Krzysztof Kępczyński Zagadnienie paryskiej ruiny w gaussowskim modelu ryzyka

Uniwersytet Wrocław Wydział Matematyki i Informatyki Instytut matematyczny specjalność: zastosowania rachunku prawdopodobieństwa i statystyki Krzysztof Kępczyński Zagadnienie paryskiej ruiny w gaussowskim modelu ryzyka Praca licencjacka napisana pod kierunkiem prof. dr. hab. Krzysztofa Dębickiego Wrocław 07

Spis treści Wprowadzenie 3 Wstęp 4. Podstawowe definicje i użyteczne fakty............. 4. Model............................... 8 3 Prawdopodobieństwo paryskiej ruiny 3. Logarytmiczna asymptotyka................... 3. Dokładna asymptotyka...................... 9

Wprowadzenie Od wielu lat postępuje intensywny rozwój branży ubezpieczeniowej. Celem zakładów ubezpieczeniowych jest wypłata odpowiednich świadczeń w razie wystąpienia skutków zdarzeń losowych w zamian za regularnie wpłacane składki. Jedno z istotnych zagadnień polega na doborze wysokości składek oraz ustaleniu wysokości kapitału początkowego tak, aby zmaksymalizować zyski i zminimalizować prawdopodobieństwa bankructwa. Odpowiednią świata matematyki na ten problem jest teoria ryzyka. Jednym z zagadnień, które bada jest tak zwana ruina. To pojęcie można interpretować jako wystąpienie chwili, w której kapitał firmy jest mniejszy od zera. Zagadnienie ruiny zostało już dokładnie przebadane w bardzo ogólnych modelach, m. in. w [], [7] i [9]. W rzeczywistym świecie może zdarzyć się również sytuacja, w której w jednym roku kapitał firmy jest mniejszy od zera, natomiast w kolejnych latach - większy. W takim przypadku lepszym rozwiązaniem, niż ogłaszanie bankructwa, wydaje się być wzięcie pożyczki lub przeczekanie roku. Również w tym przypadku matematyka ma propozycję jak modelować taki problem. Jest nią paryska ruina. Oznacza ona sytuację, w której kapitał firmy jest mniejszy od zera przez pewien czas. To zagadnienie, choć istotne z punktu widzenia branży ubezpieczeniowej, nie zostało jeszcze dokładnie zbadane. Poruszane było m. in. w [3] i [4]. Niniejsza praca zawiera pewne nowe wyniki w tej dziedzinie. Zostanie w niej zbadane prawdopodobieństwo paryskiej ruiny w przypadku dyskretnym, tzn. sytuacji, w której kapitał firmy jest mniejszy od zera w kilku kolejnych chwilach. Będąc bardziej precyzyjnym, zbadane zostanie asymptotyczne zachowanie tego prawdopodobieństwa, gdy kapitał początkowy dąży do nieskończoności. Rozdział zawiera niezbędne definicje, dokładny opis modelu i kilka pomocniczych faktów. Rozdział 3 stanowi zasadniczą część pracy. Przedstawione w nim zostaną twierdzenia dotyczące prawdopodobieństwa paryskiej ruiny. Rozdział ten składa się z dwóch części. Pierwsza zawiera logarytmiczną asymptotykę prawdopodobieństwa paryskiej ruiny, druga - dokładną.

Wstęp. Podstawowe definicje i użyteczne fakty Ten rozdział zawiera podstawowe definicje i fakty, które będą przydatne w dalszej części pracy. Mówimy, że funkcje rzeczywiste f i g są asymptotycznie równoważne, gdy f(u) u =. Piszemy wtedy f(u) = g(u) g(u)( + o() ), Piszemy X N(µ, σ ), gdy X jest zmienną losową o rozkładzie normalnym ze średnią µ i wariancją σ. Piszemy (X, Y ) N ( µ, Σ ), gdy (X, Y ) jest wektorem losowym o dwuwymiarowym rozkładzie normalnym z wektorem wartości oczekiwanych µ = (µ, µ ) oraz macierzą kowariancji Σ. Lemat. Niech X N(0, ). Wtedy P[X > u] = u ( ) π u e + o(), Dowód. Bez straty ogólności możemy przyjąć, że u>0. Dolne oszacowanie: P[X > u] = x π u x (xe )dx = ( x ( π x e ) u Górne oszacowanie: P[X > u] = π = u π u e π u u ( ) x )( e x )dx x x 3 (xe )dx = u ( x π u e ( π x 3 e ) u = u u π u e π u 3 e + π u u u π u e π u 3 e = u π u = u π u e. e x dx = π u x x u e dx = π u x x e u u π u x dx u 3 3 ) x ( e x4 )dx 3 x x 4 e dx e u. () xe x dx = π u x ( e u ) ()

Zatem z () i () mamy u e u π u 3 P[X > u] u π u e. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy To kończy dowód. P[X > u] = u ( ) π u e + o(), Poniższy lemat będzie odgrywał ważną rolę w dowodzie głównego twierdzenia pracy. Lemat. Niech f(x) = x H + ( x) H, x (0, ), H (0, ). Wtedy ) f(x) > 0, gdy H (0, ), ) f(x) = 0, gdy H =, 3) f(x) < 0, gdy H (, ). Dowód. Zauważmy, że f (x) = H[x H ( x) H ]. Ad ) Załóżmy, że H (0, ). Wówczas f (x) > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x H > ( x) H. Ponieważ H > 0, to f (x) > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x <. Zatem funkcja f jest ściśle rosnąca dla x [0, ). f (x) < 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x H < ( x) H. Ponieważ H > 0, to f (x) < 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x >. Zatem funkcja f jest ściśle malejąca dla x (, ). f (x) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x H = ( x) H. Ponieważ H > 0, to f (x) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x =. Stąd otrzymujemy, że funkcja f ma jedyne maksimum dla x =. Zauważmy, że f(0) = 0 oraz f() = 0. Zatem f(x) > 0, gdy x (0, ). Ad ) Załóżmy, że H =. Wówczas f(x) = x + ( x) = 0, gdy x (0, ). 5

Ad 3) Załóżmy, że H (, ). Wówczas f (x) > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x H > ( x) H. Ponieważ H < 0, to f (x) > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x >. Zatem funkcja f jest ściśle rosnąca dla x (, ). f (x) < 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x H < ( x) H. Ponieważ H < 0, to f (x) < 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x <. Zatem funkcja f jest ściśle malejąca dla x [0, ). f (x) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x H = ( x) H. Ponieważ H < 0, to f (x) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x =. Zatem funkcja f jest ma jedyne minimum dla x =. Zauważmy, że f(0) = 0, f() = 0. Zatem f(x) < 0, gdy x (0, ). To kończy dowód. Niniejszy fakt ilustruje pewną użyteczną w dalszej części pracy własność dwuwymiarowego rozkładu normalnego. Lemat 3. Załóżmy, że (X, Y ) N ( (0, 0), Σ ) ( ) ρ, gdzie Σ =. Wtedy ρ (X, Y ) (X, ρx + ρ Z), gdzie Z N(0, ) oraz Z jest stochastycznie niezależne od X. Dowód. Niech Z N(0, ) oraz Z będzie stochastycznie niezależne od X. Niech Ỹ = ρx + ρ Z. Wówczas Ỹ jest zmienną losową o rozkładzie normalnym. Wystarczy sprawdzić, że V ar[ỹ ] = V ar[y ], E[Ỹ ] = E[Y ] oraz Cov(X, Y ) = Cov(X, Ỹ ). Mamy V ar[ỹ ] = ρ V ar[x] + ( ρ ) V ar[z] = ρ + ( ρ ) = = V ar[y ], E[Ỹ ] = ρe[x] + ρ E[Z] = 0 = E[Y ], Cov(X, Ỹ ) = Cov(X, ρx + ρ Z) = ρcov(x, X) + = ρ + ρ 0 = ρ = Cov(X, Y ). Zatem otrzymujemy, że (X, Y ) (X, Ỹ ). To kończy dowód. 6 ρ Cov(X, Z)

Następujące trzy lematy zostały udowodnione przez Elnaggara oraz Mukherjea w [6]. Lemat 4. Niech (X, Y ) N ( (0, 0), Σ ) ( ) ρ, gdzie Σ =. Niech α > 0, ρ β > 0, α β, ρ < α β. Wtedy P[X αt, Y βt] = ( ρ) 3/ α β πt (α ρβ)(β ρα) e α +β ραβ ρ t ( + o() ), Lemat 5. Niech (X, Y ) N ( (0, 0), Σ ), gdzie Σ = β > 0, α β, ρ > α β. Wtedy ( ) ρ. Niech α > 0, ρ P[X > αt, Y > βt] = βt π e β t ( + o() ), Lemat 6. Niech (X, Y ) N ( (0, 0), Σ ), gdzie Σ = β > 0, α β, ρ = α. Wtedy dla t > 0 β gdzie Z N(0, ). P[Z βt] P[X αt, Y βt] P[Z βt], ( ) ρ. Niech α > 0, ρ Następująca klasa procesów stochastycznych grać będzie kluczową rolę w dalszych rozważaniach. Definicja.. Ułamkowym ruchem Browna {B H (t) : t 0} z parametrem Hursta H (0, ] nazywamy proces stochastyczny spełniający następujące warunki ) B H (0) = 0 prawie na pewno, ) B H (t) ma rozkład normalny ze średnią 0, 7

3) Cov ( B H (t), B H (s) ) = (th + s H t s H ). Uwaga. Ułamkowy ruch Browna jest uogólnieniem ruchu Browna, w którym odrzuca się założenie o niezależności przyrostów. Zauważmy, że dla H = proces {B (t) : t 0} jest ruchem Browna. Lemat 7. Przyrosty {B H (t) : t 0} są ) ujemnie skorelowane, gdy H (0, ), tzn. dla dowolnych 0 t 0 t zachodzi Cov ( B H (t 0 ), B H (t ) B H (t 0 ) ) < 0, ) niezależne, gdy H =, tzn. dla dowolnych 0 t 0 t zachodzi Cov ( B H (t 0 ), B H (t ) B H (t 0 ) ) = 0, 3) dodatnio skorelowane, gdy H (, ) tzn. dla dowolnych 0 t 0 t zachodzi Cov ( B H (t 0 ), B H (t ) B H (t 0 ) ) > 0. Dowód. Zauważmy, że dla dowolnych 0 t 0 t zachodzi Cov ( B H (t 0 ), B H (t ) B H (t 0 ) ) ( = (t H 0 ) (t t 0 ) H). Teza wynika z Lematu. Ułamkowy ruch Browna z parametrem Hursta H (, ) ma tzw. własność dalekiego zasięgu, co ilustruje następujący lemat. Lemat 8. Niech H (, ). Wówczas proces {B H(t) : t 0} ma własność dalekiego zasięgu, tzn. i=0 Cov ( B H (0), B H (i + ) B H (i) ) =. Dowód. Dowód wynika z Twierdzenie 7.. [0], str.337.. Model Jednym z wielu modeli badanych w teorii ryzyka jest klasyczny proces ryzyka U(t) = u + ct gdzie u > 0 jest kapitałem początkowym, c > 0 jest intensywnością wpłacanych składek, {X i : i N} jest ciągiem nieujemnych niezależnych zmiennych losowych opisujących wysokości kolejnych odszkodowań, a N(t) jest procesem Poissona z parametrem λ > 0 modelującym chwile, w których następują żądania. Model ten został opisany na przykład w []. N(t) i= X i, 8

Okazuje się, że odpowiednio przeskalowany proces ryzyka zbiega do procesu ryzyka, w którym występuje ruch Browna. Bardziej formalnie, dla ciągu U n (t) procesów ryzyka zdefiniowanego następująco gdzie U n (t) = u + c n t N(nt) X i, n ) zmienne losowe X i mają wartość oczekiwaną µ oraz skończoną wariancję σ, ) c n = c + λµ n, i= 3) N(t) jest procesem Poissona z parametrem λ > 0, zachodzi następujące twierdzenie udowodnione przez Igleharta w [4]. Twierdzenie. Ciąg procesów ryzyka U n (t) zbiega słabo do procesu u + ct λσb(t), gdzie B(t) jest ruchem Browna. Istnieje również matematyczne uzasadnienie dla rozważania pewnego uogólnienia poprzedniego procesu, w którym zamiast ruchu Browna występuje ułamkowy ruch Browna. W [7] wykazano, że u + ct B H (t) dla H stanowi graniczny model dla pewnego ciągu klasycznych procesów ryzyka. W niniejszej pracy będziemy rozważali następujący proces ryzyka U H (t) = u + ct B H (t). (3) Okazuje się, że (3) dobrze modeluje sytuację finansową dużej firmy ubezpieczeniowej, do której zgłoszenia wypłaty odszkodowań przychodzą bardzo często. Wielkość u > 0 jest kapitałem początkowym, c > 0 jest stałą intensywnością wpłacanych składek, a ułamkowy ruch Browna odpowiada za wypłatę odszkodowań. Niech T > 0. W przypadku ciągłym, mówimy, że w czasie [0, T ] zaszła ruina dla procesu U H (t) zdefiniowanego w (3), gdy istnieje i T takie, że U H (i) < 0. Prawdopodobieństwem ruiny przy kapitale początkowym u nazywamy π H,T (u) = P[ inf (u B H(t) + ct) < 0] = P[ sup ( u + B H (t) ct) > 0]. 0 t T 0 t T W przypadku klasycznego zagadnienia ruiny dla ułamkowego ruchu Browna znane są zarówno logarytmiczna asymptotyka prawdopodobieństwa ruiny, jak i dokładna. W szczególności, w modelu ciągłym, zachodzą następujące twierdzenia. 9

Twierdzenie. Niech {B H (t) : t 0} będzie ułamkowym ruchem Browna z parametrem Hursta H (0, ]. Niech T > 0. Wówczas log ( π H,T (u) ) u = T H ( + o() ), Twierdzenie 3. Niech {B H (t) : t 0} będzie ułamkowym ruchem Browna z parametrem Hursta H (0, ]. Niech T > 0. Wówczas ) Jeśli H <, to π H,T (u) = H H u 3H H (u+ct ) ( ) e T H H T 3H H + o(), gdy u, gdzie H H = T T E[ e max 0 t T ( ) Jeśli H =, to gdy u, 3) Jeśli H (, ), to gdy u, 4) Jeśli H =, to B H (t) ) ], π,t (u) = T (u+ct ) ( ) π u + ct e T + o(), π H,T (u) = T H (u+ct ) ( ) π u + ct e T H + o(), π,t (u) = T (u+ct ) π u + ct e T, Twierdzenie 3 zostało udowodnione w [5], a Twierdzenie jest z niego prostym wnioskiem. Zagadnienie ruiny można również rozpatrywać w czasie dyskretnym. W niniejszej pracy będziemy koncentrować się na tym przypadku. Niech T N. W przypadku dyskretnym, mówimy, że w czasie [0, T ] zaszła paryska ruina dla procesu U H (t) zdefiniowanego w (3), gdy istnieje i N 0

takie, że i + T, U H (i) < 0 oraz U H (i + ) < 0. Prawdopodobieństwem paryskiej ruiny przy kapitale początkowym u nazywamy ˆπ H,T (u) = P[ <i+ T : B H (i) > u + ci, B H (i + ) > u + c(i + )]. W Rozdziale 3 zbadamy prawdopodobieństwo paryskiej ruiny dla procesu ryzyka (3). W szczególności znajdziemy jego logarytmiczną asymptotykę dla H (0, ) oraz, dla H dokładną asymptotykę. Zauważmy, że przypadek H = jest nieciekawy, ponieważ dla każdego t 0 mamy B (t) = tz, gdzie Z N(0, ).

3 Prawdopodobieństwo paryskiej ruiny 3. Logarytmiczna asymptotyka Następujące twierdzenie opisuje logarytmiczną asymptotykę prawdopodobieństwa paryskiej ruiny. W celu jego udowodnienia posłużymy się kilkoma pomocniczymi lematami. Twierdzenie 4. Niech {B H (t) : t 0} będzie ułamkowym ruchem Browna z parametrem Hursta H (0, ). Niech T N. Wówczas ) dla H (0, ) mamy log(ˆπ H,T (u)) u u = (T ) H T H ( (T (T ) H T H + (T ) H )), H ) dla H = mamy log(ˆπ,t (u)) = u u 3) dla H (, ) mamy log(ˆπ H,T (u)) = u u (T ), H (T ). H Niniejszy lemat posłuży do znalezienia logarytmicznej asymptotyki prawdopodobieństwa paryskiej ruiny. Lemat 9. Niech {B H (t) : t 0} będzie ułamkowym ruchem Browna z parametrem Hursta H (0, ). Niech s t. Wówczas ) dla H (0, ) mamy log(p[b H (t) > u + ct, B H (s) > u + cs]) u u = (t s) H s H ( (t s H + s H t s H )), H ) dla H = mamy log(p[b H (t) > u + ct, B H (s) > u + cs]) = u u s, H

3) dla H (, ) mamy log(p[b H (t) > u + ct, B H (s) > u + cs]) = u u Dowód. Niech α = sh, β = i ρ = Cov( B H(t), B H(s) ). s H Wówczas ρ = ( + s H t s H ) oraz s H P[ B H(t) > α u + ct s, B H(s) H s H > β u + ct s H ] = P[ B H(t) > sh u + ct s, B H(s) > u + ct H s H s ] H P[B H (t) > u + ct, B H (s) > u + cs] = P[ B H(t) P[ B H(t) = P[ B H(t) Z (4) wynika, że log (P[ B H(t) log (P[ B H(t) log (P[ B H(t) > u + ct t, B H(s) H s H > sh u + cs s H, B H(s) s H > α u + cs s, B H(s) H s H > sh u+ct s H u, B H(s) > u+ct ]) s H s H > u+ct, B H(s) s H u > sh u+cs s H, B H(s) s H > u + cs s H ] > u + cs s H ] s. H > β u + cs ]. (4) sh > u+cs s H ]) > u+cs ]) s H. (5) u Ad ) Załóżmy, że H (0, ). Wówczas α β >ρ. Zauważmy, że sh >ρ wtedy i tylko wtedy, gdy ( s t )H + ( ( s t )) H >0. Niech f( s) = ( s t t )H + ( ( s t )) H. Zauważmy, że 0 < s <. t Korzystając z Lematu dla funkcji f otrzymujemy, że f( s )>0, czyli t α > ( β s H t + s H (t s) H). H Wróćmy do oszacowania (4). Z Lematu 4 otrzymujemy, że 3

P[ B H(t) = > sh π( u+ct s H gdy u oraz P[ B H(t) = u + ct s, B H(s) H s H ( ρ) 3/ α β ) (α ρβ)(β ρα) e > sh π( u+cs s H u + cs s, B H(s) H s H ( ρ) 3/ α β ) (α ρβ)(β ρα) e Ponieważ zachodzi (5), u oraz u log (P[ B H(t) log (P[ B H(t) > sh u+ct s H, B H(s) s H > u + ct s H ] α +β ραβ ρ ( u+ct ( ) s H ) + o(), > u + cs s H ] > u+ct ]) s H = u > sh u+cs s H > u+cs ]) s H = u, B H(s) s H α +β ραβ ρ ( u+cs ( ) s H ) + o(), α + β ραβ ρ s H α + β ραβ ρ s H, więc korzystając z twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy tezę. Ad ) Załóżmy, że H =. Wówczas α β = ρ. Zauważmy, że α β = ρ wtedy i tylko wtedy, gdy ( s t )H + ( ( s t )) H = 0. Niech f( s t ) = ( s t )H + ( ( s t )) H. Zauważmy, że 0 < s t <. Korzystając z Lematu otrzymujemy f( s t ) = 0, czyli α β = ρ. Wróćmy do oszacowania (4). Z Lematu 6 otrzymujemy, że u + ct P[Z s ] P[B H(t) H oraz u + cs P[Z s ] P[B H(t) H > sh u + ct s, B H(s) H s H > sh u + cs s, B H(s) H s H > u + ct s H > u + cs s H ] P[Z u + ct s H ] (6) ] P[Z u + cs s H ], (7) 4

gdzie Z N(0, ). Korzystając z (4), (6) i (7) otrzymujemy u + ct P[Z s H Z (8) wynika log ( u+ct P[Z ] ) s H u Ponadto zachodzi u oraz log ( u+ct P[Z ] ) s H ] P[B H(t) > u+ct, B H (s) > u+cs] P[Z u + cs ]. (8) sh log ( P[BH (t) > u + ct, B H (s) > u + cs] ) u u = s H log ( P[Z u+cs ] ) s H = u u s, H więc korzystając z twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy tezę. Ad 3) Załóżmy, że H (, ). Wówczas α < ρ. β Zauważmy, że α β < ρ wtedy i tylko wtedy, gdy ( s t )H + ( ( s t )) H < 0. Niech f( s t ) = ( s t )H + ( ( s t )) H. Zauważmy, że 0 < s t <. Korzystając z Lematu otrzymujemy f( s t ) < 0, czyli α β < ρ. Wróćmy do oszacowania (4). Z Lematu 5 otrzymujemy, że P[ B H(t) > sh gdy u oraz P[ B H(t) u + ct s, B H(s) H s H > sh u + cs s, B H(s) H s H Ponieważ zachodzi (5), u oraz u log (P[ B H(t) log (P[ B H(t) > sh u+ct s H, B H(s) s H log ( P[Z u+cs] ) s H. (9) u > u + ct s ] = H β( u+ct ) π e β ( u+ct )( s H + o() ), s H > u + cs s ] = H β( u+cs ) π e β ( u+cs )( s H + o() ), > u+ct ]) s H = u > sh u+cs s H > u+cs ]) s H = u, B H(s) s H 5 s H β s H β s H,

więc korzystając z twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy tezę. To kończy dowód. Lemat 0. Niech B H (t) będzie ułamkowym ruchem Browna z parametrem Hursta H (0, ). Niech T N. Wówczas Dowód. Zauważmy, że log ( P[ i<j T : B H (i) > u + ci, B H (j) > u + cj] ) = log ( max i<j T P[B H (i) > u + ci, B H (j) > u + cj] )( + o() ), log ( max i<j T P[B H (i) > u + ci, B H (j) > u + cj] ) log ( P[ i<j T : B H (i) > u + ci, B H (j) > u + cj] ) log ( P[B H (i) > u + ci, B H (j) > u + cj] ) i<j T ) log (( T max i<j T P[B H (i) > u + ci, B H (j) > u + cj] ) = log (( ) T ) ( + log max i<j T P[B H (i) > u + ci, B H (j) > u + cj] ). Czyli log ( max i<j T P[(B H (i) > u + ci, B H (j) > u + cj)] ) log ( P[ i<j T : B H (i) > u + ci, B H (j) > u + cj] ) log (( ) T ) ( + log max i<j T P[B H (i) > u + ci, B H (j) > u + cj] ). Dzieląc obustronnie przez u otrzymujemy log ( max i<j T P[B H (i) > u + ci, B H (i) > u + cj] ) u log ( P[ i<j T : B H (i) > u + ci, B H (j) > u + cj] ) log (( T u )) + log ( max i<j T P[B H (i) > u + ci, B H (j) > u + cj] ) u. 6

Ponieważ zachodzi log ( max i<j T P[B H (i) > u + ci, B H (i) > u + cj] ) u (( ( u log T )) + log max i<j T P[B H (i) > u + ci, B H (j) > u + cj] ) =, u u więc korzystając z twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy log ( P[ i<j T : B H (i) > u + ci, B H (j) > u + cj] ) = log ( max i<j T P[(B H (i) > u + ci, B H (j) > u + cj)] )( + o() ), Co było do udowodnienia. Poniższy lemat redukuje problem znalezienia asymptotyki prawdopodobieństwa paryskiej ruiny do znalezienia prawdopodobieństwa wystąpienia ruiny w dwóch kolejnych chwilach. Lemat. Niech B H (t) będzie ułamkowym ruchem Browna z parametrem Hursta H (0, ). Niech T N. Wówczas ˆπ H,T (u) = P[B H (T ) > u + c(t ), B H (T ) > u + ct ] ( + o() ), Dowód. Zauważmy, że P[B H (T ) > u + c(t ), B H (T ) > u + ct ] ˆπ H,T (u) T i= u P[B H (i) > u + ci, B H (i) > u + c(i + )]. Wystarczy zatem pokazać, że dla H (0, ) i każdego i < T zachodzi log ( ) P[B H (i)>u+c(i),b H (i+)>u+c(i+)] P[B H (n )>u+c(n ),B H (n)>u+cn] u < 0. W tym celu rozważymy dwa przypadki. Ad ) Niech H (0, ). Korzystając z Lematu 9 otrzymujemy, że log ( P[B H (i) > u + ci, B H (i + ) > u + c(i + )] ) = ( ) +o(), u i H (i + ) H ρ 7

gdy u, ( gdzie ρ = i H (i+) (i + ) H + i H ). H Zatem wystarczy zminimalizować następującą funkcję g(i) = = i H (i + ) H ( ( i H (i+) (i + ) H + i H )) H 4 ( ). (i + ) H + i H + i H + (i + ) H Równoważnie, musimy zmaksymalizować następującą funkcję h(i) = ( (i + ) H + i H) + i H + (i + ) H. Zauważmy, że h (i) = 4H[(i + ) H x H + (i + ) H x H + i H i 4H + (i + ) H (i + ) 4H ] = 4H[(i + ) H (i H + H ) + i H ((i + ) H + H ) i 4H (i + ) 4H ] (0) >4H[(i + ) H (i + ) H + i H (x + ) H i 4H (i + ) 4H ] = 4H[(i + ) 4H + i H (i + ) H i 4H (i + ) 4H ] > 0. W (0) korzystamy z nierówności (i + ) H < i H +, która została udowodniona w Lemacie i zachodzi dla każdego i > 0 i dla każdego H (0, ). Stąd h(i) jest ściśle rosnąca. Zatem swoje jedyne maksimum dla i T osiąga w punkcie i = T. Stąd g(i) osiąga swoje jedyne minimum w punkcie i = T. To potwierdza tezę. Ad ) Niech H [, ). Korzystając z Lematu 9 otrzymujemy log(p[b H (i) > u + ci, B H (i + ) > u + c(i + )]) = ( ) + o(), u i H Zatem wystarczy zminimalizować następującą funkcję g(i) =. Funkcja i H g(i) jest ściśle malejąca. Zatem swoje jedyne minimum dla i T osiąga w punkcie i = T. To kończy dowód. Dowód Twierdzenia 4. Wynika bezpośrednio z Lematu i Lematu 9, gdy s = t. 8

3. Dokładna asymptotyka Następujące twierdzenie jest głównym wynikiem pracy. Dotyczy ono modelu (3) dla H [, ). Przypadek H (0, ) jest bardzo trudny i nie będzie analizowany w niniejszej pracy. Ma on także mniejsze znaczenie aplikacyjne, gdyż, jak wynika z [7], w granicznych modelach ryzyka występuje jedynie ułamkowy ruch Browna z parametrem H [, ). Twierdzenie 5. Niech B H (t) będzie ułamkowym ruchem Browna z parametrem Hursta H [, ). Niech T N. Wówczas ) dla H = mamy gdy u, ) dla H (, ) mamy ˆπ,T (u) = P[Z > c] T ( ) e u π u + c(t ) ˆπ H,T (u) = +uc(t )+c (T ) (T ) ( + o() ), (T ) H ( ) e u +uc(t )+c (T ) ( ) (T ) H + o(), π u + c(t ) Dowód twierdzenia będzie wnioskiem z poniższego lematu i Lematu. Lemat. Niech {B H (t) : t 0} będzie ułamkowym ruchem Browna z parametrem Hursta H [, ). Niech 0 i j. Wówczas ) dla H = mamy P[B (i) > u + ci, B (j) > u + cj] = P[Z > c(j i)] i e u +uci+c i i π(u + ci) gdy u, gdzie Z N(0, ); ) dla H (, ) mamy P[B H (i) > u + ci, B H (j) > u + cj] = ( + o() ), i H π(u + ci) e u +uci+c i i H ( + o() ), 9

Dowód. Korzystając z Lematu 3 dla wektora ( B H (i), B H (j) ) otrzymujemy ( BH (i), B H (j) ) ( B H (i), ( j i )H ρb H (i) + j H ρ Z ), gdzie Z ma rozkład standardowy ( normalny oraz jest stochastycznie niezależne od B H (i), a ρ = i H j j H + i H (j i) H). H Mamy zatem P[B H (i) > u + ci, B H (j) > u + cj] = P[B H (i) > u + ci, ( j i )H ρb H (i) + j H ρ Z > u + cj] = P[B H (i) > u + ci, j H ρ Z > u + cj ( j i )H ρb H (i)]. Ad ) Niech H =. Zauważmy, że dla H = zachodzi ( j i )H ρ = Dolne oszacowanie: j i ( ) j + i (j i) = i = = 0. ij i P[B H (i) > u + ci, j H ρ Z > u + cj ( j i )H ρb H (i)] P[B H (i) > u + ci, j H ρ Z > u + cj ( j i )H ρ(u + ci)] = P[B H (i) > u + ci] P[j H ρ Z > c ( j ( j i )H ρi ) ] = P[B H (i) > u + ci] P[j H ρ Z > c(j i)]. 0

Górne oszacowanie: P[B H (i) > u + ci, j H ρ Z > u + cj ( j i )H ρb H (i)] = P[B H (i) (u + ci, u + ci + u ], j H ρ Z > u + cj ( j i )H ρb H (i)] + P[B H (i) > u + ci + u, j H ρ Z > u + cj ( j i )H ρb H (i)] P[B H (i) (u + ci, u + ci + u ], j H ρ Z > u + cj ( j i )H ρ(u + ci + u )] + P[B H (i) > u + ci + u, j H ρ Z > u + cj ( j i )H ρb H (i)] = P[B H (i) (u + ci, u + ci + u ]] P[j H ρ Z > u + cj ( j i )H ρ(u + ci + u )] + P[B H (i) > u + ci + u, j H ρ Z > u + cj ( j i )H ρb H (i)] = P[B H (i) > u + ci] P[j H ρ Z > u ( ( j i )H ρ ) + c ( j ( j i )H ρi ) ( j i )H ρ u ] + P[B H (i) > u + ci + u ] = P[B H (i) > u + ci] P[j H ρ Z > c(j i) u ] + P[B H (i) > u + ci + u ] = P[B H (i) > u + ci] P[j H ρ Z > c(j i)] ( + o() ). Stąd otrzymujemy Z faktów, że P[B H (i) > u + ci] P[j H ρ Z > c(j i)] P[B H (i) > u + ci, j H ρ Z > u + cj ( j i )H ρb H (i)] P[B H (i) > u + ci] P[j H ρ Z > c(j i) u ] + P[B H (i) > u + ci + u ]. u P[j H ρ Z > c(j i)] P[j H ρ Z > c(j i) u ] = i P[B H (i) > u + ci + u ] u P[B H (i) > u + ci] = 0

wynika ( P[BH (i) > u + ci] P[j H ρ Z > c(j i)] ) u = (P[B H (i) > u + ci] P[j H ρ Z > c(j i) ] ) u u + u P[B H (i) > u + ci + ]. u Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach i Lematu dla P[B H (i) > u + ci] otrzymujemy tezę. Ad ) Niech H (, ). Zauważmy na początku, że dla H (, ) zachodzi ( j i )H ρ = ( j i )H i H j H ( j H + i H (j i) H) = i H ( j H + i H (j i) H) < 0. Równoważnie, < i H ( j H + i H (j i) H) wtedy i tylko wtedy, gdy 0 < ( i j )H ( ( i j )) H, co wynika z Lematu. Dolne oszacowanie: P[B H (i) > u + ci, j H ρ Z > u + cj ( j i )H ρb H (i)] P[B H (i) > u + ci, j H ρ Z > u + cj ( j i )H ρ(u + ci)] = P[B H (i) > u + ci, j H ρ Z > u ( ( j i )H ρ ) + c ( j ( j i )H ρi ) ] = P[B H (i) > u + ci] P[j H ρ Z > u ( ( j i )H ρ ) + c ( j ( j i )H ρi ) ].

Górne oszacowanie: P[B H (i) > u + ci, j H ρ Z > u + cj ( j i )H ρb H (i)] = P[B H (i) (u + ci, u + ci + u ], j H ρ Z > u + cj ( j i )H ρb H (i)] + P[B H (i) > u + ci + u, j H ρ Z > u + cj ( j i )H ρb H (i)] P[B H (i) (u + ci, u + ci + u ], j H ρ Z > u + cj ( j i )H ρ(u + ci + u )] + P[B H (i) > u + ci + u, j H ρ Z > u + cj ( j i )H ρb H (i)] = P[B H (i) (u + ci, u + ci + u ]] P[j H ρ Z > u + cj ( j i )H ρ(u + ci + u )] + P[B H (i) > u + ci + u, j H ρ Z > u + cj ( j i )H ρb H (i)] P[B H (i) > u + ci] P[j H ρ Z > u ( ( i j )H ρ ) + c ( j ( j i )H ρi ) ( i j )H ρ u ] + P[B H (i) > u + ci + u ]. Stąd otrzymujemy P[B H (i) > u + ci] P[j H ρ Z > u ( ( j i )H ρ ) + c ( j ( j i )H ρi ) ] P[B H (i) > u + ci, j H ρ Z > u + cj ( j i )H ρb H (i)] P[B H (i) > u + ci] P[j H ρ Z > u ( ( i j )H ρ ) + c ( j ( j i )H ρi ) ( i j )H ρ u ] + P[B H (i) > u + ci + u ]. Z faktów, że u P[jH ρ Z > u ( ( j i )H ρ ) + c ( j ( j i )H ρi ) ] = oraz P[B H (i) > u + ci + u ] u P[B H (i) > u + ci] = 0 3

wynika P[B H(i) > u + ci] u = u ( P[B H (i) > u + ci] P[j H ρ Z > u ( ( i j )H ρ ) + c ( j ( j i )H ρi ) ( i j )H ρ u ] + P[B H (i) > u + ci + ]. u u Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach i Lematu dla P[B H (i) > u + ci] otrzymujemy tezę. Dowód Twierdzenia 5. Na mocy Lematu wiemy, że ˆπ H,T (u) = P[B H (T ) > u + c(t ), B H (T ) > u + ct ] ( + o() ), Wystarczy zatem znaleźć asymptotyczne zachowanie P[B H (T ) > u + c(t ), B H (T ) > u + ct ], Z Lematu zastosowanego dla i = T oraz j = T wynika teza. Uwaga. Korzystając z tych samych metod co w dowodzie Lematu możemy udowodnić analogiczny wynik dla prawdopodobieństwa paryskiej ruiny, w którym ruina następuje w k kolejnych chwilach. Postać asymptotyki znacznie się jednak komplikuje wraz ze wzrostem k. Dlatego w niniejszej pracy ograniczyliśmy się do przedstawienia wyników jedynie w przypadku k =. ) 4

Literatura [] Asmussen, S. Ruin probabilities, World Scientific, 000. [] Cramér, H. On the Mathematical Theory of Risk. Skandia Jubilee Volume, Stockholm, 930 [3] Czarna, I., Li, Y., Palmowski, Z., Zhao, C.(07) The joint distribution of the Parisian ruin time and the number of claims until Parisian ruin in the classical risk model, Journal of Computational and Applied Mathematics 33, 499-54. [4] Czarna, I., Renaud, J.-F. (06) A note on Parisian ruin with an ultimate bankruptcy level for Lévy insurance risk processes, Statistics Probability Letters 06, Vol. 3, 54-6. [5] Dębicki, K., Rolski, T. (00) A note on transient Gaussian fluid models. Queueing Systems, 4, 3-34. [6] Elnaggar, M., Mukherjea, A. (0) Solution of the problem of the identified minimum for the trivariate normal. Proceedings of the Indian Academy of Sciences Section A, Vol., No.4, 3-37. [7] Michna, Z. (998) Self-similar processes in collective risk theory. Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis, :4, 49-448. [8] Michna, Z. Modele graniczne w teorii ryzyka ubezpieczeniowego. Prace Naukowe Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu. Seria: Monografie i Opracowania (nr 00), 004. [9] Rolski, T., Schmidli, H., Schmidt, V., Teugels, J. Stochastic Processes for Insurance and Finance. Wiley Series in Probability and Statistics, 999. [0] Samorodnitsky, G., Taqqu, M. S. Stable non-gaussian random processes. Stochastic Models with Infinite Variance. Chapman and Hall/CRC, 994. 5