Funkcje odpowiedzi dla CCQE i wiązek MiniBooNE (cz. I)

Funkcje odpowiedzi dla CCQE i wiązek MiniBooNE (cz. I) Marcin Gonera Instytut Fizyki Teoretycznej Uniwersytet Wrocławski 23.05.2011

Oddziaływanie EM Rozpraszanie elastyczne elektron-nukleon Foton opisany jest przez q μ = (ω, q). Dla fotonu wirtualnego zmienne te są niezależne (muszą tylko spełniać q 2 ω 2 > 0 ). Foton rzeczywisty jest ograniczony do q 2 = ω 2. Dlatego próbkowanie jądra fotonem wirtualnym, np. reakcja (e, e'), pozwala uzyskać więcej informacji o strukturze nukleonu niż próbkowanie fotonem rzeczywistym. k ' J μ lept k = u (k ')γ μ u(k) μ p ' J hadr p = u( p')[ F 1 (q2 )γ μ + i 1 2M F 2 (q2 )σ μ ν q ν] u( p)

Element macierzy S oraz amplituda prawdopodobieństwa mają postać prąd-prąd. Przekrój czynny jest proporcjonalny do kwadratu modułu amplitudy, więc wygodnie jest go zapisać jako zwężenie tensora leptonowego i hadronowego. L em 2 1 μ ν m e 2 ( u(k ')γ μ u(k )) ( u(k ')γ ν u(k )) * spiny W μν (2 π) 6 1 d β h f 2 μ ν p f J hadr p p f J hadr spiny p f oznacza całkowity pęd wszystkich końcowych hadronów. p * δ 4 (k ' + p f k p) Elektromagnetyczny inkluzywny przekrój czynny można zapisać jako d 3 σ em d E ' d Ω ' = (2 π) 2 e 4 E ' q 4 E L em μ νw μν Wzór został otrzymany dla wysokoenergetycznych leptonów.

CCQE oddz. kwazielastyczne przez prąd naładowany Rozważmy rozpraszanie neutrina na swobodnym neutronie ν+n l +p. S fi = i G F lept μ k ' J (2π) 2 μ k p' J hadr p δ 4 (k ' + p' k p) 2 fi = 1 G F (2 π) 3 2 k ' J lept μ μ k p ' J hadr p Struktura słabego prądu leptonowego (V A): μ k ' J lept k u l (k ' )γ μ (1 γ 5 )u ν (k ) L CC μ ν m ν m l ( u(k ' )γ μ (1 γ 5 )u (k))( u (k ')γ ν (1 γ 5 )u(k)) * spiny

Chcemy znaleźć inkluzywny przekrój czynny dla niespolaryzowanej tarczy hadronowej. Po podstawieniu amplitudy do ogólnej formuły na różniczkowy przekrój czynny, dla CC otrzymamy d 3 σ CC = G 2 Fcos 2 θ C k ' d E ' dω ' 8 π 2 E L CC μν W μν gdzie efektywna stała sprzężenia to stała Fermiego pomnożona przez kąt Cabibbo. Prąd hadronowy można ogólnie zapisać jako część wektorowa V μ minus część aksjalna A μ : μ p' J hadr p = p' V μ A μ p = = u p ( p')[ g v(q 2 )γ μ 1 + i g 2 M m (q 2 )σ μν q ν + N czynniki postaci g s i g t znikają M N jest średnią masą nukleonu + g a (q 2 )γ μ γ 5 + 1 2M N g p (q 2 )q μ γ 5] u n( p)

Słabe czynniki postaci Znamy parametryzację czynników elektromagnetycznych (postać dipolowa). Hipoteza CVC pozwala związać słabe czynniki wektorowe z elektromagnetycznymi. g v (Q 2 ) = 1+(1+ξ )Q 2 2 /4 M N G 1+Q 2 2 dipol (Q 2 ), g m (Q 2 ξ ) = / 4M N 1+Q 2 /4 M G 2 dipol(q 2 ) N gdzie G dipol (Q 2 ) = (1 + Q 2 /M V2 ) 2 oraz Q 2 q 2 0. Parametr ξ wyraża się przez momenty magnetyczne nukleonu. Aksjalny i pseudoskalarny czynnik postaci przewidywane przez hipotezę PCAC: g A g a (Q 2 ) = (1 + Q 2 /M A2 ), g (Q 2 2 p ) = 4M N m 2 π + Q g 2 a (Q2 ) 2

Słabe czynniki postaci parametry ξ = μ p μ n 1 3.706 M V 0.843 GeV masa aksjalna M A 1.03 GeV g A = g a (0) 1.26 M N = ½(M n + M p ) 0.93892 GeV masa pionu naładowanego m π 0.13957 GeV masa mionu m μ 105.6584 MeV stała Fermiego G F 1.1664 10 5 GeV 2 kąt Cabibbo (element V ud macierzy CKM) cosθ C 0.974 z analizy wymiarowej wynika, że wyrażenie na przekrój czynny musi być pomnożone przez stałą konwersji (ħ c) 2 mającą wymiar (powierzchnia) (energia) 2

Słabe czynniki postaci

Funkcje struktury L μ ν = 2(k μ k ' ν + k ν k ' μ η μν k k ' + h iϵ μν ρ σ k ρ k ' σ ) L em μ ν = 1 2 (k μ k ' ν + k ν k ' μ η μν k k ' ) (h to skrętność; h = 1 dla rozpraszania neutrin oraz h = +1 dla rozpraszania antyneutrin; wiązka elektronów niespolaryzowana) Najbardziej ogólna postać tensora hadronowego jest zbudowana z czterowektorów charakteryzujących hadrony (dla inkluzywnego procesu są dwa niezależne czterowektory: p μ i q μ ). Współczynniki będą skalarnymi funkcjami zależnymi od p 2, q 2 lub pq. Nazywamy je funkcjami struktury i oznaczamy przez W i. Dla CC ogólną postacią tensora jest W μν = W 1 η μν + W 2 2 pμ p ν +i W 3 2 ϵ μν α β p α q β + W 4 2 q μ q ν + + W 5 2 1 2 ( p μ q ν + p ν q μ )+i W 6 2 1 2 ( pμ q ν p ν q μ ) jest masą tarczy. Mamy 4 symetryczne i 2 antysymetryczne wyrazy. Wyrazy antysymetryczne są czysto urojone, dlatego piszemy jednostkę urojoną.

Ostatni człon nie daje wkładu do zwężenia! Oznacza to, że dla CC możemy zdefiniować 5 niezależnych funkcji odpowiedzi. W przypadku EM: zachowanie parzystości - nie ma wyrazu z W 3 ; zachowanie prądu - W 6 = 0, a W 4 i W 5 wyrażają się przez pozostałe funkcje. Daje to w efekcie tylko 2 funkcje struktury (i 2 funkcje odpowiedzi). W μν em = W 1 em( η μ ν + qμ q ν Q ) + W em 2 2 2 ( p μ + pq Q )( qν) q μ 2 pν + p q Q 2 Po obliczeniu zwężenia tensora leptonowego z hadronowym otrzymujemy d 2 σ em d E ' d cos θ M[ = 2π σ W em 2 2W em 1 tg 2 θ 2] d 2 σ CCQE d E ' d cos θ = 2π σ 1 0 E E ' [ 2 W 1 k k ' + W 2 (2 E E ' k k ' ) + + W 4 2 m l 2 k k ' W 5 m l 2 E + 2h W 3 ((E +E ' )k k ' m l 2 E) ] (tarcza spoczywa). σ M i σ 0 to elementarne przekroje czynne, θ to biegunowy kąt rozproszenia leptonu.

Zwężenie L μν W μν można też rozłożyć na tzw. funkcje odpowiedzi, które w przeciwieństwie do funkcji struktury mają interpretację fizyczną (polaryzacja bozonu pośredniczącego w oddziaływaniu). Przekaz pędu q jest wyróżnionym kierunkiem w procesie. Wybierzmy układ współrzędnych taki, że q ẑ, i wprowadźmy bazę ortogonalnych czterowektorów: {b0 μ l μ ( q, 0, 0, ω ) b 1 μ t x μ (0,1, 0, 0) b 2 μ t y μ (0,0, 1, 0) b 3 μ q μ = (ω, 0, 0, q ), gdzie b κ μ b λ μ =0 dla κ λ. sygnatura (+,,, ) q 2 2, t x2, t y < 0 (czterowektory przestrzennopodobne), l 2 > 0 (czterowektor czasopodobny) Każdy tensor można rozłożyć w tej bazie, np. Lμ ν = B κ λ b μ ν κ b λ, gdzie B to κ, λ macierz 4 na 4. Tensor leptonowy jest symetryczny macierz B jest symetryczna (10 niezależnych elementów). Jeśli rozłożymy w podobny sposób tensor hadronowy, to ich zwężenie W μν Lμν = B κ λ B hadr κ λ (b κ ) 2 (b λ ) 2. κ, λ

Elektromagnetyczne funkcje odpowiedzi Niektóre elementy macierzy są równe zero. W powyższej sumie pozostają tylko następujące (diagonalne) wyrazy: W μν L μν = Q 4 B l l B hadr l l +B x x B hadr hadr x x +B y y B y y pierwszy wyraz jest interpretowany jako polaryzacja podłużna fotonu i jest utożsamiany z funkcją odpowiedzi R L drugi i trzeci wyraz są równoważne, są interpretowane jako polaryzacja poprzeczna i oznaczane jako funkcja R T wkład podłużny jest miarą wirtualności fotonu polaryzacja poprzeczna odpowiada sytuacji, gdy spin elektronu w reakcji zostanie odwrócony Same funkcje odpowiedzi definiuje się przez odpowiednie składowe tensora hadronowego: em q 4 R em L W 00 em = W em q 2 1 Q + W 2 2, R Q 4 T (składowe 33, 03, 30 są proporcjonalne do 00). em W xx em + W yy em em = 2 W 1

wkład od tensora leptonowego współczynniki kinematyczne Podwójny różniczkowy przekrój czynny w przypadku EM: d 2 σ em dt d cosθ = 2 πσ M[ v L R L em + v T R T em ] współczynniki kinematyczne: v L Q 4 q 4, v T Q 2 2 q + θ 2 tg2 2 energia kinetyczna końcowego leptonu: T E' m l (dt = de') Musimy znać funkcje struktury. Można je otrzymać licząc tensor hadronowy dla konkretnej struktury prądu i stanów cząstek. Dla nukleonu swobodnego: w 1 em (Q 2 ) = 1 4 Q 2 (F 1 + F 2 ) 2 w 2 em (Q 2 ) = M 2 F 1 2 + 1 4 Q2 F 2 2 przy czym wkład elastyczny (tensor H μν ) dany jest relacją W μν = 1 E p E p ' H μν δ(e '+E p ' E E p )

Separacja Rosenblutha W języku teorii wielu ciał: R L (ω, q) = Ψ f ρ( q) Ψ i 2 δ( E f E i ω ) f R T (ω, q) = Ψ f J T ( q) Ψ i 2 δ( E f E i ω ) f gdzie Ψ i i Ψ f to początkowy i końcowy stan jądra, o energiach E i i E f. Wzory są słuszne dla rozpraszania nieelastycznego - zawierają efekty jądrowe. W ujęciu nierelatywistycznym: gęstość ładunku jądra ρ( q) jest operatorem jednociałowym ρ 1 ( q) gęstość poprzecznego prądu J T ( q) zawiera operator jednociałowy J 1 ( q) (prąd spinu i konwekcji) i operator dwuciałowy J 2 ( q), tzw. prąd wymiany mezonów (MEC) wymagany przez niezmienniczość względem cechowania J 2 ( x) = i[v, ρ 1 ( x)].

Separacja Rosenblutha Dla układu A-ciałowego A ρ( q) = i =1 ê i e i q x δ( x x i )d 3 x, gdzie ê i = 1 2 (1 + τ (i ) 3 ) jest operatorem ładunku i-tego nukleonu. Ponieważ funkcje odp. zależą tylko od q i ω, można wybrać takie warunki kinematyczne, żeby te zmienne (a tym samym zmienna Q 2 ) były ustalone, i zmieniać kąt rozproszenia θ w celu zmiany polaryzacji fotonów wirtualnych. Wykonując pomiar w pewnym zakresie energii padającego elektronu i dla różnych kątów rozproszeń, możliwe jest wydzielenie obu funkcji odp. Funkcja poprzeczna dominuje dla rozproszeń wstecznych (dużych kątów) ze względu na zależność od tg 2 (θ/2). Separacja Rosenblutha jest poprawna tylko dla PWBA. Zanim zostanie przeprowadzona separacja, do wyników eksperymentalnych wprowadza się kilka poprawek.

Funkcje odpowiedzi dla rozpraszania neutrin Definiujemy f. odp. dla CC w analogiczny sposób jak dla EM. Teraz jednak prąd aksjalny nie jest zachowany i wkład podłużny opisywany jest przez trzy niezależne funkcje: CC (00), CL (03=30), LL (33). Wkład poprzeczny opisywany jest przez dwie funkcje: T, T'. W sumie jest więc pięć f. odp. R CC W 00 ω 2 = W 1 + W 2 + W 4 R CL W 03 +W 30 = 2W 4 ω q 2 2 + W 5 R LL W 33 = W 1 + W 4 q 2 ω + W 5 q 2 R T W xx +W yy = 2W 1 R T ' i(w xy W yx ) = 2W 3 q Ostatnia funkcja ma jednostkę urojoną po to, żeby funkcja była rzeczywista.

Musimy jeszcze znaleźć współczynniki kinematyczne przy każdej funkcji. v CC = 1+ β cosθ, v CL = ω q (1+ β cos θ) m 2 l E ' q, v LL = 1+ β cosθ 2 β E k ' q 2 sin 2 θ, v T = 1 β cosθ+ β E k ' sin 2 θ, v q 2 T ' = E+ E ' q gdzie β k ' E ' ( β cos θ 1)+ m 2 l E ' q to prędkość leptonu naładowanego. [A.V. Butkevich, S.A. Kulagin] Przekrój czynny można teraz zapisać jako: d 2 σ CCQE dt d cosθ = 2π σ 0[ v CC R CC + v CL R CL + v LL R LL + v T R T + hv T ' R T ' ] Znak ostatniego wkładu jest inny dla neutrin i dla antyneutrin. Pierwsze cztery funkcje są sumą wkładów VV i AA, a ostatnia VA.

Spoczywający nukleon i monoenergetyczne neutrino Tarczą jest swobodny nukleon, więc = M N. Otrzymany inkluzywny przekrój czynny zawiera wkład CCQE ( ν n l p lub ν p l + n ) dany relacją W μν = 1 E p E p ' H μν δ(e '+E p' E E p ), gdzie tensor H μ ν odpowiada swobodnemu nukleonowi. Funkcje struktury dla tensora H μν CC : w 1 = 1 4 ( (g v + g m ) 2 +g a 2)Q 2 M N 2 g a 2 w 2 =w 5 = 1 4 g 2 m Q 2 + M 2 N (g 2 v +g 2 a ) w 3 = M N 2 g a (g v + g m ) w 4 = 1 16 ( g 2 m+g 2 p )Q 2 1 4 M 2 N(g 2 m +2 g v g m +2 g a g p )

μν Odpowiednie funkcje struktury dla tensora W CC oznaczaliśmy przez W 1,..., W 5. Relację między tensorami możemy zapisać na poziomie funkcji struktury: W i = 1 E p E p ' w i δ(e '+E p' E E p )

Funkcje odpowiedzi R j zależą liniowo od funkcji struktury W i. Powyższą relację zapiszemy wtedy jako 1 R j = R (CCQE) E p E j δ (E ' +E p ' E E p ) p ' Po wycałkowaniu po energii leptonu naładowanego otrzymamy d σ CCQE d cosθ = 2 πσ 0 [v E p E CC R CC + v CL R CL + v LL R LL + v T R T + hv T ' R T ' ] p ' Doszedł warunek zachowania energii, a za funkcje W i należy wstawić w i. Dla neutrin mionowych i spoczywającego nukleonu E p' = E ν + M N E μ (energia końcowa nukleonu wyrażona przez wielkości ustalone lub mierzone). d σ CCQE = (ħ c) G 2 2 Fcos 2 θ C E μ E 2 2 μ m μ d cosθ μ 2π M N (E ν +M N E μ ) [v CC R CC + v CL R CL + v LL R LL + v T R T + hv T ' R T ' ] Jest jednoznaczna odpowiedniość między zmiennymi cosθ μ, E μ, Q 2.

Literatura S.M. Bilen'kij, Lekcii po fizike nejtrinnyh i lepton-nuklonnyh processov, Moskwa, 1981 A.V. Butkevich, S.A. Kulagin, Quasi-elastic neutrino charged-current scattering cross sections on oxygen, arxiv:0705.1051v2 [nucl-th] T.W. Donnelly, Neutrino-nucleus physics: overview H. Budd, A. Bodek, J. Arrington, Modeling Quasi-elastic Form Factors for Electron and Neutrino Scattering, arxiv:hep-ex/0308005v2 J.D. Walecka, Electron Scattering and Nuclear Structure, 1997 A.A. Aguilar-Arevalo et al. [MiniBooNE Collaboration], The Neutrino Flux Prediction at MiniBooNE, Phys. Rev. D. 79, 072002 (2009) T. Wakasa et al., Polarization transfer and spin response functions in quasielastic (p,n) reactions at 346 MeV, Phys. Rev. C. 59 (1999)