Periodický pohyb obecného ve dvou dimenzích Autor: Šárka Petříčková (A05221, sarpet@students.zcu.cz) Vedoucí: Ing. Petr Nečesal, Ph.D. Matematické metody v aplikovaných vědách a ve vzdělávání, Fakulta aplikovaných věd, Západočeská univerzita v Plzni Matematické modelování, 7. 2. 2008 Šárka Petříčková 7.2.2008 1 / 14
Program prezentace 1 Motivace 2 Harmonický oscilátor 3 Speciální typ obecného Popis systému Analytické řešení Postup získání periodických řešení Vizualizace 4 Další cíle Šárka Petříčková 7.2.2008 2 / 14
Definice úlohy Systém dvou nelineárních diferenciálních rovnic druhého řádu s po částech konstantními funkcemi k(x, y) and l(x, y) x + k(x, y)x = 0, y + l(x, y)y = 0, Cílem je pro speciální volbu funkcí k(x, y) a l(x, y) zformulovat podmínky pro existenci periodických řešení. Šárka Petříčková 7.2.2008 3 / 14
Motivace Motivace Mechanika, elektrotechnika (LC obvody), optika, kvantová fyzika, chemie, biologie Dvourozměrný mechanický oscilátor s tuhostí pružin měnící se v závislosti na znaménku souřadnic x, y okamžité výchylky (tyč kmitající mezi čtyřmi stěnami různých tuhostí) l 1 k 1 k 2 l 2 Šárka Petříčková 7.2.2008 4 / 14
Harmonický oscilátor oscilátor Popis systému Netlumený oscilátor jednotkové hmotnosti bez přidané budící síly Oscilace okolo stabilní rovnovážné pozice Hookův zákon x + kx = 0 y + ly = 0 x(t) = A sin( kt) y(t) = B sin( lt ϕ) Lissajousovy obrazce J. A. Lissajous (FR, 1822-1880), N. Bowditch (USA, 1773-1838) Trajektorie je uzavřená právě tehdy, když platí k l podmínkách. Q, nezávisle na počátečních Šárka Petříčková 7.2.2008 5 / 14
Speciální typ obecného Systém dvou nelineárních diferenciálních rovnic druhého řádu se speciálními, po částech konstantními, funkcemi k(x) and l(x) x + k(x)x = 0, y + l(x)y = 0, { k1 pro x > 0, k(x) = k 2 pro x 0, { l1 pro x > 0, l(x) = l 2 pro x 0. Šárka Petříčková 7.2.2008 6 / 14
Speciální typ obecného Systém může být přepsán jako x + k 1 x + k 2 x = 0, (1) y + l 1 χ(x + )y l 2 χ(x )y = 0, (2) x + := max{x, 0}, x := max{ x, 0}, χ(x + ) = { 1 pro x > 0, 0 pro x 0, χ(x ) = { 1 pro x < 0, 0 pro x 0. Vlastnosti (1) - nezávislá na y and pozitivně homogenní (Fučíkova rovnice) (2) - lineární (Meissnerova rovnice [E. MEISSNER, Über Schüttel-schwingungen in Systemen mit Periodisch Veranderlicher Elastizität; Schweizer Bauzeitung, 72, No. 10 (1918), pp. 95-98.]) (1)+(2) - autonomní Šárka Petříčková 7.2.2008 7 / 14
Analytické řešení pro x S. Fučík (CR, 1944-1979)[ S. FUČÍK; Solvability of Nonlinear Equations and Boundary Value Problems, D. Reidel Publishing Company, Dordrecht (1980), Chpt. 40-43, pp. 304-331.] E. N. Dancer (AUS, 1946 - )[E. N. DANCER, On the Dirichlet problem for weakly nonlinear elliptic partial differential equations, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 76A (1977), pp. 283-300.] Analytická metoda střelby, lepení půlvln Autonomní a pozitivně homogenní systém = x(0) = 0, x (0) = 1 x(t) = { 1 k1 sin( k 1t) for t (0, T 0) 1 k2 sin( k 2( π k1 t)) for t (T 0, T ) T 0 = π k1 T = nπ k1 + nπ k2 n N Šárka Petříčková 7.2.2008 8 / 14
Analytické řešení pro x S. Fučík (CR, 1944-1979)[ S. FUČÍK; Solvability of Nonlinear Equations and Boundary Value Problems, D. Reidel Publishing Company, Dordrecht (1980), Chpt. 40-43, pp. 304-331.] E. N. Dancer (AUS, 1946 - )[E. N. DANCER, On the Dirichlet problem for weakly nonlinear elliptic partial differential equations, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 76A (1977), pp. 283-300.] Analytická metoda střelby, lepení půlvln Autonomní a pozitivně homogenní systém = x(0) = 0, x (0) = 1 x(t) = { 1 k1 sin( k 1t) for t (0, T 0) 1 k2 sin( k 2( π k1 t)) for t (T 0, T ) T 0 = π k1 T = nπ k1 + nπ k2 n N Šárka Petříčková 7.2.2008 8 / 14
Analytické řešení pro y Výběr první Fučíkovy křivky (n = 1) Řešení pro y (pro l 1 > 0, l 2 > 0) y(t) = { y1(t) = A sin( l 1t) + B cos( l 1t), t (0, T 0) y 2(t) = C sin( l 2(t T )) + D cos( l 2(t T )), t (T 0, T ). Periodické podmínky y(0) = y(t ) y (0) = y (T ) y(t 0 ) = y(t 0+) y (T 0 ) = y (T 0+) Systém čtyř rovnic o neznámých A,B,C,D a l 1,l 2 Eliminace A,B,C,D Implicitní předpis F (l 1, l 2) = 0 křivek 2 sin( l 1T 0) sin( l 2(T 0 T )) ( l1 +l 2 l1 l2 ) 2 cos( l 2(T 0 T )) cos( l 1T 0) = 0 Šárka Petříčková 7.2.2008 9 / 14
Analytické řešení pro y Výběr první Fučíkovy křivky (n = 1) Řešení pro y (pro l 1 > 0, l 2 > 0) y(t) = { y1(t) = A sin( l 1t) + B cos( l 1t), t (0, T 0) y 2(t) = C sin( l 2(t T )) + D cos( l 2(t T )), t (T 0, T ). Periodické podmínky y(0) = y(t ) y (0) = y (T ) y(t 0 ) = y(t 0+) y (T 0 ) = y (T 0+) Systém čtyř rovnic o neznámých A,B,C,D a l 1,l 2 Eliminace A,B,C,D Implicitní předpis F (l 1, l 2) = 0 křivek 2 sin( l 1T 0) sin( l 2(T 0 T )) ( l1 +l 2 l1 l2 ) 2 cos( l 2(T 0 T )) cos( l 1T 0) = 0 Šárka Petříčková 7.2.2008 9 / 14
Analytické řešení pro y Výběr první Fučíkovy křivky (n = 1) Řešení pro y (pro l 1 > 0, l 2 > 0) y(t) = { y1(t) = A sin( l 1t) + B cos( l 1t), t (0, T 0) y 2(t) = C sin( l 2(t T )) + D cos( l 2(t T )), t (T 0, T ). Periodické podmínky y(0) = y(t ) y (0) = y (T ) y(t 0 ) = y(t 0+) y (T 0 ) = y (T 0+) Systém čtyř rovnic o neznámých A,B,C,D a l 1,l 2 Eliminace A,B,C,D Implicitní předpis F (l 1, l 2) = 0 křivek 2 sin( l 1T 0) sin( l 2(T 0 T )) ( l1 +l 2 l1 l2 ) 2 cos( l 2(T 0 T )) cos( l 1T 0) = 0 Šárka Petříčková 7.2.2008 9 / 14
Analytické řešení pro y Výběr první Fučíkovy křivky (n = 1) Řešení pro y (pro l 1 > 0, l 2 > 0) y(t) = { y1(t) = A sin( l 1t) + B cos( l 1t), t (0, T 0) y 2(t) = C sin( l 2(t T )) + D cos( l 2(t T )), t (T 0, T ). Periodické podmínky y(0) = y(t ) y (0) = y (T ) y(t 0 ) = y(t 0+) y (T 0 ) = y (T 0+) Systém čtyř rovnic o neznámých A,B,C,D a l 1,l 2 Eliminace A,B,C,D Implicitní předpis F (l 1, l 2) = 0 křivek 2 sin( l 1T 0) sin( l 2(T 0 T )) ( l1 +l 2 l1 l2 ) 2 cos( l 2(T 0 T )) cos( l 1T 0) = 0 Šárka Petříčková 7.2.2008 9 / 14
Analytické řešení pro y Výběr první Fučíkovy křivky (n = 1) Řešení pro y (pro l 1 > 0, l 2 > 0) y(t) = { y1(t) = A sin( l 1t) + B cos( l 1t), t (0, T 0) y 2(t) = C sin( l 2(t T )) + D cos( l 2(t T )), t (T 0, T ). Periodické podmínky y(0) = y(t ) y (0) = y (T ) y(t 0 ) = y(t 0+) y (T 0 ) = y (T 0+) Systém čtyř rovnic o neznámých A,B,C,D a l 1,l 2 Eliminace A,B,C,D Implicitní předpis F (l 1, l 2) = 0 křivek 2 sin( l 1T 0) sin( l 2(T 0 T )) ( l1 +l 2 l1 l2 ) 2 cos( l 2(T 0 T )) cos( l 1T 0) = 0 Šárka Petříčková 7.2.2008 9 / 14
Analytické řešení pro y Výběr první Fučíkovy křivky (n = 1) Řešení pro y (pro l 1 > 0, l 2 > 0) y(t) = { y1(t) = A sin( l 1t) + B cos( l 1t), t (0, T 0) y 2(t) = C sin( l 2(t T )) + D cos( l 2(t T )), t (T 0, T ). Periodické podmínky y(0) = y(t ) y (0) = y (T ) y(t 0 ) = y(t 0+) y (T 0 ) = y (T 0+) Systém čtyř rovnic o neznámých A,B,C,D a l 1,l 2 Eliminace A,B,C,D Implicitní předpis F (l 1, l 2) = 0 křivek 2 sin( l 1T 0) sin( l 2(T 0 T )) ( l1 +l 2 l1 l2 ) 2 cos( l 2(T 0 T )) cos( l 1T 0) = 0 Šárka Petříčková 7.2.2008 9 / 14
Postup získání periodických řešení 1) Volba n-té křivky Fučíkova spektra a jednoho z parametrů k 1, k 2 pro danou periodu 2) Určení druhého parametru použitím předpisu pro Fučíkovo spektrum Šárka Petříčková 7.2.2008 10 / 14
Postup získání periodických řešení 1) Volba n-té křivky Fučíkova spektra a jednoho z parametrů k 1, k 2 pro danou periodu 2) Určení druhého parametru použitím předpisu pro Fučíkovo spektrum Šárka Petříčková 7.2.2008 10 / 14
Postup získání periodických řešení 1) Volba n-té křivky Fučíkova spektra a jednoho z parametrů k 1, k 2 pro danou periodu 2) Určení druhého parametru použitím předpisu pro Fučíkovo spektrum Šárka Petříčková 7.2.2008 10 / 14
Postup získání periodických řešení 1) Volba n-té křivky Fučíkova spektra a jednoho z parametrů k 1, k 2 pro danou periodu 2) Určení druhého parametru použitím předpisu pro Fučíkovo spektrum 3) Výběr bodu na křivce zadané implicitně F (l 1, l 2) = 0 v (l 1, l 2)-rovině Šárka Petříčková 7.2.2008 10 / 14
Postup získání periodických řešení 1) Volba n-té křivky Fučíkova spektra a jednoho z parametrů k 1, k 2 pro danou periodu 2) Určení druhého parametru použitím předpisu pro Fučíkovo spektrum 3) Výběr bodu na křivce zadané implicitně F (l 1, l 2) = 0 v (l 1, l 2)-rovině Šárka Petříčková 7.2.2008 10 / 14
Postup získání periodických řešení 4) Určení počátečních podmínek pro proměnnou y 5) Vytvoření grafů Šárka Petříčková 7.2.2008 11 / 14
Vizualizace Šárka Petříčková 7.2.2008 12 / 14
Vizualizace Šárka Petříčková 7.2.2008 12 / 14
Vizualizace Šárka Petříčková 7.2.2008 12 / 14
Vizualizace Šárka Petříčková 7.2.2008 12 / 14
Vizualizace Šárka Petříčková 7.2.2008 12 / 14
Vizualizace Šárka Petříčková 7.2.2008 12 / 14
Vizualizace Šárka Petříčková 7.2.2008 12 / 14
Vizualizace Šárka Petříčková 7.2.2008 12 / 14
Vizualizace Šárka Petříčková 7.2.2008 12 / 14
Vizualizace Šárka Petříčková 7.2.2008 12 / 14
Další cíle Další cíle Vytvoření obecného řešiče úlohy pro libovolnou křivku Fučíkova spektra Přidání tlumení a budicí síly Šárka Petříčková 7.2.2008 13 / 14
Reference Další cíle E. A. Coddington, N. Levinson, Theory od Ordinary Differential Equations, McGraw-Hill Inc., 1955, Chpt. 1., pp. 1-41. E. N. DANCER, On the Dirichlet problem for weakly nonlinear elliptic partial differential equations, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 76A (1977), pp. 283-300. S. FUČÍK; Solvability of Nonlinear Equations and Boundary Value Problems, D. Reidel Publishing Company, Dordrecht (1980), Chpt. 40-43, pp. 304-331. E. MEISSNER, Über Schüttel-schwingungen in Systemen mit Periodisch Veranderlicher Elastizität; Schweizer Bauzeitung, 72, No. 10 (1918), pp. 95-98. P. NEČESAL, Nonlinear boundary value problems with asymmetric nonlinearities - periodic solutions and the Fučík spectrum, Ph.D. thesis, University of West Bohemia, Pilsen, 2003. Šárka Petříčková 7.2.2008 14 / 14