z předmětu Matematika 2: Funkce dvou a více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Testování znalostí studentů příprava ke zkoušce z předmětu Matematika 2: Funkce dvou a více proměnných Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D. Rok odevzdání: 2014 Vypracovala: Veronika Římalová MATEKO, III. ročník

Prohlášení Prohlašuji, že jsem vytvořila tuto diplomovou práci samostatně za vedení Mgr. Ivety Bebčákové, Ph.D. a že jsem v seznamu použité literatury uvedla všechny zdroje použité při zpracování práce. V Olomouci dne 11. dubna 2014

Poděkování Ráda bych na tomto místě poděkovala vedoucí diplomové práce Mgr. Ivetě Bebčákové, Ph.D. za obětavou spolupráci i za čas, který mi věnovala při konzultacích.

Obsah Úvod 4 1 Moodle a možnosti jeho využití 5 2 Typy testových otázek a způsob jejich zadávání 11 2.1 Prvky společné všem typům úloh.................. 11 2.2 Výběr z možných odpovědí...................... 16 2.3 Pravda/Nepravda........................... 21 2.4 Krátká tvořená odpověd....................... 23 2.5 Dlouhá tvořená odpověd....................... 27 2.6 Přiřazování.............................. 30 2.7 Přiřazování z krátkých odpovědí................... 34 2.8 Numerická úloha........................... 37 2.9 Jednoduchá vypočítávaná úloha................... 40 2.10 Vypočítávaná úloha.......................... 46 2.11 Vypočítávaná úloha s více možnostmi................ 51 2.12 Doplňovací úloha (cloze)....................... 56 2.13 Popis.................................. 64 3 Testové otázky k teorii funkcí dvou a více proměnných 66 3.1 Použité věty a definice........................ 66 3.2 Rozdělení testových úloh do skupin................. 69 3.2.1 Určování definičního oboru.................. 69 3.2.2 Určení funkční hodnoty funkce v daném bodě....... 71 3.2.3 Teoretické otázky....................... 72 3.2.4 Obor hodnot funkce dvou proměnných........... 73 3.2.5 Vlastnosti funkcí dvou proměnných............. 74 3.2.6 Elementární funkce dvou proměnných............ 76 3.2.7 Pojem zobrazení....................... 77 3.2.8 Způsob zápisu funkce dvou proměnných.......... 79 3.3 Seznam testových otázek k teorii funkcí dvou a více proměnných. 79 3.4 Klíč k řešení.............................. 123 4 Statistické zpracování získaných dat 124 4.1 Počet pokusů nutných ke splnění testu............... 124 4.2 Průměrná výše facility indexu pro jednotlivé skupiny úloh.... 127 Závěr 130 Příloha 131 Literatura 132

Úvod Součástí této bakalářské práce bylo vytvoření testových otázek na téma funkcí dvou a více proměnných. Jejich prostřednictvím byli testováni studenti předmětu KMA/M2 Matematika 2 v akademickém roce 2012/2013 a také studenti předmětu KMA/M1N Matematika 1 v akademickém roce 2013/2014. Z daných otázek byl pro každého studenta a každý pokus náhodně vytvořen test s 25 otázkami, pro jeho splnění bylo nezbytné získat alespoň 20 bodů z 25 možných, tedy dosáhnout minimálně 80% úspěšnosti. Tyto testy byly vytvořeny i pro další oblasti učiva předmětu Matematika 2 (a Matematika 1) a bez jejich úspěšného absolvování nemohl student podstoupit k písemné a ústní části zkoušky z předmětu. Práce samotná se skládá ze 4 částí. První kapitola poskytuje základní informace o softwaru Moodle, ve kterém byly testové úlohy i následné testy vytvořeny. Druhá kapitola je zaměřena na jednotlivé typy testových otázek, které je možné v Moodlu vytvořit. U každého typu testové úlohy je popsán průběh jejího vytvoření, možnosti využití pro úlohy z oblasti funkcí více proměnných a také hlavní výhody a nevýhody daného typu úlohy. Třetí kapitola se blíže zabývá otázkami vytvořenými za účelem testování znalostí studentů předmětů KMA/M2 a KMA/M1N. Kromě samotného seznamu těchto úloh zde lze nalézt také stručný rozbor toho, které otázky či skupiny otázek zaměřených na podobné téma dělaly studentům problémy a které z nich naopak zvládali. Poslední kapitola si klade za cíl statisticky zpracovat data získaná testováním. Vzhledem k tomu, že byly v akademickém roce 2013/2014 zařazeny funkce více proměnných do předmětu KMA/M1N, máme k dispozici dva soubory dat a tím i možnost je navzájem porovnat. 4

1 Moodle a možnosti jeho využití Následující informace byly čerpány z [1], [2] a [3]. Jedná o bezplatný software sloužící k vytváření elektronických kurzů a jejich použití pro výuku přes Internet. Jeho zakladatelem je Australan Martin Dougiamas. První verze Moodlu byla vydána v srpnu 2002. Česká lokalizace je dostupná od ledna 2003. Je využíván mimo jiné na základních a středních školách, na univerzitách či v neziskových organizacích. Na domovské adrese [4] lze nalézt například nápovědu nebo rozsáhlá diskusní fóra. Sdružují se zde administrátoři, vyučující, vývojáři a jiné osoby s Moodlem spojené. Důležitou součástí Moodlu jsou kurzy. Sem je možné nahrávat studijní materiály, které si následně mohou studenti stáhnout. Kurzy mohou být bud to veřejné, uzavřené pouze pro studenty, kteří znají heslo (klíč k zápisu), případně může být kurz dostupný pouze určité skupině studentů (administrátor může nastavit, kdo kurz uvidí a kdo ne). Pro přístup ke kurzům je potřeba se do Moodlu zaregistrovat (Obrázek 1). 5

Obrázek 1: Přihlášení do e-learningového portálu Moodle Jednotlivé kurzy lze dělit do kategorií a podkategorií (Obrázek 2), může jít například o dělení podle školního roku či semestru nebo o dělení podle zaměření (kategorie přírodní vědy a podkategorie matematika, fyzika, biologie, chemie ). 6

Obrázek 2: Seznam kurzů rozdělených podle semestrů Na úvodní stranu kurzu je možné připsat nějaké shrnutí, například o jaký kurz se jedná, co v něm bude vyučováno, připojit odkazy na doplňující informace a podobně. Kurz lze rozdělit do časových úseků (například týdenních), ke každému úseku lze poté přidávat studijní materiály nebo odkazy, kde si lze procvičit dané učivo. Možnou podobu úvodní stránky kurzu si lze prohlédnout na Obrázku 3. 7

Obrázek 3: Úvodní obrazovka předmětu KMA/M2N Matematika 2; úvodní text a Téma 1 V následujícím textu budou stručně popsány některé volitelné součásti a prvky kurzu. Úkol Jedná se o možnost zadat studentům nějaký rozsáhlejší úkol či semestrální práci. Student poté vypracovaný úkol zadá do Moodlu a vyučující daný úkol opraví. Je možné práci odevzdat ve formě nějaké přílohy (textový soubor, obrázek) nebo ji napsat přímo v Moodlu. 8

Dalším volitelným prvkem je databáze. Umožňuje vytvořit databázi na nějaké téma a do ní poté mohou studenti i vyučující nahrávat různé obrázky, odkazy, videa nebo jiný obsah související se zadaným tématem. Dotazník je prvek umožňující studentům ohodnotit absolvovaný kurz. Mohou hodnotit jeho obtížnost, spokojenost s kvalitou výuky, případně podat návrhy na zlepšení. Tato zpětná vazba může vyučujícím pomoci zlepšit kvalitu výuky, například se více zaměřit na ty části učiva, které studenti uvedli jako obtížné. Přednáška umožňuje vytvářet velice flexibilní výukové materiály. Lze zde vytvářet stránky s informacemi a také testové úlohy. Ty lze nastavit tak, aby následující zobrazená stránka závisela na tom, jak student úlohu zodpoví. V případě, že by student odpověděl správně, znamenalo by to, že této části lekce rozumí a následující zobrazená stránka by již pojednávala o jiné problematice. Při nesprávné odpovědi by se například mohla zobrazit stránka obsahující dodatečné informace vztahující se k danému problému a poté by si student mohl chybnou odpověd opravit. Testové otázky je možné nastavit i tak, aby student možnost opravy neměl. Lekce lze využít například k seznámení studentů s novým učivem, kdy si vlastním tempem projdou základy a na několika testových úlohách si vyzkoušejí, jak dané problematice porozuměli. Volitelný prvek wiki umožňuje přispěvatelům (vyučujícím i studentům) vytvářet a spravovat internetovou encyklopedii. Může být zaměřena na nějaké konkrétní téma související s daným kurzem. Prvekworkshopsepodobáprvku úkol,avšaklišísezpůsobemznámkování. Vypracovaný úkol opět student odevzdá bud formou textu zadaného do Moodlu nebo formou přílohy. Za splnění úkolu získá celkem dvě známky. Tou první je hodnocení jeho vlastního úkolu dalšími studenty (studenti v případě workshopu hodnotí své práce sobě navzájem). Druhá známka vyjadřuje přesnost a vhodnost hodnocení, která student udělil úkolům ostatních studentů. Ke každému z kurzů lze vytvářet testy. Testové úlohy se ukládají do takzvané banky úloh (Obrázek 4), kde je lze dělit do dalších kategorií. Při samotné tvorbě testu pak lze zvolit, ze kterých kategorií mají být úlohy vybírány, dokonce je 9

možné určit i počty úloh z jednotlivých kategorií. Moodle umožňuje vytvářet několik druhů testových úloh, ty jsou detailněji rozebrány v následující kapitole této práce. Obrázek 4: Banka úloh 10

2 Typy testových otázek a způsob jejich zadávání Následující informace byly čerpány z [5]. Jak již bylo zmíněno v předchozí kapitole, umožňuje Moodle vytvářet testy, pomocí kterých pak mohou být ověřovány znalosti studentů. V následující kapitole budou detailněji představeny jednotlivé typy testových úloh, které lze v Moodlu pro účely testu vytvořit. 2.1 Prvky společné všem typům úloh Ještě před tím, než se budeme podrobněji věnovat jednotlivým typům úloh, které lze v Moodlu vytvořit, zaměříme se na prvky, jejichž způsob zadávání je společný všem typům testových otázek. Tyto prvky lze rozdělit na povinné a nepovinné. Příklad 2.1. Kdy je funkce f omezená na svém definičním oboru? Obrázek 5: Zadávání názvu a textu úlohy, celkové známky a obecné reakce; Příklad 2.1 11

Mezi povinné prvky patří pole Název úlohy (ke zhlédnutí na Obrázku 5). Dané úloze lze bud přidělit nějaký konkrétní název (například definiční obor funkce 12 ), což sice usnadňuje zadavateli úlohy orientaci mezi úlohami (pro případ, že by bylo nutné v budoucnu úlohu dodatečně upravit), ale také to může sloužit jako vodítko pro studenty. Těm pak stačí si zapamatovat název úlohy a správné odpovědi, a pokud na danou úlohu v budoucnu narazí znovu, pouze vyplní stejné hodnocení jako minule, aniž by úlohu znovu řešili. Tomuto lze předejít tím, že se všechny úlohy (případně skupiny úloh) nazvou stejně (například funkce ). Studenti pak nebudou schopni rozlišovat jednotlivé úlohy pouze na základě jejich názvu, avšak orientace mezi vytvořenými úlohami bude pro autora úloh poměrně obtížná. Druhým povinným prvkem je pole Text úlohy (Obrázek 5), kamse vyplňuje zadání úlohy. To může mít podobu klasického textu, matematického zápisu či obrázku. Posledním povinným polem je Výchozí známka (Obrázek 5). Jedná se o počet bodů, které budou studentovi přiděleny za správné zodpovězení dané úlohy. U některých typů úloh musí student pro získání plného počtu bodů vybrat i více než jednu správnou odpověd (například úloha typuvýběr z možných odpovědí). Výchozí známka je automaticky nastavena na hodnotu 1, je však možné úloze přidělit i hodnocení vyšší nebo nižší než 1. Jedinou výjimkou je Doplňovací úloha, u níž není povoleno dát úloze menší hodnocení než 1. Má-li být výchozí známkou desetinné číslo, je nezbytné při jeho zápisu použít místo desetinné čárky tečku (například 0.5 namísto 0, 5). 12

Obrázek 6: Obecná reakce; Příklad 2.1 Pole s názvem Obecná reakce již patří k prvkům nepovinným. Tato reakce se studentovi zobrazí poté, co na danou úlohu odpoví a to nezávisle na tom, zda je jeho odpověd správná nebo ne. Zadávání obecné reakce lze vidět na Obrázku 5 a to, jak se zobrazí po zodpovězení úlohy, je zvýrazněno na Obrázku 6. 13

Obrázek 7: Zadávání reakcí na jednotlivé odpovědi; Příklad 2.1 14

Pomocí nepovinných polí Reakce lze prokaždou odpověd nastavit, co se má studentovi po jejím zvolení zobrazit (Obrázek 7). Na Obrázku 8 je zvýrazněna reakce na správnou odpověd a na Obrázku 9 reakce na odpověd nesprávnou. Tyto reakce se zobrazují přímo za možnou odpověd, zatímco obecná reakce se objeví pod úlohou (Obrázek 6). Obrázek 8: Reakce při zvolení správné odpovědi; Příklad 2.1 15

Obrázek 9: Reakce při zvolení nesprávné odpovědi; Příklad 2.1 2.2 Výběr z možných odpovědí Jedná se o klasickou testovou otázku. Student má k dispozici určitý počet možných odpovědí a má za úkol vybrat, které z nich jsou správné. Počet možných odpovědí, které lze při tvorbě úlohy zadat, není nijak omezen. Jako správné odpovědi lze určit i více možností než jednu. Ohledně známek musí být splněna podmínka, že součet známek u správných odpovědí musí dát dohromady 100 %. Pro nesprávné odpovědi žádná pravidla stanovena nejsou, mohou být ohodnoceny nulou i zápornou známkou. V případě otázek použitých k testování studentů bylo bodování nastaveno tak, aby známky za správné odpovědi dávaly součet 100 % a známky za špatné odpovědi součet 100 %. Díky tomu je celkový součet bodů za všechny možné odpovědi v dané úloze roven nule. Pro získání plného hodnocení za danou úlohu je tedy nutné vybrat všechny správné odpovědi a současně ani jednu chybnou odpověd. Nestačí tedy zaškrtnout všechny dostupné odpovědi a očekávat za úlohu plný počet bodů. V takovém případě by se celkové hodnocení úlohy rovnalo 0. 16

Příklad 2.2. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 + y 2. Určete, která z tvrzení o této funkci jsou pravdivá. (Kompletní zadábí úlohy si lze prohlédnout na Obrázku 13.) Obrázek 10: Zadání úlohy typu Výběr z možných odpovědí; Příklad 2.2 17

Obrázek 11: Zadání úlohy typu Výběr z možných odpovědí; Příklad 2.2 V první části nastavení (Obrázek 10) je kromě samotného zadání textu úlohy možné zvolit, zda má mít úloha jednu nebo více odpovědí. Vizuální rozdíl mezi těmito dvěma variantami je patrný z Obrázku 12. Je výhodnější povolit více možných odpovědí i v případě, že má být správná pouze jedna z možností, protože díky tomu student nepozná, že má vybrat jen jedinou správnou odpověd. Dalším 18

krokem je možnost promíchat odpovědi, díky které se nabízené možnosti zobrazí v testu pokaždé v jiném pořadí. Následuje volba formátu značení jednotlivých možností. Lze si vybrat velká či malá písmena, římské číslice, arabské číslice nebo možnost bez značení. Obrázek 12: Vizuální rozdíl mezi jednou a více povolenými odpověd mi Poté už následuje samotné zadávání možných odpovědí (Obrázek 11). Systém umožňuje vložit do odpovědi prostý text, matematický zápis nebo obrázek. U každé z možností se nastaví požadovaná známka. V Příkladu 2.2 byly chybné odpovědi 1 a 4 ohodnoceny každá známkou 50 %. Odpovědi 2 a 3 jsou správné a každá z nich má přiřazenu známku 50 %, plné hodnocení 100 % dostane student jedině v případě, že jako správné zvolí právě tyto dvě možnosti. Při vybrání všech čtyř možností bude mít celková známka za tuto úlohu hodnotu 0. 19

Obrázek 13: Náhled hotové úlohy typu Výběr z možných odpovědí; Příklad 2.2 Hlavní výhodou Výběru z možných odpovědí je jeho univerzálnost. Lze jej použít k vytvoření mnoha typů úloh, včetně těch, které vyžadují matematický zápis či vložení obrázku. Nevýhod mnoho není, snad jen to, že je nemožné sestavit úlohu, kde by byly všechny odpovědi nesprávné. V takovém případě by totiž nebyla splněna podmínka, že součet známek u správných odpovědí musí být roven 100 %. Řešenímjepřidatodpověd anijednaznabízených možností není správná atéudělit hodnocení 100 %, ale tato možnost už poskytuje studentovi určitou nápovědu k řešení, bez které by jej možná ani nenapadlo, že žádná z nabízených možností není řešením úlohy. Oproti tomu úlohu, v níž by byly všechny možnosti správné, je možné vytvořit. V případě varianty se čtyřmi možnostmi by se každé z nich přidělilo hodnocení 25 % a k získání plného počtu bodů za tuto úlohu by student musel označit všechny možnosti jako správné. 20

Tento typ úlohy je díky své univerzálnosti vhodný pro většinu testových úloh a to včetně těch z oboru funkcí více proměnných. 2.3 Pravda/Nepravda V této úloze je potřeba rozhodnout o pravdivosti uvedeného tvrzení. Je velmi jednoduchá na sestavení, v podstatě stačí pouze vyplnit zadání úlohy a to, zda se jedná o pravdivé či nepravdivé tvrzení. Na Obrázku 14 je zachyceno sestavování úlohy a na Obrázku 15 to, jak vypadá hotová úloha v náhledu. Příklad 2.3. Rozhodněte o pravdivosti tvrzení: Funkce f(x,y) = x 2 + y 2 na svém definičním oboru nenabývá globálního maxima. 21

Obrázek 14: Zadávání úlohy typu Pravda/Nepravda; Příklad 2.3 22

Obrázek 15: Náhled hotové úlohy typu Pravda/Nepravda; Příklad 2.3 Výhodou tohoto typu úlohy je jednoduchost jejího zadávání. Nevýhodou to, že má student k dispozici jen dvě možnosti odpovědi (pravda a nepravda) a je zde tedy 50% šance, že správnou odpověd naslepo trefí, aniž by úlohu dokázal vyřešit. V oblasti funkcí dvou a více proměnných lze vytvořit nepřeberné množství úloh typu Pravda/Nepravda. Nejlépe lze tuto úlohu využít pro tvorbu otázek, kde často jiná možnost odpovědi kromě pravda a nepravda ( ano a ne ) nebývá. Jako příklad může posloužit následující úloha. Příklad 2.4. Rozhodněte o pravdivosti následujícího tvrzení: Funkce f(t, u) = t u ln(3u 2 ) sgn(t) 2 je elementární funkcí dvou proměnných. 2.4 Krátká tvořená odpověd V případě Krátké tvořené odpovědi student nemá k dispozici předem zadané odpovědi, ale odpovídá na položenou otázku vlastními slovy. Jelikož Moodle nedokáže správnost odpovědi vyhodnotit sám, je potřeba při tvorbě úlohy přípustné odpovědi zadat. Těchto odpovědí může být libovolné množství a minimálně jedné z nich musí být přidělena známka 100 %. Příklad 2.5. Definiční obor funkce dvou proměnných je množina všech uspořádaných dvojic (x,y) R 2 takových, že v nich funkce nabývá... jedné funkční hodnoty. 23

Obrázek 16: Tvorba zadání úlohy typu Krátká tvořená odpověd ; Příklad 2.5 24

Obrázek 17: Zadávání odpovědí u úlohy typu Krátká tvořená odpověd ; Příklad 2.5 Jak je vidět na Obrázku 16 a 17, byly při sestavování úlohy zadány ty varianty odpovědí, které lze považovat za správné. V případě Příkladu 2.5 se jako první nabízí odpověd právě, zadá se tedy do pole Odpověd 1 a přidělí se 25

jí známka 100 %. Slovo právě však není jediným přípustným řešením dané úlohy. Jako správnou odpověd je v tomto případě možné přijmout i odpovědi jako přesně, pouze, zásadně, jedině, jen, jenom a podobně. I tyto výrazy se tedy zapíší jako možné odpovědi a přidělí se jim známka 100 %. Jsou však zohledněny všechny přípustné odpovědi na danou otázku? Pokud by student odpověděl například slovem vždy, nezískal by za svou odpověd žádný bod, nebot tato možnost není v otázce zaznamenána jako správná, ač ji lze za správnou považovat. U odpovědi číslo 4 bylo použito symbolu *, který plní funkci zástupného znaku pro kterýkoliv jiný znak či slovo. Zapsání dané odpovědi jako jen* znamená, že každá studentova odpověd začínající písmeny jen bude vyhodnocena jako správná. Tímto jsou tedy pokryty dříve zmíněné varianty jen a jenom. Pokud by však student odpověděl například slovem jenomže, které také začíná písmeny jen, byla by jeho odpověd rovněž vyhodnocena jako správná. Je tedy nutné používat zástupný symbol * srozmyslem. Hotová úlohavypadá tak, jako na Obrázku 18. Obrázek 18: Náhled hotové úlohy typu Krátká tvořená odpověd ; Příklad 2.5 Na Příkladu 2.5 byl ilustrován hlavní nedostatek tohoto typu úlohy: nikdy nelze s jistotou tvrdit, že jsou pokryty všechny správné odpovědi. Může se lehce stát, že nezvykle naformulovaná, leč správná odpověd, nebude uznána. Dále je tento typ úlohy nevýhodný pro víceslovné odpovědi, nebot zohlednit při tvorbě odpovědí věškeré správné varianty je s rostoucím počtem slov stále obtížnější. Jednou z možností, jak se tomuto nedostatku vyhnout, je vytvářet takové úlohy, které mají naprosto jednoznačnou odpověd. Příkladem může být následující úloha. 26

Příklad 2.6. Jak se nazývá množina všech uspořádaných dvojic (x,y) R 2, takových, že v nich funkce f(x,y) nabývá právě jedné funkční hodnoty? Správnou odpověd Příkladu 2.6 lze zapsat jako definiční obor, definiční obor funkce, případně definiční obor funkce f. Je možné zapsat tyto varianty jako tři různé odpovědi, každou se známkou 100 %, nebo použít symbol *. Odpověd naformulovaná pomocí * by pak mohla vypadat takto: definiční obor *. At už by student za slova definiční obor napsal cokoliv, jeho odpověd by byla vyhodnocena jako správná. Mezi výhody lze zařadit například to, že student musí odpověd zformulovat sám. Tímto lze otestovat, zda student dané problematice skutečně rozumí a dovede své znalosti aktivně použít. Pokud má před sebou varianty řešení, může správnou odpověd naslepo trefit, dojít k ní postupným vyloučením nevyhovujících možností či ji zvolit podle toho, že mu daná odpověd připadá povědomá. Krátká tvořená odpověd sice je pro úlohy vztahující se k funkcím dvou proměnných uplatnitelná, ale přináší řadu nevýhod a komplikací. Využití by našla především u otázek s krátkými, pokud možno jednoslovnými odpověd mi, bylo by ovšem nutné zohlednit všechny varianty řešení, včetně synonym, slov v jiných pádech či bez diakritiky. 2.5 Dlouhá tvořená odpověd V případě tohoto typu testové úlohy student odpovídá na položenou otázku vlastními slovy a to v rozsahu několika vět nebo odstavců. Hodnocení poté probíhá ručně, a dokud není úloha opravena vyučujícím, je jí přidělena známka 0. Při tvorbě úlohy je možné kromě samotné otázky a výchozí známky zadat také velikost textového pole, do nějž bude student zapisovat svou odpověd a to v rozsahu 5 40 řádků. Tato možnost však neslouží k nastavení maximální možné délky textu, pouze upravuje velikost textového pole, které se u dané úlohy zobrazí. Dalším polem, které může zadavatel úlohy vyplnit, je pole informace pro hodnotitele. Pokud by úlohu opravoval někdo jiný než, ten, kdo ji vytvořil, je 27

možné mu do tohoto pole vepsat například pokyny k opravování či stupnici hodnocení. Dále lze nastavit možnost vkládat do odpovědi přílohy. Příklad 2.7. Nakreslete definiční obor funkce f(x,y) = 2x 1 y+2 x 2 +y 2 9. Obrázek vložte do odpovědi jako přílohu. Obrázek 19: Zadání úlohy typu Dlouhá tvořená odpověd ; Příklad 2.7 28

Obrázek 20: Hotová úloha typu Dlouhá tvořená odpověd ; Příklad 2.7 Knakreslenídefiničníhooborulzepoužítnapříkladprogram MicrosoftWord nebo Malování. Samotné vložení souboru je velmi jednoduché, stačí zadat jeho umístění v počítači a poté vložit soubor. Na Obrázku 20 si lze prohlédnout, jak vypadá náhled úlohy po nahrání souboru. Jako výhodu lze brát fakt, že student tvoří odpověd sám, nemá před sebou možné varianty řešení a nemůže naslepo tipovat. Dlouhá tvořená odpověd je jediným typem úlohy, který studentovi umožňuje vložit odpověd jako přílohu. Hlavní nevýhodou je nutnost zkontrolovat a oznámkovat veškeré odpovědi ručně. Dlouhá tvořená odpověd sama o sobě nalezne uplatnění spíše v jiných předmětech než v matematice. Může jít například o fejeton v českém jazyce, esej o vlivu určité historické události na chod dějin či o filosofickou úvahu. Zvolení možnosti vkládat do odpovědi přílohy umožňuje vytvářet úlohy typu nakreslete definiční obor dané funkce či sestrojte graf funkce, která splňuje dané vlastnosti. 29

2.6 Přiřazování Tato úloha se skládá z několika dílčích podúloh a ke každé z nich je potřeba přiřadit správnou odpověd z nabízeného seznamu. Podúloh může být libovolné množství a je možné je kromě textu zadat i formou obrázku. Je potřeba vytvořit alespoň dvě podúlohy a nejméně tři odpovědi. Příklad 2.8. Určete, co je na obrázcích. (Kompletní zadání úlohy si lze prohlédnout na Obrázku 21, 22 a 23.) 30

Obrázek 21: Zadávání přiřazovací úlohy; Příklad 2.8 31

Obrázek 22: Zadávání přiřazovací úlohy; Příklad 2.8 Příklad 2.8 má tři podúlohy a celkem pět možných odpovědí. Podúlohám 1 a 2 ze zadání úlohy je přiřazena stejná odpověd ( definiční obor nějaké funkce tří proměnných ). I přesto se tato odpověd objeví v seznamu pouze jednou, jak lze vidět na Obrázku 23). Student tedy nepozná, zda má být některá z odpovědí zadána vícekrát. Správná odpověd ke třetí podúloze zní definiční obor nějaké funkce dvou proměnných. Zbylé odpovědi (4, 5 a 6) nejsou přiřazeny k žádné 32

z podúloh, byly vytvořeny proto, aby měla přiřazovací úloha více odpovědí než otázek, čímž byla zvýšena její obtížnost. Obrázek 23: Náhled hotové přiřazovací úlohy; Příklad 2.8 Největším nedostatkem přiřazovací úlohy je fakt, že do políčka odpovědi lze vložit pouze obyčejný text, s matematickým zápisem si systém nedokáže poradit. Kvůli tomu je využití této úlohy v oblasti funkcí dvou proměnných značně omezeno. V opačném případě by bylo možné vytvářet například úlohy s přiřazováním definičních oborů funkcí ke správným funkčním předpisům, nebo 33

například přiřazovat grafy funkcí k jejich funkčním předpisům. Tento nedostatek je demonstrován na Obrázku 24. Příklad 2.9. Ke každé z funkcí přiřad te její definiční obor. (Kompletní zadání si lze prohlédnout na Obrázku 24.) Obrázek 24: Nepřeložený matematický zápis u přiřazovací úlohy; Příklad 2.9 Mezi výhody lze zařadit možnost vytvářet náročnější a rozsáhlejší úlohy, například sloučením typově podobných otázek do jedné úlohy. Vytvoření přiřazovací úlohy je rovněž velmi jednoduché. Další výhodou je možnost zadat více otázek než podúloh a tím ztížit řešení příkladu. Jedná se o velmi univerzální typ úlohy, který je navíc jednoduchý na sestavení. Vzhledem k tomu, že není možné vkládat odpovědi ve formě matematického zápisu, je však pro řadu úloh z oblasti funkcí více proměnných nepoužitelný a jeho uplatnění se zde omezuje převážně na teoretické úlohy, nebo na úlohy podobné Příkladu 2.8. 2.7 Přiřazování z krátkých odpovědí Jedná se o úlohu kombinující v sobě prvky úlohy Přiřazování a úlohy typu Krátká tvořená odpověd. Student má za úkol přiřadit správné odpovědi k zadaným tvrzením, tato tvrzení jsou náhodně generována z úloh typu krátká tvořená odpověd uložených ve stejné kategorii jako sestavovaná úloha (v tomto případě by se jednalo o kategorii Funkce dvou a více proměnných ). V současné verzi 34

Moodlu (jedná se o verzi 2.6.1) není funkční, měla by být opravena ve verzi 2.6.2. Tuto úlohu lze pouze vytvořit a uložit, nedá se zobrazit v náhledu ani použít k testování. Obrázek 25: Zadání úlohy typu Přiřazování z krátkých odpovědí; Příklad 2.10 K vytvoření úlohy je potřeba zadat pouze název úlohy, text zadání, známku a také kolik podúloh má být vygenerováno (k tomu slouží pole [[randomsamatchnumber]] ). Množství podúloh by nemělo být vyšší než počet úloh s krátkou tvořenou odpovědí nacházejících se v dané kategorii, systém by neměl dané množství podúloh z čeho vygenerovat. Na Obrázku 25 si je možné prohlédnout, jak vypadá zadávání této úlohy. Systém vybere určený počet otázek typu Krátká tvořená odpověd a u každé z nich vezme jako správnou odpověd tu, která je ohodnocena známku 100%. Je-li u některé úlohy více odpovědí s hodnocením 100 %, je vybrána ta z odpovědí, která je první v pořadí. Tedy pokud budou mít u jedné úlohy známku 100 % 35

odpovědi 2 a 6, bude vybrána odpověd číslo 2. Úloha sestavená z těchto náhodně vygenerovaných dílčích úloh pak bude vypadat jako klasická přiřazovací úloha. Nyní bude uvedena možná podoba úlohy na Příkladu 2.10, který je tvořen čtyřmi náhodně vybranými úlohami typu Krátká tvořená odpověd. V závorce jsou uvedeny správné odpovědi, které by (v případě, že by úloha byla funkční) systém vybral na základě výše popsaných pravidel. Příklad 2.10. K jednotlivým zadáním přiřad te správné odpovědi. 1. Jak se nazývá množina {(x,y,f(x,y));(x,y) D f } R 3? (graf funkce f) 2. Funkce dvou proměnných, kterou lze vytvořit ze základních elementárních funkcí jednotlivých proměnných pomocí konečného počtu skládání a algebraických operací se nazývá... (elementární) 3. Funkcef taková,pronižplatí,že k Rtakové,žef(x,y) k (x,y) M, se nazývá... (shora omezená na M) 4. Funkcef taková,pronižplatí,že k Rtakové,žef(x,y) k (x,y) M, se nazývá... (zdola omezená na M) Je vhodné vytvořit takové úlohy typu Krátká tvořená odpověd, aby si jejich odpovědi byly typově podobné, jinak by se mohlo stát, že bude na první pohled zřejmé, která odpověd patří ke kterému zadání. Otázky číslo 2, 3 a 4 z Příkladu 2.10 jsou zaměřeny na druhy funkcí, jejich odpovědi jsou podobného typu a není tedy ihned po letmém přečtení zjevné, jak odpovědi správně přiřadit. Odpověd číslo 1, tedy graf funkce f by po přiřazení ke kterékoliv z nich nedávala logický smysl, hodí se pouze k první otázce. Tento fakt je nutné brát v úvahu už při tvorbě úloh s krátkou tvořenou odpovědí. Jelikož systém bude podúlohy pro Přiřazování z krátkých odpovědí vybírat ze všech úloh typu Krátká tvořená odpověd, které se v dané kategorii nacházejí, je potřeba sestavit typově podobné otázky se vzájemně zaměnitelnými odpověd mi, aby nemohlo dojít k situaci naznačené na Příkladu 2.10. 36

Jednotlivé podúlohy jsou zde generovány náhodně, díky tomu nabízí tento typ úlohy větší variabilitu zadání než statické úlohy, studentovi se tato úloha zobrazí pokaždé s jinými podotázkami. To představuje nespornou výhodu oproti klasické přiřazovací úloze. Nevýhodou je nezbytnost vytvořit úlohy s krátkou tvořenou odpovědí tak, aby se nedaly správné odpovědi k zadáním přiřadit jen na základě toho, zda na sebe zadání a odpověd logicky navazují nebo zda je takto vzniklá věta stylisticky správně. V Moodlu není možné úlohy z jedné kategorie (zde funkce dvou a více proměnných) dále dělit do podkategorií, což by se ovšem v tomto případě hodilo. Úlohy s krátkou tvořenou odpovědí by se podle vzájemné podobnosti rozdělily do několika skupin a při tvorbě přiřazovací úlohy s krátkou odpovědí by se vybralo, ze které skupiny mají být podúlohy vybírány. Tento nedostatek je možné vyřešit vytvořením nové kategorie, jež by obsahovala jen ty úlohy s krátkou tvořenou odpovědí, které se k dané úloze typu Přiřazování z krátkých odpovědí hodí. Ve výsledku se jedná o poměrně užitečný typ úlohy, který však pro funkce více proměnných nemá velké využití. Na vině je hlavně nutnost sestavit dostatečné množství úloh typu Krátká tvořená odpověd. Ty mají samy o sobě řadu nevýhod, které byly popsány již dříve a pro účel úlohy s přiřazováním z krátkých odpovědí by navíc bylo nutné je sestavit tak, aby si byly vzájemně podobné. 2.8 Numerická úloha Numerická úloha se podobá Krátké tvořené odpovědi s tím rozdílem, že odpovědí může být pouze číslo. Tak jako u Krátké tvořené odpovědi i zde musí být alespoň jedna odpověd ohodnocena známkou 100 % a ani jedné z odpovědí nelze přiřadit záporné hodnocení. Příklad 2.11. Kolik proměnných má funkce, která je definována jako zobrazení množiny R 2 do množiny R? 37

Obrázek 26: Zadání Numerické úlohy; Příklad 2.11 Do kolonky odpověd je možné zadat pouze číslo nebo symbol *, který slouží jako zástupný znak pro jakoukoliv odpověd. Jinými slovy, pokud do pole odpověd zadáme * a ohodnotíme ji známkou 100 %, bude libovolná studentova odpověd vyhodnocena jako správná. Pro zadání odpovědi systém umožňuje použít pouze celé nebo desetinné číslo. V případě, že by správnou odpovědí bylo například číslo 3 a student svou odpověd zapsal jako 3,00 nebo 03, systém sám vyhodnotí tyto varianty jako správné, není tedy potřeba je zapisovat jako další varianty řešení. Dalším prvkem je pole Error. Jedná se o povolenou odchylku od správného výsledku. Pro ilustraci, pokud správná odpověd bude 5 a v poli Error bude zadáno číslo 2, budou jako správná odpověd vyhodnocena všechna čísla z intervalu 3, 7. Pokud chceme jako odchylku určit desetinné číslo, je třeba místo desetinné čárky použít tečku (např. 12.531), jinak systém povolenou chybu nezaznamená. 38

Obrázek 27: Náhled hotové Numerické úlohy; Příklad 2.11 V případě Příkladu 2.11 je správnou odpovědí číslo 2, odpovědi se tedy přidělí známka 100%.Nyní budeupřesněno, vjakémtvarujenutnévýsledek zapsat, aby jej systém akceptoval. Povolena jsou celá a desetinná čísla, přičemž desetinným znaménkem může být čárkanebo tečka (lze tedy psát 0,52i0.52). Odpověd nelze zapsat pomocí zlomku. Místo například 1 3 by bylo nutné použít desetinný zápis (tedy0,3333333...),tenvšaknikdynebudepřesný.tentoproblémbybylomožné částečně vyřešit tím, že by se do textu úlohy přidala poznámka typu výsledek zaokrouhlete na 4 desetinná místa. Také nelze vložit odpověd pomocí konstanty (například π, nebo e) nebo formou odmocniny ( 3). Tato čísla nelze zapsat ani pomocí desetinného čísla, protože mají neukončený neperiodický rozvoj. I zde by sice bylo možné připsat poznámku o zaokrouhlování, ale má-li být řešením úlohy číslo π, nelze se spokojit s výsledkem zaokrouhleným na 3, 14. Mezi výhody tohoto typu úlohy lze počítat to, že podobně jako v případě Krátké tvořené odpovědi student musí zapsat odpověd sám. V případě úlohy určete kořen rovnice 3x + 5 = 2 + 6x, zadané formou Výběru z možných odpovědí, bychom museli studentovi předložit možné varianty řešení a díky tomu by bylo možné úlohu vyřešit postupným dosazováním nabízených možností řešení namísto nalezení kořenu rovnice jejím vyřešením. Oproti Krátké tvořené odpovědi je tato úloha jednodušší na vytvoření, odpovědí může být pouze číslo a tak není třeba při tvorbě úlohy pokrýt veškeré přípustné varianty řešení. K nevýhodám lze zařadit nemožnost zapsat výsledek pomocí zlomku nebo iracionálního čísla, je tedy třeba bud tomuto faktu úlohu přizpůsobit, nebo použít jiný typ otázky. Další nevýhodou je, že student může při řešení úlohy vyplnit jen 39

jediný výsledek. Toto je problémem například u kvadratických rovnic, kde jsou obvykle řešením dva kořeny. Systém sice umožňuje vytvořit dvě možné odpovědi a oběma jim přidělit známku 100 %, ale nedovolí nastavit úlohu tak, aby bylo možné jako správnou odpověd zapsat oba kořeny současně. Tento problém nelze řešit jinak než použitím jiného typu úlohy. Numerickou úlohu lze v případě funkcí dvou proměnných využít například u úloh typu určete funkční hodnotu funkce f(x,y) v daném bodě. Obzvlášt vhodný je tento typ úlohy pro využití při řešení lineárních rovnic či početních úloh, ovšem za podmínky, že výsledek bude možné zapsat pomocí konečného počtu číslic. 2.9 Jednoduchá vypočítávaná úloha V případě Jednoduché vypočítávané úlohy řeší student početní příklad, jehož číselné hodnoty jsou náhodně vybírány z předem dané množiny čísel. Správnou odpověd tvůrce úlohy zadává pomocí vzorce, do nějž Moodle dosadí dané číselné hodnoty, vypočítá správný výsledek a porovná jej se studentovou odpovědí. ( Příklad 2.12. Vypočtěte funkční hodnotu funkce f(x, y) = cos ) 9x (4+y) 2 v bodě ({x},{y}). (Počítejte v radiánech.) Znaky {x} a {y} slouží jako proměnné. Na jejich místo budou dosazena čísla vygenerovaná z předem určených intervalů. 40

Obrázek 28: Zadávání textu úlohy a možných odpovědí u Jednoduché vypočítávané úlohy; Příklad 2.12 Do pole Answer 1 formula se zapíše vzorec, pomocí kterého bude vypočítávána správná odpověd. Tento vzorec student neuvidí, slouží k tomu, že pomocí něj Moodle spočte výsledek a porovná jej s odpovědí, kterou zadal student. Sestavování vzorce se musí řídit určitými pravidly, jinak systém nebude schopen vypočítat podle něj výsledek. Proměnné se zadávají ve složených závorkách a není nutné ve vzorci využít všechny proměnné ze zadání. To například umožňuje zadat více údajů než je k výpočtu potřeba a tím mírně ztížit řešení příkladu. Veškeré operace je třeba podrobně rozepsat, například psát 2 (x+3) namísto 2(x+3). Kromě jednoduchých algebraických operací lze do vzorce vložit i složitější funkce. Jejich seznam je uveden v Tabulce 1 v Příloze. 41

V případě Příkladu 2.12 představuje jedinou komplikaci v zápisu vzorce mocnina. K jejímu zápisu se používá funkce pow(x,y), kde x představuje základ mocniny a y exponent. Hodnoty goniometrických funkcí jsou zde vypočítávány v radiánech, proto je poznámka o počítání v radiánech uvedena v zadání Příkladu 2.12. Dalším krokem je nastavení známky. Alespoň jedné z odpovědí musí být uděleno hodnocení 100%. Následuje volba odchylky. Funguje podobně jako v případě numerické odpovědi, ale umožňuje pokročilejší nastavení. Na výběr jsou dva typy odchylek. V případě nominální odchylky je jako odchylka bráno přímo námi zvolené číslo, kdežto relativní odchylka určuje, o kolik procent ze správného výsledku se může studentova odpověd od správného výsledku lišit. Pro ilustraci, bude-li správnou odpovědí číslo 8 a hodnota relativní odchylky bude činit 0.1 (tedy 10 %), vyhodnotí systém jako správnou odpověd kterékoliv číslo z intervalu 7,2;8,8. Pokud má být odchylkou desetinné číslo, je nutné namísto desetinné čárky použít tečku. V poli answer display lze nastavit, kolik číslic bude vypočítaný výsledek mít. Při zvolení možnosti platné číslice udává toto číslo celkový počet cifer výsledku, varianta desetinná místa určuje počet desetinných míst vypočítané odpovědi. Tímto je odpověd zadána. Je možné vytvořit i další odpovědi, například odpověd se stejným vzorcem, ale vyšší povolenou odchylkou od výsledku a nižší známkou, jako je tomu v případě druhé odpovědi v Příkladu 2.12. 42

Obrázek 29: Nastavení generování hodnot zástupných znaků u Jednoduché vypočítávané úlohy; Příklad 2.12 43

Nyní je potřeba kliknout na políčko Najít zástupné znaky {x...}, které se nachází ve vzorcích správných odpovědí. Systém zkontroluje, zda jsou všechny zástupné znaky ve vzorci odpovědi správně zapsány a umožní přejít k dalšímu kroku. Po rozkliknutí nabídky Parametry zástupných znaků použitých pro generování hodnot se objeví tabulka, ve které lze pro každou proměnnou zvolit, z jaké množiny bude generována, zda mají být generována celá nebo desetinná čísla a také případný počet desetinných míst. Následuje vygenerování hodnot zástupných znaků (proměnných). Lze zvolit vytvoření 1 100 sad hodnot zástupných znaků (variant úlohy). Pokud jich vygenerujeme například 10, vytvoří se 10 různých variant úlohy a z nich poté bude vybírána testová úloha pro studenta. Následující volba zobrazení hodnot zástupných znaků je nepovinná a slouží k překontrolování vygenerovaných číselných hodnot a případné ruční úpravě některé z nich. Tím je sestavení úlohy u konce. V náhledu se zobrazí například tak, jako na Obrázku 30. Obrázek 30: Náhled hotové Jednoduché vypočítávané úlohy; Příklad 2.12 Hlavní výhodou je, že z jedné verze úlohy lze jednoduše vytvořit libovolné množství variant s různými čísly. Kdybychom chtěli pomocí Numerické odpovědi vytvořit určitý počet úloh stejného typu jako je Příklad 2.12, znamenalo by to u každé z nich ručně zadat, v jakém bodě ji počítat. V případě Jednoduché vypočítávané odpovědi stačí pouze vygenerovat požadovaný počet zástupných znaků. 44

Největší nevýhodu představuje fakt, že systém nedokáže pracovat s podmínkami a definičními obory. V případě Příkladu 2.12 platí, že D f (x,y) = {(x,y) R 2 ;x R,y R\{ 4}}. Pokud však číslo 4 bude součástí množiny, z níž se budou generovat hodnoty proměnné y, může se stát, že se mezi vygenerovanými čísly objeví. Systém to však nevyhodnotí jako chybu a úlohu uloží. Při tvorbě Příkladu 2.13se upozornění nachybu sice objevilo (Obrázek 31), aleivtomto případěbylo možné úlohu bez problému uložit. V náhledu úlohy pak varianta, kde y nabývalo hodnoty 0 (a daná úloha tak neměla řešení), byla po zadání výsledku 0 vyhodnocena úloha jako správná a za její zodpovězení byl přidělen plný počet bodů (Obrázek 32). Při zadání jakéhokoliv jiného výsledku byla odpověd označena za nesprávnou. Aby k podobným případům nedocházelo, je nutné nejdříve určit definiční obor a následně při tvorbě úlohy vybrat takovou množinu pro generování hodnot proměnných, která nebude obsahovat hodnoty ležící mimo definiční obor dané funkce. Příklad 2.13. Určete funkční hodnotu funkce f(x,y) = x+3 2y v bodě ({x},{y}). Obrázek 31: Upozornění na chybu u Jednoduché vypočítávané úlohy; Příklad 2.13 45

Obrázek 32: Chybná odpověd vyhodnocená jako správná; Příklad 2.13 Jednoduchá vypočítávaná úloha nalezne uplatnění všude tam, kde lze úlohy řešit dosazováním do vzorců, například ve fyzice. V oblasti funkcí dvou proměnných není mnoho typů úloh, které se řeší tímto způsobem, snad jen výpočet funkční hodnoty v daném bodě, jak bylo předvedeno na Příkladu 2.12. 2.10 Vypočítávaná úloha V případě tohoto typu úlohy má student za úkol vyřešit početní příklad, jehož číselné hodnoty jsou náhodně vybírány z nějaké předem určené množiny. Velmi se podobá Jednoduché vypočítávané úloze, nabízí však možnost podrobnějšího nastavení generování zástupných znaků (hodnot proměnných). Při tvorbě úlohy se správné odpovědi zadávají pomocí vzorce, do kterého Moodle dosadí vygenerovaná čísla a výsledek poté porovná s tím, co zadal student. Podobně jako v případě Jednoduché vypočítávané úlohy je i zde možné při sestavování vzorce využít kromě jednoduchých algebraických operací také povolené funkce, jejichž seznam je uveden v Tabulce 1 v Příloze. Příklad 2.14. Vypočtěte délku hrany čtvercové podstavy kvádru, který má objem {V} centimetrů krychlových a jehož délka hrany, která je kolmá na podstavu, je {b} centimetrů. Délka hrany ase vypočítá pomocí vztahu a = V, kde V je objem kvádru a b b délkahranykolménapodstavu.domoodlusetentovzoreczadájako sqrt({v}/{b}), což lze vidět na Obrázku 33. 46

Obrázek 33: Zadání úlohy typu Vypočítávaná úloha; Příklad 2.14 V prvním kroku se tedy vyplní zadání úlohy a odpovědí (je možné zadat více než jednu odpověd ). Způsob zadávání se nijak neliší od Jednoduché vypočítávané úlohy. Poté se úloha uloží a zobrazí se stejná stránka jako na Obrázku 34. 47

Obrázek 34: Nastavení vlastností datových sad u Vypočítávané úlohy; Příklad 2.14 Jedná se o nastavení vlastností datových sad, ze kterých poté budou náhodně vybírány zástupné znaky. Pro každý zástupný znak lze zvolit, zda má jeho datová sada být vytvořena pouze pro tuto konkrétní úlohu (volba použije stejnou individuální sadu jako dříve ), nebo zda se má jednat o sdílenou sadu (volba použije novou sdílenou datovou sadu ). Sadu vytvořenou druhým způsobem by potébylomožnépoužítipřitvorbědalšíchvypočítávaných úloh,ukaždéznichby se hodnoty zástupných znaků vybíraly ze stejné datové sady. Ačkoliv se z názvu první možnosti může zdát, že bude použita nějaká dříve vytvořená datová sada, není tomu tak. Po zvolení této možnosti se skutečně vytvoří nová datová sada, název pouze odkazuje na to, že tato sada byla automaticky předběžně vytvořena. Následující možnost Synchronizovat data ze sdílených datových sad s dalšími úlohami v testu lze využít v případě, že bylo vytvořeno více typově podobných úloh. Každé z těchto úloh by pak byla přidělena stejná datová sada. Všechny tyto úlohyvšakmusíbýtumístěnyvestejnékategoriiúlohatakémusímítstejnýpočet datových sad. V případě Příkladu 2.14 byla zvolena možnost nesynchronizovat. 48

Obrázek 35: Úprava datových sad u Vypočítané úlohy; Příklad 2.14 Obrázek 36: Úprava datových sad u Vypočítané úlohy; Příklad 2.14 49

Posledním krokem je úprava datových sad (Obrázek 35 a 36). Zde se pro každý zástupný znak nastaví rozsah hodnot, ze kterého má být daný zástupný znak generován, dále se nastaví, kolik má mít vygenerovaná hodnota desetinných míst a poté se v poli distribuce zvolí, zda se mají vygenerované hodnoty řídit rovnoměrným nebo logaritmickým rozdělením. V případě rovnoměrného rozdělení budou hodnoty generovány rovnoměrně z celé množiny, u logaritmického rozdělení mají větší pravděpodobnost vygenerování hodnoty nacházející se poblíž spodní hranicezvolenémnožiny.umožnosti Pokračovatna Položkakpřidání jenutno zvolit vynucená regenerace zástupných znaků, které nejsou sdílené. Díky tomu bude vytvořena zcela nová sada zástupných znaků. Dalším krokem je volba počtu sad hodnot zástupných znaků. Je možné vytvořit 1 100 těchto sad. Poté se klikne na tlačítko přidat. Podobně jako v případě Jednoduché vypočítávané úlohy je možné vytvořené sady zobrazit a v případě potřeby vygenerované hodnoty ručně upravit. Tímto je tvorba úlohy u konce. Vytvořená úloha se v náhledu zobrazí například tak, jako na Obrázku 37. Obrázek 37: Hotová úloha typu Vypočítávaná odpověd ; Příklad 12 Stejně jako v případě Jednoduché vypočítávané úlohy je zde výhodou velká variabilita úlohy. Z jediné úlohy lze vygenerovat až 100 variant s různými číselnými hodnotami. Dále nabízí tento typ úlohy možnost sdílení datových sad, což může být praktické hlavně v případech, kdy je vytvořeno více typově podobných úloh, kterým je pak možné přidělit stejnou datovou sadu. Hlavní nevýhodou je poměrně komplikovaná tvorba úlohy. Vzhledem k tomu, že možnost dopodrobna nastavit vlastnosti datových sad a generování hodnot zástupných znaků není pro samotné sestavení úlohy (vytvoření možností řešení, 50

zadání vzorců pro výpočet) příliš důležitá, je výhodnější namísto Vypočítávané úlohy použít Jednoduchou vypočítávanou úlohu. V oblasti funkcí více proměnných se vyskytuje jen málo typů úloh, pro které by bylo možné vypočítávanou úlohu využít. Jedním z příkladů může být úloha na výpočet funkční hodnoty funkce v daném bodě. 2.11 Vypočítávaná úloha s více možnostmi Tato úloha v sobě kombinuje prvky Vypočítávané úlohy a Výběru z možných odpovědí. Student má na výběr z více možných odpovědí, číselné hodnoty těchto odpovědí jsou, stejně jako u Vypočítávané úlohy, vypočteny dosazením náhodně generovaných čísel z předem daných množin do jednotlivých vzorců. Tyto vzorce jsou sestavovány při vytváření dané úlohy. Do vzorců lze vkládat i některé funkce, jejich seznam je uveden v Tabulce 1 v Příloze. Příklad 2.15. Určetehustotutělesa (v kg m 3 ),kteréváží{a}kilogramůamáobjem {b} decimetrů krychlových. Obrázek 38: Zadávání úlohy typu Vypočítávaná úloha s více možnostmi; Příklad 2.15 51

Obrázek 39: Zadávání úlohy typu Vypočítávaná úloha s více možnostmi; Příklad 2.15 Nejdříve je potřeba zadat text úlohy a možné odpovědi (Obrázek 38 a 39). To se téměř neliší od způsobu zadávání u úlohy typu Výběr z možných odpovědí. Jednotlivé možnosti jsou zadávány pomocí vzorce a to ve tvaru {= vzorec pro výpočet}. Pokud se ve vzorci vyskytuje desetinné číslo, je nezbytné použít místo desetinné čárky tečku. Známky byly v tomto případě přiděleny stejně, jako u úloh typu Výběr z možných odpovědí, tedy tak, aby součet jednotlivých známek za všechny správné i špatné odpovědi byl roven nule. V případě Příkladu 2.15 byly možné odpovědi vytvořeny tak, aby byla zohledněna možnost, že student nepřevede jednotky a bude počítat přímo s čísly ze zadání (možnost 2, výsledek vychází v kg dm 3 ), případně je převede špatně (možnost kg 3, ). Správnou odpovědí je první varianta, která je počítána v kg. Takto by cm 3 m 3 mohlo vypadat jedno z možných využití Vypočítávané úlohy s více možnostmi. 52

Obrázek 40: Nastavení vlastností datových sad; Příklad 2.15 Následující volba nastavení vlastností datových sad (Obrázek 40) se nijak neliší od téhož nastavení známého z Vypočítávané úlohy, opět je zde možné vybrat si individuální nebo sdílenou datovou sadu a také to, zda se má daná sada synchronizovat s dalšími testovými úlohami. Protože byly jednotky kg a m 3 zapsány ve složených závorkách (aby se mohly v náhledu úlohy zobrazit formou zlomku), vyhodnotil je Moodle jako možné zástupné znaky. Zde stačí zvolit možnost, že se o zástupné znaky nejedná. 53

Obrázek 41: Úprava datových sad a odchylek u Vypočítávané úlohy s více možnostmi; Příklad 2.15 54

Obrázek 42: Úprava datových sad a nastavení generování hodnot zástupných znaků u Vypočítávané úlohy s více možnostmi; Příklad 2.15 Posledním krokem (Obrázek 41 a 42) je úprava nastavení datových sad, toto nastavení se opět podobá nastavení známému z Vypočítávané úlohy. Mimo to je zde v nabídce parametry tolerance odpovědí možné nastavit povolené odchylky od výsledku a to pro každou z možných odpovědí zvlášt. Nicméně zde nastavení odchylek nemá takový smysl jako u zbylých dvou vypočítávaných úloh, nebot zde student správný výsledek nezadává ručně (v tom případě by mohlo dojít k odchýlení od výsledku vypočteného Moodlem), ale vidí před sebou možné odpovědi, ze kterých volí správný výsledek či výsledky. Po volbě rozsahu hodnot zástupných znaků, případného nastavení odchylek a poté vygenerování sad hodnot zástupných znaků je úloha hotova a v náhledu se například tak, jako na Obrázku 43. 55

Obrázek 43: Náhled hotové Vypočítávané úlohy s více možnostmi; Příklad 2.15 Jednou z výhod je, stejně jako v případě předchozích dvou vypočítávaných úloh,variabilitazadání.úlohajestudentovi zobrazenapokaždésjinými číselnými hodnotami. Nevýhodou je zdlouhavý proces sestavení úlohy, což spolu s faktem, že je jen málo příkladů, pro které by použití této úlohy bylo vhodné, činí z Vypočítávané úlohy s více možnostmi nepříliš praktický typ testové otázky. Pro úlohy z oblasti funkcí více proměnných není Vypočítávaná úloha s více možnostmi příliš vhodná, jelikož zde není mnoho typů úloh, k jejichž vytvoření by ji bylo možné využít. Tato úloha se hodí pro úlohy podobného typu, jako je výše zmíněný Příklad 2.15, tedy fyzikální úlohy, kde jsou jednotlivé možnosti počítány v různých jednotkách. Jedním z dalších využití může být úloha, při jejímž výpočtu se většina studentů dopouští stejné početní chyby (například když při roznásobování závorky neberou ohled na případnou změnu znamének). V takovém případě by bylo vhodné vytvořit kromě správné odpovědi i další možnost obsahující právě onu typickou chybu. 2.12 Doplňovací úloha (cloze) Jedná se o speciální typ úlohy, do níž lze vložit libovolné množství podúloh typu Krátká tvořená odpověd, Numerická úloha či Výběr z možných odpovědí. Způsob zadávání úlohy je odlišný od zadávání ostatních typů úloh, dílčí podúlohy 56

je nutno zadat ve speciálním formátu. Je možné úlohy v tomto formátu zadat ručně nebo k tomu použít některý z dostupných programů či editorů. Program Cloze editor module se instaluje přímo do Moodlu jako plugin. Druhý program nese název Hot Potatoes a vyžaduje instalaci do počítače. Poslední možností je využít online editor zvaný Moodle CLOZE editor. Tato možnost se jeví jako nejvýhodnější, nebot není potřeba nic instalovat, úlohu lze vytvořit na libovolném počítači (a ne pouze na tom, který má nainstalován zmíněný software) a dokonce ani není nutné být přihlášen do Moodlu. Moodle CLOZE editor (Obrázek 44) lze nalézt na adrese [6]. Obrázek 44: Moodle CLOZE editor 57

Obrázek 45: Zde se vybírá typ úlohy a vyplňují možné odpovědi Po kliknutí na ikonu žlutého čtverce s otazníkem se otevře okno tvorby úlohy (Obrázek 45). Tam lze vybrat, jaký typ otázky má být vytvořen a poté už se zadává samotná úloha. Je možné vytvořit následující typy úloh: Short answer krátká tvořená odpověd Short answer (Case sensitivity) krátká tvořená odpověd, kde je nutno rozlišovat velká a malá písmena Dropdown menu in-line in the text výběr z možných odpovědí, kde se možnosti zobrazí po rozkliknutí rozbalovací lišty Vertical column of radio buttons výběr z možných odpovědí, kde jsou možné odpovědi vypsány pod sebou Horizontal row of radio-buttons výběr z možných odpovědí, kde jsou jednotlivé varianty odpovědí zobrazeny vedle sebe Numerical numerická úloha Průběh sestavování úlohy bude demonstrován na Příkladu 2.16, který je vytvořen ve formě Výběru z možných odpovědí. Oproti výběru z možných odpovědí 58

vytvořeného klasicky pomocí Moodlu může v tomto případě student označit jako správnou pouze jedinou odpověd. Při tvorbě úlohy lze vytvořit libovolné množství variant řešení, ze kterých poté student vybírá správnou odpověd. Jak již bylo řečeno, lze zvolit tři různé způsoby, jimiž má být tato úloha zobrazena. Ty jsou uvedeny na Obrázku 46. Obrázek 46: Varianty zobrazení Výběru z možných odpovědí U Příkladu 2.16 bude vytvořena varianta Výběru z možných odpovědí s rozbalovací lištou. Jelikož se Doplňovací úloha může skládat z libovolného počtu podúloh (je k tomu v podstatě určena, pro sestavení pouze jediné úlohy by totiž stačilo vytvořit ji klasickým způsobem přímo v Moodlu), bylo této možnosti využito i při tvorbě Příkladu 2.16. Jeho zadání vypadá následovně: Příklad 2.16. Přiřad te k sobě jednotlivé funkce a jejich vlastnosti. f(x,y) = sinx cosy (odpověd a) f(x,y) = x 2 y 2 +3 (odpověd b) f(x,y) = x+y (odpověd c) a) omezená b) na svém definičním oboru nabývá globálního maxima 59

c) rostoucí podle x na celém definičním oboru d) na svém definičním oboru nabývá globálního minima e) není spojitá Úloha se bude skládat ze tří podúloh typu Výběr z možných odpovědí, kde u každé z podúloh bude na výběr pět stejných možností. V testu se pak úloha zobrazí stejně jako úloha typu Přiřazování. Nabízí se otázka, zda by tímto způsobem nebylo možné vyřešit problém známý z přiřazovací úlohy, totiž že nelze vkládat odpovědi formou matematického zápisu. Ukázalo se, že to není možné ani v tomto případě, otázka s matematickým zápisem se sice v editoru vytvoří, avšak v Moodlu už ji není možné uložit ani zobrazit. Platí to pouze pro variantu Výběr z možných odpovědí s rozbalovací lištou variant řešení. Obrázek 47: Zadávání variant řešení pro úlohu typu Výběr z možných odpovědí; Příklad 2.16 Na Obrázku 47 je ukázka zadávání první ze tří úloh. Zbylé dvě se zadají analogicky, pouze se jako správná odpověd označí jiná varianta řešení. 60

Obrázek 48: Hotové varianty řešení pro úlohy typu Výběr z možných odpovědí; Příklad 2.16 Vytvořené úlohy vypadají tak, jako na Obrázku 48. V editoru byly vytvořeny pouze možné odpovědi, ne zadání úlohy. To bude doplněno až v Moodlu. Zadání lze dopsat i přímo v editoru, ale není to nezbytně nutné. 61

Obrázek 49: Zadávání Doplňovací úlohy v Moodlu; Příklad 2.16 62

Tyto úlohy se poté překopírují do pole Text úlohy v Moodlu, kde se k nim doplní zadání (Obrázek 49). Nyní je potřeba pomocí tlačítka Dekódovat a ověřit správnost úlohy zkontrolovat, zda je úloha správně zadána. Po provedení tohoto kroku si lze prohlédnout souhrn každé z podúloh. Poté se hotová úloha uloží. Obrázek 50: Náhled hotové Doplňovací úlohy; Příklad 2.16 Krátká tvořená odpověd a Numerická úloha se zde vytvoří podobným postupem, jaký byl naznačen výše. Obě se přitom řídí pravidly naznačenými v podkapitolách věnovaných přímo těmto typům úloh. K výhodám Doplňovací úlohy lze zařadit možnost vytvářet složitější struktury úloh s několika dílčími podúlohami. Příkladem takového využití může být úloha, kde by v zadání byla nějaká funkce více proměnných a student by měl za úkol vybrat ze seznamu její definiční obor(výběr z možných odpovědí), napsat, zda má tato funkce globální extrém a případně jaký (Krátká tvořená odpověd ) a uvést, jaká je její funkční hodnota v zadaném bodě (Numerická úloha). Jednou z nevýhod je složitější postup při zadávání této úlohy, kdy je nutné bud umět zapsat úlohu ve speciálním tvaru, nebo využívat externí programy a editory. Pro použití v matematice je značnou nevýhodou to, že má systém problémy se zobrazováním matematiky (toto neplatí pro zadání úloh, pouze pro varianty 63

odpovědí). U úlohy s rozbalovací lištou je matematický zápis zcela nefunkční, u zbylých dvou úloh typu Výběr z možných odpovědí tento problém do značné míry odpadá, ale není zde možné používat složené závorky ({}), nebot ty jsou zde používány k ohraničení samotného kódu úlohy a jsou-li použity v textu některé z možností řešení úlohy, má systém problémy rozlišit, kde daná úloha začíná a kde končí. U Doplňovací úlohy si je třeba zvyknout na odlišný způsob zadávání variant řešení, poté se z ní stane poměrně užitečný typ úlohy, který nalezne využití i v případě úloh z oblasti funkcí více proměnných. Jedinou překážku zde představují problémy s matematickým zápisem. 2.13 Popis V tomto případě se nejedná o úlohu, nýbrž o text, jehož prostřednictvím lze studentovi sdělit nějaké doplňující informace k úlohám či pokyny k řešení. Kromě samotného textu lze vložit do zadání i obrázek. V případě, že není nastaveno promíchávání otázek při tvorbě testu, lze popis využít mimo jiné ke sdělení pokynů a informací k úlohám, které budou následovat po něm. Podobně jako na Obrázku 51. Obrázek 51: Zadávání Popisu 64

Obrázek 52: Náhled hotového Popisu Zde Popis seznamuje studenta s podobou úloh, které budou následovat a také s tím, jak je řešit. Jedná se spíše o jakýsi doplněk k samotným otázkám, jehož využití je čistě volitelné a bez kterého se lze lehce obejít. Navíc jsou-li testové úlohy vybírány náhodně, nemůže Popis plnit funkci nastíněnou na Obrázku 51 a 52. V případě, že by bylo nutné dodat nějaké doplňující informace k úlohám a přitom bychom trvali na náhodnosti výběru otázek do testu, dal by se tento problém vyřešit přidáním dané informace přímo do zadání konkrétní úlohy. 65

3 Testové otázky k teorii funkcí dvou a více proměnných V této kapitole se budeme zabývat úlohami o funkcích více proměnných, které byly použity k testování studentů předmětů KMA/M2 v akademickém roce 2012/2013 a KMA/M1N v akademickém roce 2013/2014. Nejdříve se seznámíme s větami a definicemi, které byly při tvorbě těchto úloh využity. V další části budou úlohy rozděleny do skupin podle toho, jakou oblast znalostí funkcí více proměnných mají testovat. Poté budou představeny jednotlivé testové otázky a seznam správných odpovědí. 3.1 Použité věty a definice a [9]. Následující informace byly čerpány z [7]. Další informace je možné nalézt v [8] Definice 3.1. Zobrazení f množiny A R 2 do množiny R (zapisujeme f : A R) se nazývá reálná funkce dvou reálných proměnných (zkráceně budeme říkat jen funkce dvou proměnných). Čísla x,y se nazývají nezávisle proměnné. Číslo f(x,y) se nazývá funkční hodnota funkce f v bodě (x,y). Množina A R 2 se nazývá definiční obor funkce f a značíme ho D(f) nebo D f. Množina {y R;z = f(x,y),(x,y) D f } (tj. množina všech funkčních hodnot funkce f) se nazývá obor hodnot funkce f a značíme to H(f) nebo H f. Definice 3.2. Grafem funkce f nazýváme množinu {(x,y,f(x,y));(x,y) D f } R 3. Značíme ji G(f) nebo G f nebo graf f. Definice 3.3. Vrstevnicí funkce f o úrovni c nazýváme množinu {(x,y) D f ; f(x, y) = c}, tj. křivku v rovině (x, y), která vznikne jako pravoúhlý průmět průsečnicegrafufunkcef arovinyz = crovnoběžnésrovinou(x,y)(tj.vrstevnice 66

funkce f o úrovni c je množina všech bodů z D f, v nichž má funkce f funkční hodnotu c). Definice 3.4. Funkce f se nazývá konstantní na M R 2, jestliže (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ) M platí f(x 1,y 1 ) = f(x 2,y 2 ), tj. jestliže existuje konstanta a R tak, žef(x,y) = aprovšechna (x,y) M.Funkcef definovanápředpisemf(x,y) = 0 pro všechna (x,y) M se nazývá nulová na M. Definice 3.5. Funkce f se nazývá omezená shora na M, jestliže k R tak, že f(x,y) k (x,y) M. omezená zdola na M, jestliže l R tak, že f(x,y) l (x,y) M. omezená na M, jestliže je na M omezená shora i zdola zároveň. Věta 3.1. Funkce f je omezená na M R 2 právě tehdy, když K R + tak, že f(x,y) K pro všechna (x,y) M, tj. právě tehdy, když K f(x,y) K (x,y) M. Definice 3.6. Necht (x 0,y 0 ) M R 2. Číslo f(x 0,y 0 ) se nazývá globálním maximem (resp. globálním minimem) funkce f na M, jestliže f(x,y) f(x 0,y 0 ) (x,y) M (resp.f(x,y) f(x 0,y 0 ) (x,y) M). Značíme f(x 0,y 0 ) = max f(x,y) = max{f(x,y);(x,y) M}, (x,y) M (resp.f(x 0,y 0 ) = min f(x,y) = min{f(x,y);(x,y) M}). (x,y) M Globální maxima a globální minima funkce f na M nazýváme souhrnně globálními (absolutními) extrémy funkce f na M. 67

Definice 3.7. Necht M = D f D g. Potom součtem funkcí f a g nazveme funkci f +g takovou, že (f +g)(x,y) = f(x,y)+g(x,y) (x,y) M, rozdílem funkcí f a g nazveme funkci f g takovou, že (f g)(x,y) = f(x,y) g(x,y) (x,y) M, součinem funkcí f a g nazveme funkci f g takovou, že (f g)(x,y) = f(x,y) g(x,y) (x,y) M, podílem funkcí f a g (v tomto pořadí) nazveme funkci f g takovou, že ( ) f (x,y) = f(x,y) g g(x, y) (x,y) M\{(x,y) D g ;g(x,y) = 0}, absolutní hodnotou funkce f nazveme funkci f takovou, že f (x,y) = f(x,y) (x,y) D f. Definice 3.8. Necht jsou dány funkce f, g a h s definičními obory D f, D g a D h. Jestliže pro všechna (x,y) M D g D h platí, že (g(x,y),h(x,y)) D f, pak se funkce F definovaná na množině M předpisem F(x,y) = f(g(x,y),h(x,y)) (x,y) M nazývá funkce složená z funkcí f, g a h (přitom D F = M a H F H f ). Definice 3.9. Elementární funkcí dvou proměnných nazýváme funkci, kterou lze vytvořit ze základních elementárních funkcí jednotlivých proměnných užitím konečného počtu algebraických operací a skládání. Definice 3.10. Zobrazení f množiny M R 3 do množiny R se nazývá reálná funkce tří reálných proměnných, zapisujeme f = f(x,y,z). 68

3.2 Rozdělení testových úloh do skupin Následující informace byly čerpány z [10] a [11]. V následujícím textu budou testové úlohy rozděleny do skupin podle toho, jaké znalosti jsme jimi chtěli testovat. Každá z těchto skupin bude stručně popsána a také budou vybrány zástupné příklady, na nichž bude demonstrováno, jak se studentům dařilo potřebné znalosti aplikovat. K hodnocení obtížnosti dané úlohy byl použit ukazatel zvaný facility index. Ten se vypočítá pomocí následujícího vztahu: F p = 100 x p x p (min) x p (max) x p (min), (1) kde x p je průměr známek za danou úlohu, x p (min) nejnižší známka a x p (max) nejvyšší známka. Čím vyšší je hodnota facility indexu pro danou úlohu, tím byla úloha pro studenty jednodušší. Pokud se hodnota facility indexu pohybuje v rozmezí 35 64 procent, jedná se o úlohu, která není ani příliš snadná, ani příliš složitá. V následujícím textu se zaměříme převážně na úlohy, s velmi vysokým, nebo naopak velmi nízkým facility indexem. Pro test k funkcím dvou a více proměnných máme k dispozici dva soubory dat (z předmětů KMA/M2 z akademického roku 2012/2013 a KMA/M1N z akademického roku 2013/2014). U každé úlohy bude uvedeno, která skupina dat byla při jejím rozboru použita. 3.2.1 Určování definičního oboru První část této skupiny tvoří otázky 1 4, 6 10 a 13 15. Jejich cílem bylo otestovat, zda studenti dokáží správně určit definiční obory různých funkcí dvou proměnných. Mimo to lze těmito otázkami zjistit, do jaké míry studenti zvládají úpravu algebraických výrazů či řešení rovnic a nerovnic. Rovněž bylo zjišt ováno, zda se studenti dokáží orientovat v různých způsobech zápisu definičních oborů. V těchto úlohách bylo často správně více odpovědí, které se lišily právě tím, jakým způsobem byl daný definiční obor zapsán. 69

Druhá část úloh je tvořena otázkami 39 47. Zde byla opět testována znalost definičních oborů funkcí dvou proměnných, ale na rozdíl od úloh z první skupiny zde neměli studenti za úkol přiřadit správný definiční obor k dané funkci, ale vybrat ze seznamu ty funkce dvou proměnných, pro něž platilo D f = R 2. Úloha 3: Určete definiční obor funkce f(x,y) = log(x y). a) {(x,y) R 2 ;y > x} b) {(x,y) R 2 ;x > y} (správná odpověd ) c) {(x,y) R 2 ;y x} d) {(x,y) R 2 ;x y} Z těchto úloh získala nejvyšší facility index úloha číslo 3 (84,62 % u KMA/M2 a 87,76 % u KMA/M1N). Při následujícím výkladu budeme vycházet z dat získaných z předmětu KMA/M1N. Úloha zde byla zobrazena a řešena 49krát. Správná odpověd b) byla vybrána 41krát, odpověd a) dvakrát, 3 studenti vybrali zároveň možnosti a) a b) a ve třech případech byla úloha ponechána bez odpovědi. Studenti, kteří zvolili současně varianty a) a b) patrně přehlédli, že v žádném případě nelze dosáhnout toho, aby byly tyto dvě podmínky splněny zároveň. Cílem úlohy bylo určit definiční obor funkce f(x,y) = log(x y). Šlo zde o vyřešení jednoduché nerovnice (x y > 0, po úpravě x > y), se kterou si většina studentů bez problémů poradila. Úloha 7: Určete definiční obor funkce f(x,y) = ln(1 1 e x+y ). a) {(x,y) R 2 ;x R,y R} b) {(x,y) R 2 ;x y} (správná odpověd ) c) {(x,y) R 2 ;x > 0,y 0, )} d) {(x,y) R 2 ;x > y} 70

Úloha číslo 7 byla naopak pro studenty předmětu KMA/M1N spíše obtížná (facility index 35,61 %). Otázka byla tažena celkem 44krát. Správnou odpověd b) zvolilo 15 studentů. Možnost a) vybralo 8 studentů. Ti sice správně určili podmínku pro zlomek 1 e x+y, ale už si neuvědomili, že je tento zlomek součástí argumentu logaritmické funkce a že pro celý tento argument musí být větší než 0. 12 studentů zvolilo jako správnou možnost d), přestože tato podmínka pro definiční obor nedává příliš velký smysl. 3.2.2 Určení funkční hodnoty funkce v daném bodě Do této skupiny patří úlohy 5, 11 a 12. Pomocí těchto úloh bylo zkoumáno, zda studenti dokáží správně vypočítat danou funkční hodnotu a zda si poradí i v případě neexistence funkční hodnoty v daném bodě. Úloha 12: Určete funkční hodnotu funkce f(x,y) = 1 2+log(y 2x) a) 1 v bodě (2,3). b) 1 2 c) 1 4 d) V bodě (2, 3) není funkce f definována. (správná odpověd ) Úlohy z této kategorie mají facility index střední a vyšší, jedná se tedy o spíše jednoduchý typ úlohy. Jako zástupný příklad byla zvolena úloha číslo 12 (facility index 84,21 %), data jsou získána od studentů předmětu KMA/M1N. Otázka se v testech objevila 38krát. Správnou odpověd d), tedy že funkční hodnota v daném bodě neexistuje, zvolilo 32 studentů. Další 2 vybrali možnost b), jedenkrát byla zvolena možnost c) a ve dvou případech nebyla úloha zodpovězena. Ukázalo se, že vypočítání funkční hodnoty funkce dvou proměnných v daném bodě nečiní studentům žádné větší problémy. 71

3.2.3 Teoretické otázky Jedná se o úlohy číslo 16, 17, 24 29 a 33. Jejich cílem bylo zjistit, jak se studenti orientují v teorii funkcí dvou proměnných. Úloha 28: Podílem funkcí α(x,y) a β(x,y) je funkce γ(x,y) = α(x,y) β(x,y), kde a) α(x,y) 0 (x,y) D α b) β(x,y) 0 (x,y) D β (správná odpověd ) c) γ(x,y) 0 (x,y) D γ d) α(x,y) 0 β(x,y) 0 (x,y) D α D β Nejvyšší facility index ze skupiny teoretických úloh získala otázka 28(90,12%, KMA/M1N). Prostřednictvím této úlohy byla testována znalost definice podílu funkcí dvou proměnných. Podle hodnoty facility indexu se jedná o příliš snadnou úlohu, zřejmě by bylo lepší ji naformulovat jiným způsobem. Otázka byla tažena celkem 54krát, správně odpovědělo 49 studentů. Úloha 29: Množina všech uspořádaných dvojic (x,y) R 2, v nichž funkce f(x,y) má funkční hodnotu se nazývá a) definiční obor funkce f(x, y). (správná odpověd ) b) obor hodnot funkce f(x,y). c) graf funkce f(x,y). Nejnižší facility index (34,78%, test k předmětu KMA/M2) má úloha číslo 29. Byla tažena celkem 23krát. Správnou odpověd a) zvolilo 8 studentů. Odpověd b) byla vybrána 7krát. Možnost c) zvolili pouze 2 studenti, 6 studentů nechalo úlohu nevyplněnou. Cílem této úlohy bylo otestovat znalost základních pojmů vztahujících se k funkcím dvou proměnných. Podle výsledných odpovědí se zdá, že 72

tyto základní pojmy dělají studentům problémy. 7 z nich považovalo za správnou odpověd obor hodnot, patrně si neuvědomili, že oborem hodnot může být pouze množina R nebo nějaká její část, nikdy ne množina R 2. 3.2.4 Obor hodnot funkce dvou proměnných Na úlohách 18 23 bylo testováno, jak studenti rozumějí pojmu obor hodnot, zda si uvědomují, že funkce je zobrazením nějaké množiny M (ta může být podmnožinour,r 2,R 3,případněobecněR n )domnožiny R.Tedyženezávisle na tom, kolik proměnných daná funkce má, bude její obor hodnot vždy podmnožinou R. Studenti měli v případě těchto úloh za úkol určit, které z nabízených množin mohou být oborem hodnot nějaké funkce dvou proměnných. Úloha 20: Oborem hodnot funkce dvou a více proměnných může být a) celá množina R. (správná odpověd ) b) libovolná podmnožina R 2. c) množina všech kladných reálných čísel. (správná odpověd ) d) interval (e, 2. Úloha číslo 20 získala v testování v předmětu KMA/M2 nejnižší facility index (28,57 %). V testech se objevila celkem 21krát. Správnou odpověd, tedy možnosti a) a zároveň c), zvolilo 5 studentů. 7 studentů nechalo tuto úlohu bez odpovědi, 5 studentů označilo jako správnou možnost b). Tito studenti si nejspíše neuvědomili, žeoborhodnotnemůže být podmožinour 2.4krátbyla jakosprávná zvolena možnost d) (at už samostatně, nebo v kombinaci s dalšími odpověd mi). Interval zapsaný tímto způsobem však nemůže existovat, hodnota Eulerova čísla je totiž vyšší než 2. Jedná se však spíše o chybu z nepozornosti. 73

3.2.5 Vlastnosti funkcí dvou proměnných Součástí této skupiny úloh jsou otázky 30 32, 34 38 a 65 122. Jejich cílem bylo otestovat znalost vlastností funkcí dvou proměnných. Byl kladen důraz na rozlišení vlastností, které jsou určovány pouze u funkcí jedné proměnné a těch, které se určují i u funkcí více proměnných. Úlohy 30 32 zkoumají teoretickou znalost vlastností funkcí dvou proměnných. Cílem úloh 34 38 bylo zjistit, zda je student schopen určit vlastnosti nějaké funkce na základě jejího funkčního předpisu a u otázek 65 122 byla testována schopnost určit vlastnosti dané funkce na základě jejího grafického znázornění. Úloha 81: Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 + y 2. Vyberte nepravdivá tvrzení o této funkci. a) Je konstantní. (správná odpověd ) b) V bodě (0,0) má globální minimum. c) Vrstevnice funkce f o úrovni 3 je neprázdná množina. d) Jejím oborem hodnot je množina R + 0. Zde byla pro obě úlohy použita data získaná z předmětu KMA/M1N. Nejvyšší facility index má úloha číslo 81 (87,94 %). Byla tažena celkem 47krát. Správnou odpověd a) zvolilo 37 studentů. Dalších 7 odpovědělo částečně správně (kromě odpovědi a) vybrali i jinou možnost nebo možnosti). Dva studenti nechali úlohu 74

bez odpovědi. Na této úloze bylo ukázáno, že studenti rozumějí pojmu konstantní funkce a že dokáží na základě grafu funkce poznat, zda je či není daná funkce konstatní. Úloha 90: Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 + y 2. Vyberte nepravdivá tvrzení o této funkci. a) Funkční hodnota v bodě ( 2, 6) neexistuje. (správná odpověd ) 3 b) Jejím oborem hodnot jsou všechna nezáporná reálná čísla. c) Vrstevnice funkce f o úrovni 3, 9 je prázdná množina. d) Je rostoucí vzhledem k x. (správná odpověd ) Nejnižší facility index (30,39 %) získala úloha číslo 90. V testech se objevila 51krát. Dvojici správných odpovědí a) a d) zvolilo pouhých 6 studentů. 12 studentů vybralo možnost d), tato odpověd je však správná pouze zčásti. Ukázalo se, že studenti vědí, jak vypadá funkce rostoucí podle x a v tomto případě správně uvedli, že se o funkci s touto vlastností nejedná. Tvrzení c) bylo označeno za nepravdivé celkem v 18 případech (samostatně i v kombinaci s jinými variantami). Je možné, že studenti nerozumějí pojmu vrstevnice funkce, případně si neuvědomují, že funkce f(x,y) = x 2 +y 2 vrstevnici o úrovni 3,9 vůbec nemá, protože tato hodnota není součástí jejího oboru hodnot. Také může být důvodem časté volby možnosti c) to, že studenti omylem vybírali pravdivé tvrzení namísto nepravdivého. 75

3.2.6 Elementární funkce dvou proměnných Cílem úloh 48 64 bylo otestovat znalost pojmu elementární funkce dvou proměnných a schopnost uplatnit tuto znalost v praktických úlohách. V případě této skupiny úloh bylo studentovým úkolem vybrat ze seznamu elementární (případně neelementární) funkce dvou proměnných. Úloha 49: Určete, které z následujících funkcí nepatří mezi elementární funkce dvou proměnných. a) f(x,y) = cosx+sgny (správná odpověd ) b) f(t,u) = lnu u 2 +3t c) f(x) = x 2 16+ tgx+3 ln e (správná odpověd ) d) f(x,y) = sinx+cosy e) f(x,y) = 2 x ln(y +tg(3x)) Nejnižší facility index zde získala úloha číslo 49(30,56%, předmět KMA/M2). Vylosována byla celkem 30krát. 10 studentů ponechalo úlohu nezodpovězenou. Správnou odpovědí byly možnosti a) a c), tato varianta byla zvolena celkem 4krát. Varianta a) samotná byla vybrána 5krát, studenti správně uvedli, že funkce signum není elementární funkcí. Možnost b) byla vybrána 5krát, pravděpodobně studenty zmátlo to, že zde nebyly použity obvykle používané proměnné x a y. Varianta e) byla zvolena v pěti případech. Varianta c) představuje funkci jedné proměnné, přesto studenti tuto možnost málokdy volili jako řešení této úlohy. Zvládli určit, že mezi elementární funkce dvou proměnných nepatří funkce signum (možnost a)), ale určit také funkci f(x) = x 2 16+ tgx+3 ln e (která je elementární funkcí pouze jedné proměnné, ne dvou) jim činilo problémy. 76

Úloha 54: Určete, které z následujících funkcí nepatří mezi elementární funkce dvou proměnných. a) f(x,y) = sgn(y x) (správná odpověd ) b) f(x) = x 3 +3π log2x (správná odpověd ) c) f(x,y) = x 9 e x 2y d) f(x,y) = sin( 1 x 2 3 )+cos(4+y 9x 2 ) e) f(x,y) = arctg( cos3x) 2y e +4π Druhá vybraná úloha číslo 54 má facility index přesně 50 %. Mělo by se tedy jednat o úlohu, jejíž obtížnost je optimální, o takovou, která není ani příliš složitá, ani příliš snadná. Vylosována byla ve 28 případech. Správnou odpověd, tedy kombinaci možností a) a b) zvolilo 8 studentů. Částečně správnou odpověd (pouze možnost a)) uvedlo 5 studentů, samostatná možnost b) byla vybrána 4krát. Ve čtyřech případech byla úloha ponechána bez odpovědi. 3.2.7 Pojem zobrazení Prostřednictvím úloh 123 134 byla v širším měřítku testována znalost pojmu zobrazení, konkrétněji to zda daný útvar (znázorněný graficky) může být definičním oborem, oborem hodnot nebo grafem nějaké funkce jedné, dvou nebo tří proměnných. 77

Úloha 129: Co je na obrázku? a) Graf nějaké funkce dvou proměnných. b) Graf nějaké funkce tří proměnných. c) Definiční obor nějaké funkce tří proměnných. (správná odpověd ) d) Nějaká podmnožina R 3. (správná odpověd ) Úloha číslo 129 získala nízký facility index (32,14 %, předmět KMA/M1N). V testech se objevila 42krát. Správnou odpověd, tedy kombinaci možností c) a d) zvolilo 8 studentů. 9krát byla vybrána možnost c). Za správnou odpověd byla označena častěji než varianta d), studenti tedy vědí, jak může vypadat definiční obor funkce tří proměnných, ale představit si podmnožinu prostoru R 3 jim působí potíže. 5krát se objevila kombinace možností b) a d), studenti, kteří vybrali možnost b) si patrně neuvědomili, že graf funkce tří proměnných je podmnožinou R 4. Často se mezi odpověd mi vyskytovala i možnost a), objevila se 6krát samostatně a 4krát v kombinaci s možností c). Útvar na obrázku však nesplňuje podmínky pro to, aby mohl být grafem funkce dvou proměnných (uspořádaným dvojicím (x,y) D f je zde přiřazena více než jedna funkční hodnota). Tito studenti prokázali neznalost pojmu definiční obor funkce dvou proměnných. 78

3.2.8 Způsob zápisu funkce dvou proměnných Poslední skupinu tvoří úlohy 135 138. Jejich cílem bylo ověřit, zda studenti dokáží poznat funkce dvou proměnných zadané v jiném než explicitním tvaru. Úloha 136: Určete, ve kterých případech se jedná o funkci dvou proměnných. a) f(x,y,z) = x 2 +sin( y z 4 ) b) f(x,y) = lnx+3y 2 (správná odpověd ) c) z x 3 + y2 y+5 = 0 (správná odpověd ) d) x = p 3 y = q e p p 3,5,q 0,2 (správná odpověd ) Úloha 136 získala v testu k předmětu KMA/M2 facility index 43,33 %. Mělo by se tedy jednat o úlohu, jejíž obtížnost není ani vysoká, ani nízká. V testu se objevila 30krát. Pouze 2 studenti uvedli jako správnou odpověd možnosti b), c) a d).částečně správná odpověd b), d)seobjevila v9případech. Zdáse, žestudenti poznají funkci dvou proměnných zapsanou v explicitním a parametrickém tvaru, ale implicitní tvar funkce jim činí potíže. Odpověd b) byla uvedena 8krát. 7 studentů ponechalo úlohu bez odpovědi. Varianta a) nebyla zvolena ani jednou, studenti správně poznali, že se nejedná o funkci dvou proměnných. 3.3 Seznam testových otázek k teorii funkcí dvou a více proměnných 1. Určete definiční obor funkce f(x,y) = e x y+3 x 16. (a) {(x,y) R 2 ;x 16,y 3} (b) {(x,y) R 2 ;x > 16,y R\{3}} (c) {(x,y) R 2 ;x (16, ),y (, 3) ( 3, )} 79

(d) {(x,y) R 2 ;x R\{16},y R\{ 3}} (e) {(x,y) R 2 ;x (,16) (16, ),y 3} 2. Určete definiční obor funkce f(x,y) = ln( 2 e xy ). (a) {(x,y) R 2 ;x 0,y R} (b) {(x,y) R 2 ;x R,y 0} (c) {(x,y) R 2 ;x R\{0},y 0} (d) {(x,y) R 2 ;x R,y R} (e) {(x,y) R 2 ;x y} 3. Určete definiční obor funkce f(x,y) = log(x y). (a) {(x,y) R 2 ;y > x} (b) {(x,y) R 2 ;x > y} (c) {(x,y) R 2 ;y x} (d) {(x,y) R 2 ;x y} 4. Určete definiční obor funkce f(x,y) = e ln(y x). (a) {(x,y) R 2 ;x > y} (b) {(x,y) R 2 ;y > x} (c) {(x,y) R 2 ;y x} (d) {(x,y) R 2 ;x R,y R} (e) {(x,y) R 2 ;x y} 5. Určete funkční hodnotu funkce f(x,y) = ln(x+y) v bodě ( 5,6). (a) 0 (b) 1 80

(c) V bodě ( 5, 6) není funkce definována. (d) e 6. Určete definiční obor funkce f(x,y) = 1 x 2 y 2. (a) {(x,y) R 2 ;x y,y x} (b) {(x,y) R 2 ;y x,y x} (c) {(x,y) R 2 ;x > y} (d) {(x,y) R 2 ; y < x < y} 7. Určete definiční obor funkce f(x,y) = ln(1 1 e x+y ). (a) {(x,y) R 2 ;x R,y R} (b) {(x,y) R 2 ;x y} (c) {(x,y) R 2 ;x > 0,y 0, )} (d) {(x,y) R 2 ;x > y} 8. Určete definiční obor funkce f(x,y) = 1 x 3 y+2. (a) {(x,y) R 2 ;x (,0) (0, ),y > 2} (b) {(x,y) R 2 ;x R\{0},y < 2} (c) {(x,y) R 2 ;x 0,y 2, )} (d) {(x,y) R 2 ;x 0,y (, 2)} (e) {(x,y) R 2 ;x R\{0},y ( 2, )} 9. Určete definiční obor funkce f(x,y) = sin( 1 x 2 3 )+cos( 9x (4+y) 2 ). (a) {(x,y) R 2 ;x R\{3},y 4} (b) {(x,y) R 2 ;x 3,x 3,y R\{4}} (c) {(x,y) R 2 ;x (, 3) ( 3,3) (3, ),y 4} 81

(d) {(x,y) R 2 ;x R\{ 3, 3},y (, 4) ( 4, )} (e) {(x,y) R 2 ;x 3,x 3,y R\{ 4,4}} 10. Určete definiční obor funkce f(x,y) = e x y 2 x+e. (a) {(x,y) R 2 ;x e 2,y 0, )} (b) {(x,y) R 2 ;x e 2,y > 0} (c) {(x,y) R 2 ;x (,e+2) (e+2, ),y 0} (d) {(x,y) R 2 ;x 2+e,y 0} (e) {(x,y) R 2 ;e x 2,y (0, )} 11. Určete funkční hodnotu funkce f(x,y) = ln( x y 5 ) e3 y+4 v bodě (12,7). (a) 1 (b) 0 (c) 1 (d) V bodě (12,7) není funkce f definována. 12. Určete funkční hodnotu funkce f(x, y) = (a) 1 1 2+log(y 2x) v bodě (2,3). (b) 1 2 (c) 1 4 (d) V bodě (2,3) není funkce f definována. 13. Ke které z funkcí patří následující definiční obor? D f = {(x,y) R 2 ;y 2 > x 5}. (a) f(x,y) = log 3 (y 2 x+5) (b) f(x,y) = ln(5 x+y 2 ) 82

(c) f(x,y) = y 2 +5 x (d) f(x,y) = x x 5 y 2 14. Ke které z funkcí patří následující definiční obor? D f = {(x,y) R 2 ;x 2 < y +2}. (a) f(x,y) = log(y +2 x 2 ) (b) f(x,y) = 4y x 2 2+y 1 (c) f(x,y) = 2 x 2 +y (d) f(x,y) = e sinx x 2 y+2 15. Určete definiční obor funkce f(x,y) = 2x xlny. (a) {(x,y) R 2 ;x (0, ),y > 0} (b) {(x,y) R 2 ;x 0,y (0, )} (c) {(x,y) R 2 ;x > 0,y (0,1) (1, )} (d) {(x,y) R 2 ;x 0,y (1, )} (e) {(x,y) R 2 ;x (0, ),y R + \{1}}. 16. Kdy je funkce f omezená na svém definičním oboru? (a) Když k R tak, že f(x,y) k (x,y) D f. (b) Pokud existuje reálné číslo k takové, že pro každé (x,y) D f platí k f(x,y) k. (c) V případě, že existuje k R takové, že f(x,y) k (x,y) D f. (d) Jestliže k R tak, že f(x,y) k (x,y) D f. 17. Kdy je funkce f omezená na svém definičním oboru? (a) Když k R tak, že f(x,y) k (x,y) D f. 83

(b) Pokud k R takové, že f(x,y) k (x,y) D f. (c) Existuje-li k R tak, že (x,y) D f platí, že f(x,y) k. (d) Jestliže k R tak, že f(x,y) < k (x,y) D f. 18. Oborem hodnot funkce dvou a více proměnných je vždy (a) celá množina R. (b) kladná poloosa množiny reálných čísel. (c) množina R nebo její část. (d) množina všech (x,y) R 2, v nichž má funkce funkční hodnotu. 19. Oborem hodnot funkce dvou a více proměnných je vždy (a) R 2 nebo její libovolná podmnožina. (b) množina racionálnch čísel. (c) množina R nebo nějaká její část. (d) množina bodů z R 2, v nichž funkce nabývá funkční hodnoty. 20. Oborem hodnot funkce dvou a více proměnných může být (a) celá množina R. (b) libovolná podmnožina R 2. (c) množina všech kladných reálných čísel. (d) interval (e, 2. 21. Oborem hodnot funkce dvou a více proměnných může být (a) libovolná podmnožina R. (b) nějaká část množiny reálných čísel. (c) množina všech reálných čísel menších než 5. 84

(d) množina R. 22. Oborem hodnot funkce dvou a více proměnných může být (a) nějaká část množiny R 2. (b) množina reálných čísel z intervalu 12, ). (c) libovolná podmnožina R. (d) množina všech záporných přirozených čísel. 23. Oborem hodnot funkce dvou a více proměnných je vždy (a) interval (9, 75. (b) R nebo M R. (c) množina nezáporných reálných čísel. (d) množina racionálních čísel nebo její libovolná část. 24. Kdy je funkce f omezená na svém definičním oboru? (a) Pokud k R takové, že k f(x,y) k platí (x,y) D f. (b) Existuje-li k R takové, že f(x,y) k (x,y) D f. (c) Jestliže k R (x,y) D f tak, že f(x,y) k. (d) Když pro každé (x,y) D f existuje reálné číslo k tak, aby platilo f(x,y) k. 25. Definiční obor funkce dvou proměnných je množina všech uspořádaných dvojic (x,y) R 2 takových, že v nich funkce nabývá... jedné funkční hodnoty. (a) nejvýše (b) právě (c) alespoň 85

26. Definičním oborem funkce tří proměnných je množina všech uspořádaných trojic (x,y,z) R 3 takových, že v nich funkce nabývá... jedné funkční hodnoty. (a) nejvýše (b) právě (c) alespoň 27. Obor hodnot funkce tří proměnných je podmnožinou (a) R (b) R 2 (c) R 3 28. Podílem funkcí α(x,y) a β(x,y) je funkce γ(x,y) = α(x,y) β(x,y), kde (a) α(x,y) 0 (x,y) D α (b) β(x,y) 0 (x,y) D β (c) γ(x,y) 0 (x,y) D γ (d) α(x,y) 0 β(x,y) 0 (x,y) D α D β 29. Množina všech uspořádaných dvojic (x,y) R 2, v nichž funkce f(x,y) má funkční hodnotu se nazývá (a) definiční obor funkce f(x, y). (b) obor hodnot funkce f(x, y). (c) graf funkce f(x,y). 30. Které z následujících vlastností neurčujeme u funkcí dvou proměnných? (a) rostoucí vzhledem k x 86

(b) spojitost (c) periodičnost (d) omezenost 31. Které z následujících vlastností lze určit u funkcí dvou proměnných? (a) spojitost (b) omezenost (c) maximum (d) monotónnost 32. Které z následujících vlastností lze určit u funkcí dvou proměnných? (a) minimum (b) spojitost (c) periodičnost (d) parita 33. Funkce dvou proměnných, kterou lze vytvořit ze základních elementárních funkcí jednotlivých proměnných pomocí konečného počtu skládání a algebraických operací se nazývá (a) elementární. (b) složená. (c) spojitá. 34. Které z následujících vlastností má funkce f(x,y) = sin(x+y)? (a) omezená (b) lichá (c) sudá 87

(d) rostoucí vzhledem k x 35. Které z následujících vlastností má funkce f(x, y) = cos(xy)? (a) shora omezená (b) sudá (c) lichá (d) zdola omezená 36. Které z následujících vlastností má funkce f(x,y) = e 3x+2y? (a) zdola omezená (b) omezená (c) rostoucí (d) Vrstevnice funkce f o úrovni 8 je neprázdná množina. 37. Určete vlastnosti funkce f(x,y) = ln(x+y). (a) neomezená (b) zdola omezená (c) rostoucí (d) klesající 38. Určete, co platí pro funkci f(x,y) = arctg( x2 6y π ). (a) omezená (b) rostoucí (c) D f = R 2 (d) H f = R 88

39. U které z následujících funkcí je definičním oborem celá množina R 2? (a) f(x,y) = e ln(5x y) (b) f(x,y) = 1 y 2 x 2 (c) f(x,y) = 2x 4 cos(y +e x ) (d) f(x,y) = sinx y 2 (e) f(x,y) = arctg(x 3y) 40. U které z následujících funkcí je definičním oborem celá množina R 2? (a) f(x,y) = 1 e 2 +x 2 +y 2 sin(5x) (b) f(x,y) = 1 arccotg(x) +y 3 (c) f(x,y) = 3 y x (d) f(x,y) = sin(e x y ) (e) f(x,y) = e log 10 (y2 + x 4 ) 41. U které z následujících funkcí je definičním oborem celá množina R 2? (a) f(x,y) = sin(4y) x 3 (b) f(x,y) = y 3 ln(1+x 2 ) (c) f(x,y) = ey arccotg x (d) f(x,y) = 3 log 3 (xy) (e) f(x,y) = 1 x 3 +y 3 42. U které z následujících funkcí je definičním oborem celá množina R 2? (a) f(x,y) = e 3y +x 2 (b) f(x,y) = 1 3x 2 +y 4 (c) f(x,y) = 8 ln(x+y) 89

(d) f(x,y) = x 6 y (e) f(x,y) = sin( π 2 x) ln(1+y2 ) 43. U které z následujících funkcí je definičním oborem celá množina R 2? (a) f(x,y) = 5y3 6 tg(π 4 )+2x (b) f(x,y) = sin(πx) 2x 4 +y 2 (c) f(x,y) = e ln(2x+3y2 ) (d) f(x,y) = 5x y 2 (e) f(x,y) = tg(x) arctg(y) 44. U které z následujících funkcí je definičním oborem celá množina R 2? (a) f(x,y) = 3x x 2 +y 2 +0,3 (b) f(x,y) = 3y 2 log 2 (x+5) (c) f(x,y) = y 2 arctg(2x+4) (d) f(x,y) = 1 x 3y (e) f(x,y) = 2y sin 2 ( x 4 ) 45. U které z následujících funkcí je definičním oborem celá množina R 2? (a) f(x,y) = 1 3 x +2x 2 5y (b) f(x,y) = 2 ln(x+3y2 x) (c) f(x,y) = x 5 x 2 +2y 3 (d) f(x,y) = 2y + 3x 2 (e) f(x,y) = 1 arccotg(xy) 46. U které z následujících funkcí je definičním oborem celá množina R 2? (a) f(x,y) = 2y 7 x 90

(b) f(x,y) = e lny x 4 (c) f(x,y) = 3x 2 +ln(y 2 +2) (d) f(x,y) = e arctg(x2 y) (e) f(x,y) = log(x 2 +y 2 ) 47. U které z následujících funkcí je definičním oborem celá množina R 2? (a) f(x,y) = 9 xy (b) f(x,y) = ln(x 2 +3+y 2 ) (c) f(x,y) = x 2 +y 2 (d) f(x,y) = arccotg(2x+y 2 4) (e) f(x,y) = x 3y 5 cos(x+ π) y 2 2 48. Určete, které z následujících funkcí nepatří mezi elementární funkce dvou proměnných. (a) f(x,y) = sin( x y ) ey+2 (b) f(x,y) = arccos x 2 +y 6 (c) f(u,v) = u3 v lnv2 (d) f(x,y) = sgn(x y) (e) f(x,y) = y 3 x 2 x 3 y 2 +e sinx 49. Určete, které z následujících funkcí nepatří mezi elementární funkce dvou proměnných. (a) f(x,y) = cosx+sgny (b) f(t,u) = lnu u 2 +3t (c) f(x) = x 2 16+ tgx+3 lne (d) f(x,y) = sinx+cosy 91

(e) f(x,y) = 2 x ln(y +tg(3x)) 50. Určete, které z následujících funkcí nepatří mezi elementární funkce dvou proměnných. (a) f(x,y) = sgn(x+y) (b) f(x,y) = x 6y arcsin(2π y ) lnx+e y (c) f(x) = log 8 (x+π) (d) f(a,b) = b a 2 cotg(a+3b) (e) f(x,y) = logx 3 x 2 5y 51. Určete, které z následujících funkcí nepatří mezi elementární funkce dvou proměnných. (a) f(x,y) = ln(sgn(x))+ y2 2 (b) f(r,s) = r+3 s sin( π 2 ) (c) f(x,y) = cos( e y ) xy+2 (d) f(y) = arcsin(3 y)+arccos( y2 y+2 ) (e) f(x,y) = 5 y+x +log(x+ln 2 y) 52. Určete, které z následujících funkcí nepatří mezi elementární funkce dvou proměnných. (a) f(x,y,z) = xy 2 y +z +cos3x (b) f(x,y) = tg( x y ) sgn(x)+2 (c) f(x,y) = x+cos2 ( π 4 ) (3+y) 2 (d) f(x,y) = arccos( x+2 y ) arcsin(y2 5) (e) f(x,y) = ln(log( 5x 2 +3y2 )) 92

53. Určete, které z následujících funkcí nepatří mezi elementární funkce dvou proměnných. (a) f(x) = cosx sine (b) f(u,v) = u 3 v 2 +v 3 u e arctg(v+u) (c) f(x,y) = 2x y ln(e y ) 3 x (d) f(x,y) = x3 2 +e2y (e) f(x,y) = x tg(ln( y x )) 54. Určete, které z následujících funkcí nepatří mezi elementární funkce dvou proměnných. (a) f(x,y) = sgn(y x) (b) f(x) = x 3 +3π log2x (c) f(x,y) = x 9 e x 2y (d) f(x,y) = sin( 1 x 2 3 )+cos(4+y 9x 2 ) (e) f(x,y) = arctg( cos3x) 2y e +4π 55. Určete, které z následujících funkcí patří mezi elementární funkce dvou proměnných. (a) f(x,y) = (x 6y 2 ) 3 (b) f(x) = xln2e (c) f(t,u) = tg(t) ln2u (d) f(x,y) = sin( x 3y+2 y )+ey2 arccos(2y π) x 93

56. Určete, které z následujících funkcí patří mezi elementární funkce dvou proměnných. (a) f(x,y) = ln(5x y +y 2 ) 2x 4 +sine y (b) f(y) = arctg(3+y 2 ) sin( y3 +6 y )+2 y (c) f(x,y) = e+ln(y 2 + x 4 ) (d) f(x,y) = sin( 2π x ) 3 sgn(y) 57. Určete, které z následujících funkcí patří mezi elementární funkce dvou proměnných. (a) f(x,y) = ln(y+e2 ) sgn(x) (b) f(x,y) = sin(4y) x 2 5 +yx ln3y (c) f(a,b) = cos( π 2 a) ln(1+b2 ) (d) f(y) = e y arccotg(y) 58. Určete, které z následujících funkcí patří mezi elementární funkce dvou proměnných. (a) f(c,d) = sin(πd) 5 c 2c 4 +d 6 (b) f(x,y) = y 2 arctg(3y x +12) (c) f(x,y) = sin 2 ( x 6 ) 2x 4 +ln(y 25) (d) f(x,y) = 2 x y +arctg(y) x 5 x 2 +2y 3 59. Určete, které z následujících funkcí patří mezi elementární funkce dvou proměnných. (a) f(x) = 2ln(x+3ex2 ) x+64 (b) f(x,y) = 3x 2 +ln(y 2 +2) 3 xy 3 (c) f(c,d) = c d 2 c cos(2π)+3d 94

x (d) f(x,y) = 2 +y 2 ln(x2 3+y 2 ) 9 xy sin 2 y 60. Určete, které z následujících funkcí patří mezi elementární funkce dvou proměnných. (a) f(x) = x arcsin(3π +4x) (b) f(a,b) = ln( e a ) 3 b+1 cos( 2b 3 ) (c) f(x,y) = lnx sgn(xy) (d) f(x,y,z) = tgx ln(2z)+6y 2 61. Určete, které z následujících funkcí patří mezi elementární funkce dvou proměnných. (a) f(y) = log 3 (y 2 2π) (b) f(x,y) = 2y sin 3 ( x 8 ) x 2 + 3 cos(xy) e x e y (c) f(t,u) = t u ln(3u 2 ) sgn(t) 2 (d) f(x,y) = log2 x+y2 +e sin(x2 + y) 62. Určete, které z následujících funkcí patří mezi elementární funkce dvou proměnných. (a) f(x,y) = 1 x 2 sgn(x) + 4y (b) f(x,y) = cos2x arcsin 2 y xy (c) f(x,y) = (sinx y 2 ) (e 3y +x 2 +ln( π)) 2 ( ) (d) f(x,y) = tg(πx) 18y 3x e 2 2x+3y ln 2 x 63. Určete, které z následujících funkcí patří mezi elementární funkce dvou proměnných. (a) f(x) = cotg(x) 5 ln(e 1) +2 x 95

(b) f(x,y) = y sgn(x) (c) f(r,s) = e arctg(r2 s) +3r 4 ln(s 2) (d) f(x,y) = ( x 4 +e log 10 y ) 2x cosπ 64. Určete, které z následujících funkcí patří mezi elementární funkce dvou proměnných. (a) f(s,t) = lns+2 t 2 3s (b) f(x,y) = 3 y(sinx+cose) (c) f(x,y) = (arctg( 1 x 2 3 )+ln(4+y 9x 2 )) cos π 2 (d) f(x) = sinπx 2x 2 +e lnx2 Obrázek 53: Graf k úlohám 65 90 65. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 +y 2. Určete, co o této funkci platí. (a) Vrstevnice funkce f o úrovni 0, 2 je neprázdná množina. (b) Je shora omezená. (c) Má globální maximum v bodě (0, 0). (d) Je rostoucí vzhledem k proměnné x. 96

66. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 +y 2. Určete, co o této funkci platí. (a) Má globální extrém v bodě (1,3). (b) Je omezená. (c) Je ryze monotonní. (d) Jejím definičním oborem je množina R 2 67. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 +y 2. Určete, co o této funkci platí. (a) Je rostoucí vzhledem k y. (b) Vrstevnice funkce f o úrovni 5 je neprázdná množina. (c) Je zdola omezená. (d) Má globální extrém v bodě (0,0). 68. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 +y 2. Určete, co o této funkci platí. (a) Je konstantní. (b) (0, 0) má globální minimum. (c) Vrstevnice funkce f o úrovni 8 má tvar kružnice. (d) Jejím oborem hodnot je množina R + 0. 69. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 +y 2. Určete, co o této funkci platí. (a) Má globální minimum v bodě (1, 1). (b) Je zdola omezená. (c) Vrstevnice funkce f o úrovni π je neprázdná množina. (d) Její obor hodnot je nezáporný. 70. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 +y 2. Určete, co o této funkci platí. (a) Jejím definičním oborem je množina R. 97

(b) Je klesající vzhledem k x. (c) V bodě (0, 0) nabývá nejmenší funkční hodnoty. (d) Vrstevnice funkce f o úrovni e 2 je neprázdná množina. 71. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 +y 2. Určete, co o této funkci platí. (a) Má globální extrém v bodě ( 1, 1). (b) Je omezená. (c) Její obor hodnot je nezáporný. (d) Vrstevnice funkce f o úrovni 5 4 je prázdná množina. 72. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 +y 2. Určete, co o této funkci platí. (a) Jejím definičním oborem je množina R 2 \{(0,1)}. (b) Je zdola omezená. (c) Je rostoucí. (d) Její obor hodnot je tvořen všemi nezápornými čísly. 73. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 +y 2. Určete, co o této funkci platí. (a) Vrstevnice funkce f o úrovni 0, 1 je neprázdná množina. (b) Jejím oborem hodnot jsou všechna reálná čísla větší než 0. (c) Má globální minimum v bodě (0, 0). (d) Je klesající vzhledem k y. 74. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 +y 2. Určete, co o této funkci platí. (a) Je omezená. (b) Jejím definičním oborem je množina R 2 (c) Její obor hodnot je nezáporný. 98

(d) Má globální extrém v bodě (0,5). 75. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 +y 2. Určete, co o této funkci platí. (a) Vrstevnice funkce f o úrovni 16 je neprázdná množina. (b) f( 3,7) = 4. (c) Jejím definičním oborem je množina R. (d) Je shora omezená. 76. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 +y 2. Určete, co o této funkci platí. (a) Je zdola omezená. (b) f(2,5) = 29 (c) Jejím definičním oborem je množina R 2. (d) Má globální maximum v bodě (0, 0). 77. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 +y 2. Určete, co o této funkci platí. (a) Funkční hodnota v bodě ( 9, 3) neexistuje. 5 (b) Jejím oborem hodnot jsou všechna nezáporná reálná čísla. (c) Vrstevnice funkce f o úrovni 4,2 má tvar přímky. (d) Je rostoucí vzhledem k x. (e) 78. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 + y 2. Vyberte nepravdivá tvrzení o této funkci. (a) Vrstevnice funkce f o úrovni 0, 3 je neprázdná množina. (b) Je shora omezená. (c) Má globální maximum v bodě (0, 0). (d) Je rostoucí vzhledem k proměnné x. 99

79. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 + y 2. Vyberte nepravdivá tvrzení o této funkci. (a) Má globální extrém v bodě (0;0,8). (b) Je zdola omezená. (c) Je ryze monotonní. (d) Jejím definičním oborem je množina R 2 80. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 + y 2. Vyberte nepravdivá tvrzení o této funkci. (a) Je rostoucí vzhledem k y. (b) Vrstevnice funkce f o úrovni 4 je neprázdná množina. (c) Je zdola omezená. (d) Má globální extrém v bodě (0,0). 81. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 + y 2. Vyberte nepravdivá tvrzení o této funkci. (a) Je konstantní. (b) V bodě (0, 0) má globální minimum. (c) Vrstevnice funkce f o úrovni 3 je neprázdná množina. (d) Jejím oborem hodnot je množina R + 0. 82. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 + y 2. Vyberte nepravdivá tvrzení o této funkci. (a) Má globální minimum v bodě (2, 1). (b) Je zdola omezená. (c) Vrstevnice funkce f o úrovni 2 je neprázdná množina. 100

(d) Její obor hodnot je množina všech nezáporných čísel. 83. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 + y 2. Vyberte nepravdivá tvrzení o této funkci. (a) Jejím definičním oborem je množina R. (b) Je klesající vzhledem k x. (c) V bodě (0, 0) nabývá nejmenší funkční hodnoty. (d) Vrstevnice funkce f o úrovni e 3 je neprázdná množina. 84. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 + y 2. Vyberte nepravdivá tvrzení o této funkci. (a) Má globální extrém v bodě (0, 1). (b) Je omezená. (c) Její obor hodnot je záporný. (d) Vrstevnice funkce f o úrovni 7 8 je neprázdná množina. 85. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 + y 2. Vyberte nepravdivá tvrzení o této funkci. (a) Jejím definičním oborem je množina R 2 \{( 2,0)}. (b) Je zdola omezená. (c) Je rostoucí. (d) Její obor hodnot je tvořen pouze nezápornými čísly. 86. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 + y 2. Vyberte nepravdivá tvrzení o této funkci. (a) Vrstevnice funkce f o úrovni 0, 83 má tvar kružnice. (b) Jejím oborem hodnot jsou všechna reálná čísla větší než 0. 101

(c) Má globální minimum v bodě (0, 0). (d) Je klesající vzhledem k y. 87. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 + y 2. Vyberte nepravdivá tvrzení o této funkci. (a) Je omezená. (b) Jejím definičním oborem je množina R 2. (c) Její obor hodnot je R + 0. (d) Má globální extrém v bodě (3,1). 88. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 + y 2. Vyberte nepravdivá tvrzení o této funkci. (a) Vrstevnice funkce f o úrovni 6 má tvar paraboly. (b) Má globální minimum v bodě (0, 0). (c) Jejím definičním oborem je množina R. (d) Je shora omezená. 89. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 + y 2. Vyberte nepravdivá tvrzení o této funkci. (a) Je zdola omezená. (b) f(5,2) = 7 (c) Jejím definičním oborem je množina R 2. (d) Má globální maximum v bodě (0, 0). 90. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 + y 2. Vyberte nepravdivá tvrzení o této funkci. (a) Funkční hodnota v bodě ( 2, 6) neexistuje. 3 102

(b) Jejím oborem hodnot jsou všechna nezáporná reálná čísla. (c) Vrstevnice funkce f o úrovni 3, 9 je prázdná množina. (d) Je rostoucí vzhledem k x. Obrázek 54: Graf k úlohám 91 122 91. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 y 2. Určete, která z tvrzení o této funkci jsou pravdivá. (a) Vrstevnice funkce f o úrovni π 3 je neprázdná množina. (b) Je shora omezená. (c) Je omezená. (d) Jejím oborem hodnot jsou všechna reálná čísla menší než 0. 92. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 y 2. Určete, která z tvrzení o této funkci jsou pravdivá. (a) Jejím definičním oborem je množina R 2. (b) Má globální extrém v bodě (0,0). (c) Má globální minimum v bodě (0, 0). (d) Je klesající. 103

93. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 y 2. Určete, která z tvrzení o této funkci jsou pravdivá. (a) V bodě (0, 0) nabývá největší funkční hodnoty. (b) Jejím oborem hodnot jsou všechna nezáporná čísla. (c) Vrstevnice funkce f o úrovni 2 má tvar kružnice. (d) Jejím definičním oborem je množina R 2. 94. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 y 2. Určete, která z tvrzení o této funkci jsou pravdivá. (a) Má globální extrém v bodě (0, 2). (b) Je shora omezená. (c) Jejím definičním oborem je množina R 2 \{(2,5)}. (d) Vrstevnice funkce f o úrovni e 3,14 je neprázdná množina. 95. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 y 2. Určete, která z tvrzení o této funkci jsou pravdivá. (a) Jejím definičním oborem je množina R. (b) Je ryze monotonní. (c) Vrstevnice funkce f o úrovni 6 je neprázdná množina. (d) Má globální maximum v bodě (0, 0). 8 96. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 y 2. Určete, která z tvrzení o této funkci jsou pravdivá. (a) Má globální extrém v bodě (1,1). (b) H f = (,0. (c) Je zdola omezená. 104

(d) f(3,4) = 5 2 97. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 y 2. Určete, která z tvrzení o této funkci jsou pravdivá. (a) Její obor hodnot tvoří pouze záporná reálná čísla. (b) Je klesající vzhledem k x. (c) Je shora omezená. (d) Jejím definičním oborem je množina R 3. 98. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 y 2. Určete, která z tvrzení o této funkci jsou pravdivá. (a) f( 1,3) = 2 (b) Je zdola omezená. (c) Vrstevnice funkce f o úrovni 0, 01 je neprázdná množina. (d) H f = R 0. 99. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 y 2. Určete, která z tvrzení o této funkci jsou pravdivá. (a) Je omezená. (b) Funkční hodnota v bodě ( 3, 1) neexistuje. 2 (c) Je shora omezená. (d) Je klesající vzhledem k x. 100. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 y 2. Určete, která z tvrzení o této funkci jsou pravdivá. (a) V bodě (0, 0) nabývá nejmenší funkční hodnoty. (b) Vrstevnice funkce f o úrovni 5 má tvar kružnice. 105

(c) Jejím oborem hodnot je množina R 0. (d) Je klesající vzhledem k y. 101. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 y 2. Určete, která z tvrzení o této funkci jsou pravdivá. (a) Je zdola omezená. (b) Jejím definičním oborem je množina R 2. (c) f( 2,2) = 8 (d) Má globální extrém v bodě (0,0). 102. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 y 2. Určete, která z tvrzení o této funkci jsou pravdivá. (a) Má globální maximum v bodě ( 1, 1). (b) Součástí jejího oboru hodnot nejsou žádná kladná reálná čísla. (c) Je rostoucí vzhledem k y. (d) Je omezená. 103. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 y 2. Určete, která z tvrzení o této funkci jsou pravdivá. (a) Je omezená. (b) Je zdola omezená. (c) Vrstevnice funkce f o úrovni 4 je neprázdná množina. (d) Jejím definičním oborem je množina R 2. 104. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 y 2. Určete, která z tvrzení o této funkci jsou pravdivá. (a) Jejím definičním oborem je množina R. 106

(b) Je shora omezená. (c) f(3,1) = 10 (d) Vrstevnice funkce f o úrovni e 2 má tvar paraboly. 105. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 y 2. Určete, která z tvrzení o této funkci jsou pravdivá. (a) Alespoň v jednom bodě nabývá kladné funkční hodnoty. (b) Vrstevnice funkce f o úrovni 3 π je neprázdná množina. (c) Má globální extrém v bodě (0,0). (d) Není zdola omezená. 106. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 y 2. Určete, která z tvrzení o této funkci jsou pravdivá. (a) Je klesající vzhledem k x. (b) Má globální maximum v bodě ( 1, 1 ). 2 2 (c) Je shora omezená. (d) Jejím oborem hodnot jsou všechna reálná čísla menší než 0. 107. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 y 2. Vyberte nepravdivá tvrzení o této funkci. (a) Vrstevnice funkce f o úrovni π 3 je neprázdná množina. (b) Je shora omezená. (c) Je omezená. (d) H f = R 107

108. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 y 2. Vyberte nepravdivá tvrzení o této funkci. (a) Jejím definičním oborem je množina R 2. (b) Má globální extrém v bodě (0,0). (c) Má globální minimum v bodě (0, 0). (d) Je klesající. 109. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 y 2. Vyberte nepravdivá tvrzení o této funkci. (a) V bodě (0, 0) nabývá největší funkční hodnoty. (b) Jejím oborem hodnot jsou všechna nezáporná čísla. (c) Vrstevnice funkce f o úrovni 1 je neprázdná množina. (d) Jejím definičním oborem je množina R 2. 110. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 y 2. Vyberte nepravdivá tvrzení o této funkci. (a) Má globální extrém v bodě (0, 4). (b) Je shora omezená. (c) Jejím definičním oborem je množina R 2 \{(5,1)}. (d) Vrstevnice funkce f o úrovni e 3 má tvar kružnice. 111. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 y 2. Vyberte nepravdivá tvrzení o této funkci. (a) Jejím definičním oborem je množina R. (b) Je ryze monotonní. (c) Vrstevnice funkce f o úrovni 3 je neprázdná množina. 108

(d) Má globální maximum v bodě ( 0 6,0). 112. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 y 2. Vyberte nepravdivá tvrzení o této funkci. (a) Má globální extrém v bodě (2,2). (b) Jejím oborem hodnot je množina R 0. (c) Je zdola omezená. (d) f(3,4) = 25 113. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 y 2. Vyberte nepravdivá tvrzení o této funkci. (a) Její obor hodnot tvoří pouze záporná reálná čísla. (b) Je klesající vzhledem k x. (c) Je shora omezená. (d) Jejím definičním oborem je množina R 3. 114. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 y 2. Vyberte nepravdivá tvrzení o této funkci. (a) f( 1,3) = 4 (b) Je zdola omezená. (c) Vrstevnice funkce f o úrovni 0, 03 je neprázdná množina. (d) Jejím oborem hodnot jsou všechna reálná čísla z intervalu (, 0. 115. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 y 2. Vyberte nepravdivá tvrzení o této funkci. (a) Je omezená. (b) Funkční hodnota v bodě (2, 5) neexistuje. 8 109

(c) Je shora omezená. (d) Je klesající vzhledem k x. 116. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 y 2. Vyberte nepravdivá tvrzení o této funkci. (a) V bodě (0, 0) nabývá nejmenší funkční hodnoty. (b) Vrstevnice funkce f o úrovni 2 je neprázdná množina. (c) Jejím oborem hodnot je množina R 0. (d) Je klesající vhledem k y. 117. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 y 2. Vyberte nepravdivá tvrzení o této funkci. (a) Je zdola omezená. (b) Jejím definičním oborem je množina R 2. (c) f(2, 2) = 8 (d) Má globální extrém v bodě (0,0). 118. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 y 2. Vyberte nepravdivá tvrzení o této funkci. (a) Má globální maximum v bodě ( 3, 3). (b) H f = R 0. (c) Je rostoucí vzhledem k y. (d) Je omezená. 119. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 y 2. Vyberte nepravdivá tvrzení o této funkci. (a) Je omezená. 110

(b) Je zdola omezená. (c) Vrstevnice funkce f o úrovni 8 je neprázdná množina. (d) Jejím definičním oborem je množina R 2. 120. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 y 2. Vyberte nepravdivá tvrzení o této funkci. (a) Jejím definičním oborem je množina R. (b) Je shora omezená. (c) f(1,3) = 10 (d) Vrstevnice funkce f o úrovni ( 3) 2 je neprázdná množina. 121. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 y 2. Vyberte nepravdivá tvrzení o této funkci. (a) Alespoň v jednom bodě nabývá kladné funkční hodnoty. (b) Vrstevnice funkce f o úrovni 6 2π je neprázdná množina. (c) Má globální extrém v bodě (0,0). (d) Není zdola omezená. 122. Na obrázku je graf funkce f(x,y) = x 2 y 2. Vyberte nepravdivá tvrzení o této funkci. (a) Je klesající vzhledem k x. (b) Má globální maximum v bodě ( 1, 1). 3 3 (c) Je shora omezená. (d) Jejím oborem hodnot jsou všechna reálná čísla menší než 0. 111

123. Co je na obrázku? (a) Graf nějaké funkce dvou proměnných. (b) Definiční obor nějaké funkce dvou proměnných. (c) Nějaká podmnožina R 3. (d) Graf nějaké funkce tří proměnných. 124. Co je na obrázku? (a) Definiční obor nějaké funkce dvou proměnných. (b) Definiční obor nějaké funkce tří proměnných. (c) Obor hodnot nějaké funkce tří proměnných. (d) Graf nějaké funkce dvou proměnných. 112

125. Co je na obrázku? (a) Graf nějaké funkce dvou proměnných. (b) Definiční obor nějaké funkce dvou proměnných. (c) Obor hodnot nějaké funkce tří proměnných. (d) Definiční obor nějaké funkce jedné proměnné. 126. Co je na obrázku? (a) Graf nějaké funkce jedné proměnné. (b) Definiční obor nějaké funkce tří proměnných. (c) Nějaká podmnožina R 2. (d) Obor hodnot nějaké funkce dvou proměnných. 113

127. Co je na obrázku? (a) Graf nějaké funkce dvou proměnných. (b) Definiční obor nějaké funkce dvou proměnných. (c) Definiční obor nějaké funkce tří proměnných. (d) Graf nějaké funkce jedné proměnné. 128. Co je na obrázku? (a) Nějaká podmnožina R 1 (b) Graf nějaké funkce dvou proměnných. (c) Obor hodnot nějaké funkce tří proměnných. (d) Definiční obor nějaké funkce dvou proměnných. 114

129. Co je na obrázku? (a) Graf nějaké funkce dvou proměnných. (b) Graf nějaké funkce tří proměnných. (c) Definiční obor nějaké funkce tří proměnných. (d) Nějaká podmnožina R 3. 130. Co je na obrázku? (a) Obor hodnot nějaké funkce tří proměnných. (b) Definiční obor nějaké funkce tří proměnných. (c) Graf nějaké funkce dvou proměnných. (d) Definiční obor nějaké funkce dvou proměnných. 115

131. Určete, ve kterých případech je na obrázku graf nějaké funkce dvou proměnných. (a) (b) (c) 116

(d) 132. Určete, ve kterých případech je na obrázku graf nějaké funkce dvou proměnných. (a) (b) 117

(c) (d) 133. Určete, ve kterých případech je na obrázku graf nějaké funkce dvou proměnných. (a) 118

(b) (c) (d) 119

134. Určete, ve kterých případech je na obrázku graf nějaké funkce dvou proměnných. (a) (b) (c) 120

(d) 135. Určete, ve kterých případech se jedná o funkci dvou proměnných. (a) 0 = y +x 2 5x+6 (b) f(x,y) = 2cosy +e x sgn(x) (c) 0 = lnx+2y 2 z (d) f(x) = 1 x 2 +e 136. Určete, ve kterých případech se jedná o funkci dvou proměnných. (a) f(x,y,z) = x 2 +sin( y z 4 ) (b) f(x,y) = lnx+3y 2 (c) z x 3 + y2 y+5 = 0 (d) x = p 3 y = q e p p 3,5,q 0,2 137. Určete, ve kterých případech se jedná o funkci dvou proměnných. (a) x = sina cosb y = a 2 + 3 2 b z = b a a 2,4),b ( 3,3) 121

(b) f(x) = e x +x 2 (c) 0 = y 1 x 2 (d) x 2 3y +21 z = 0 138. Určete, ve kterých případech se jedná o funkci dvou proměnných. (a) f(x) = x 2 +3x+8 (b) 0 = lny +6x 2 z (c) f(x,y,z) = e x +2z 3 5+y (d) x3 2 y = 0 122

3.4 Klíč k řešení 1. c 36. a 71. d 106. c 2. d 37. a 72. b, d 107. a, c, d 3. b 38. a, c 73. c 108. c, d 4. b 39. d, e 74. b 109. b 5. a 40. a 75. a 110. a, c 6. a, b 41. a, b, c 76. a, b, c 111. a, b 7. b 42. d, e 77. b 112. a, c 8. a, e 43. a, d 78. b, c, d 113. a, b, d 9. d 44. a 79. a, c 114. a, b 10. b. e 45. a, d, e 80. a, b 115. a, b, d 11. a 46. a, d 81. a 116. a, d 12. d 47. a, b, c, d 82. a 117. a 13. a, b 48. d 83. a, b 118. a, c, d 14. a, c 49. a, c 84. a, b, c 119. a, b 15. c, e 50. a, c 85. a, c 120. a, d 16. a, b 51. a, d 86. a, b, d 121. a 17. a 52. a, b 87. a, d 122. a, b, d 18. c 53. a 88. a, c, d 123. c 19. c 54. a, b 89. b, d 124. b 20. a, c 55. a, c, d 90. a, d 125. b 21. a, b, c, d 56. a, c 91. b 126. a, c 22. b, c 57. b, c 92. a, b 127. a, c 23. b 58. a, b, c, d 93. a, c, d 128. b 24. a 59. b, c, d 94. b, d 129. c, d 25. b 60. b 95. c, d 130. b 26. b 61. b, d 96. b, d 131. a 27. a 62. b, c, d 97. c 132. a, b 28. b 63. c, d 98. c, d 133. a, c 29. a 64. a, b, c 99. c 134. d 30. c 65. a 100. b, c 135. b, c 31. a, b, c 66. d 101. b, c, d 136. b, c, d 32. a, b 67. c, d 102. b 137. a, d 33. a 68. b, c, d 103. c, d 138. b 34. a 69. b, c, d 104. b, c 35. a, d 70. c, d 105. b, c, d 123

4 Statistické zpracování získaných dat V této kapitole budou zpracována data získaná z testů, které absolvovali studenti předmětů KMA/M1N Matematika 1 (akademický rok 2012/2013) a KMA/M2 Matematika 2 (akademický rok 2013/2014). 4.1 Počet pokusů nutných ke splnění testu K úspěšnému splnění testu bylo nutné získat alespoň 20 bodů z 25 možných (tedy dosáhnout alespoň 80 % úspěšnosti). Teprve poté se mohl student zapsat ke zkoušce z předmětu Matematika 1, případně Matematika 2. Počet pokusů, které měl student ke splnění testu k dispozici, nebyl nijak omezen. V podstatě studenti vyplňovali test tak dlouho, dokud nedosáhli 80% minima. Data o počtu přístupů do testu byla využita k sestrojení grafů v této podkapitole. Ty se zabývají tím, kolik pokusů studenti potřebovali k tomu, aby test splnili. Pokud student spustil test například šestkrát, znamená to, že v 5 pokusech získal hodnocení nižší než 20 bodů a test splnil v 6. pokusu. Uvažováni byli pouze ti studenti, kteří test (lhostejno po kolika pokusech) splnili. Pokud si tedy určitý student test spustil třikrátaanivjednompokusunebyl úspěšný, nebyl tentostudent bránvúvahupři tvorbě následujících grafů. Dále nebyly uvažovány ty pokusy, ve kterých student získal 0 bodů a dále pokusy, jejichž délka nepřesáhla 1 minutu. Nejprve se budeme věnovat datům získaným z předmětu KMA/M2 (Matematika 2) v akademickém roce 2012/2013. Test byl spuštěn a dokončen 46 různými studenty (nepočítají se zde ti, kteří test nesplnili) a to celkem 135krát (jedná se pouze o pokusy oněch 46 studentů, kteří test dokončili). Každý ze studentů potřeboval v průměru 2,935 pokusů k úspěšnému složení testu. 124

Obrázek 55: Počet pokusů rozdělený podle studentů Graf na Obrázku 55 ilustruje, kolikrát každý ze studentů absolvoval test, než ho splnil. Na vodorovné ose je uvedeno kódové číslo studenta a na svislé ose počet spuštění testu. Tmavší vodorovná přímka reprezentuje průměrný počet pokusů nutných k dosažení testu. Obrázek 56: Počet studentů rozdělený podle počtu pokusů Graf na Obrázku 56 udává, kolik studentů splnilo test po daném počtu pokusů. Na vodorovné ose je uveden počet spuštění testu a na svislé počet studentů, kteří 125

test splnili po daném množství pokusů. Z grafu je patrné, že 33 studentů (což je více než 71 % z celkového počtu) potřebovalo k úspěšnému dokončení testu nejvýše 3 pokusy. Nyní budou stejným způsobem zpracována data získaná z předmětu KMA/M1N v akademickém roce 2013/2014. Test byl spuštěn a splněn celkem 54 studenty, přičemž zde bylo zaznamenáno 241 spuštění testu. Opět jde jen o pokusy studentů, kteří test nakonec dokončili. V průměru každý student test splnil po 4,463 pokusech. Obrázek 57: Počet pokusů rozdělený podle studentů Graf na Obrázku 57 ukazuje počet pokusů potřebných ke splnění testu pro jednotlivé studenty, průměrná hodnota je vyznačena tmavší vodorovnou přímkou. 126

Obrázek 58: Počet studentů rozdělený podle počtu pokusů Z grafu na Obrázku 58 je patrné, že celkem 12 studentů (přibližně 22 % z celkového počtu) splnilo test právě po třech pokusech. Počty studentů jsou opět nakumulovány spíše u nižších hodnot počtu spuštění testu (nejvýše 4 pokusy stačily k úspěšnému složení testu téměř 65 % studentů), avšak nejsou rozděleny tak rovnoměrně jako u výsledků testu z předmětu Matematika 2. Porovnáním obou vzorků dat dojdeme k závěru, že v průměru měli větší problémy se zvládnutím testu studenti předmětu KMA/M1N. Může to být dáno více faktory. V prvním semestru nejsou studenti ještě zcela zvyklí na způsob výuky na vysoké škole a příval nových informací a potřebují ke zvládnutí testu více časuapokusů. Taképro němůže být teorie funkcí dvouproměnných v danou chvíli hůře stravitelná. Někteří z nich si sotva osvojili základy funkcí jedné proměnné (na střední škole se s touto látkou mohli setkat jen ve stručné formě) a hned poté jsou jim představeny funkce dvou a více proměnných. 4.2 Průměrná výše facility indexu pro jednotlivé skupiny úloh Testové otázky byly v části 3.2 této práce rozděleny do skupin podle toho, jaké znalosti jsme jejich prostřednictvím chtěli otestovat. V grafu na Obrázku 59 127

byly využity průměrné facility indexy těchto skupin úloh. Jedná se o následující skupiny: 1. Určování definičního oboru 2. Určení funkční hodnoty funkce v daném bodě 3. Teoretické otázky 4. Obor hodnot funkce dvou proměnných 5. Vlastnosti funkcí dvou proměnných 6. Elementární funkce dvou proměnných 7. Pojem zobrazení 8. Způsob zápisu funkce dvou proměnných Obrázek 59: Průměrná hodnota facility indexu pro jednotlivé skupiny úloh Jelikož máme k dispozici data z předmětů KMA/M2 a KMA/M1N, byly průměrné facility indexy počítány pro každou skupinu dat zvlášt. Grafické znázornění průměrných hodnot facility indexů lze nalézt na Obrázku 59. Číslo na 128