Školitel : RNDr. Jakub Veĺımský PhD. 10. května Marek Pšenka Elektrická impedanční tomografie 10. května / 45

Elektrická impedanční tomografie měkkých tkání: Řešení přímé a obrácené úlohy Řešitel : Marek Pšenka Školitel : RNDr. Jakub Veĺımský PhD. 10. května 2017 Marek Pšenka Elektrická impedanční tomografie 10. května 2017 1 / 45

Cíle metody elektrické impedanční tomografie (EIT) Odhalit strukturu vodivého tělesa na základě napět ových měření na jeho povrchu - Obrácená úloha Konkrétní aplikace - včasná detekce rakoviny prsu Poskytnout zobrazovací metodu která minimalizuje náklady na provoz zásah do zkoumaného tělesa nevýhoda počítačové tomografie (CT) Nevýhoda Elektrický proud je nelokální oproti RTG paprsku Cíle práce SW implementace příprava numerických experimentů Využití spektrální informace pro dodatečné podmínění úlohy Marek Pšenka Elektrická impedanční tomografie 10. května 2017 2 / 45

Experimentální uspořádání Obrázek : Měřící hlava společnosti RSDynamics, modelujeme doménou Ω a podmnožinami její hranice E k - elektrody, k = 1,..., N x Marek Pšenka Elektrická impedanční tomografie 10. května 2017 3 / 45

Koncept - Materiálové vztahy Hypotéza - strukturu studovaného tělesa je možné rozkrýt na základě odlišných materiálových vlastností tkání v EM poli Maxwellovy rovnice ve frekvenční oblasti E(x, t) = Êeiωt j = σe Zavádíme komplexní admitivitu Alternativní popis rot H = j + D t D = ε 0 (E + P) = ε 0 ε r E rot H = (σ + iωε 0 ε r )E = γe rot H = iωd D = ε 0ˆε r E γ = iωε 0ˆε r Př: lineární izotropní dielektrikum ˆε r = ε r iσ ωε 0 Marek Pšenka Elektrická impedanční tomografie 10. května 2017 4 / 45

Koncept - Spektrální informace Dodatečný zdroj informací frekvenční závislost materiálových veličin Kĺıčový jev - dielektrická relaxace - nejjednodušší Debyeho model ε r(ω) = ε + ε s ε 1 + iωτ Re ε r ε, ω a Re ε r ε s, ω 0. τ - relaxační čas Zobecnění - Násobný Cole-Cole model ˆε(ω) = ε + n ε n 1 + (iωτ n ) (1 αn) + σ i iωε 0 α n - korekce na překryv bĺızkých relaxací, σ i iontová (statická) vodivost Marek Pšenka Elektrická impedanční tomografie 10. května 2017 5 / 45

Koncept - Experimentální data Rozsáhlá kompilace dostupných měření, prokládání zmíněnými modely - [Gabriel et al., 1996]. Příklad - Svalová tkáň, σ i = 0.2 S/m a ε = 4 ε [1] τ [s] α [1] 1 5.000e+01 7.230e-12 0.10 2 7.000e+03 3.537e-07 0.10 3 1.200e+06 3.183e-04 0.10 4 2.500e+07 2.274e-03 0.00 Tkáň ženských prsou - množství studíı v různém oboru frekvencí. Modely výše příliš jednoduché - [Jossinet, 1998], [Jossinet and Schmitt, 1999] Marek Pšenka Elektrická impedanční tomografie 10. května 2017 6 / 45

Koncept - Experimentální data 10 8 10 2 10 7 Re{ˆε} [1] 10 6 10 5 10 4 10 3 10 2 10 1 10 0 Re{γ} [S/m] 10 1 f 4 f 3 f 2 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9 10 10 10 11 f [Hz] 10 1 Marek Pšenka Elektrická impedanční tomografie 10. května 2017 7 / 45

Koncept - Experimentální data 10 2 f 1 10 1 Im{γ} [S/m] 10 0 10 1 f 2 10 2 f 4 f 3 10 1 10 0 10 1 10 2 Re{γ} [S/m] Marek Pšenka Elektrická impedanční tomografie 10. května 2017 8 / 45

Jak řešit obrácenou úlohu? Dvě možnosti 1 Využití teoretických výsledků - algoritmy šité na míru (layer stripping [Knudsen and Tamasan, 2003], D-bar metoda [Knudsen et al., 2009]) 2 Zasazení do rámce obecné teorie obrácených úloh - převedení na úlohu nelineární optimalizace. Voĺıme druhý přístup standardně definujeme Modelový prostor M parametry systému rozložení admitivity γ v Ω Datový prostor D elektrodová napětí (U l ) Nx l=1 CNx naměřená při daném stimulačním vzoru (I l ) Nx l=1 CNx Marek Pšenka Elektrická impedanční tomografie 10. května 2017 9 / 45

Formulace obrácené úlohy G : M D expicitní operátor přímé úlohy predikce napětí okrajová úloha F : D M D implicitní operátor přímé úlohy analýza problému Řešení ˆγ minimum misfit funkcionálu χ 2 (γ) : M R na přípustné množině A γ ˆγ = arg min χ 2 1 (γ) = arg min γ A γ γ A γ 2 G(γ, I) U obs 2 2 U obs D napětí pozorovaná při experimentu. Marek Pšenka Elektrická impedanční tomografie 10. května 2017 10 / 45

Okrajová úloha pro kompletní elektrodový model EIT Rozměrová analýza (viz. např. [Cheney et al., 1999]) = zanedbání elektromagnetické indukce u : E(x) = u(x) x Ω = rot E = 0 Z Ampérova zákona Kirchhoffův zákon pro kontinuum div (γ(x) u(x)) = 0 x Ω Okrajové podmínky? Kontinuální vs. Kompletní elektrodový model γ u n = j i n γ u n ds = I k E k k = 1, 2,..., N x N γ u n = 0 x Ω/ k=1 E k u + Z k γ u n = U k x E k Marek Pšenka Elektrická impedanční tomografie 10. května 2017 11 / 45

Podmínka řešitelnosti pro stimulační vzory j i ds = 0 Ω N I k = 0 k=1 Definice (Slabé řešení okrajové úlohy pro CEM EIT) Ω jednoduše souvislá C 0,1 oblast, E k Ω otevřené s vzájemně disjunktními uzávěry. γ L (Ω), Z k C a I C Nx stimulační vzor. (u, U) W 1,2 (Ω) C Nx nazýváme slabým řešením úlohy elektrické impedanční tomografie, jestliže (v, V) W 1,2 (Ω) C Nx B((u, U)), (v, V)) = = Ω γ u v dx + N I k V k. k=1 N k=1 E k 1 Z k (U k u)(v k v) ds Marek Pšenka Elektrická impedanční tomografie 10. května 2017 12 / 45

Existence slabého řešení Tvrzení ([Somersalo et al., 1992]) Formálně definujme W = ( W 1,2 (Ω) C Nx) /C Předpokládejme, že existují γ 0 > 0 a Z > 0, pro které platí Re {γ} γ 0 Re {Z k } > Z k = 1, 2,..., N Pak pro daný stimulační vzor I existuje právě jedno slabé řešení (u, U) W okrajové úlohy elektrické impedanční tomografie. Důkaz. [Somersalo et al., 1992] dle komplexní Lax-Milgramovy věty Marek Pšenka Elektrická impedanční tomografie 10. května 2017 13 / 45

Numerické řešení přímé úlohy Hledáme Galerkinovu aproximaci (u h, U h ) slabého řešení na prostoru V h C Nx, I h je interpolant příslušný síti Lagrangeových prvků prvního řádu na Ω V h = { I h v v C 0 (Ω) } dim V h = N n Diskrétní problém A C (Nn+Nx) (Nn+Nx), N n 10 4 [ AM + A Z A V A T V A D ] [ ] u = U [ ] 0 I Matice soustavy je řídká, symetrická a indefinitní - Intel MKL Pardiso přímý řešič. Marek Pšenka Elektrická impedanční tomografie 10. května 2017 14 / 45

Numerické řešení obrácené úlohy Vhodné kódování γ(m) : M A γ, M = R Nm, N m <. 1 ˆm = arg min m A χ2 (m) = arg min m A 2 G(γ(m), I) U obs 2 2 Optimum ˆm hledáme pomocí iterativního algoritmu LM-BFGS B k p k = χ 2 (m k ) B k aproximace Hessiánu χ 2 (m) v k-tém kroku. dim M N t = Výpočet χ 2 (m) pomocí diferencí vyloučen Metoda adjungovaných stavů Marek Pšenka Elektrická impedanční tomografie 10. května 2017 15 / 45

Metoda adjungovaných stavu pro obrácenou úlohu EIT I Uvažujeme neformálně v duchu obecného odvození, které je součásti práce 1 Derivace misfit funkcionálu χ 2, δ(u, U) { } = Re ((U U obs ), δu) C N 2 Derivace implicitního operátoru F variační formy slabé formulace m γ (δm) grad u grad u dx + γ grad δu grad u dx + Ω N k=1 E k 1 z k (δu k δu) (U k u ) ds = 0 Ω Marek Pšenka Elektrická impedanční tomografie 10. května 2017 16 / 45

Metoda adjungovaných stavu pro obrácenou úlohu EIT II 3 Přičtením reálné části derivace variační formy k první rovnici získáme χ 2, δ(u, U) = = Re{((U U obs ), δu) C N + m γ (δm) grad u grad u dx + γ grad δu grad u dx + Ω Ω N k=1 E k 1 z k (δu k δu) (U k u ) ds} 4 Eliminace (δu, δu) (u, U ) W pro které platí (v, V) W Ω γ grad v grad u dx + N k=1 N = (U k U obs)v k = def k=1 k E k 1 z k (V k v) (U k u ) ds N I k V k k=1 Marek Pšenka Elektrická impedanční tomografie 10. května 2017 17 / 45

Podmíněnost obrácené úlohy I Úloha špatně podmíněná musíme poskytnout dodatečné informace 1 Stimulační vzory a Spektrální informace Rozšíříme misfit funkcionál χ 2 (m) na sadu stimulací {I s } Ns s=1 χ 2 (m) = 1 2 N s s=1 G(γ(m), Is ) U obs s pro několik frekvencí proudu ω k, k = 1,..., N f χ 2 (m) = 1 2 N s N f s=1 k=1 2 2 G(γ(ω k, m), I s ) U(ω k ) obs s 2 2 Marek Pšenka Elektrická impedanční tomografie 10. května 2017 18 / 45

Podmíněnost obrácené úlohy II 2 Architektura modelového prostoru Vhodné kódování Range γ(m, ω k ) A γ dostatečně úzká Individuální kódování γ(ω k, m) Ki = Re {γ 0 (ω k ) } ( ) Ki exp 10 ml(i,k) + i Im {γ 0 (ω k ) } ( ) Ki exp 10 mp(i,k) Kódování parametrů relaxací ˆε r (ω k, m) Ki = ε 0 Ki exp 10 (m l(i) ) + ε0 Ki exp 10 (m p(i) ) 1 + (iω k τ) (1 α) Ki exp 10 (m q(i) ) + σ0 i iω k ε 0 pro každou frekvenci γ vs. (τ n, α n, ε n, ε, σ i ) pro všechny frekvence redukce dimenze Marek Pšenka Elektrická impedanční tomografie 10. května 2017 19 / 45

Podmíněnost obrácené úlohy III 3 Tichonovovo regularizační schéma {R λ } λ>0 Misfit χ 2 (m) daleko od konvexity, definujeme R λ = arg min m A (χ2 (m) + λj(m)) = arg min m A S λ(m) λ > 0 regularizační parametr, S λ (m) Tichonovův funkcionál J(m) penalizační funkcionál postihuje např. Normu, hladkost, variaci standardní volba Nízkou entropii J(m) = (m, log m) M konkrétně v našem případě J(m) = 1 N f Ω N t k=1 i=1 K i Re {γ 0(ω k )} Ki exp 10 ( ml(i) ) ln ( Re {γ0(ω k )} ) Ki exp 10 (m l(i) ) Re {γ 0(ω k )} Ki Marek Pšenka Elektrická impedanční tomografie 10. května 2017 20 / 45

Spektrální informace I Dosavadní formulace obrácené úlohy s penalizačním funkcionálem maximální entropie neumožňuje extrakci spektrální informace Dvě možnosti : 1 Individuální kódování + Penalizace za to, že se materiál nechová jako tkáň N mat experimentálně zjištěných disperzí admitivity různých tkání γ j (ω k ), k = 1,..., N f, j = 1,..., N mat J mat (m) = N t min j=1,...,n mat i=1 k=1 N f γ(m, ω k ) Ki γ j (ω k ) 2 Marek Pšenka Elektrická impedanční tomografie 10. května 2017 21 / 45

Spektrální informace II Obrázek : [Jossinet and Schmitt, 1999], Disperze admitivity tkání ženských prsou v oboru frekvencí do 10 6 Hz Marek Pšenka Elektrická impedanční tomografie 10. května 2017 22 / 45

Spektrální informace III 2 Kódování parametrů relaxací, každý K i z relaxujícího materiálu Ω γ(ω k 1 ) γ(ω k ) γ(ω k+1 ) K i γ(ω) Ki = iωε 0ˆε(ω) Ki [..., ml(i,k 1) 1, m l(i,k 1), m l(i,k 1)+1,... ] R Nt ε [ ]..., ml(i,k) 1, m l(i,k), m l(i,k)+1,... R Nt ε [..., ml(i,k+1) 1, m l(i,k+1), m l(i,k+1)+1,... ] R Nt σ i Marek Pšenka Elektrická impedanční tomografie 10. května 2017 23 / 45

Volba regularizačního parametru - L-křivka Vázaná na konkrétní experiment! 0.35 λ 6 0.30 0.25 J(m) 0.20 0.15 λ 5 0.10 0.05 λ 4 λ 3 λ 2 0.00 2.60 2.65 2.70 2.75 2.80 2.85 2.90 2.95 χ 2 (d) Obrázek : Křivka { [J(R λi ), χ 2 (R λi )] i = 1,..., N λ } λ 1 Marek Pšenka Elektrická impedanční tomografie 10. května 2017 24 / 45

Implementace numerických řešení prs4d - implementace přímé i obrácené úlohy v jazyce Fortran 90. Omezení na speciální geometrii - dědictví od RSDynamics Řešení přímé úlohy - sestavení matice problému, přímé řešení pomocí Intel MKL Pardiso Řešení obrácené úlohy - výpočet adjungovaného řešení - Výrazný speedup, externí knihovna pro volání LM-BFGS Výstup rozložení admitivity - VTK paraview Přímá úloha verifikována oproti FEniCS, výpočet gradientu oproti konečným diferencím OpenMP paralelizace téměř dokonalý speedup Implementováno rozhraní pro subroutiny, jejichž implementace závisí na volbě kódování Marek Pšenka Elektrická impedanční tomografie 10. května 2017 25 / 45

Numerický experiment Chceme charakterizovat citlivost metody vůči náhodnému šumu Syntetická data apriorní model vnořené koule velmi kontrastní admitivita 10 γ 0 = 1 + 1i Nedopouštíme se systematické chyby Neuvažujeme frekvenční závislost individuální kódování, regularizace na základě max. entropie Řešení obrácené úlohy pro tři úrovně šumu šest hodnot regularizačního parametru, optimum voleno dle L-křivky a vizuálního hodnocení 6-core Intel i7-3.2 GHz, 2 6 vláken (hyperthreading) 72 hodin Marek Pšenka Elektrická impedanční tomografie 10. května 2017 26 / 45

Experiment - nehomogenita Obrázek : Re {γ} - kruhová nehomogenita r = 10 mm x = (10, 10, 45) mm Marek Pšenka Elektrická impedanční tomografie 10. května 2017 27 / 45

Experiment - nehomogenita Obrázek : Re {γ} - kruhová nehomogenita r = 10 mm x = (10, 10, 45) mm Marek Pšenka Elektrická impedanční tomografie 10. května 2017 28 / 45

Experiment - nehomogenita Obrázek : Re {γ} - řez n = (1, 0, 0), o = (10, 0, 0) mm, λ 1 = 10 2 Marek Pšenka Elektrická impedanční tomografie 10. května 2017 29 / 45

Experiment - nehomogenita Obrázek : Threshold filtr Re {γ} > 1.5 S/m, λ 1 = 10 2 Marek Pšenka Elektrická impedanční tomografie 10. května 2017 30 / 45

Experiment - nehomogenita Obrázek : Threshold filtr Re {γ} > 1.5 S/m, λ 1 = 10 1 Marek Pšenka Elektrická impedanční tomografie 10. května 2017 32 / 45

Experiment - nehomogenita Obra zek : Threshold filtr Re {γ} > 1.5 S/m, λ3 = 100 Marek Ps enka Elektricka impedanc nı tomografie 10. kve tna 2017 34 / 45

Experiment - nehomogenita Obra zek : Threshold filtr Re {γ} > 1.5 S/m, λ4 = 10 1 Marek Ps enka Elektricka impedanc nı tomografie 10. kve tna 2017 36 / 45

Závěr Numerické experimenty první přibĺıžení citlivosti vůči šumu Obecný rozsudek nad použitelností metody charkteristika šumu, odhad systematické chyby Program prs4d připraven k implementaci metod extrakce spektrální informace Další pokroky metody dodatečného podmínění, kterých je celá řada Marek Pšenka Elektrická impedanční tomografie 10. května 2017 41 / 45

Děkuji za pozornost Marek Pšenka Elektrická impedanční tomografie 10. května 2017 42 / 45

References I Cheney, M., Isaacson, D., and Newell, J. C. (1999). Electrical impedance tomography. SIAM review, 41(1):85 101. Gabriel, S., Lau, R., and Gabriel, C. (1996). The dielectric properties of biological tissues: Iii. parametric models for the dielectric spectrum of tissues. Physics in medicine and biology, 41(11):2271. Garde, H. (2013). Sparsity regularization for electrical impedance tomography. Jackson, A., Constable, C., and Gillet, N. (2007). Maximum entropy regularization of the geomagnetic core field inverse problem. Geophysical Journal International, 171(3):995 1004. Marek Pšenka Elektrická impedanční tomografie 10. května 2017 43 / 45

References II Jossinet, J. (1998). The impedivity of freshly excised human breast tissue. Physiological measurement, 19(1):61. Jossinet, J. and Schmitt, M. (1999). A review of parameters for the bioelectrical characterization of breast tissue. Annals of the New York Academy of Sciences, 873(1):30 41. Knudsen, K., Lassas, M., Mueller, J. L., and Siltanen, S. (2009). Regularized D-bar method for the inverse conductivity problem. Inverse Problems and Imaging, 35(4):599. Knudsen, K. and Tamasan, A. (2003). Reconstruction of less regular conductivities in the plane. Communications in Partial Differential Equations, 1:28. Marek Pšenka Elektrická impedanční tomografie 10. května 2017 44 / 45

References III Plessix, R.-E. (2006). A review of the adjoint-state method for computing the gradient of a functional with geophysical applications. Geophysical Journal International, 167(2):495 503. Somersalo, E., Cheney, M., and Isaacson, D. (1992). Existence and uniqueness for electrode models for electric current computed tomography. SIAM Journal on Applied Mathematics, 52(4):1023 1040. Marek Pšenka Elektrická impedanční tomografie 10. května 2017 45 / 45