Autoregresyjne modele o rozłożonych opóźnieniach - Autoregressive Distributed Lags models ADL
ADL Ogólna postać modelu ADL o p-opóźnieniach zmiennej zależnej i r-opóźnieniach zmiennej/zmiennych objaśniających jest następującą: y yt = µ + p r α y + β x + i t i j t j i= 1 j= 0 ξ t
Cel Oszacowanie długookresowego modelu popytu na szeroki pieniądz w Niemczech
Dane i zmienne odsezonowane kwartalne dane z okresów: 1975:01-1994:4 Zmienna zależna: m-logarytm nominalnej podaży Zmienne niezależne: y-logarytm realnego GDP p-logarytm poziomu cen rl, rs odpowiednio długo i krótkookresowa stopa procentowa D1990(1) 0-1(1-bardzo wysoki wzrost stóp procentowych, jaki nastąpił po upadku muru berlińskiego w 11.1989) D1991(1) 0-1(1-zmiana definicyjna szeregów m i y)
np.szoki Zasady wprowadzania 0-1 zmienne 1. jeśli zmienna objaśniana jest stacjonarną, to 0-1 zmienna dla okresu szoku powinna przyjmować wartości 0 przed nim oraz 1 w nim i we wszystkich kolejnych okresach. 2. dla zróżnicowanej zmiennej objaśnianej, zmienna 0-1 powinna przyjmować wartości 0 we wszystkich innych okresach, niż ten, na który wskazuje. 3. jeśli zmienna objaśniana jest niestacjonarna, to aplikuje się do niej podejście analogiczne jak do zmiennych zróżnicowanych.
Wstępna obróbka danych Zmienna czasowa: dane kwartalne: gen date=quarterly(obs,"yq") (dla Stat y 1960q1=0 itd.) dane miesięczne: gen date = monthly(obs, ym ) dane dzienne: gen date =daily(obs, yd )
Operator opóźnień Lx = x t t 1 gen y _1 = l. y gen y _ 2 = l. l. y gen y _ 22 = l2. y
Operator różnicowania Dx t = x x t t 1 gen dy = d. y
Wstępna obróbka danych zadeklarować szereg czasowy: tssetdate def: mr logarytm realnej podaży szerokiego pieniądza gen mr=m-p
Wykres zmiennej zależnej format date %tq scatter y date, c(l) s(i)
Wykres zmiennej zależnej mr 7.2 7.4 6.6 6.8 7 1975q1 1980q1 1985q1 1990q1 1995q1 date
Stacjonarność szeregów czasowych
Proces ytjest słabo stacjonarny, jeśli zachodzą trzy następujące warunki: E( yt) = μ -wartość oczekiwana nie zależy od t (jest stała w czasie) Var(yt) = σ 2 -wariancja nie zależy od t (jest stała w czasie) Cov( y t,y t+h ) =γ h -wartość kowariancji dla dwóch obserwacji zależy jedynie od odstępu miedzy nimi, a nie od momentów czasu z których pochodzą obserwacje Słaba stacjonarność
y t ~IID(0,σ 2 ), cov(y t,y t+h )=0 set obs1000 gen t=_n tsset t gen white_noise=2*invnorm(uniform()) tslinewhite_noise, title(biały szum szereg statjonarny) Biały szum
Biały szum szereg stacjonarny whit te_noise 0 5-10 -5 0 200 400 600 800 1000 t
dla α y t y t = 1 α + ε < 1 t, y t ε t ~ IID(0, σ - stacjonarna gen e = 10* invorm( uniform()) gen ar _1 = 0 replace ar _1 = 0.5* ar _1[_ n 1] + e if t > 1 tsline ar _1, title(pr oces AR(1) szereg stacjonarny) 2 ) AR(1)
Proces AR(1) - szereg stacjonarny -40-20 ar_1 0 20 40 0 200 400 600 800 1000 t
y + = y t t, ~ IID(0, ε ε σ 1 t t 2 ) gen e = 10*invnorm(uniform()) gen random_walk = 0 replace random_walk = random_walk[_n-1] + e if t > 1 tsline random_walk, title(badzenie przypadkowe - szereg niestacjonarny) Błądzenie przypadkowe
Bładzenie przypadkowe - szereg niestacjonarny 0 200 400 600 800 1000 t -400-200 random_walk 0 200 400
y + + = µ y t t t, ~ IID(0, ε ε σ 1 t 2 ) gen e = 10*invnorm(uniform()) gen random_walk_drift = 0 replace random_walk_drift=1+ random_walk_drift[_n-1] + e if t > 1 tsline random_walk_drift, title(bładzenie przypadkowe z dryfem - szereg niestacjonarny) Błądzenie przypadkowe z dryfem
Bładzenie przypadkowe z dryfem - szereg niestacjonarny 0 200 400 600 800 1000 t random_walk_drift -200 0 200 400 600
y t = α + β t + ε, ε I t t (0) gen e = 10*invnorm(uniform()) gen trend = 1 + 1.5*t + e tsline trend, title(trend deterministyczny - szereg niestacjonarny) Trend deterministyczny
1000 1500 Trend deterministyczny - szereg niestacjonarny 0 500 trend 0 200 400 600 800 1000 t
0 5 10 15 1996m1 1998m1 2000m1 2002m1 2004m1 2006m1 t ppi cpi ProducerPriceIndex
Szereg niestacjonarny Obliczając przyrosty d razy Szereg stacjonarny Szereg zintegrowany stopnia d
y t = δyt 1 + ε t H 0 : δ = 0, y t ~ I (1) H : δ < 0, y ~ I 1 t (0) Test Dickey a-fullera
. dfuller mr, reg Dickey-Fuller test for unit root Number of obs = 79 ---------- Interpolated Dickey-Fuller --------- Test 1% Critical 5% Critical 10% Critical Statistic Value Value Value ------------------------------------------------------------------------------ Z(t) 0.047-3.539-2.907-2.588 ------------------------------------------------------------------------------ MacKinnon approximate p-value for Z(t) = 0.9623 ------------------------------------------------------------------------------ D.mr Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] -------------+-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- mr L1..0004071.0086017 0.05 0.962 -.0167211.0175354 _cons.0072933.0602939 0.12 0.904 -.1127672.1273539 ------------------------------------------------------------------------------ Test DF
bgodfrey, lag(1,2,3,4). bgodfrey, lag(1,2,3,4) Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation --------------------------------------------------------------------------- lags(p) chi2 df Prob > chi2 -------------+------------------------------------------------------------- 1 0.087 1 0.7685 2 0.247 2 0.8838 3 0.273 3 0.9650 4 1.413 4 0.8419 --------------------------------------------------------------------------- H0: no serial correlation Test Breusha-Godfrey a
. dfuller rl, reg Dickey-Fuller test for unit root Number of obs = 79 ---------- Interpolated Dickey-Fuller --------- Test 1% Critical 5% Critical 10% Critical Statistic Value Value Value ------------------------------------------------------------------------------ Z(t) -1.891-3.539-2.907-2.588 ------------------------------------------------------------------------------ MacKinnon approximate p-value for Z(t) = 0.3364 ------------------------------------------------------------------------------ D.rl Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] -------------+---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- rl L1. -.0802097.0424217-1.89 0.062 -.164682.0042626 _cons.0058005.0032162 1.80 0.075 -.0006038.0122047 ------------------------------------------------------------------------------ Test DF
bgodfrey, lag(1,2,3,4). bgodfrey, lag(1,2,3,4) Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation --------------------------------------------------------------------------- lags(p) chi2 df Prob > chi2 -------------+------------------------------------------------------------- 1 10.067 1 0.0015 2 10.092 2 0.0064 3 17.164 3 0.0007 4 17.494 4 0.0015 --------------------------------------------------------------------------- H0: no serial correlation Test Breusha-Godfrey a
H H 0 1 : : δ δ = 0, < 0, y y t t ~ I (1) ~ I (0) Rozszerzony test Dickey a-fullera(adf)
Dfuller lr, lag(6) reg Augmented Dickey-Fuller test for unit root Number of obs = 75 ---------- Interpolated Dickey-Fuller --------- Test 1% Critical 5% Critical 10% Critical Statistic Value Value Value ------------------------------------------------------------------------------ Z(t) -2.979-3.545-2.910-2.590 ------------------------------------------------------------------------------ MacKinnon approximate p-value for Z(t) = 0.0369 ------------------------------------------------------------------------------ D.rl Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] -------------+---------------------------------------------------------------- rl L1. -.1378146.0462686-2.98 0.004 -.2301179 -.0455113 LD..3919772.1130658 3.47 0.001.1664172.6175372 L2D. -.0856411.1210537-0.71 0.482 -.3271365.1558544 L3D..296959.1193238 2.49 0.015.0589146.5350034 L4D..0757473.1218397 0.62 0.536 -.1673161.3188108 _cons.0103286.0035005 2.95 0.004.0033453.0173119 ------------------------------------------------------------------------------. Test ADF
bgodfrey, lag(1/4) Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation --------------------------------------------------------------------------- lags(p) chi2 df Prob > chi2 -------------+------------------------------------------------------------- 1 0.252 1 0.6157 2 0.546 2 0.7612 3 3.367 3 0.3384 4 3.370 4 0.4979 --------------------------------------------------------------------------- H0: no serial correlation Test Breusha-Godfrey a
Ctr+3 Search search net resources Kpss ściągnąć
Test KPSS
kpssmr KPSS test for mr Maxlag = 3 chosen by Schwert criterion Autocovariances weighted by Bartlett kernel Critical values for H0: mr is trend stationary 10%: 0.119 5% : 0.146 2.5%: 0.176 1% : 0.216 Lag order Test statistic 0 1.27 1.666 2.461 3.359 (trendostacjonarność) Test KPSS
. kpssd.mr KPSS test for D.mr Maxlag = 3 chosen by Schwert criterion Autocovariances weighted by Bartlett kernel Critical values for H0: D.mr is trend stationary 10%: 0.119 5% : 0.146 2.5%: 0.176 1% : 0.216 Lag order Test statistic 0.0656 1.0679 2.0709 3.0731 Test KPSS
Różnicowanie sezonowe np. kwartalne W modelu tym jedna ze zmiennych objaśniających jest też inflacja. Przyjmując standardowa definicje, że inflacja to stosunek poziomu cen w jednym okresie do poziomu cen w analogicznym okresie poprzedniego roku oraz pamiętając, że dysponujemy danymi kwartalnymi, mamy: S 4. p = p p t t 4 gen infl = s4. p
Estymacja modelu ADL Model ten szacowany jest na danych kwartalnych, zasadne wydaje się wiec wprowadzenie do modelu 4-tych opóźnień zmiennych objaśniających: regmr mrl(1/4). l(1/4).mr l(0/4).y l(0/4).rl rll(0/4). l(0/4).rsl(0/4). (0/4).infl
. reg mr l(1/4).mr l(0/4).y l(0/4).rl l(0/4).rs l(0/4).infl Source SS df MS Number of obs = 72 -------------+------------------------------ F( 24, 47) = 945.33 Model 3.01207846 24.125503269 Prob > F = 0.0000 Residual.00623977 47.000132761 R-squared = 0.9979 -------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.9969 Total 3.01831823 71.042511524 Root MSE =.01152 ------------------------------------------------------------------------------ mr Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] -------------+---------------------------------------------------------------- mr L1.4818321.1373894 3.51 0.001.2054402.758224 L2.1192527.1584921 0.75 0.456 -.1995922.4380977 L3 -.00118.1516368-0.01 0.994 -.3062339.3038739 L4.2803261.1208494 2.32 0.025.0372084.5234437 y --.8968104.1094731 8.19 0.000.6765789 1.117042 L1 -.2809869.1701515-1.65 0.105 -.6232875.0613136 L2.1399059.1697937 0.82 0.414 -.201675.4814869 L3 -.2086981.1661559-1.26 0.215 -.5429607.1255644 L4 -.466172.1632066-2.86 0.006 -.7945014 -.1378426 rl -- -1.246127.4687432-2.66 0.011-2.189117 -.3031376 L1 -.8481297.5969669-1.42 0.162-2.049072.3528127 L2 -.0676684.5826964-0.12 0.908-1.239902 1.104565 L3.0219818.6139018 0.04 0.972-1.213029 1.256993 L4 -.1431698.4655973-0.31 0.760-1.079831.7934911 rs --.2135951.3028149 0.71 0.484 -.3955899.8227801 L1.3634735.4380099 0.83 0.411 -.5176889 1.244636 L2.3734125.4539829 0.82 0.415 -.5398832 1.286708 L3 -.1547505.4627622-0.33 0.740-1.085708.7762069 L4.5602553.3337952 1.68 0.100 -.1112541 1.231765 infl -- -1.120536.3860404-2.90 0.006-1.89715 -.3439232 L1 -.3930992.4178171-0.94 0.352-1.233639.4474403 L2.9594039.3653446 2.63 0.012.2244254 1.694382 L3.1646009.3643801 0.45 0.654 -.5684373.8976391 L4 -.1648241.3130702-0.53 0.601 -.79464.4649919 _cons.4270942.1676436 2.55 0.014.0898387.7643497 ------------------------------------------------------------------------------
Testowanie własności składnika losowego modelu ogólnego bgodfrey, lags(1/4) Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation --------------------------------------------------------------------------- lags(p) chi2 df Prob > chi2 -------------+------------------------------------------------------------- 1 0.564 1 0.4526 2 0.835 2 0.6587 3 3.391 3 0.3352 4 4.541 4 0.3377 --------------------------------------------------------------------------- H0: no serial correlation
Ustalanie liczby opóźnień Liczbę opóźnień w modelu ogólnym ustaliłyśmy na podstawie kryterium od ogólnego do szczególnego. W pierwszej kolejności przetestowałyśmy łączną nieistotność ostatniego opóźnienia zmiennych objaśniających:
test l4.mr l4.y l4.rl l4.rs l4.infl ( 1) L4.mr = 0 ( 2) L4.y = 0 ( 3) L4.rl = 0 ( 4) L4.rs = 0 ( 5) L4.infl = 0 Ustalanie liczby opóźnień F( 5, 47) = 2.35 Prob> F = 0.0550
Estymacja modelu ADL reg mr l(1/3).mr l(0/3).y l(0/3).rl l(0/3).rs l(0/3).infl bgodfrey, lags(1/4) test l3.mr l3.y l3.rl l3.rs l3.infl
Estymacja modelu ADL reg mr l(1/2).mr l(0/2).y l(0/2).rl l(0/2).rs l(0/2).infl bgodfrey, lags(1/4) test l2.mr l2.y l2.rl l2.rs l2.infl
Estymacja modelu ADL reg mr l.mr l(0/1).y l(0/1).rl l(0/1).rs l(0/1).infl bgodfrey, lags(1/4) test l.mr l.y l.rll.rs l.infl
. reg mr l.mr l(0/1).y l(0/1).rl l(0/1).rs l(0/1).infl Source SS df MS Number of obs = 75 -------------+------------------------------ F( 9, 65) = 2120.19 Model 3.35314375 9.372571528 Prob > F = 0.0000 Residual.011422176 65.000175726 R-squared = 0.9966 -------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.9961 Total 3.36456592 74.045467107 Root MSE =.01326 ------------------------------------------------------------------------------ mr Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] -------------+---------------------------------------------------------------- mr L1.7932862.0680278 11.66 0.000.6574254.929147 y --.7460206.1104052 6.76 0.000.5255261.966515 L1 -.4977262.1389543-3.58 0.001 -.7752372 -.2202152 rl -- -.4479079.4484861-1.00 0.322-1.343596.4477807 L1 -.3273151.4659596-0.70 0.485-1.257901.6032705 rs -- -.2431632.3061701-0.79 0.430 -.8546272.3683007 L1.6131564.323313 1.90 0.062 -.0325442 1.258857 infl -- -.5863993.32241-1.82 0.074-1.230296.0574978 L1.0862325.2974352 0.29 0.773 -.5077866.6802516 _cons -.064995.1064897-0.61 0.544 -.2776697.1476796 ------------------------------------------------------------------------------
bgodfrey, lags(1/4) Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation --------------------------------------------------------------------------- lags(p) chi2 df Prob > chi2 -------------+------------------------------------------------------------- 1 2.316 1 0.1280 2 2.745 2 0.2535 3 3.201 3 0.3617 4 3.221 4 0.5215 --------------------------------------------------------------------------- H0: no serial correlation. test l.mr l.y l.rl l.rs l.infl ( 1) L.mr = 0 ( 2) L.y = 0 ( 3) L.rl = 0 ( 4) L.rs = 0 ( 5) L.infl = 0 F( 5, 65) = 44.17 Prob > F = 0.0000
Testy test (infl=0) (l.infl=0) ( 1) infl = 0 ( 2) L.infl = 0 F( 2, 65) = 2.08 Prob > F = 0.1337. test (rl=0) (l.rl=0) ( 1) rl = 0 ( 2) L.rl = 0 F( 2, 65) = 3.69 Prob > F = 0.0305. test (rs=0) (l.rs=0) ( 1) rs = 0 ( 2) L.rs = 0 F( 2, 65) = 2.84 Prob > F = 0.0657
. reg mr l.mr l(0/1).y l(0/1).rl Source SS df MS Number of obs = 79 -------------+------------------------------ F( 5, 73) = 4407.49 Model 3.92284433 5.784568866 Prob > F = 0.0000 Residual.012994594 73.000178008 R-squared = 0.9967 -------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.9965 Total 3.93583892 78.050459473 Root MSE =.01334 ------------------------------------------------------------------------------ mr Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] -------------+---------------------------------------------------------------- mr L1..8814233.046446 18.98 0.000.7888565.97399 y --..709332.1066869 6.65 0.000.4967053.9219587 L1. -.5513783.1201648-4.59 0.000 -.7908664 -.3118902 rl --. -.5894596.3134861-1.88 0.064-1.214237.0353172 L1..3001099.323639 0.93 0.357 -.3449016.9451214 _cons -.1400171.0862021-1.62 0.109 -.3118177.0317835 ------------------------------------------------------------------------------
. bgodfrey, lags(1/4) Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation --------------------------------------------------------------------------- lags(p) chi2 df Prob > chi2 -------------+------------------------------------------------------------- 1 1.707 1 0.1914 2 2.688 2 0.2609 3 2.980 3 0.3948 4 3.045 4 0.5503 --------------------------------------------------------------------------- H0: no serial correlation. test l.mr l.y l.rl ( 1) L.mr = 0 ( 2) L.y = 0 ( 3) L.rl = 0 F( 3, 73) = 133.66 Prob > F = 0.0000
~ Testy diagnostyczne Normalność rozkładu składnika losowego ε (Test Jarque a-bery ) 2 ε ~ N( µ, σ ε 2 N( µ, σ ) ) skladnik skladnik losowy ma rozklad normalny losowy nie ma rozkladu normalnego
.predict reszty, r sktest reszty Skewness/Kurtosis tests for Normality ------- joint ------ Variable Pr(Skewness) Pr(Kurtosis) adj chi2(2) Prob>chi2 -------------+------------------------------------------------------- reszty 0.000 0.000 19.65 0.0001 histogram reszty, bin(40) kdensity reszty,norm
Reszty Wygenerujmy reszty dla tego modelu: predict reszty, r scatter reszty data Na podstawie wykresu czystych reszt czasami trudno jest wnioskować. Wygenerujmy reszty standaryzowane, które jeśli wyraźnie przekraczają wartość 2 (co do wartości bezwzględnej), to mogą wskazywać na obserwacje odstające. predict resztysd, rstudent scatter resztysd data
Obserwacje odstające Widać, że jedna z obserwacji wyraźnie odstaje. Uwzględnijmy więc w modelu opisywane zmienne zerojedynkowe: reg mr l.mr l(0/1).y l(0/1).rl d19901 d19911 predict resztysd1, rstudent scatter resztysd1 data sktest reszty1
Test RESET Test na prawidłowość formy funkcyjnej: Ovtest Ramsey RESET test using powers of the fitted values of mr Ho: model has no omitted variables F(3, 70) = 0.64 Prob > F = 0.5935
Test Breusha-Pagana hettest, rhs Breusch-Pagan / Cook-Weisberg test for heteroskedasticity Ho: Constant variance Variables: L.mr y L.y rl L.rl chi2(5) = 78.43 Prob > chi2 = 0.0000
Test White imtest, white White's test for Ho: homoskedasticity against Ha: unrestricted heteroskedasticity chi2(20) = 71.01 Prob > chi2 = 0.0000
. reg mr l.mr l(0/1).y l(0/1).rl, robust Linear regression Number of obs = 79 F( 5, 73) = 5781.43 Prob > F = 0.0000 R-squared = 0.9967 Root MSE =.01334 ------------------------------------------------------------------------------ Robust mr Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] -------------+---------------------------------------------------------------- mr L1..8814233.0406001 21.71 0.000.8005074.9623391 y --..709332.3317677 2.14 0.036.0481198 1.370544 L1. -.5513783.2996202-1.84 0.070-1.14852.0457639 rl --. -.5894596.3375535-1.75 0.085-1.262203.0832836 L1..3001099.3446618 0.87 0.387 -.3868002.98702 _cons -.1400171.0876854-1.60 0.115 -.3147738.0347396 ------------------------------------------------------------------------------
Interpretacja mnożników -bezpośrednich - logarytm realnego GDP Β 0 = 0.71 interpretacja: wzrost realnego GDP o 1% powoduje natychmiastowy wzrost realnej podaży pieniądza o 0,71%. - Długookresowa stopa procentowa: Β 0 = -0.59 interpretacja: wzrost długookresowejstopy procentowej o 1% powoduje natychmiastowy spadek realnej podaży pieniądza o 0.59%
Interpretacja mnożników -długookresowych Wzór ogólny: - logarytm realnego GDP : interpretacja: w długim okresie wzrost realnego GDP o 1 % powoduje. 0 1 α - Długookresowa stopa procentowa : interpretacja: w długim okresie wzrost długookresowej stopy procentowej. β = β + β 1 1
Równowaga długookresowa y* x = µ * + +β *
Testowanie przyczynowości w sensie Grangera. reg mr l.mr l.y l.rl Source SS df MS Number of obs = 79 -------------+------------------------------ F( 3, 75) = 4622.05 Model 3.91466508 3 1.30488836 Prob > F = 0.0000 Residual.021173842 75.000282318 R-squared = 0.9946 -------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.9944 Total 3.93583892 78.050459473 Root MSE =.0168 ------------------------------------------------------------------------------ mr Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] -------------+---------------------------------------------------------------- mr L1..8955657.0577514 15.51 0.000.780519 1.010612 y L1..1418283.0780771 1.82 0.073 -.0137093.2973659 rl L1. -.2418308.1626483-1.49 0.141 -.5658428.0821813 _cons -.1355191.1079873-1.25 0.213 -.3506408.0796026 ------------------------------------------------------------------------------
Testowanie przyczynowości w sensie. test l.y ( 1) L.y = 0. test l.rl Grangera F( 1, 75) = 3.30 Prob > F = 0.0733 ( 1) L.rl = 0 F( 1, 75) = 2.21 Prob > F = 0.1413
Heteroskedastycznośćwarunkowa Test LM. archlm, lags(1/4) LM test for autoregressive conditional heteroskedasticity (ARCH) -------------------------------------------------------------------- lags(p) chi2 df Prob > chi2 -------------+-------------------------------------------------------- 1 0.004 1 0.9526 2 0.040 2 0.9802 3 0.077 3 0.9944 4 0.077 4 0.9993 ---------------------------------------------------------------------- H0: no ARCH effects vs. H1: ARCH(p) disturbance
Badanie występowania heteroscedastycznościwarunkowej Jeśli wariancja zaburzenia losowego modelu nie jest stabilna w czasie mamy do czynienia z grupowaniem wariancji występowanie specyficznej formy heteroscedastyczności Najprostsza postac modelu ARCH(1)
Badanie występowania heteroscedastycznościwarunkowej
ARCH(1)
Test mnożników Lagrange ana występowanie efektu ARCH Hipoteza ta jest testowana za pomocą statystyki LM = TR 2, gdzie T i R 2 oznaczają odpowiednio liczbę obserwacji oraz R 2 dla regresji (*). Statystyka testowa ma rozkład (asymptotyczny) chi kwadrat z q stopniami swobody.
Dziękuję za uwagę