Opracowanie prof. J. Domsta 1 Algorytm FLEURY'ego: Twierdzenie 6.5 G-graf eulerowski. Wtedy cykl Eulera otrzymujemy nastepująco: a) Start w dowolnym wierzchołku b) Krawędzie w dowolnej kolejności po przebyciu usuń c) przez most tylko w ostateczności Wskazać algorytm dla drogi Eulera w grafie pół-eulerowskim. 9 Własnści drzew. Twierdzenie 9.1 T-graf o n wierzchołkach NWSR a) T jest drzewem (z def. Spójny, bez cykli) b) T nie ma cykli i ma n-1 krawędzi c) T jest spójny i ma n-1 krawędzi d) T jest spójny i każda krawędź jest mostem e) Każde dwa wierzchołki połączone dokładnie jedną drogą f) T nie ma cykli i zbiór krawędzi minimalny ze względu na tę cechę. Uwaga! Usuwanie krawędzi cykli prowadzi do drzewa spinającego (rozpinającego) graf [spójny]; las spinający; rząd cykliczności; fundamentalny zbiór cykli: 8.2.0 Jeśli graf eulerowski, to cykl Eulera rozwiązuje. 8.2.1 Przykład grafu: 8.2.1 analiza: Ponieważ jest to graf półeulerowski, więc mamy trasę pokrywającą jednokrotnie z B do E; jej dlugość wynosi 64. Rozwiązanie zatem redukuje się do znalezienia najkrótszej drogi z E do B czyli (E,6,F,4,A,3,B) o długości 13.
Opracowanie prof. J. Domsta 2 8.2.1 UWAGA: Dołączenie krawędzi EF, FA i AB uczyni graf eulerowskim. 8.3.0 Przykład grafu: K 5 z wagami: 8.3.1 UWAGA: Znaleźć cykl Hamiltona o najmniejszej wadze całkowitej 8.3.2 UWAGA: Można badać długości wszystkich cykli ale dla K 20 byloby to (19!)/2 6 10 16 możliwości 8.3.3 UWAGA: Przykład przybliżonej procedury w 11. 8.3.4 SPRÓBOWAĆ ZNALEŹĆ RĘCZNIE najkrótszy i najdłuższy cykl Hamiltona dla grafu Rys.8.5 To samo dla K 5 z wagami 4, 5, 6, 7, 6, 2, 3, 3, 2, 4 Rys.8.9 LAS GRAF bez cykli DRZEWO = LAS spójny Graf dwunastościanu jest hamiltonowski Rys. 7.4
Opracowanie prof. J. Domsta 3 8 Zagadnienia optymalizacyjne: 8.1 Najkrótszej drogi między wierzchołkami 8.2 Najkrótsza trasa zamknięta pokrywająca wszystkie krawędzie (zadanie chińskiego listonosza) 8.3 Najkrótsza trasa zamknięta przechodząca przez wszystkie wierzchołki (problem komiwojażera) 8.1.0 Graf dla zadania 8.1 (graf z wagami) 8.1.1 UWAGA l (A, L) l (A, B, D, G, J, L) = 18 8.1.3 ALGORYTM(Y) ROZWIĄZUJĄCY(E) PRAKTYCZNY DLA MAŁYCH GRAFÓW SZNURKI NADAJĄCY SIĘ DO STOSOWANIA Z UŻYCIEM MASZYN: KROK 0: l(a)=0, (l(a,a)) KROK 1: Posuwajmy się w prawo o jeden (dla B, E i C) wybieramy: C i piszemy: l * (C)=2, l * - ostatnie. Pozostawiamy tymczasowo l 1 (E)=9, l 2 (B)=3. KROK 2: Od C poruszamy się znowu o jeden w prawo (do E i F) l 1 (F) = l * (C) +9 l 2 (E) = l * (C)+6 i podtrzymujemy zainteresowanie B: l 2 (B) = 3 Wybieramy l * (B) = 3. KROK 3: Z B do E i D l 3 (E) = l * (B) + 4 = 7...Wybieramy l * (D) = 5, l * (E) = 7 itd... l * (G) = 8 l * (H) = 9 l * (F) = 10 l * (I) = 12 l * (J) = 13 l * (K) = 14 l * (L) = 17 Prosty nie ma pętli i krawędzi wielokrotnych Twierdzenie 5.2 n-k E (n-k)(n-k+1)/2, gdzie n= V k -ilość składowych
Opracowanie prof. J. Domsta 4 Wniosek 5.3 E > (n-1)(n-2)/2 => G spójny Zbiór rozspajający (krawędzi) Rozcięcie, to minimalny zbiór rozspajający Most, to rozcięcie 1-krawędziowe ; k spójny krawędziowo Zbiór rozdzielający (wierzchołków) Wierzchołek rozcinający ; k spójny wierzchołkowo Zadania do 5
Opracowanie prof. J. Domsta 5
Opracowanie prof. J. Domsta 6 6 Grafy eulerowskie 7 Grafy hamiltonowskie Twierdzenie 6.2 Graf spójny G jest grafem eulerowskim wtedy i tylko wtedy, gdy stopień każdego wierzchołka grafu G jest liczbą parzystą. Wniosek 6.4 Graf spójny jest grafem półeulerowskim wtedy i tylko wtedy, gdy ma dokładnie dwa wierzchołki nieparzystych stopni. Zadania do 6
Opracowanie prof. J. Domsta 7
Opracowanie prof. J. Domsta 8 Twierdzenie 7.1 PRZYKŁAD: (deg(u) + deg(v) n) => hamiltonowski dla u v hamiltonowski półeulerowski ani-ani Czworościan K 4 Sześcian Q 3 Ośmiościan Dwunastościan Dwudziestościan
Opracowanie prof. J. Domsta 9 Graf pełny dwudzielny K r,s ma r, s krawędzi K 4,3 Dopełnienie grafu prostego: Graf Petersena: Drogi i cykle: trasa (=marszruta) to ciag (w 1, e 1, w 2, e 2, w 3, e 3, w 4, e 4,..., e n-1, w n ), gdzie w 1, w 2,..., w n ϵ V, e 1, e 2,..., e n-1 ϵ E i φ(e j ) = {w j, w j+1 } wzgl. φ(e j ) = {w j, w j+1 } [{w j } gdy e j pętla] ścieżka to trasa bez powtarzania krawędzi droga to ścieżka bez powtarzania wierzchołków, chyba że wspólne końce, to wtedy cykl. Podać macierze sąsiedztwa incydencji M sąsiedztwa jakiego grafu? P incydencji jakiego grafu?
Opracowanie prof. J. Domsta 10 TYPY GRAFÓW: Pusty N n N 4 Pełny K n K 4 h 1 e 2 f i g i 4 3 Liniowy P n P 5 Cykliczny C n C 3 C 5 Regularny stopnia r: każdy wierzchołek stopnia r N n 0 regularny K n (n-1) regularny C n 2 regularny Platońskie: 4 ścian, 6 ścian 8 ścian, 12 ścian, 20 - ścian