M-0: Pomiar przyspieszenia grawitacyjnego

M-0: Pomiar przyspieszenia grawitacyjnego Bogdan Damski Fizyka (05/03/2019) I. WPROWADZENIE Celem tego ćwiczenia jest pomiar przyspieszenia grawitacyjnego, które bedziemy oznaczać symbolem g. Takie przyspieszenie ma każde cia lo, które spada swobodnie w polu grawitacyjnym Ziemi. Jego wartość można oszacować znajac mase Ziemi, jej średni promień i sta l a grawitacyjna [1]. Bardziej szczegó lowe rozważania uwzgledniaja poprawki do tak uzyskanej wielkości wynikajace z ruchu obrotowego Ziemi, wysokości nad poziomem morza, niejednorodności w rozk ladzie masy Ziemi, etc. [1]. Przez spadek swobodny rozumiemy ruch odbywajacy sie wy l acznie na skutek dzia lania si ly grawitacji. Poza si l a grawitacji, na każde cia lo poruszajace sie w powietrzu, dzia la również si la oporu. Jej eliminacja jest możliwa poprzez umieszczenie spadajacego cia la w komorze próżniowej. W naszym eksperymencie bedziemy jednak badać spadek metalowej kulki w powietrzu i za lożymy, że wp lyw oporu powietrza na jej ruch bedzie w pierwszym przybliżeniu zaniedbywalny. Takie za lożenie na pewno staje sie poprawne, gdy masa kulki jest duża, a jej promień i predkość spadania sa wzglednie ma le. Rozważmy teraz spadek swobodny kulki zaczynajacy sie z zerowa predkości a poczatkow a w kierunku dzia lania si ly grawitacji. Jeśli w czasie jego trwania cia lo pokonuje w czasie t droge h w w/w kierunku, to zachodzi zwiazek [1] 2h t = g. (1) Korzystajac z (1) wyznaczymy na kilka sposobów przyspieszenie grawitacyjne dzieki pomiarowi odleg lości i czasu spadku. Uzyskane wyniki porównamy do wartości tablicowej równej w przybliżeniu 9.81 m (2) s 2 w Krakowie [2]. Z szacunków pochodzacych ze strony [2] wnioskujemy, że niepewność (2) jest mniejsza niż 10 2 m/s 2. Bedziemy ja zatem pomijać podczas dyskusji naszych wyników, które sa obarczone wielokrotnie wieksz a niepewnościa. To wprowadzenie jest niereprezentatywnie krótkie z powodu prostoty omawianego ćwiczenia. II. OPIS DOŚWIADCZENIA Uk lad doświadczalny bazuje na parze fotokomórek zamontowanych na statywie (Rys. 1). Ich odleg lość w pionie można precyzyjnie zmieniać w zakresie od paru centymetrów do oko lo 80 cm. Fotomokórki sa pod l aczone do miernika, który wyświetla czas jaki up lywa miedzy przes lonieciem górnej i dolnej fotokomórki. Czas jest wyświetlany z dok ladnościa

2 Rysunek 1: Zdjecie uk ladu pomiarowego. Fotokomórki sa zamontowane w obudowach o kszta lcie litery C i przymocowane do statywu umieszczonego na pod lodze. Na stole powyżej nich znajduje sie miernik oraz drugi statyw, do którego przymocowany jest bloczek i uchwyt. Ich rola w eksperymencie jest wyjaśniona w rozdziale II. do tysiecznych cześci sekundy. Ponieważ nie posiadamy informacji na temat dok ladności miernika, bedziemy ja pomijać w dalszej dyskusji. W doświadczeniu badamy czas spadku metalowych kulek miedzy fotokomórkami. Wykonujemy to ćwiczenie w trzech wariantach. Pomiary przy ustalonej odleg lości mi edzy fotokomórkami. W tym przypadku korzystamy z kulki, która ma przyspawany ma ly uchwyt do którego przywiazujemy nić. Nastepnie, korzystajac z bloczka przymocowanego do statywu znajdujacego sie nad fotokomórkami, opuszczamy powoli kulke na nitce w kierunku górnej fotokomórki obserwujac miernik. W momencie, w którym miernik zaczyna mierzyć czas, cofamy minimalnie, czyli o

3 oko lo 1 mm, kulke naciagaj ac przymocowana do niej nitke. Zerujemy miernik i sprawdzamy, że tak ustawiona kulka go nie uruchamia. Nastepnie przepalamy zapalniczka nitke blisko kulki, która spadajac uruchamia, a nastepnie zatrzymuje pomiar czasu jeśli przeleci przez pole widzenia dolnej fotokomórki. Aby tak sie sta lo, oscylacje kulki przed przepaleniem nitki sa minimalizowane, aby mia la ona prawie zerowa predkość w kierunku poziomym. Pomiary wykonujemy dwudziestokrotnie dla jednej odleg lości miedzy fotokomórkami. Przed ich wykonaniem justujemy uk lad: poziomujemy fotokomórki i tak ustawiamy bloczek, aby spadajaca kulka przecina la pole widzenia fotokomórek. Pomiary przy zmiennej odleg lości mi edzy fotokomórkami. Zmieniamy po lożenie górnej fotokomórki trzymajac dolna fotokomórke na sta lej wysokości. Wykonujemy pieć pomiarów dla każdej odleg lości miedzy fotokomórkami w identyczny sposób jak wyżej opisaliśmy. Pomiary przy ustalonej odleg lości mi edzy punktem zrzutu a dolna fotokomórka. W tym przypadku kulka spada za każdym razem z tej samej wysokości rozpoczynajac ruch wysoko nad górna fotokomórka. Podczas gdy po lożenie dolnej fotokomórki jest ustalone, po lożenie górnej jest zmieniane. Dla każdej odleg lości miedzy fotokomórkami wykonujemy sześć pomiarów. Aby zagwarantować prawie identyczny punkt zrzutu dla wszystkich pomiarów, umieszczamy na stole nad zestawem fotokomórek drugi statyw i mocujemy na nim uchwyt na wysokości wzroku, czyli oko lo 1.5 m nad dolna fotokomórka. Staramy sie kulke zrzucać z tej samej wysokości wzgledem uchwytu. Szacujemy rozrzut poczatkowego po lożenia kulki na ±1 mm w pionie. Uk lad justujemy tak samo jak wcześniej. W pierwszych dwóch wariantach ćwiczenia kulka mia la średnice (25.3±0.1) mm i mase (67.51 ± 0.01) g, a w ostatnim mia la średnice (36.4 ± 0.1) mm i mase (196.93 ± 0.01) g (podane niepewności maja charakter systematyczny). Powyższe dane nie bed a wykorzystywane do opracowania ćwiczenia, ponieważ nie uwzgledniamy oporu powietrza w naszych rozważaniach. Pomiary odleg lości miedzy fotokomórkami zosta ly wykonane taśma miernicza. III. OPRACOWANIE WYNIKÓW POMIARÓW Obliczenia prezentowane w tym rozdziale zosta ly wykonane w programie Mathematica. W szczególności regresja liniowa zosta la wykonana procedura LinearModelFit w tym programie. Wykresy zosta ly przygotowane w programie Xmgrace. Pomiary przy ustalonej odleg lości mi edzy fotokomórkami. Przy za lożeniu, że ruch kulki zaczyna sie zaraz nad górna fotokomórka, dostajemy z (1) nastepuj acy wynik na przyspieszenie grawitacyjne g = 2h t, (3) 2 gdzie h jest odleg lościa miedzy fotokomórkami a t jest czasem przelotu miedzy nimi. Wykonaliśmy 20 pomiarów czasu przelotu, z których uzyskaliśmy t = t±σ t = (0.4008±0.0022)s, (4) gdzie jako niepewność podajemy odchylenie standardowe średniej arytmetycznej. Poza w/wniepewnościastatystyczn a, mamyjeszczeniepewnośćsystematyczna pomiaru odleg lości miedzy fotokomórkami. Szacujemy ja na ±3 mm, co daje nam h = h± h = (0.839±0.003)m. (5)

4 0.4 0.3 t[s] 0.2 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 h[ m] Rysunek 2: Czas przelotu kulki miedzy fotokomórkami w funkcji pierwiastka odleg lości miedzy nimi. Punkty pokazuja uśredniony arytmetycznie dla każdej odleg lości wynik pomiaru. Linia pochodzi z dopasowania do nich prostej danej równaniem (9). Aby ja otrzymać, wykonaliśmy regresje klasyczna [3]. Jako niepewności punktów na wykresie przyjeliśmy odchylenia standardowe średniej arytmetycznej z pomiarów wykonanych dla każdej odleg lości. Sa one mniejsze niż rozmiar wiekszości punktów na wykresie. Niepewność statystyczna i systematyczna zmierzonej wartości przyspieszenia grawitacyjnego wyznaczamy ze wzorów ( g ) 2 σ g = t σ t = 4 h t 3 σ t, (6) g = g h h = 2 t 2 h, (7) co ostatecznie daje g = ḡ ±σ g ± g = (10.45±0.11±0.04) m s2. (8) Pomiary przy zmiennej odleg lości mi edzy fotokomórkami. Ponownie korzystamy z (1), gdzie h jest odleg lościa miedzy fotokomórkami, a t jest uśrednionym arytmetycznie czasem przelotu. Zak ladamy, że ruch kulki zaczyna sie zaraz nad górna fotokomórka. Dopasowujemy zatem linie prosta do punktów ( h,t) otrzymujac t = a h+b, a = ā±σ a = (0.447±0.006) s m, b = b±σ b = ( 0.012±0.004)s. (9a) (9b) (9c)

5 0.18 0.15 0.12 t[s] 0.09 0.06 0.03 0 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 H h[ m] Rysunek 3: Czas przelotu kulki miedzy fotokomórkami w funkcji pierwiastka odleg lości miedzy punktem zrzutu, a pierwsza fotokomórka. Punkty pokazuja uśredniony arytmetycznie pomiar czasu. Prosta pochodzi z regresji klasycznej, której wynik podajemy w(14). Niepewności punktów, szacowane przez odchylenia standardowe średniej arytmetycznej, sa dużo mniejsze niż rozmiar punktów na wykresie. Punkty pomiarowe i dopasowana prosta przedstawiamy na Rys. 2. Porównujac (9a) z (1) dostajemy co pozwala nam na otrzymanie g = 2 a2, (10) g = ḡ ±σ g = (9.99±0.26) m s2, (11) ( g ) 2 σ g = ā σ a = 4 ā 3σ a. (12) Wynik (11) jest w lepszej zgodności z wartościa tablicowa niż wielokrotny pomiar dla pojedynczej wysokości (8). Pomiary przy ustalonej odleg lości mi edzy punktem zrzutu a dolna fotokomórka. Spodziewamy sie nastepuj acej zależności dla uśrednionego arytmetycznie czasu przelotu t miedzy fotokomórkami 2H t = g 2(H h), (13) g gdzie H jest odleg lościa miedzy punktem zrzutu a dolna fotokomórka a h jest odleg lościa miedzy fotokomórkami.

6 Powyższy wzór można uzasadnić zauważajac, że 2H/g jest czasem przelotu kulki miedzy punktem zrzutu a dolna fotokomórka, natomiast 2(H h)/g jest czasem spadku od punktu zrzutu do górnej fotokomórki. Odleg lość miedzy punktem zrzutu a górna fotokomórka, H h, nie mierzymy bezpośrednio gdyż jest to uciażliwe. Dlatego dopasowujemy prosta do punktów ( H h,t) dostajac t = c H h+d, c = c±σ c = ( 0.4522±0.0014) d = d±σ d = (0.5582±0.0014)s. s m, (14a) (14b) (14c) Te prosta wraz z wynikami pomiarów przedstawiamy na Rys. 3. Z porównania (13) i (14a) dostajemy i z tej zależności wyznaczamy przyspieszenie grawitacyjne g = 2 c 2 (15) g = ḡ ±σ g = (9.78±0.06) m s2, (16) ( g ) 2 σ g = c σ c = 4 c 3σ c. (17) Przyspieszenie grawitacyjne można też wyznaczyć z wyrazu wolnego. Porównujac (13) i (14a) dostajemy co prowadzi do g = 2H d 2, (18) g = ḡ ±σ g ± g = (9.78±0.05±0.02) m s2, (19) ( g ) 2 σ g = d σ d = 4 H d 3 σ d, (20) g = g H H = H. (21) 2 d2 Do opracowania tych wyników potrzebowaliśmy odleg lość miedzy punktem zrzutu a dolna fotokomórka H = H ± H = (1.523±0.003)m. (22) Wyniki (16) i (19) sa ze soba zgodne. IV. DYSKUSJA Patrzac na wyniki (8), (11), (16) i (19) zauważamy nastepuj ace problemy wymagajace g lebszej analizy

7 wynik (8) istotnie przeszacowuje wartość przyspieszenia grawitacyjnego, pomiary prowadzace do (11) sa zdecydowanie mniej dok ladne niż te prowadzace do wyników (16) i (19). Ponadto wyraz wolny z dopasowania prowadzacego do (11) znika dopiero w granicy trzech odchyleń standardowych (9c). Wynik (8) jest o oko lo 6.5% za duży i nawet po uwzglednieniu niepewności pomiarowych istotnieodbiegaodwartościtablicowej. W/wstwierdzeniemożnauzasadnićkonwertuj ac niepewność statystyczna i systematyczna do ca lkowitej niepewności statystycznej, która można oszacować poprzez [3] ( ) 2 g σ g = σg 2 + 0.11 m 3 s2. (23) Zauważamy teraz, że różnica miedzy (2) i (8) wynosi prawie 6 σ g, co oznacza, że jest nieprawdopodobne, aby te wyniki by ly ze soba zgodne. To z kolei sugeruje, że istnieje nieuwzgledniony w naszej analizie czynnik prowadzacy do przeszacowania przyspieszenia grawitacyjnego w tych pomiarach. Aby go zidentyfikować, zauważamy, że kulka zawsze startuje troche powyżej górnej fotokomórki, powiedzmy ǫ ponad nia. Korzystajac ze wzoru (13), gdzie podstawiamy H = h+ǫ dostajemy 2(h+ǫ) 2ǫ t = g g. (24) Biorac pod uwage sposób wykonania ćwiczenia, szacujemy, że ǫ powinien być rzedu 1mm. Oznacza to, że h + ǫ możemy przybliżyć przez h, ponieważ stosunek tych dwóch wielkości jest rzedu 1/1000 ( h+ǫ = h 1+ ǫ ) h. (25) h Nie możemy natomiast pominać drugiego wyrazu zawierajacego ǫ, co latwo widać jeśli porównamy 2 1mm 0.014s, (26) g do czasu spadania kulki (4): stosunek tych dwóch wielkości wynosi 3.5% i jest wystarczajaco duży aby wyjaśnić rozbieżność miedzy wynikiem (8) a wartościa tablicowa (2). Aby oszacować wartość ǫ w naszym eksperymencie, wstawiamy (25) do(24), przekszta lcamy uzyskany wynik do postaci ( ) 2 ǫ = g 2h 2 g t, (27) podstawiamy za g wartość (2) i korzystamy z (4) i (5). Otrzymujemy ǫ = ǫ±σ ǫ ± ǫ = (0.8±0.3±0.1)mm, (28) ( ǫ ) 2 σ ǫ = t σ t = 2 hg g t σ t, (29) ǫ = ǫ g h h = 1 2 h t h. (30)

8 Wniosek z tych rachunków jest nastepuj acy. Aby wyt lumaczyć rozbieżność miedzy (2) i (8) wystarczy przyjać, że różnica odleg lości miedzy górna fotokomórka i poczatkowym po lożeniem kulki wynosi oko lo 0.8 mm. Wartość ǫ możemy niezależnie wyznaczyć z dopasowania prostej (9). Porównujac (9a) z (24), po uwzglednieniu przybliżenia (25), widzimy, że b = a ǫ, czyli co pozwala nam uzyskać ǫ = ( ) 2 b, (31) a ǫ = ǫ±σ ǫ = (0.66±0.44)mm, (32) ( ǫ ) 2 ( ) 2 ǫ σ ǫ = ā σ a + b σ b = 2 b 2 (σa ) 2 ( σb ) 2. + (33) ā b Wynik (32) jest zgodny z oszacowaniem (28). Warto też zauważyć, że wielkość 2ǫ g można traktować jako systematyczne przesuniecie czasu przelotu, które jest gubione przy za lożeniu, że kulka rozpoczyna ruch idealnie nad górna fotokomórka. Nie jest ono zaniedbywalne, ponieważ, potocznie mówiac, pierwiastek powieksza ma l a wielkość. Ponadto możemy teraz latwo zrozumieć, dlaczego wyniki pomiarowe prezentowane na Rys. 3 tak dobrze uk ladaja sie na dopasowanej prostej. W tym przypadku po lożenie poczatkowe kulki też fluktuuje o oko lo 1 mm w pionie, ale teraz ta fluktuacja pojawia sie jako poprawka do H i H h w (13) bed acych rzedu 1m, a zatem podobnie jak w (25) jest ona zaniedbywalna. Podsumowujac, omawiany eksperyment zosta l wykonany w trzech wersjach. Uzyskane wyniki różnia sie dok ladnościa wyznaczenia wartości przyspieszenia grawitacyjnego. Najdok ladniejszy z nich daje nam poprawna wartość przyspieszenia grawitacyjnego z niepewnościa wzgledn a 0.6% liczona jako stosunek odchylenia standardowego wyniku do jego wartości. Pozosta le dwa wyniki sa istotnie mniej dok ladne, co zosta lo przez nas szczegó lowo wyt lumaczone. ā 2 (34) [1] D. Halliday i R. Resnick, Fizyka, tom 1 (PWN, 1983). [2] Physikalisch-Technische Bundesanstalt, https://www.ptb.de/cartoweb3/sisproject.php. [3] A. Magiera, I Pracownia Fizyczna (IFUJ, 2007).