Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład 2) Dariusz Gozdowski

Transkrypt

1 Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład ) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW

2 Weryfikacja (testowanie) hipotez statystycznych sprawdzenie określonych przypuszczeń (założeń) wysuniętych w stosunku do parametrów lub rozkładu populacji generalnej na podstawie próby. Hipotezy możemy podzielić na dotyczące typu rozkładu populacji dotyczące parametrów rozkładu (który jest znany)

3 Test statystyczny reguła postępowania, która pozwala na przyjęcie (nieodrzucenie) bądź odrzucenie sprawdzanej hipotezy Procedura testowania hipotez polega na tym, że zakładamy pewną hipotezę zerową (H 0 ), którą uznajemy za możliwą. Następnie sprawdzamy, czy ona może być prawdziwa przy pomocy testu statystycznego. Jeśli podczas weryfikacji hipotezy odrzucimy hipotezę zerową to przyjmujemy przeciwną do niej hipotezę alternatywną (H 1 ). Możliwe do popełnienia błędy przy testowaniu hipotez: Błąd I rodzaju błąd odrzucenia, występuje, gdy odrzucamy hipotezę, natomiast jest ona prawdziwa Błąd II rodzaju błąd przyjęcia, występuje gdy przyjmujemy hipotezę, natomiast jest ona fałszywa Prawdopodobieństwo popełnienia błędu I rodzaju nazywamy poziomem istotności (α) (przyjmujemy najczęściej α=0,05)

4 Test t do porównania średnich dwóch populacji Hipoteza zerowa H 0 : μ 1 = μ Hipoteza alternatywna H : μ μ 1 1 założenia: zmienne mają rozkład normalny σ 1 = σ (jeśli to założenie nie jest spełnione stosujemy zmodyfikowaną wersję testu t uwzględniająca nierówność wariancji) Przykłady zastosowań: Porównanie plonów dwóch odmian roślin uprawnych (badana zmienna: plon) Porównanie skuteczności dwóch leków obniżających ciśnienie krwi (zmienna: ciśnienie krwi) Porównanie dwóch produktów np. dwóch rodzajów konserw mięsnych pod względem zawartości tłuszczu (zmienna: zawartość tłuszczu) Porównanie wyników z egzaminu dla dwóch grup studentów (kontrolnej i poddanej nowemu sposobowi nauczania) Zmienna: liczba pkt uzyskana z egzaminu

5 Funkcja testowa: x y t emp S r błąd różnicy średnich = x S r y Średnia dla pierwszej populacji Średnia dla drugiej populacji gdzie wspólna wariancja: var X = n i = 1 (xi x ) S r = S 1 1 e + n1 n var X + vary S e = (n ) + (n 1) 1 1 jest sumą kwadratów odchyleń od średniej

6 Wartość t emp. porównujemy z wartością t kryt. i na tej podstawie stwierdzamy, czy średnie mogą być równie, czy też nie. Wartość krytyczna t α,ν, dla rozkładu t-studenta, gdzie α jest przyjętym poziomem istotności (najczęściej 0,05), a ν liczbą stopni swobody, czyli liczebność prób pomniejszona o (n 1 +n -) Jeżeli t emp > t α,ν to hipotezę H 0 odrzucamy i przyjmujemy hipotezę alternatywną H 1 : μ 1 μ a więc stwierdzamy że średnie różnią się istotnie W programach statystycznych (również w programie Statistica) zamiast wartości krytycznej podawana jest wartość p (p-value). Decyzję o tym, czy hipotezę zerową odrzucamy, czy też nie podejmujemy na podstawie wartości p. Jeżeli p<α to hipotezę zerową odrzucamy i przyjmujemy hipotezę alternatywną, a jeśli p>α to hipotezy zerowej nie odrzucamy. Przyjęło się, że wartość α ustalamy równą 0,05.

7 test F - porównanie wariancji populacji pod względem zmienności (wartości wariancji) Hipoteza zerowa H 0 : σ 1 = σ Hipoteza alternatywna H 1 : σ 1 σ Założenie: zmienne mają rozkład normalny s1 Funkcja testowa F emp = Gdzie wartość s s 1 >s Wartość krytyczna F α,ν,u dla rozkładu F-Fishera, gdzie α jest przyjętym poziomem istotności (najczęściej 0,05), a ν i u liczbami stopni swobody, czyli liczebnością próby pierwszej (n 1-1) i drugiej (n -1)

8 test U Manna-Whitneya - porównanie średnich populacji o dowolnych rozkładach Test U Manna-Whitneya (nazywany również testem rang Wilcoxona) służy do porównania zgodności dwóch rozkładów. Wykorzystywany jest natomiast najczęściej do porównania median. Jeśli rozkłady są symetryczne i ich wariancje są równe lub bliskie to uzasadnione jest stosowanie tego testu jako alternatywy dla testu t przy braku założenia normalności rozkładów. Dlatego też ten test stosuje się często do porównania średnich dla dwóch populacji o innych rozkładach niż normalne. Statystyka testową jest wartość U. Hipoteza zerowa jest taka sama jak w przypadku testu t, czyli w hipotezie zerowej przyjmujemy, że średnie nie różnią się. Jeśli ją odrzucimy to przyjmujemy hipotezę alternatywną, czyli stwierdzamy, że występuje różnica między średnimi. Przykład zastosowania: Porównanie wyników z odpowiedzi z ankiety między kobietami a mężczyznami Zmienna: odpowiedź w skali od 1-5

9 Jednoczynnikowa analiza wariancji i porównania wielokrotne (układ całkowicie losowy)

10 Celem analizy wariancji (ANOVA) jest porównanie średnich w wielu populacjach o rozkładzie normalnym Założenia: zmienne mają rozkład normalny X i ~N(m,σ ) wariancje (a tym samym odchylenia standardowe) dla badanych populacji są równe σ 1 = σ = σ 3 =... = σ i Hipoteza zerowa H 0 : m 1 = m = m 3 =...= m i (średnie nie różnią się) Hipoteza alternatywna H 1 : m i m i (co najmniej dwie średnie różnią się) Przykłady: Porównanie kilku ras zwierząt pod względem przyrostów dziennych Porównanie wielkości kolb kilku odmian kukurydzy

11 Wyniki analizy wariancji przedstawiane są najczęściej w formie następującej tabeli źródła zmienności sumy kwadratów (SS) stopnie swobody (df) średnie kwadraty (MS) F p czynnik (między grupami) SS A a-1 MS A MS A /MS E błąd (wewnątrz grup) SS E N-a MS E całkowita SS T N-1 a liczba poziomów czynnika N łączna liczebność prób Jeżeli p<α to hipotezę zerowa odrzucamy i przyjmujemy hipotezę alternatywną, czyli stwierdzamy, że co najmniej dwie średnie różnią się istotnie i przechodzimy do porównań wielokrotnych, czyli porównań wszystkich możliwych par średnich.

12 Porównania wielokrotne (szczegółowe) jest to metoda pozwalająca określić, które średnie różnią się istotnie a które się nie róznią. Wydzielamy grupy jednorodne, czyli podzbiory średnich, które można uznać za takie same (nie różniące się istotnie). Procedury porównań wielokrotnych: Tukeya, Scheff ego, Bonfferroniego, Duncana, Newmana Kuelsa i inne. Wybór procedury jest często dość dowolny (zależy od badacza). Najczęściej wynikiem analiz jest wartość NIR ( najmniejsza istotna różnica). Jeżeli X i X j NIR to uznajemy, że średnie różnią się (różnica istotna statystycznie). Uwaga! W programie Statistica zamiast wartości NIR podawane jest od razu podział na grupy jednorodne oraz wartości p dla porównań wszystkich możliwych par średnich (podobnie tak jak w testowaniu innych hipotez, jeśli p<α to odrzucamy hipotezę o równości średnich czyli stwierdzamy że różnią się one istotnie)