Zmienne losowe. dr Mariusz Grządziel Wykład 12; 20 maja 2014

Podobne dokumenty
Zmienne losowe. dr Mariusz Grzadziel. rok akademicki 2016/2017 semestr letni. Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu

Dyskretne zmienne losowe

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)

Wykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa

6. Zmienne losowe typu ciagłego ( ) Pole trapezu krzywoliniowego

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej

3. Podstawowe pojęcia statystyki matematycznej i rachunku prawdopodobieństwa wykład z Populacja i próba

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa

Wykłady 14 i 15. Zmienne losowe typu ciągłego

Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady

Wykład 13. Zmienne losowe typu ciągłego

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.

Statystyka i eksploracja danych

Zmienne losowe. Powtórzenie. Dariusz Uciński. Wykład 1. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek

Pojęcie szeregu nieskończonego:zastosowania do rachunku prawdopodobieństwa wykład 1

Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014

Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe

Wykład 11: Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa

Rozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,

Zmienne losowe. Statystyka w 3

Rachunku prawdopodobieństwa: rys historyczny, aksjomatyka, prawdopodobieństwo warunkowe,

Wykład 3 Momenty zmiennych losowych.

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Wykład 3 Momenty zmiennych losowych.

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski

P (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: Własności dystrybuanty zmiennej losowej:

Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015

Statystyka matematyczna

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2

Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/

Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie

Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych

Przestrzeń probabilistyczna

Rozkłady prawdopodobieństwa

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Zmienna losowa. Rozkład skokowy

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:

Prawdopodobieństwo i statystyka

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3

PRAWDOPODOBIEŃSTWO. ZMIENNA LOSOWA. TYPY ROZKŁADÓW

WSTĘP. Tematy: Regresja liniowa: model regresji liniowej, estymacja nieznanych parametrów. Wykład:30godz., ćwiczenia:15godz., laboratorium:30godz.

zdarzenie losowe - zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno.

Kwantyle. Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p. , że. Możemy go obliczyć z dystrybuanty: P(X x p.

Statystyka matematyczna

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady

Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/

Elementy Rachunek prawdopodobieństwa

Zmienne losowe skokowe

Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego

07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe

Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

Wykład 10 ( ). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego

Centralne twierdzenie graniczne

Lista 1 1. Ile jest tablic rejestracyjnych formatu LL CCCC? A ile CC LLLL?

Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Jednowymiarowa zmienna losowa

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

WYKŁAD 6. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki

Statystyka matematyczna dla leśników

Wykład 10 Testy jednorodności rozkładów

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

Rachunek Prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne

W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)

Statystyka. Wykład 2. Krzysztof Topolski. Wrocław, 11 października 2012

Matematyka dla biologów Zajęcia nr 13.

Pojęcie funkcji. Funkcja liniowa

I. Kombinatoryka i prawdopodobieństwo. g) różnowartościowych, h) bez miejsc zerowych, i) z jednym miejscem zerowym, j) z dwoma miejscami zerowymi,

1 Elementy kombinatoryki i teorii prawdopodobieństwa

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa

Przykłady 6.1 : charakterystyki liczbowe rozkładów dyskretnych

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl

Wynik pomiaru jako zmienna losowa

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 4 Regresja i dyskryminacja liniowa

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1.

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej

1 Wykład 3 Generatory liczb losowych o dowolnych rozkładach.

Transkrypt:

Zmienne losowe dr Mariusz Grządziel Wykład 2; 20 maja 204 Definicja. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie wartości z zadanego przedziału (a, b), nie jest zmienną losową dyskretną, ponieważ elementów tego przedziału nie da się ustawić w ciąg ("ponumerować"). - G. Cantor 873 twierdzenie wszystkich liczb rzeczywistych nie da się ustawić w ciąg. Rozkład dyskretnej zmiennej losowej Zbiór wartości dyskretnej zmiennej losowej X ciąg x, x 2,..., (skończony lub nieskończony). Rozkład zmiennej losowej dyskretnej X jest określony przez nieujemne liczby p, p 2,... spełniające warunki: pi, () p i P (X x i ). (2) Dyskretne zmienne losowe przykłady y: Rozkład U, sumy oczek w dwukrotnym rzucie kostką; Rozkład Z, gdzie Z oznacza liczbę rzutów monetą, po której po raz pierwszy wypada orzeł (zdarzeniu polegającemu na tym, że orzeł wypadnie już w pierwszym rzucie, odpowiada wartość zmiennej Z równa 0). z niezależności zdarzeń: ( ) k+, P (Z k) k 0,, 2,.... 2 Zmienna losowa Z przykład dyskretnej zmiennej losowej, dla której zbiór wartości: {0,, 2,...} nie jest skończony.

Dystrybuanta rozkładu dyskretnego Przypomnijmy, że dystrybuantę F X rozkładu zmiennej losowej X określamy wzorem: F X (t) P (X t). Można udowodnić, że dystrybuanta zmiennej losowej dyskretnej jest funkcją: przedziałami stałą (schodkową); prawostronnie ciągłą. Jeśli V ma rozkład Bin(2; 0,8), to jej dystrybuanta F V dana wzorem 0 x < 0 0,04 x [0, ) F V (x) 0,36 x [, 2) x [2, ) Funkcja kwantylowa Jeśli zmienna losowa X ma dystrybuantę ciągłą i rosnącą na R (zbiorem wartości F X jest (0, )), to funkcję kwantylową Q X określamy jako funkcję odwrotną do dystrybuanty F X. Jeśli F X jest ściśle rosnąca na przedziale I, a dla argumentów spoza tego przedziału przybiera wartości 0 lub, to funkcję kwantylową określamy jako funkcję odwrotną do funkcji G X, której dziedzina jest równa I, określoną wzorem G X (t) F X (t), t I. Dla zmiennej losowej Y o rozkładzie jednostajnym U(0, ), której gęstość g dana jest wzorem 0 x < 0 g(x) x [0, ] 0 x (, ) funkcja kwantylowa Q Y jest dana wzorem: Q Y (t) t, t (0, ). Dla zmiennej losowej W typu ciągłego, której gęstość h dana jest wzorem 0 x < 0 h(x) x/2 x [0, 2] 0 x (2, ) 2

funkcja kwantylowa Q W jest dana wzorem: Q W (t) 2 t, t (0, ). Funkcja kwantylowa c.d. Dla dyskretnej zmiennej losowej X(i dla zmiennych, które nie są dyskretne, ale nie spełniają wyżej wymienionych warunków) funkcję kwantylową Q X można określić wzorem Q X (u) min{t R : F X (t) u}, u (0, ), gdzie F X oznacza dystrybuantę zmiennej losowej X. Uwaga Definicję tę można stosować dla dowolnej zmiennej losowej; w przypadku, gdy zmienna losowa ma dystrybuantę: rosnącą na R; rosnącą na przedziale I, a dla argumentów spoza tego przedziału przybiera wartości 0 lub, wartości funkcji Q X (u) są równe wartościom funkcji kwantylowej zdefiniowanej uprzednio dla tych szczególnych klas zmiennych losowych. Dla zmiennej losowej V funkcja kwantylowa Q V ma postać 0, t (0; 0,04]; Q V (t), t (0,04; 0,36]; 2, t (0,36; ); Zmienne losowe typu ciagłego Definicja 2. Mówimy, że zmienna losowa X jest typu ciagłego, jeśli istnieje nieujemna funkcja g taka, że dla każdych a < b P (a X b) b a g(x)dx. Funkcja g to tzw. funkcja gęstości rozkładu zmiennej losowej X. Zmienna losowa o rozkładzie wykładniczym Mówimy, że zmienna losowa typu ciągłego X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ > 0 jeżeli jej funkcja gęstości g ma postać { 0, x 0, g(x) λe λx (3), x > 0. 3

Zmienna losowa o rozkładzie wykładniczym: zastosowania czas bezawaryjnej pracy pewnych przedmiotów (urządzeń), takich jak np. żarówka; czas oczekiwania na rozpad cząsteczki radioaktywnej; wartości maksymalne dziennego opadu w danym roku. Można uzasadnić, że jeśli X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ > 0, to F X (t) e λt oraz EX λ, V arx λ 2. Rozkład wykładniczy: brak pamięci Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ > 0. Dla dowolnych a i b dodatnich prawdziwa jest równość: Istotnie P (X > a + b X a) P (X > b). P (X > a + b) P (X > a) P (X > a) exp [ λ(a + b)] exp [ λb] P (X > b). exp [ λ(a)] P (X > a + b X > a) P (X > a + b) P (X > a) Interpretacja: X jest czasem bezawaryjnej pracy pewnego urządzenia, to niezależnie od dotychczasowego czasu pracy tego urządzenia, dalszy czas pracy ma taki sam rozkład jak całkowity czas pracy (czyli rozkład wykładniczy z parametrem λ). Zmienna losowa o rozkładzie wykładniczym: przykład zastosowań Czas życia żarówki X jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z wartością oczekiwaną równą 0 (jednostką pomiaru jest miesiąc). Chcemy obliczyć: prawdopodobieństwo, że żarówka będzie bezawaryjnie funkcjonować przez 5 miesięcy; kwantyl rzędu 0,95 czasu życia żarówki. Rozwiazanie Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ /0. 5 P (X 5) 0 0 e x/0 dx [ e x/0 ] 5 0 e 3/2 0,223302. Prawdopodobieństwo to można obliczyć wykorzystując pakiet R w następujący sposób: > -pexp(3/2) [] 0.223302 4

Zmienna losowa o rozkładzie wykładniczym: przykład zastosowań c.d. Oznaczmy kwantyl rzędu 0,95 dla rozkładu zmiennej X mającej rozkład wykładniczy z parametrem λ 0, przez c. Stała c spełnia jest rozwiązaniem równania: Stąd: c 0 0 e x/0 dx 0,95. e c/0 0,95; e c/0 0,05; c 0 log 20 29,95732. Kwantyl ten można obliczyć przy użyciu R: > qexp(0.95,0.) [] 29.95732 c/0 log 0,05 log 20; Lektura uzupełniajaca T. Bednarski, Elementy matematyki w naukach ekonomicznych. Oficyna ekonomiczna. Kraków 2004, str. 228 234. Koronacki, J., Mielniczuk, J. Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych. WNT. Warszawa 200, podrozdział 2.2., str. 94 0. 5