Sprawdzian 2. Zadanie 1. Za pomocą KMNK oszacowano następującą funkcję produkcji: Gdzie: P wartość produkcji, w tys. jp (jednostek pieniężnych) K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp. L liczba zatrudnionych pracowników. 1a. Jeśli techniczne uzbrojenie pracy wynosi 2, to krańcowa stopa substytucji pracy przez kapitał wynosi 0,43. 1b. Funkcja wykazuje malejące korzyści skali. 1c. Wzrost zatrudnienia ze 100 osób do 105 osób i wzrost nakładów kapitału z 50 tys. jp. do 52,5 tys. jp. powoduje wzrost wartości produkcji o około 3,22%. 1d. Krańcowa produkcyjność kapitału dana jest wzorem: 1e. Krańcowa produkcyjność pracy dana jest wzorem: Zadanie 2. Dany jest następujący trzyrównaniowy model ekonometryczny (zakładamy, że parametry strukturalne modelu są różne od zera): 2a. Jest to model rekurencyjny. 2b. Macierz parametrów występujących przy zmiennych egzogenicznych opóźnionych jest kwadratowa. 2c. Macierz parametrów występujących przy zmiennych endogenicznych nieopóźnionych jest diagonalna. 2d. Liczba zmiennych endogenicznych opóźnionych występujących w modelu jest równa liczbie zmiennych z góry ustalonych. 2e. Macierz parametrów występujących przy zmiennych endogenicznych opóźnionych jest trójkątna.
Zadanie 3. Na podstawie danych o zawartych transakcjach w 1997 r. z jednej z agencji nieruchomości w Radomiu oszacowano model: Gdzie: cena mieszkania w tys. zł, metraż w m. kw. Wiadomo ponadto, że oszacowanie wariancji składnika losowego modelu wynosi 225,29. 3a. Do obliczenia wartości prognozy punktowej na podstawie powyższego modelu niezbędna jest znajomość wartości krytycznej statystyki t. 3b. Jeśli = 0,018, to średni błąd predykcji ex ante dla mieszkania o powierzchni 40 m. kw. wynosi 1,01. 3c. Jeśli rzeczywista cena mieszkania o powierzchni 100 m. kw. w Radomiu wynosi 171,86 tys. zł, a prognozowania na podstawie modelu 156,05 tys. zł, to względny błąd predykcji ex post wynosi 0,092. 3d. Współczynnik Theila podniesiony do kwadratu oznacza, jaki jest średni względny błąd predykcji ex post. 3e. Model został oszacowany na podstawie danych przekrojowych. Zadanie 4. Miesięczne wydatki na warzywa (y w jednostkach pieniężnych; jp) w zależności od dochodu (x w jp) w rodzinach Spacji opisuje po oszacowaniu następująca funkcja: y(i) = 100 x(i) / [x(i) + 2000] Dochód rodzin w Spacji nie przekracza 2000 jp., lecz jest wyższy niż 499 jp. 4a. Przyrost wydatków na warzywa związany ze wzrostem o jednostkę dochodu rodzin zarabiających 1000 jp. wynosi około (1/45) jp. 4b. Według oszacowanej funkcji, wydatki na warzywa w rodzinach o najwyższych dochodach są o 20% niższe niż w rodzinach o najwyższych dochodach. 4c. Estymacja parametrów tej funkcji wymagała zastosowania metody innej niż MNK. 4d. Najwyższy dochód w Spacji jest 4-krotnie większy od najniższego, lecz wydatki na warzywa w rodzinach o najwyższych i najniższych dochodach różnią się tylko 1,5 krotnie. 4e. Oszacowana funkcja to funkcja Tornquista dla dóbr luksusowych.
Zadanie 5. Na podstawie obserwacji rocznych z lat 1960-79 oszacowano następujący jednorównaniowy model ekonometryczny: 20 0,5 y t 2 + 10 x t 14 x t 1 ; R 2 = 0,86. (10) (0,4) (4,5) (2) Pod równaniem podane są średnie błędy szacunku odpowiednich parametrów. Składnik losowy ma rozkład normalny. Przyjąć liczebność próby równą długości badanego okresu. 5a. Nie jest to model statyczny. 5b. Stosunek sumy kwadratów reszt do sumy kwadratów odchyleń wartości empirycznych od średniej przyjmuje wartość ok. 0,86. 5c. Zmiana decyzji weryfikacyjnej o istotności wpływu nieopóźnionej zmiennej egzogenicznej na zmienną objaśnianą wystąpi przy poziomie istotności należącym do przedziału <0,05; 0,1>. 5d. Na poziomie istotności =0,05 można uznać, że w modelu nie występuje wyraz wolny. 5e. Po wyeliminowaniu z modelu opóźnionej zmiennej endogenicznej oszacowano ponownie jego parametry i obliczono statystykę DW = 0,87. Można wnioskować, że w nowym modelu (przyjmując =0,05) występuje autokorelacja składnika losowego. Wartości krytyczne testu t Studenta Stopnie swobody =0,1 =0,05 =0,02 =0,01 16 1,7459 2,1199 2,5835 2,9208 17 1,7396 2,1098 2,5669 2,8982 18 1,7341 2,1009 2,,5524 2,8784 19 1,7291 2,0930 2,5395 2,8609 20 1,7247 2,0860 2,5380 2,8453 Wartości krytyczne testu Durbina-Watsona ( =0,05, k liczba zmiennych objaśniających)
n k=2 k=3 k=4 dl du dl du dl du 16 1,106 1,371 0,982 1,539 0,757 1,728 17 1,133 1,381 1,015 1,536 0,897 1,710 18 1,158 1,391 1,046 1,535 0,933 1,696 19 1,180 1,401 1,074 1,536 0,967 1,685
20 1,201 1,411 1,100 1,537 0,998 1,676
Zadanie 6 Aby można było oszacować parametry strukturalne jednorównaniowego modelu ekonometrycznego klasyczną metodą najmniejszych kwadratów, muszą być spełnione poniższe założenia: 6a. Rząd macierzy obserwacji dokonanych na zmiennych objaśniających jest równy liczbie kolumn tej macierzy. 6b. Wariancja i wartość oczekiwana składnika losowego jest stała w czasie. 6c. Liczba obserwacji jest nie mniejsza niż liczba szacowanych parametrów. 6d. Zmienne objaśniające są nielosowe. 6e. Liczba parametrów strukturalnych jest większa od liczby obserwacji. Zadanie 7. Dane są cztery jednorównaniowe modele ekonometryczne: I: U t = a 0 + a 1 DN t + a 2 CE t + a 3 CP t + ε 1t II: III: IV: DN t = b 0 + b 1 Z t + b 2 DN t 1 + ε 2t E t = c 0 + c 1 CE t + c 2 CP t + ε 3t CP t = d 0 + d 1t + d 2 U t + ε 4t Gdzie: U t zużycie paliw płynnych, DN t dochód narodowy, Z t wielkość zatrudnienia w gospodarce, CE t średnia cena energii elektrycznej, CP t średnia cena paliw płynnych, E t zużycie energii elektrycznej, ε it składnik losowy. Symbol t oznacza że zmienna występuje w równaniu z wartością z roku t. 7a. Model III jest statyczny. 7b. Dwurównaniowy model składający się z II i IV jest modelem o równaniach współzależnych. 7c. Dwurównaniowy model składający się z I i III jest prosty. 7d. Model I jest dynamicznym modelem trendu. 7e. Model II jest liniowy i autoregresyjny.