Ć W I C Z E N I E N R M-6

INSTYTUT FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII PRODUKCJI I TECHNOLOGII MATERIAŁÓW POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA PRACOWNIA MECHANIKI Ć W I C Z E N I E N R M-6 WYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI DRUTU ZA POMOCĄ WAHADŁA TORSYJNEGO

I. Zagadnena do przestudowana 1. Odkształcane cał stałych.. Zależnośc pomędzy odkształcenam a naprężenam. 3. Wahadło torsyjne. 4. Metody wyznaczana modułu Younga modułu sztywnośc na skręcane. 5. Rachunek błędu metodą Gaussa metodą różnczk zupełnej. II. Wprowadzene teoretyczne 1. Odkształcena naprężena w całach stałych Cała stałe, pod dzałanem sł zewnętrznych, mogą ulegać ne tylko przemeszczenu, ale równeż odkształcenu. Pod pojęcem odkształcena rozume sę chwlową lub trwałą zmanę kształtu lub() objętośc cała jako całośc albo jego dowolnych częśc. Stopeń odkształcena cała zależy od welkośc użytych sł zewnętrznych własnośc mechancznych cał charakteryzowanych przez sły wewnętrzne. Zarówno jedne, jak druge sły przyjęto w teor sprężystośc odnosć do jednostk powerzchn, na jaką dzałają, określać pojęcem naprężena. Naprężene można węc wyrazć poprzez dzałające sły F na element powerzchn S jako lm S0 F df S ds (1) W ogólnym przypadku wektor naprężena może być zorentowany dowolne w stosunku do wybranej powerzchn S (rys. 1). Rozkłada sę go wówczas na składową prostopadłą do powerzchn skerowaną wzdłuż wersora n (naprężene normalne n ) składową styczną (naprężene ścnające ). Składowa normalna, w zależnośc od zwrotu wektora, może być cągnenem (naprężene dodatne) lub cśnenem (naprężene ujemne). Naprężene ścnające może być rozłożone na powerzchn S ma kolejne dwe składowe x y wzdłuż wzajemne prostopadłych kerunków scharakteryzowanych wersoram wzdłuż os x y. W ogólnym przypadku naprężena w cele stałym charakteryzowane są poprzez tensor naprężeń, którego składowe tworzą macerz = xx yx zx xy yy zy xz yz zz ()

Rys. 1. Orentacja wektora naprężeń w stosunku do powerzchn S w układze współrzędnych kartezjańskch Tensor () jest tensorem symetrycznym ( xy = yx td.), ma węc tylko sześć różnych wartośc składowych, potrzebnych do opsu naprężeń w odkształcanym, w dowolny sposób, cele stałym. Tensor ten będze sę zmenał od punktu do punktu w objętośc cała stałego. Aby opsać naprężena w całej objętośc cała, trzeba podać wartość każdej z sześcu składowych w funkcj położena x, y, z. Tensor naprężeń tworzy węc pole, które przyporządkowuje każdemu punktow przestrzen sześć wartośc j. Jest to tzw. pole tensorowe, w odróżnenu od pola wektorowego, które każdemu punktow przestrzen przyporządkowuje wektor (trzy składowe) oraz od pola skalarnego, w którym każdy punkt charakteryzowany jest przez jedną lczbę (np. temperaturę). Szczegółowy ops matematyczny naprężeń odkształceń oraz zależnośc mędzy nm są dosyć obszerne wymagają znajomośc rachunku tensorowego. Można go częścowo znaleźć w podręcznkach akademckch z fzyk lub w pełnejszym zakrese, w monografach dotyczących teor opsujących wytrzymałość materałów. Ze względu na stosunkowo newelką objętość nnejszego wstępu koneczne jest ogranczene go do fzycznych podstaw teor sprężystośc. Aparat matematyczny zostane przy tym wykorzystany w mnmalnym wymarze. Przyswojene podstawowych pojęć teor sprężystośc może ułatwć geometryczne przedstawene zagadnena naprężeń odkształceń. Jeżel naprężena normalne dzałające na dowolny element płaszczyzny S z otoczena wybranego punktu O, znajdującego sę w objętośc rozpatrywanego cała stałego, mają ten sam znak (są albo cśnenem, albo cągnenem), mogą być przedstawone w postac geometrycznej konstrukcj zwanej elpsodą naprężeń (dla naprężeń o różnych znakach może być konstruowana hperboloda) (rys. ). W przypadku konstrukcj Lamégo środek elpsody umeszczony jest w punkce O, a jej ose mają kerunk naprężeń głównych, tzn. prostopadłych do elementów powerzchn, na których ne występują naprężena styczne. Wektor poprowadzony z punktu O do dowolnego punktu powerzchn elpsody, w odpowednej skal, odpowada wektorow naprężena 3

dzałającego na płaszczyznę S z otoczena punktu O, w kerunku prostopadłym do tej płaszczyzny. W przypadku cał zotropowych elpsoda przechodz w kulę. W technce zazwyczaj jest stosowane naprężene efektywne odnoszące sę do przekroju początkowego, w odróżnenu od naprężena rzeczywstego, które pownno być oblczane w stosunku do przekroju rzeczywstego, jeśl ten zmena sę w trakce odkształcana cała. Marą naprężeń w układze SI jest paskal (1 Pa = 1 Nm ). Do praktycznych zastosowań jednostka ta jest zbyt mała, dlatego zwykle używa sę jej welokrotnośc, np. megapaskala (1 MPa = 10 6 Pa). Rys.. Elpsoda naprężeń w układze współrzędnych kartezjańskch Skutkem występowana omówonych powyżej naprężeń w całach stałych jest deformacja struktury, charakteryzowana w teor opsującej wytrzymałość materałów jako odkształcene. Odkształcena ze względu na trwałość deformacj struktury można podzelć na sprężyste plastyczne. Odkształcena sprężyste występują wtedy, gdy po usunęcu naprężena deformacja maleje do zera. Odkształcena te powstają w wynku przyłożena stosunkowo małego naprężena, które powoduje jedyne newelke przesunęca atomów w sec z ch położena równowag w obrębe tego samego dołu potencjału, tak że po ustąpenu dzałana sły zewnętrznej wywołującej naprężene atomy wracają do położena wyjścowego. Przy wększych naprężenach występują trwałe odkształcena plastyczne. Podczas odkształcena plastycznego atomy przekraczają barery potencjału po ustąpenu dzałana sły zewnętrznej znajdują sę w nnych dołach potencjału nż były uprzedno. Przyjmując za kryterum podzału charakter deformacj w zakrese odkształceń sprężystych można wyróżnć odkształcena objętoścowe, polegające na zmane objętośc bez zmany kształtu, odkształcena postac bez zmany objętośc oraz od-kształcena objętoścowo-postacowe, w których deformacj ulega jednocześne objętość kształt. Odkształcena, podobne jak naprężena, mogą być opsywane poprzez symetryczny tensor odkształcena, którego składowe tworzą macerz analogczną do tensora naprężeń (). Reprezentacją geometryczną tensora odkształceń jest elpsoda odkształceń. 4

Przy opse odkształceń naprężeń celowym jest wspomneć równeż o zasadze superpozycj. W myśl tej zasady, jeśl w wynku dzałana pewnych sł zewnętrznych powstają określone naprężena odpowadające m odkształcena, a w wynku dzałana nnych sł powstają dodatkowe odkształcena tego samego typu, to odkształcene wypadkowe będze sumą odkształceń, które wystąpłyby, gdyby sły powodujące je dzałały od sebe nezależne.. Zależnośc mędzy odkształcenam a naprężenam Odkształcena uwarunkowane są odpowednm własnoścam fzycznym materału, które z kole zależą od jego struktury. Naprężena zależą od wzajemnego położena atomów w sec cała poddanego dzałanu sł zewnętrznych. Tak węc odkształcena naprężena zależą od struktury krystalcznej cała stałego mogą być powązane mędzy sobą pewnym zależnoścam funkcyjnym. Charakter funkcj zależy od welkośc naprężeń oraz odpowadających m odkształceń określa sę go na podstawe wynków prób wytrzymałoścowych. Przebeg uzyskanej w próbe wytrzymałoścowej zależnośc funkcyjnej pozwala wyodrębnć przedzały, w których odkształcena mogą być opsane jednoltą funkcją z naprężenem jako zmenną nezależną. Omówene wszystkch przedzałów odnos sę do teor wytrzymałośc materałów w szerokm ujęcu wychodz poza zakres tematyczny danego ćwczena. Tu zostane ono ogranczone do zakresu odkształceń sprężystych, a w szczególnośc do przedzału lnowej proporcjonalnośc funkcj = f(). Przedzał lnowej proporcjonalnośc pokrywa sę praktyczne z zakresem sprężystośc, chocaż dla pewnych cał można wyodrębnć jeszcze newelk zakres odkształceń sprężystych w poblżu dolnej grancy plastycznośc, w którym obserwowane są odchylena od lnowej zależnośc pomędzy odkształcenem a naprężenem. W przedzale proporcjonalnośc zależność mędzy odkształcenem a naprężenem ujmuje prawo Hooke a, w myśl którego, w ogólnym przypadku cał anzotropowych, składowe tensora odkształceń są lnowym jednorodnym funkcjam składowych tensora naprężeń. Można to matematyczne zapsać jako εk = 6 = 1 c k (3) gdze k jest zwykle odkształcenem względnym, natomast współczynnk c k są tzw. uogólnonym modułam sprężystośc. Ilość współczynnków c k (od 3 do 1, uwzględnając warunek c k = c k ) zależy od symetr struktury odkształcanego cała. Dla prostszego przypadku cał zotropowych prawo Hooke a może być zapsane jako = c. W zależnośc od rodzaju odkształcena c jest zwykle zastępowane przez odwrotność współczynnka odpowadającego danemu odkształcenu. Dla odkształceń objętoścowych, w których zmana naprężena jest proporcjonalna do naprężeń wynkających np. z cśnena wyweranego przez cecz, w której odkształcane cało sę znajduje, współczynnk c jest defnowany jako odwrotność modułu ścślwośc K. Natomast w przypadku odkształceń objętoścowo- 5

postacowych, których przykładem może być jednostronne rozcągane lub ścskane cała, rolę współczynnka proporcjonalnośc spełna odwrotność modułu sprężystośc podłużnej E, znanego też jako moduł Younga. Przyłożene sły zewnętrznej w określonym kerunku, powodującej wydłużene l cała, prowadz do równoczesnego jego zwężena d w kerunku prostopadłym do dzałającej sły. Zwężene względne d d l jest proporcjonalne do wydłużena względnego, a współczynnkem proporcjonalnośc l jest stała Possona. Matematyczne można to ująć jako d d zazwyczaj dodatna mnejsza od 0,5. l = l. Wartość stałej Possona jest W przypadku ścskana obserwowane jest skrócene cała oraz rozszerzene przekroju poprzecznego. Zależność mędzy modułem ścślwośc K a modułem Younga E współczynnkem Possona wyrażana jest jako E K 3(1 ) (4) W przypadku odkształceń postac, które powstają w wynku dzałana naprężeń ścnających, współczynnk proporcjonalnośc c określany jest jako odwrotność modułu sztywnośc G. Wyznaczane modułu sztywnośc G jest celem tego ćwczena, w zwązku z czym zostane on omówony szerzej. 3. Moduł sztywnośc Moduł sztywnośc G nazywany jest równeż modułem (lub współczynnkem) sprężystośc postacowej lub poprzecznej, a także współczynnkem ścnana lub skręcana. Odkształcena charakteryzowane przez moduł sztywnośc G rozpatruje sę zazwyczaj na przykładze prostopadłoścanu poddawanego naprężenom ścnającym lub pręta skręcanego wzdłuż os podłużnej. Rozpatrzmy pokrótce odkształcane prostopadłoścanu, a następne skręcane pręta. Przyłożene naprężena ścnającego do górnej ścany prostopadłoścanu, którego dolna ścana przytwerdzona jest do podstawy, prowadz do odkształcena postac opsywanego przez zmanę przekątnych d ścan bocznych lub, częścej, przez kąt, o jak prostopadłoścan zostane skręcony (rys. 3). Naprężene ścnające jest tu określane jako stosunek przyłożonej sły zewnętrznej do powerzchn ścany górnej BCDE. Odkształcene polega w tym przypadku na przesuwanu sę względem sebe pozomych warstw prostopadłoścanu. Zgodne z prawem Hooke a zależność pomędzy naprężenem a odkształcenem dla jednorodnego prostopadłoścanu o zotropowej strukturze można zapsać jako G (5) 6

Rys. 3. Odkształcene prostopadłoścanu wywołane naprężenem ścnającym t Podobne jak w przypadku prostopadłoścanu, odkształcene pręta o długośc l prze- kroju kołowym o promenu R, poddanego skręcanu za pomocą sły zewnętrznej F, polega na przesuwanu sę względem sebe pozomych warstw (przekrojów prostopadłych do os) pręta, przy czym przesunęce jest tu proporcjonalne do odległośc danej warstwy od neruchomo zamontowanej górnej jego częśc. Odkształcene opsywane jest poprzez kąt, a jego welkość zależy od własnośc mechancznych pręta momentu sły powodującej skręcene. Dla znalezena zależnośc pomędzy tym wartoścam rozpatrzmy pręt przedstawony na rysunku 4. Długość łuku EA może być z jednej strony określona jako E A l tg, a z drugej jako E A r, czyl r tg l (6) gdze jest kątem skręcena merzonym na dolnej powerzchn przekroju poprzecznego pręta. Przy rozpatrywanu długego pręta o małej średncy z równana (6) wynka, że wartość kąta jest mała nawet dla znacznych wartośc można przyjąć z dobrym przyblżenem, że tg. Wyrażene (6) można węc zapsać r l (7) 7

Rys. 4. Odkształcene pręta poddanego skręcenu przy użycu zewnętrznej sły F Jeżel przyjąć, że na element powerzchn ds (ABCD) przypada sła o wartośc df, to naprężene ścnające będze równe df σ τ ds (8) Na podstawe prawa Hooke a (5) oraz powyższego wyrażena można zapsać, że df G ds (9) Z kole moment sły dzałający na element ds jest równy dn df r G r ds (10) Moment N określony jako suma elementarnych momentów dn po pełnym obwodze wydzelonego z pręta cylndra, którego powerzchna przekroju ds jest równa (10) może być zapsany jako ds r dr, w oparcu o wyrażena (7) r dr N G l 3 (11) Pełny pręt składa sę z cągu takch współśrodkowych cylndrów, z których każdy skręcony jest o kąt. Dla pełnego pręta całkowty moment sły N powodującej jego odkształcene będze węc równy 8

R 3 R N G r dr G D l l 0 4 (1) gdze D jest tzw. momentem kerującym. Z powyższego wzoru wynka, że moment sły jest proporcjonalny do kąta skręcena do czwartej potęg promena, czyl razy grubszy pręt jest 16 razy bardzej sztywny na skręcane. Zależność pomędzy modułem G a modułem Younga E stałą Possona wyraża wzór E G (1+ ) (13) Znajomość wartośc G może być pomocna przy konstruowanu wałów napędowych w różnego rodzaju maszynach oraz mechanzmów pomarowych precyzyjnych mernków. Jednostką współczynnka G w układze SI jest N/m, czyl paskal, podobne jak w przypadku naprężeń. Merząc kąt skręcena moment sły zewnętrznej, powodującej odkształcene pręta o konkretnych wymarach, można na podstawe wzoru (1) określć wartość modułu G. Jest to tzw. metoda statyczna. Neco kłopotlwy w tej metodze jest pomar wartośc sły zewnętrznej, co ne jest koneczne w przypadku metody dynamcznej. III. Zasada pomaru w odnesenu do dynamcznej metody wyznaczana modułu sztywnośc Do wyznaczana modułu G metodą dynamczną wykorzystywane jest wahadło torsyjne. Ruch drgający wahadła torsyjnego odbywa sę pod wpływem sł posadających względem os skręcana moment wypadkowy, dążący do przywrócena cału stanu równowag. Poneważ wartość momentu jest proporcjonalna do kąta skręcena, drgana torsyjne mogą być opsane w sposób podobny do drgań harmoncznych, przy czym równane ruchu należy opsać w oparcu o drugą zasadę dynamk dla ruchu obrotowego, a ne postępowego jak dla typowych drgań harmoncznych po ln prostej. Jeżel I 0 jest momentem bezwładnośc względem os OO, to zgodne z wyrażenem (1) drgana torsyjne można opsać równanem I d D dt 0 (14) Znak we wzorze (14) wynka z równowag momentu skręcającego wywołanego słam zewnętrznym przecwne skerowanego momentu wywołanego naprężena- m wewnętrznym. Analogczne jak w przypadku drgań harmoncznych, rozwązane równana (14) można zadać w postac 0 sn t (15) 9

gdze 0 oznacza ampltudę drgań, - prędkość kątową - fazę początkową ruchu, którą przy odpowednm doborze chwl początkowej pomaru czasu t można przyjąć równą zeru. Oblczając druge pochodne z wyrażena (15) wraz z tym wyrażenem wstawając je do równana (14) oraz zastępując prędkość kątową przez okres drgań T ( = ), po prostych przekształcenach otrzymamy T T I0 D (16) Należy podkreślć, że zależność (16) jest słuszna dla odkształcena neprzekraczającego grancy proporcjonalnośc, zdefnowanej w prawe Hooke a. W tym zakrese drgana są zochronczne, nezależne od ch ampltudy. Klasyczne wahadło torsyjne stanow drut sprężysty, którego jeden konec zamocowany jest w neruchomym uchwyce, a na drugm końcu zaweszone jest cało, zazwyczaj w postac bryły o regularnych kształtach, umożlwających łatwe określene momentu bezwładnośc I 0. Moment kerujący D takego wahadła, na podstawe wyrażena (1), jest równy 4 R G D l (17) W nnejszym ćwczenu drgana torsyjne wykonuje wbrator osadzony pomędzy dwoma napętym drutam. Jest to węc pewnego rodzaju dwustronne wahadło torsyjne. Moment kerujący, pochodzący od dwóch drutów o tych samych własnoścach mechancznych, długoścach l 1, l średncach R 1 R, może być określony jako suma momentów kerujących od obydwu drutów (D = D 1 + D ) w oparcu o wzór (17) zapsany jako 1 G D R l R l ll 4 4 1 1 (18) Ze wzoru (18) można wyznaczyć moduł sztywnośc G, jeśl zostane określona wartość D. Znając moment bezwładnośc wbratora I 0 merząc okres drgań T, można wartość D wylczyć bezpośredno ze wzoru (16). W przypadku wahadła z nnejszego ćwczena wbrator składa sę z ramy o momence bezwładnośc I or dwóch krążków o momentach bezwładnośc I ok względem os OO przechodzącej przez środek mas ramy krążków. Wypadkowy moment bezwładnośc względem os OO można oznaczyć jako I 0 = I or + I ok, którego wartość ne jest znana. Odległość krążków od os obrotu można zmenać. Dla odległośc r od os obrotu masy m każdego z krążków całkowty moment bezwładnośc, określony na podstawe twerdzena Stenera, wynos I I mr 0 (19) 10

Po uwzględnenu równana (19) wzór (16) przyjmuje postać T I 0 m r D (0) Aby wyelmnować neznaną wartość I 0 oblczyć D, należy zmerzyć okres T dla dwóch położeń krążków, tzn. T 1 dla r 1 T dla r. Otrzymamy układ dwóch równań z dwema newadomym, rozwązane którego względem D prowadz do wyrażena r r1 1 D 8 m T T dla r > r1 (1) Przyrównując wzory (18) (1) oraz przyjmując R 1 = R = R, otrzymamy wyrażene na moduł sztywnośc, które w ogólnej postac można zapsać jako G j m l1l r j r 4 (l1l ) j 16 R T T () Perwszy człon wyrażena () zawera parametry konkretnego układu pomarowego można go traktować jako stałą aparaturową 16 m l l 1 A R 4 ( l 1 l ) (3) Równane () można wówczas zapsać w uproszczonej postac jako rj r Gj A T j T (4) Dla wartośc l 1 = 0,174 m, l = 0,190 m, R = 0,4 10 3 m m = 0,190 kg, charakteryzujących dany układ, stała A = 3,4 10 13 kg m 3. IV. Zestaw pomarowy Dwustronne wahadło torsyjne wyposażone w układ pozwalający na zlczane lczby drgań oraz czasu ch trwana. 11

V. Przebeg ćwczena 1. Ustawć krążk w pozycj maksymalne zsunętej (środek masy w odległośc r 1 = cm od os obrotu).. Sprawdzć, czy ustawene wahadła w położenu równowag odpowada zeru na skal kątowej przeprowadzć, w raze potrzeby, korektę. 3. Włączyć przyrząd do sec wcsnąć przycsk СЕТЬ (SIEĆ). 4. Wychylć wahadło o kąt około 10 z położena równowag zmerzyć czas 10 pełnych drgań. Układ pokazuje lczbę czas trwana pełnych okresów. Aby odlczane zostało przerwane automatyczne po 10 drganach, należy wcsnąć przycsk STOP w momence wyśwetlana cyfry 9 na lcznku drgań. 5. Odczytać wskazana mlsekundomerza, oblczyć okres T 1 wynk wpsać do tabel. 6. Wyzerować przyrząd, wcskając przycsk СБРОС. 7. Pomary powtórzyć 10-krotne dla tego samego ustawena krążków, za każdym razem odchylając wahadło od położena równowag o kąt około 10. 8. Ustawć krążk na odległość ch środka masy od os obrotu równą r = 6 cm. UWAGA: Należy czynność tę wykonywać ostrożne, aby ne uszkodzć drutu stalowego wahadła, na którym jest ono zaweszone. 9. Powtórzyć czynnośc od punktu 4 do 7 dla pomaru okresu T. 10. Analogczne pomary okresu T 3 wykonać dla przypadku r 3 = 9 cm. 1

VI. Tabela pomarowa 13

VII. Opracowane ćwczena 1. Oblczyć (z wartośc średnch T, j( T, j)) moduł sztywnośc drutu stalowego na podstawe wzoru 16 m l1l gdze A R 4 ( l l ) 1 j j r Gj A T r T dla trzech możlwych kombnacj wynkających z rozstawena krążków. Dla wartośc: l1 (0,174 0, 001) m l (0,190 0,001) m 3 R (0, 4 0,005) 10 m m (0,190 0,00001) kg charakteryzujących dany układ, stała A = 3,4 10 13 kg m 3.. Przyjmując współczynnk Possona 0, 7, oblczyć moduł Younga E, korzy- stając z zależnośc E G 1 śr VIII. Rachunek błędu 1. Błędy T1, T, T 3 oblczyć metodą Gaussa w oparcu o wzór T, gdze T T nn ( 1), n = 10. Błąd G oblczyć metodą różnczk zupełnej. W oblczenach przyjąć: wartość błędu A = 0, 10 13 kg m 3 - oblczoną z zależnośc m A A m R 4 R l l l 1 1 l l l 1 l będącej wynkem oblczena różnczk zupełnej (3), gdze l 1 = l = l = 10 3 m, R = 5 10 6 m m = 10 3 kg, 14

wartośc r 1 = r = r 3 = r = 10 3 m oblczone w punkce 1 wartośc T1, T, T 3. Można pokazać, że zwęzły zaps wzoru na G ma postać; j j j j j r r r r r r Gj A A r A T T T T T T T T T T j j j 3. Oblczyć wartość E, różnczkując wzór (13) oraz przyjmując stałą Possona jako welkość tablcową neobarczoną błędem. 4. Przeprowadzć dyskusję uzyskanych wynków. Lteratura 1. Feynman R.P., Leghton R.B., Sands M., Feynmana wykłady z fzyk, T., cz., PWN, Warszawa 1974.. Hrabowska J., Tykarsk L., Laboratorum podstaw fzyk, Wydawnctwo Poltechnk Warszawskej, Warszawa 1986. 3. Konarzewsk Z., Podstawy techncznej mechank cała stałego, WNT, Warszawa 1985. 4. Lech J., Opracowane wynków pomarów w laboratorum podstaw fzyk, Wydawnctwo Wydzału Inżyner Procesowej, Materałowej Fzyk Stosowanej PCz, Częstochowa 005. 5. Respondowsk R., Laboratorum z fzyk, Wydawnctwo Poltechnk Śląskej, Glwce 1999. 6. Szczenowsk S., Fzyka dośwadczalna, cz. 1, Mechanka akustyka, PWN, Warszawa 1980. 7. Szydłowsk H., Pracowna fzyczna wspomagana komputerem, Wydawnctwo Naukowe PWN, Warszawa 003. 8. Zawadzk A., Hofmokl H., Laboratorum fzyczne, PWN, Warszawa 1968. 15