PRACE NAUKOWE POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ z. 97 Transport 2013 Jolanta ak Politechnika Warszawska, Wydzia Transportu WYBRANE ASPEKTY DYNAMIKI PROCESU TRANSPORTOWEGO Rkopis dostarczono, czerwiec 2013 Streszczenie: W artykule przedstawiono zagadnienie dynamiki procesu transportowego. Zaprezentowano najistotniejsze pojcia dotyczce programowania dynamicznego. Zidentyfikowano elementy systemu transportowego w aspekcie ich wpywu na dynamik procesu. Odwzorowano struktur i charakterystyki sieci transportowej i sie faz procesu. Sowa kluczowe: modelowanie, proces transportowy, transport 1. WPROWADZENIE Jedn z cech charakteryzujcych kady system jest jego zmienno w czasie, przy jednoczesnym zachowaniu podstawowych wasnoci. Zmienno, polegajc na tym, e na wielkoci wyjciowe systemu w chwili biecej, ma wpyw przebieg wielkoci wejciowych w chwilach wczeniejszych, w dalszej czci nazywa bdziemy dynamik systemu. Moemy wówczas stwierdzi, e system niejako pamita to, co dziao si wczeniej z jego wielkociami wejciowymi [1,9]. Przez stan systemu w wyrónionej chwili (w danym momencie) rozumiemy najmniejsz liczb danych (zmiennych stanu systemu), których znajomo w wyrónionej chwili, pozwala jednoznacznie okreli wielkoci wyjciowe systemu. Procesem systemu bdzie natomiast przebieg zmian stanów systemu. W artykule przyjto, e elementami systemu transportowego s elementy struktury oraz jednostki transportowe przemieszczajce si w elementach tej struktury. Poniewa czas przemieszczania pojazdów zaleny jest midzy innymi od wyposaenia elementów struktury, zatem analizujc zagadnienie dynamiki procesów transportowych naley uwzgldni wyposaenie systemu transportowego oraz charakterystyki elementów systemu. Uwzgldniajc powysze przyjmujemy, e, stan systemu transportowego zaleny bdzie od stanu elementów infrastruktury oraz stanu jednostek transportowych przemieszczajcych si po drogach tego systemu. Jedn z metod które mona zastosowa do analizy dynamiki procesów transportowych s zadania programowania dynamicznego. Dla kadego zadania tego typu wyrónia si
546 Jolanta ak zbiór stanów oraz zbiór dopuszczalnych sterowa stosowanych na kadym etapie procesu sterowania. 2. PROCES TRANSPORTOWY IDENTYFIKACJA ELEMENTÓW System transportowy, którego celem jest przemieszczanie adunków i/lub osób, skada si z okrelonej liczby elementów i relacji midzy nimi [1], [8]. gdzie: A zbiór numerów elementów systemu A a : a N ST AR, (1) R zbiór relacji wystpujcych pomidzy elementami systemu. Elementy systemu charakteryzuj wasnociami które mona opisa formuami algebraiczno logicznymi a wic s kwantyfikowalne. Zatem kady element systemu transportowego charakteryzuje si wektorem n(a) wasnoci tj.: przy czym symbol k a 1,..., k,... K a a a a n n n n (2) a n oznacza k-t wasno elementu o numerze a, natomiast a K stanowi liczb wasnoci charakteryzujcych element o numerze a. Elementami systemu transportowego s obiekty nalece do jego infrastruktury oraz jednostki transportowe przemieszczajce po niej (suprastruktura). Zbiór numerów infrastruktury (drogi, wzy) opisano symbolem A 1, natomiast zbiór numerów suprastruktury (pojazdy) opisano symbolem A 2. Dla formalnego rozdzielenia elementów systemu transportowego na zbiorze A zadane jest odwzorowanie przeprowadzajce elementy tego zbioru w zbiór {0, 1} tj. : A 0,1 (3) przy czym (a)=1 jeeli a-ty element jest elementem infrastruktury, natomiast (a)=0 gdy a-tym elementem systemu transportowego jest pojazd. Zatem: A1 a: a 0; aa a A2 a : 1; a A (5) (4)
Wybrane aspekty dynamiki procesu transportowego 547 Konstruujc model dynamiki procesu transportowego konieczne jest zdefiniowanie czasu. Zakadamy zatem, e ponumerowano odcinki czasowe o dowolnej dugoci, przy czym tworz one zbiór T, tj.: : p k T t t t,..., t',..., t (6) Zakadamy, ponadto e tt, ' T t t co oznacza, e zbiór odcinków czasowych jest zbiorem uporzdkowanym cile monotonicznie. Oczywistym jest, e czas przemieszczania zaleny jest od wyposaenia elementów struktury, co jest konsekwencj wyposaenia systemu transportowego, jak równie charakterystyk tych elementów. Jednym ze sposobów opisania wasnoci dynamicznych system transportowego jest zastosowanie do opisu metod programowania dynamicznego. W tym przypadku system transportowy przedstawiamy jako transformacj strumieni wejciowych na strumienie wyjciowe (rys. 1). Wejcie do systemu Wyjcie z systemu Stansystemu Rys. 1. Transformacja strumieni wejciowych na strumienie wyjciowe (ródo: opracowanie wasne) Poniewa, jak wspomniano we wstpie stan systemu w wyrónionej chwili naley rozumie jako najmniejsz liczb danych, niezbdnych dla jednoznacznego okrelenia wielkoci wyjciowych systemu. Zatem bdzie on zalea od stanu elementów infrastruktury oraz stanu jednostek transportowych przemieszczajcych si po drogach tego systemu. Stany elementów dróg wyznaczaj jednoznacznie stany pojazdów i odwrotnie Badajc dynamik procesu transportowego naley zatem odwzorowa zarówno struktur sieci transportowej jak i pojazdy przemieszczajce si po jej elementach. Stan systemu mona zapisa zatem jako wektor o wielu skadowych, wyznaczajcy punkt w przestrzeni stanów systemu. Cig nastpujcych po sobie zmian stanów systemu okrelimy jako proces o jego istocie decyduj zalenoci pomidzy stanami elementów dróg i stanami pojazdów. Cig ten mona zapisa w postaci wektora stanów. Zalenoci wpywaj na liczb dopuszczalnych stanów (ograniczaj) przestrzeni stanów systemu transportowego. Pozwala to na przedstawienie zmian postaci wektora stanu jako cigu zmian [10, 11,8]: stanu elementów dróg systemu, stanu pojazdów znajdujcych si w analizowanym systemie transportowym. Zmiany postaci wektora stanu w przestrzeni stanów systemu zale od warunków brzegowych wynikajcych z wczeniej wspomnianych charakterystyk. Gdy mamy do
548 Jolanta ak czynienia ze cigiem zmian stanu elementów dróg systemu wówczas to zmiany stanu pojazdów je implikuj, w przeciwnym przypadku poprzednikiem implikacji jest zmianami stanu pojazdów. Oba ujcia s równowane i moliwe jest przeksztacanie jednego w drugie. Zgodnie z zaproponowan w [8] terminologi w dalszej czci artykuu stan systemu transportowego bdzie okrelany jako faza procesu transportowego, natomiast zmian stanu systemu (zmian fazy procesu) okrela bdziemy jako zdarzenie. Faz procesu charakteryzuje czas trwania (przedzia czasowy), a zdarzenie chwila wystpienia (moment). Szczegóowo odwzorowania zarówno infrastruktury systemu transportowego jak i potoku ruchu z wykorzystaniem charakterystyk jednostek tworzcych potok ruchu wynika z celu i zakresu bada dla których model jest konstruowany. W artykule przyjto, e stan systemu transportowego przedstawiany jest jako punkt przestrzeni fazowej okrelonej przez iloczyn kartezjaski stanów elementów infrastruktury systemu transportowego oraz stanów pojazdów tworzcych potok jednostek transportowych w systemie. n s : A A T R (7) 1 2 gdzie: A 1 zbiór numerów elementów infrastruktury systemu transportowego, A 2 zbiór numerów pojazdów znajdujcych si w systemie transportowego, T zbiór numerów chwil czasowych, R n wspórzdne punktu n-wymiarowej przestrzeni fazowej A zatem, do opisu stanu systemu moe by wykorzystany wektor o skadowych wyznaczajcych punkt w przestrzeni stanów tego systemu. Odwzorowaniu zwizków midzy stanami systemu transportowego nadamy posta sieci. Sie t nazwiemy sieci faz procesu, gdy odwzorowuje ona zwizki midzy fazami procesu. Struktur sieci faz procesu moemy uwaa za odwzorowanie struktury procesu. Rónym ujciom postaci wektora zmian odpowiadaj róne opisy struktury sieci faz procesu. Wze sieci faz procesu odwzorowuje element drogi, przez który przepywa potok pojazdów lub odwzorowuje pojazd, któremu s przydzielane elementy odwzorowujce zasoby systemu. Faz procesu systemu transportowego ST, mona opisa za pomoc parametrów wyraonych liczbowo. Parametrami mog by: liczba jednostek transportowych przemieszczajcych si po danym poczeniu sieci transportowej prdko tych jednostek rednia prdko na danym poczeniu transportowym liczba pojazdów przejedajca przez dany wze transportowy w przedziale czasu i inne. Parametry te bdziemy nazywali wspórzdnymi fazowymi ukadu fizycznego ST, a stan ukadu bdziemy przedstawia za pomoc punktu M o tych wspórzdnych w pewnej umownej przestrzeni fazowej. Zmian stanu systemu transportowego w procesie sterowania bdziemy przedstawia jako ruch punktu M w przestrzeni fazowej. Wybór sterowania U oznacza wybór okrelonej
Wybrane aspekty dynamiki procesu transportowego 549 trajektorii punktu M w przestrzeni fazowej i okrelonego prawa ruchu. Liczba wymiarów przestrzeni fazowej zaley od liczby parametrów, charakteryzujcych stan ukadu. 3. ODWZOROWANIE STRUKTURY I CHARAKTERYSTYK PROCESU TRANSPORTOWEGO Jak przedstawiono w punkcie wczeniejszym dla potrzeb analizy dynamiki przemieszczania jednostek transportowych (dynamiki procesu transportowego) w sieci transportowej, wystarczajc jest struktura przedstawiona w postaci struktury sieci faz procesu przemieszczania jednostek transportowych. Przyjmujemy, e struktura sieci faz procesu przemieszczania jednostek transportowych odwzorowana jest równie w postaci grafu Berge a, Struktur systemu transportowego zapisujemy w postaci grafu G. gdzie: W - zbiór wierzchoków (wzów) grafu G G = <W, L> (8) W = {w: w=1, 2,..., a,..., i,, j,..., b,..., W} W A 1 (9) L - jest zbiorem uporzdkowanych par (i, j) wzów grafu bdcych podzbiorem iloczynu kartezjaskiego WW, przy czym uk (i, j) jest interpretowany jako poczenie transportowe od wza i do wza j. W tak odwzorowanej strukturze jednoznacznie zwiemy jednostki transportowe z wzami sieci faz procesu odwzorowujcymi stany elementów dróg systemu transportowego. Analizujc proces transportowy naley okreli zbiór typów rodków transportowych nalecych do analizowanego systemu ich liczb. Ponadto, naley sprawdzi czy liczba rodków transportowych znajdujcych si na danym poczeniu sieci transportowej nie przekracza ogranicze wynikajcych z wyposaenia tego poczenia (jego charakterystyk w teorii kolejkowej bd one miay wpyw na liczb kanaów obsugi). Dlatego naley okreli liczb rodków transportowych dla poszczególnych uków (i, j) sieci z uwzgldnieniem czasu. Zakadamy zatem, e po sieci transportowej mog przemieszcza si rodki transportowe rónych typów tworzc potok ruchu. Dla jednoznacznoci dalszych rozwaa przyjmujemy, e S jest zbiorem numerów typów rodków transportowych, tj.: P= {p: p=1,...,p,,p} P A 2 (10) gdzie P jest liczebnoci zbioru P. Poniewa po sieci transportowej moe jednoczenie przemieszcza si wiele rodków transportowych jednego typu, std niezbdnym jest ponumerowanie rodków kadego typu
550 Jolanta ak p, pp. Zbiór numerów rodków transportowych p-tego typu oznaczymy przez K(p), przy czym bdzie on zbiorem postaci: K(p) = {(k,p): k=1,,k(p)}, pp (11) gdzie par (k,p) interpretujemy jako k-ty numer rodka transportowego p-tego typu, natomiast K(p) jest liczb rodków transportowych p-tego typu przemieszczajcych si po sieci transportowej. Analizujc problem dynamiki procesu transportowego naley uwzgldni przemieszczanie jednostek transportowych po wszystkich poczeniach nalecych do danej sieci transportowej. Definiujemy zatem zbiór K((i,j),t) którego elementy opisuj numer rodka transportowego p-tego typu, który w wyrónionej t-tym odcinku czasowym chwili znajduje si na (i,j)-tym poczeniu sieci transportowej. 0,1 : LK p PT (12) przy czym i,j, k, p,t1jeeli k-ty numer rodka transportowego p-tego typu w przedziale czasowym t znajduje si na poczeniu (i, j), natomiast i,j, k, p,t 0 w przeciwnym przypadku. Wic K i,j,t: t T, i,j L, K i,j,t k, p : i,j, k, p,t 1 (13) Inn z charakterystyk procesu transportowego jest czas transportu rodka transportowego danego typu na okrelonym uku. Zaoymy zatem, e na iloczynie kartezjaskim L P T tym zadane jest odwzorowanie t1, przy czym wielko t1((i,j), p, t) mie bdzie interpretacj czasu pokonania uku (i,j) przez s-ty rodzaj jednostek transportowych, jeli rodki transportowe s znajduj si na uku (i,j) w przedziale czasowym t. Zatem dla ustalonej chwili t oraz dla danego poczenia (i,j) pena charakterystyka dynamiki prowadzona oddzielnie dla kadego rodzaju jednostek transportowych opisana t bdzie wektorem w i, j: t + tt (, i j) L wi, j = t1(( i,j ), p, t) : t1(( i,j ), p, t) R p P (14) Faz procesu transportowego charakteryzuje czas trwania, a zdarzenie charakteryzuje chwila wystpienia zmiany stanu. Powsta w ten sposób struktur definiujemy jako struktur sieci faz procesu transportowego. W takim ukadzie struktura sieci faz procesu transportowego jest odwzorowaniem struktury transportowej oraz odwzorowaniem procesu transportowego jednostek transportowych w sieci transportowej. Struktur sieci faz procesu transportowego moemy zapisa w postaci sieci kolejkowej.
Wybrane aspekty dynamiki procesu transportowego 551 Dla kadej jednostki transportowej cig faz procesu transportowego jest opisany wektorem faz procesu transportowego - ze wzgldu na wyrónione fazy jest to wektor cile uporzdkowanym. Przyjmujemy wic, e wektor W(p) ma posta: W(p) = [w(p, n, j)] n{1,,f(s)}, pp ss (15) gdzie F(s) jest liczb faz procesu transportowego si w systemie transportowym p-tej jednostki transportowej. Wektor W(p) okrelony jest dla kadego pp n-numer fazy. Oczywistym jest, e w odwzorowaniu dynamiki procesu transportowego adna jednostka transportowa tworzca potok ruchu nie moe by w adnym stanie wicej ni jeden raz. 4. STEROWANIE PROCESEM TRANSPORTOWYM Pojazd pojawiajcy si na wejciu sieci po pewnym skoczonym czasie pojawia si na wyjciu sieci. Zatem dynamik ruchu, w przypadku sieci transportowej, odwzorowuje przesunicie w czasie i zmiana kolejnoci pojazdów na wyjciu z sieci w porównaniu do kolejnoci wystpujcej na wejciu W tym sensie mona mówi o sieci faz procesu jako ukadzie dynamicznym przetwarzajcym wielowymiarowy strumie ruchu. Sposób przeprowadzenia potoku ruchu drogami czcymi wejcia z wyjciami oraz sposób wykorzystania zasobów systemu transportowego w obserwowanym czasie jest wasnoci procesu transportowego, która powinna by odwzorowana w modelu procesu. Przyjto, e zasady prowadzenia ruchu okrela si jako sterowanie. W analizie procesów dynamiki transportu wystpuj dwa rodzaje sterowania ruchem: organizacja ruchu, reguy (regulaminy) biecego sterowania ruchem. Pod pojciem organizacji ruchu rozumie si rozoenie potoku ruchu w sieci faz procesu. Rozoenie to jest jednoznacznie opisane zbiorem klas pojazdów w strumieniu zgosze oraz charakterystykami wicymi skadowe potoku ruchu ze struktur sieci (drogami w sieci). Odwzorowanie takie nazywamy je statycznym modelem organizacji ruchu w procesie transportowym. Statycznie traktowany potok ruchu ma wymiar intensywnoci (natenia) potoku ruchu i jest wyraany w liczbie pojazdów na jednostk czasu, obciajcej wzy i uki sieci faz procesu. Natomiast biece sterowanie ruchem, wynika ze statycznych miar potoku ruchu warunków koniecznych istnienia skoczonej wartoci ocen granicznych symulowanego procesu. Istnienie skoczonych wartoci ocen granicznych jest z kolei warunkiem koniecznym istnienia przynajmniej jednego rozwizania dopuszczalnego biecego sterowania ruchem w czasie, a tym samym warunkiem koniecznym zakoczenia symulacji procesu do zadanej chwili kocowej lub zadanego stanu kocowego. Warunki konieczne istnienia skoczonej wartoci ocen granicznych symulowanego procesu mona przedstawi w postaci [8]:
552 Jolanta ak iw a l (16) ss p,i p p,i i gdzie: p,i 0,1 p,i 1 - gdy pojazdy typu p - moe przejecha przez wze o numerze i, p,i 0 w przeciwnym przypadku, ap - natenie ruchu na jednostk czasu j, p,i l i - czas obsugi pojazdów p-tego typu w i tym wle, - liczba kanaów obsugi (np. pasów ruchu) i tego wza, k p - czas obserwacji procesu (symulacji), t t Zasady biecego sterowania ruchem w procesie transportowym s odwzorowane w modelu regulaminami dziaania wzów sieci faz procesu poprzez wybór pojazdu lub wybór wza. Powysze zasady zadane zostan w postaci funkcji stanu podzbioru wzów sieci faz procesu tworzcego obszar analizowany przy podejmowaniu decyzji. W skrajnych przypadkach obszar ten moe ogranicza si do jednego wza lub moe obejmowa wszystkie wzy sieci. Dziedziny tych funkcji zawieraj stany wzów podzbioru zbioru wzów sieci faz procesu W, a wynikami indeksy wskazujce wybrany pojazd i kana obsugi w przypadku spenienia warunków wyboru lub zero traktowane jako decyzja zaniechania wyboru. Tak wic funkcja decyzyjna, korzystajca z zasad wyboru przybiera posta: dla spelnionych warunków w zbiorze Wi i W, t T u (17) 0 w przeciwnym przypadku it, gdzie: t - chwila podejmowania decyzji t T, k,p gdy interesuje nas numer pojazdu l n i gdy interesuje nas numer kanalu obslugi n numer wybranego kanau obsugi w wle sieci faz procesu, l i W i - zbiór wzów analizowany przez procedur wyboru przy podejmowaniu decyzji W i W. W przypadku jednorodnych kanaów obsugi wystarczy sprawdzi, czy w chwili podejmowania decyzji t w wle jest wolny kana obsugi. Zatem, zadanie sterowania realizowane przez procedur wyboru moe by formuowane jako poszukiwanie rozwizania: dopuszczalnego - speniajcego ograniczenia procesu transportowego, optymalnego - najlepszego sporód dopuszczalnych w obszarze analizowanym przy podejmowaniu decyzji u oraz t w analizowanym zbiorze sieci faz procesu W i.
Wybrane aspekty dynamiki procesu transportowego 553 5. PODSUMOWANIE Modelowanie stanowi pierwszy etap formalnego ujcia zagadnie zwizanych zarówno z analiz dziaania jak i syntez systemów. Pozwala ono z okrelonym przyblieniem odtworzy zasady organizacji i funkcjonowania systemie, co dalej umoliwia uzyskanie informacji o samym modelowanym systemie. Moliwe bliski rzeczywistoci opisu systemu transportowego wymaga odwzorowania w modelach tych systemów dynamiki procesów oraz losowoci. Zatem do analizy naley zastosowa model odwzorowujcy dynamik. Modelami które uwzgldniaj dziaanie systemu w czasie s modele dynamiczne. Wykorzystujc do rozwizania problemu zadanie sterowania naley uwzgldni: warunki realizacji decyzji, ograniczenia sieci faz procesu, kryterium sterowania rozumiane jako maksimum lub minimum okrelonej funkcji wyraajcej strat (koszt) lub zysk przewidywany w wyniku realizacji decyzji lub te jej zaniechania gdy analiza prowadzona przez procedur wyboru doprowadzi do takiego rezultatu. W analizie naley uwzgldni wszystkie jednostki tworzce potok ruchu znajdujce si w obszarze analizy w sytuacji konfliktowej wzgldem jednostki wybranej do ewentualnego przeniesienia do nastpnej fazy procesu. Bibliografia 1. Ambroziak T., Jacyna M..: Wybrane aspekty modelowania dynamiki procesów transportowych, Prace Naukowe PW, z. 53, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2004. 2. Bellman R.: Programowanie dynamiczne. PWN, Warszawa 1967. 3. Bhaskar V., Lallement P.: Modeling a supply chain using a network of queues. Applied Mathematical Modelling Volume 34, Issue 8, August 2010, 4. Filipowicz B.: Modele stochastyczne w badaniach operacyjnych. Analiza i synteza systemów obsugi i sieci kolejkowych. Wydawnictwo Naukowo-Techniczne Warszawa 1996 5. Findeisen W., Szymanowski J., Wierzbicki A.: Teoria i metody obliczeniowe optymalizacji. PWN, Warszawa 1977. 6. Han, S.: Dynamic traffic modelling and dynamic stochastic user equilibrium assignment for general road networks, Transportation Research 37B, 225 249. 7. Huang, H.J., Lam, W.H.K.: Modeling and solving the dynamic user equilibrium route and 8. Leszczyski J.: Modelowanie systemów i procesów transportowych. Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2009. 9. Wasiak M.: Odwzorowanie obiektu logistycznego jako systemu masowej obsugi. Logistyka 6/2006 Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2009. 10. ak J.: Parametryzacja elementów procesu transportowego. Logistyka 4/2011. 11. ak J.: Teoria kolejek w zastosowaniu do opisu procesu transportowego. Logistyka 4/2012. SELECTED ASPECTS OF THE DYNAMICS OF TRANSPORT PROCESS Summary: The most important dynamic features of transport system are presented in a way allowing using dynamic programming in modelling. The selected elements of transport system are identified in aspect of their influence on transport process dynamics. Structure and appropriate characteristics of transport process are represented as a network of process phases. Keywords: modelling, transport process, transport