizny i spaczenie em = {κx, κy, κxy } Momenty zginające i skręcające m = {mx, my, mxy }
Prostokątny element skończony do analizy płyt [1,2] Węzłowe stopnie swobody i siły Funkcje kształtu Hermite a Uwaga na zadawanie warunków brzegowych (kinematycznych i statycznych) Powłoka Geometria powłoki
Powłoka - naprężenia uogólnione Teoria powłok cienkich mało wyniosłych Stan naprężenia w powłoce Siły tarczowe + zginanie (wpływ ścianania poprzecznego pominięty) Elementy skończone do analizy płyt i powłok [1,2] Teoria Reissnera-Mindlina powłok umiarkowanie grubych Kąty obrotu są niezależnie aproksymowane Element skończony Ahmada - zdegenerowane continuum Uwzględniony wpływ ścinania poprzecznego
Zjawisko wyboczenia Założenia liniowej analizy wyboczenia: obciążenie jest jednoparametrowe, zmieniające się proporcjonalnie do parametru obciążenia λ P = λp obciążenie jest zachowawcze, tzn. nie zmienia kierunku podczas odkształcania się konstrukcji ustrój (pręt, tarcza, powłoka) jest idealny, bez geometrycznych, materiałowych czy obciążeniowych imperfekcji, które zaburzają idealny stan przedwyboczeniowy Zjawisko wyboczenia c.d. Obciążenie P kr = λ kr P to obciążenie krytyczne, po osiągnięciu którego następuje wyboczenie, gdzie przez P oznaczono tzw. obciążenie konfiguracyjne odpowiadające λ = 1. Cechą charakterystyczną utraty stateczności przez wyboczenie jest zasadnicza zmiana formy deformacji układu konstrukcyjnego z naprężeniami ściskającymi w całym układzie lub jego części. Źródło: E. Ramm, Buckling of Shells, Springer-Verlag, Berlin 1982
Przykłady zjawiska wyboczenia Kryterium statyczne utraty stateczności (przez wyboczenie) polega na badaniu równowagi bliskich stanów przed- i powyboczeniowych. Zjawisko wyboczenia zostanie pokazane dla: pojedynczego pręta przegubowo podpartego, wysokiej belki wspornikowej, tarczy jednokierunkowo ściskanej, przegubowo podpartej na obwodzie, powłoki walcowej z ciśnieniem normalnym, utwierdzonej na dolnym konturze. Wyboczenie pojedynczego pręta Przed wyboczeniem: pręt: ma prostoliniową oś, jest wyłącznie ściskany (nie zginany). Po wyboczeniu: pręt: ma zakrzywioną oś, jest ściskany i zginany.
Wyboczenie wysokiej belki wspornikowej Przed wyboczeniem: belka zginana w płaszczyźnie z obciążeniem siłą prostopadłą do osi belki, przyłożoną na swobodnym końcu X Y Po wyboczeniu: Przemieszczenia belki w stanie przedwyboczeniowym następuje zwichrzenie (giętno-skrętna deformacja) Wyboczenie wysokiej belki wspornikowej c.d. Z X Postacie wyboczenia
Wyboczenie tarczy jednokierunkowo ściskanej Przed wyboczeniem: mamy idealny stan tarczowy: tarcza o idealnej płaszczyźnie środkowej, obciążenie jednokierunkowo ściskające, działające idealnie w płaszczyźnie środkowej. Po wyboczeniu: powstaje stan giętny: z niezerowymi przemieszczeniami prostopadłymi do płaszczyzny środkowej, z krzywiznami i momentami zginającymi. Wyboczenie tarczy jednokierunkowo ściskanej (ANSYS, [4]) Pierwsza i druga forma wyboczenia Trzecia i czwarta forma wyboczenia
Wyboczenie powłoki walcowej ściskanej radialnym ciśnieniem zewnętrznym Przed wyboczeniem: panuje w powłoce: stan osiowo symetryczny, w większości obszaru powłoki długiej stan bezmomentowy, w sąsiedztwie konturu utwierdzonego stan giętny. Po wyboczeniu: następuje zasadnicze zaburzenie osiowej symetrii: powstają pofalowania w kierunku obwodowym, liczba półfal jest różna dla kolejnych wartości mnożników krytycznych obciążenia. Wyboczenie powłoki c.d. (ANSYS, [4]) Kolejne formy wyboczenia
Ogólna analiza wyboczenia [2,3] Kryterium energetyczne wyboczenia Kryterium energetyczne polega na analizie przyrostu energii potencjalnej Π przy przejściu od stanu przed- do powyboczeniowego. Rozważamy dwa sąsiednie stany: stan () równowagi, dla którego: stan () równowagi, dla którego: δπ ( ) = 0 δπ ( ) = δπ ( ) + δ Π = 0 energetyczne kryterium stanu krytycznego: δ Π = 0. Algorytm analizy wyboczenia MES Równanie macierzowe dla całego układu opisujące utratę stateczności przez wyboczenie: [K 0 + λk σ (s )]v = 0 lub gdzie: {K 0 + λ[k σ (s ) + K u1 (g )]}v = 0 macierz liniowej sztywności układu K 0 macierz sztywności naprężeniowej K σ (s ) oraz macierz sztywności przemieszczeniowej K u1 (g ) poszukiwany mnożnik krytyczny obciążenia λ kr poszukiwana postać deformacji powyboczeniowej, opisana za pomocą wektora v = d
Statyka stanu przedwyboczeniowego Algorytm etapu : 1. Obliczamy globalną macierz sztywności K 0 2. Obliczamy wektor węzłowych zastępników obciążenia konfiguracyjnego P, dla parametru obciążenia λ = 1, przy założeniu obciążenia jednoparametrowego P = λp 3. Uwzględnieniamy kinematyczne warunki brzegowe 4. Rozwiązujemy układ równań K 0 d = P, otrzymując przemieszczenia węzłowe w stanie przedwyboczeniowym: d = K 1 0 P 5. Na podstawie przemieszczeń całego układu d i danego elementu d e - obliczamy wewnątrz elementu: gradienty przemieszczeń g e oraz uogólnione naprężenia s e. Analiza wyboczenia Algorytm etapu : 1. Generujemy: - macierze sztywności naprężeniowej dla wszystkich elementów K e σ(s e ) i całej konstrukcji K σ (s ) - ewentualnie macierz sztywności przemieszczeniowej K u1 (g ) 2. Formułujemy niestandardowy (uogólniony) problem własny, odpowiadający problemowi zlinearyzowanemu: [K 0 + λ(k σ + K u1 )]v = 0 lub problemowi początkowemu: [K 0 + λk σ ]v = 0 3. Rozwiązujemy problem własny, wyznaczając pary (λ 1, v 1 ),..., (λ N, v N ) gdzie: N liczba stopni swobody układu λ i wartość własna - parametr krytycznego obciążenia v i = d i wektor własny - postać powyboczeniowej deformacji
Wyboczenie tarczy Wyboczenie tarczy w stanie czystego zginania tarczowego Założenia: tarcza ma idealną płaszczyznę środkową, obciążenie leży idealnie w płaszczyźnie środkowej, obciążenie jest jednoparametrowe, zmieniające się przez parametr λ. Obciążenie wywołujące stan czystego zginania tarczowego Obliczenia: numeryczne MES (ANKA i ROBOT): rozwiązania przybliżone analityczne: rozwiązania dokładne Wyboczenie idealnej tarczy - dane wymiary: L x = L y = 1.16 m, h = 0.012 m stałe materiałowe: E = 2.05 10 8 kn/m 2, ν = 0.3 konfiguracyjne tarczowe obciążenie konturowe odpowiadające płaskiemu zginaniu: px,max,min = 1.0 kn/m dwa przypadki warunków podparcia płyty na obwodzie: a) przegubowe podparcie (na rysunku z prawej) b) utwierdzenie (na rysunku z lewej) Dyskretyzacja MES, obciążenie i dwa przypadki warunków podparcia
Wyboczenie przy zginaniu tarczowym Obliczenie wartości obciążenia krytycznego: Obciążenie i deformacja w stanie przedwyboczeniowym Rozwiązania analityczne dla tarczy: przegubowo podpartej: p zg,analit kr utwierdzonej: p zg,analit kr = 39.0 π2 D m L 2 x = 25.6 π2 D m L 2 x = 9259 kn/m = 6077 kn/m Rozwiązania numeryczne (ANKA, siatka 8 8 ES) dla tarczy: przegubowo podpartej: p zg,mes kr = 6028 kn/m utwierdzonej: p zg,mes kr = 11304 kn/m Rozwiązania numeryczne (ROBOT, siatka 12 12 ES) dla tarczy: przegubowo podpartej: p zg,mes kr = 6241 kn/m utwierdzonej: p zg,mes kr = 11666 kn/m Zginanie tarczowe w stanie przedwyboczeniowym Rozkład siły tarczowej n x dla tarczy przegubowo podpartej (z lewej) i utwierdzonej (z prawej)
Zginanie tarczowe, postacie powyboczeniowe Dwie pierwsze postacie powyboczeniowe dla tarczy przegubowo podpartej (ROBOT) Zginanie tarczowe, postacie powyboczeniowe Dwie pierwsze postacie powyboczeniowe dla tarczy utwierdzonej (ROBOT)
Wyboczenie blachownicy dane i warianty wymiary: L x = L y = 1.16 m, h s = 0.012 m, h p = 0.018 m stałe materiałowe: E = 2.05 10 8 kn/m 2, ν = 0.3 konfiguracyjne tarczowe obciążenie konturowe: px,min,max = 1.0 kn/m dwa warianty analizy wyboczenia blachownicy: wariant 1: badanie lokalnego wyboczenia środnika wariant 2: wyboczenie dźwigara składającego się ze środnika i dwóch półek Wariant 1: wyboczenie środnika Lokalne wyboczenie środnika: wyizolowany środnik, współpracujący w rzeczywistości z półkami i żebrami, może mieć zadane różne warunki brzegowe na liniach połączenia z półkami oraz z pionowymi żebrami w skrajnych przypadkach można na całym obwodzie przyjąć linie: a) przegubowo podparte b) zamocowane stan rzeczywisty jest stanem pośrednim przykłady rozwiązane poprzednio służą ilustracji wyboczenia samego środnika
Wariant 2: wyboczenie segmentu blachownicy Analiza wyboczenia dźwigara: wykonując obliczenia przy użyciu programu ROBOT zbudowano model dyskretny: dźwigara składającego się ze środnika (12 12) i dwu półek (4 12) przy obciążeniu wywołującym zginanie dźwigara wyniki numeryczne (ROBOT): p bl,mes kr = 9068 kn/m porównanie wartości sił krytycznych obliczonych MES (ROBOT): dla wyizolowanego środnika: - przegubowo podpartego (pp) - utwierdzonego (ut) całego dźwigara (bl) p zg,pp,mes < p bl,mes < p zg,ut,mes 6241 kn/m < 9068 kn/m < 11666 kn/m Zginanie blachownicy w stanie przedwyboczeniowym Rozkład siły tarczowej n x dla blachownicy
Postacie powyboczeniowe blachownicy Dwie postacie powyboczeniowe zginanej blachownicy (ROBOT) Źródła nieliniowości Spowodowane zmianą geometrii ciała (odkształcalnego) duże odkształcenia (np. guma, formowanie metali) duże przemieszczenia (np. konstrukcje smukłe, cienkościenne) kontakt (oddziaływanie stykających się ciał) obciążenie śledzące (zależne od deformacji ciała) Spowodowane nieliniowymi związkami konstytutywnymi plastyczność (odkształcenia trwałe) uszkodzenie (degradacja własności sprężystych) zarysowanie (kontynualna reprezentacja rys)... Uwagi: Nie obowiązuje zasada superpozycji. Możliwy jest opis ośrodka nieciągłego, w którym części składowe są połączone interfejsami (np. konstrukcje zespolone) lub występują pękniecia (rysy dyskretne). nterfejsy mają zazwyczaj nieliniowe charakterystyki, reprezentując np. tarcie, adhezję, pękanie.
First Tacoma Narrows Bridge, USA, 1940 Most wiszący, konstrukcja stalowa, dźwigary nośne - pary wysokich dwuteowników (wcześniej stosowano konstrukcje kratowe); otwarty w lipcu 1940, obserwowano nadmierne drgania giętne podczas wiatru Katastrofę spowodował flutter wywołujacy drgania odpowiadające drugiej giętno-skretnej formie drgań - drgania skrętne powodowały wzrost działającego obciążenia wiatrem, a ono wzrost amplitudy Nie był to rezonans z częstościa drgań własnych wywołany wymuszeniem harmonicznym (wiatr miał stałą prędkość 67 km/h, a częstotliwość drgań niszczących 0.2 Hz nie była żadną z częstości drgań własnych) Przyczyny: zerwanie kabli; niedostateczna wiedza z aerodynamiki i dynamiki konstrukcji, należałoby rozwiązać problem sprzężony Katastrofa platformy Sleipner A, Norwegia 1991 Żelbetowa platforma wirtnicza posadowiona na głębokości 82 m, podstawa złożona z 24 komór o średnicy 12 m (4 wspierają pomost) Przyczyna zatonięcia konstrukcji podstawy podczas operacji posadowienia: błąd w obliczeniach MES trójnika łączącego komory (niedoszacowanie siły ścinającej o 47%) i niewystarczające zakotwienie zbrojenia w strefie krytycznej Rysunki z www.ima.umn.edu/ arnold/disasters/sleipner.html
Sampoong Department Store, Seul, 1995 Zaprojektowany jako budynek biurowy (4 kondygnacje pod ziemią), przeprojektowany na dom towarowy z atrium i lodowiskiem na dachu (usunięto część słupów) Otwarty w czerwcu 1990, potem nadbudowano 4. pietro z restauracjami i instalacją klimatyzacyjną (obciążenie przekroczyło założone czterokrotnie), obserwowano zarysowanie górnego stropu Przyczyny: zbyt słabe słupy - φ 60 (potrzebne φ 80); brak właściwego projektu przy zmianach funkcji, niedostateczny monitoring, brak wyobraźni Airport Paris Charles de Gaulle, Terminal 2E, 2004 Zespolona przeszklona konstrukcja powłokowa w kształcie rury, swobodnie podparte sklepienie osłabione licznymi otworami Zaprojektowany przez architekta Paula Andreu (zaprojektował również terminal 3 w Dubai nternational Airport, który zawalił się podczas budowy), oddany w roku 2003 Przyczyna: zbyt mały margines bezpieczeństwa w projekcie, prawdopodobnie także błedy wykonawcze i/lub niedostatecznie dobry beton Rysunki zaczerpnięte z www.equipement.gouv.fr
Wnioski z katastrof budowlanych Konieczna wiedza i doświadczenie z (zaawansowanej) mechaniki i zasad projektowania Konieczny monitoring, szybka ocena stanów awaryjnych Można było uniknąć części awarii budowlanych stosując lepsze modele mechaniczne i symulacje komputerowe Rysunki zaczerpnięte z www.architectureweek.com Symulacje komputerowe stwarzają bezcenne możliwości, ale tylko świadomemu użytkownikowi MES Literatura [1] G. Rakowski, Z. Kacprzyk. Metoda elementow skończonych w mechanice kostrukcji. Oficyna Wyd. PW, Warszawa, 2005. [2] M. Radwańska. Ustroje powierzchniowe, podstawy teoretyczne oraz rozwiązania analityczne i numeryczne. Wydawnictwo PK, Kraków, 2009. [3] Z. Waszczyszyn, C. Cichoń, M. Radwańska. Stability of Structures by Finite Elements Methods. Elsevier, 1994. [4] M. Bera. Analiza utraty stateczności wybranych tarcz i powłok sprężystych metodą elementów skończonych. Praca dyplomowa, Politechnika Krakowska, Kraków, 2006. [5] M. Radwańska, E. Pabisek. Zastosowanie systemu metody elementów skończonych ANKA do analizy statyki i wyboczenia ustrojów powierzchniowych. Pomoc dydaktyczna PK, Kraków 1996.