Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 2 Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 2 Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej

Spis treści Spis treści 1 Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych 2 Typy równań nieliniowych 3

Literatura 1 Z. Fortuna, B. Macukow, J. Wąsowski, Metody numeryczne, WNT, Warszawa, 1993 2 A. Ralston, Wstęp do analizy numerycznej, PWN, Warszawa, 1983 3 E. Kącki, A. Małolepszy, A. Romanowicz, Metody numeryczne dla inżynierów, Wyższa Szkoła Informatyki w Łodzi, Łódź, 2005 4 Z. Kosma, Metody numeryczne dla zastosowań inżynierskich, Politechnika Radomska, Radom, 2008 5 W.T. Vetterling, S.A. Teukolsky, W.H. Press, B.P. Flannery, Numerical Recipes, Cambridge University Press, 2003

Typy równań nieliniowych Musimy określić: 1 dziedzinę funkcji f (x), x D f (x) = 0. (1) 2 przedziały izolacji pierwiastków (rzeczywistych i/lub zespolonych) wykres funkcji f (x) 3 dla wielomianów istnieją metody analitycznego izolowania pierwiastków Tu zakładamy, że funkcja f (x) jest klasy C 2, plus ewentualnie dodatkowe warunki.

Typy równań nieliniowych f(x) x Rys. 1: Funkcja nieliniowa jednej zmiennej

Metoda połowienia (bisekcji) f(x) a 2ε x 0 b x Rys. 2: Idea poszukiwania rozwiązań równania nieliniowego

Metoda połowienia (bisekcji) Start Czytaj: A,B,YA,YB, EPS X=(A+B)/2 Y=F(X) Y=0? Tak Nie A = X YA = Y Tak YA Y < 0? Nie B = X YB = Y Drukuj: X jest pierwiastkiem Nie B-A <EPS? Tak STOP 1 Drukuj: A,B,YA,YB,EPS STOP 2 Rys. 3: Schemat blokowy programu Bisekcja

Regula falsi regula linia falsus fałszywy regula falsi metoda fałszywego założenia o liniowości funkcji Założenia: 1 w rozpatrywanym przedziale [a, b] równanie ma dokładnie jeden pojedynczy pierwiastek 2 f (a) f (b) 0 3 f (x) C 2 4 f (x) > lub < 0, f (x) > lub < 0 cztery przypadki Rozpatrzymy: f (x) > 0, f (x) > 0

Regula falsi f(x) f(b) B 0 a x 1 x 2 b x f(x 1 ) f(a) A C D Rys. 4: Regula falsi

Regula falsi Patrz rys. 4: Prowadzimy cięciwę przez punkty A(a, f (a)) i B(b, f (b)) o równaniu f (b) f (a) y f (a) = (x a) b a x 1 pierwsze przybliżenie szukanego pierwiastka x 1 = a f (a) (b a) f (b) f (a) jeśli f (x 1 ) = 0 to mamy rozwiązanie i koniec pracy Jeśli f (x 1 ) 0 to:...

Regula falsi Jeśli f (x 1 ) 0 to kolejne wyrazy ciągu przybliżeń: x 0 = a, x k+1 = x k f (x k ) f (b) f (x k ) (b x k), k = 1, 2,..., n Metoda siecznych Zbieżność znacznie szybsza, bo rezygnujemy z żądania, by funkcja f (x) miała w punktach wytyczających kolejną cięciwę różne znaki, a do (n + 1) przybliżenia korzystamy z poprzednio wyznaczonych punktów x n i x n 1 x n+1 = x n f (x n)(x n x n 1 ) f (x n ) f (x n 1 )

Metoda Newtona (metoda stycznych) f(x) f(b) B 0 f(x 1 ) 0 a x 2 B 1 x 1 b x f(a) Rys. 5: Metoda Newtona(stycznych)

Metoda Newtona (metoda stycznych) Rozważamy przykład, gdy zarówno f (x) > 0 i f (x) > 0 (rys. 5). 1 Prowadzimy styczną z punktu B 1 o równaniu y f (b) = f (b)(x b). Dla y = 0 mamy x 1 = b f (b) f (b) 2 Gdy rozwiązanie za mało dokładne prowadzimy kolejną styczną z punktu (x 1, f (x 1 )). Można wykazać, że x 1 leży bliżej rozwiązania niż b. 3 Kolejne przybliżenia liczymy ze wzoru x n+1 = x n f (x n) f (x n )

Równania algebraiczne Poszukujemy zer (rzeczywistych lub zespolonych) wielomianu f (z) = a 0 z n + a 1 z n 1 +... + a n 1 z + a n = 0, a n R Twierdzenie Sturma Ciąg Sturma f 0 (x), f 1 (x), f 2 (x),... f p (x), gdzie f 0 (x) f (x) f 1 (x) f (x) f 2 (x) reszta z dzielenia f 0 (x)/f 1 (x) wzięta ze znakiem przeciwnym f 3 (x) reszta z dzielenia f 1 (x)/f 2 (x) wzięta ze znakiem przeciwnym

Twierdzenie Sturma Jeżeli ciąg (f i (x)), i = 0, 1,..., p jest ciągiem Sturma na przedziale [a, b] i f 0 (a) f 0 (b) 0, to liczba zer rzeczywistych wielomianu f (x) leżących w tym przedziale wynosi N(a) N(b), gdzie N(x 0 ) liczba zmian znaku w ciągu Sturma w punkcie x = x 0. Metoda iterowanego dzielenia Dzielimy wielokrotnie przez (x x j ). Po pierwszym dzieleniu f (x) = (x x j )(b 0 x n 1 + b 1 x n 2 +... b n 1 ) + R j gdzie R j = f (x j ), a b 0 = a 0, b k = a k + x j b k 1, czyli R j = b n = a n + x j b n 1 k = 1, 2,..., n

Metoda iterowanego dzielenia Powtórne dzielenie: f (x) = (x x j ) 2 (c 0 x n 2 + c 1 x n 3 +... + c n 2 + (x x j )R j + R j gdzie R j = f (x j ) oraz c 0 = b 0 = a 0, c k = b k + x j c k 1, k = 1, 2,..., n 1, R j = c n 1 = b n 1 + x j c n 2

Metoda iterowanego dzielenia By obliczyć kolejne wyrazy ciągu przybliżeń (x k ) można zastosować metodę siecznych x j+1 = x j R j(x j x j+1 ) R j R j 1 startując z x 1 i x 2, lub metodę Newtona x j+1 = x j R j R j startując z x 1

Zadanie Znaleźć takie rozwiązanie α R n układu równań, w którym odwzorowanie F : R n R n przyjmuje wartość zero, czyli F (α) = 0.

Koniec? :-( Koniec wykładu 2