i, lub, nie Cegieªki buduj ce wspóªczesne procesory. Piotr Fulma«ski Uniwersytet Šódzki, Wydziaª Matematyki i Informatyki UŠ piotr@fulmanski.pl http://fulmanski.pl/zajecia/prezentacje/festiwalnauki2017/festiwal_wmii_2017_ fulmanp.pdf 5 kwietnia 2017
Table of contents 1 Algebra Boole'a 2 Bramki 3 Liczby dwójkowe 4 Sumator 1-bitowy
Algebra Boole'a Denicja Niech b dzie dana szóstka uporz dkowana T = (B, AND, OR, NOT, 0, 1), gdzie B pewien zbiór, AND ( ) oraz OR (+) dwa binarne operatory (dziaªania) okre±lone na elementach zbioru B, NOT (linia nad symbolem, jak np. x) unarny operator (dziaªanie) okre±lone na elementach zbioru B, 0, 1 dwa wyró»nione elementy ze zbioru B.
Algebra Boole'a Denicja Dla dowolnych elementów a, b oraz c nale» cych do B okre±lamy nast puj cy zbiór aksjomatów A a + (b + c) = (a + b) + c a (b c) = (a b) c ª czno± a + b = b + a a b = b a przemienno± a + (a b) = a a (a + b) = a pochªanianie a + 0 = a a 1 = a identyczno± a + (b c) = (a + b) (a + c) a (b + c) = (a b) + (a c) rozdzielno± a + a = 1 a a = 0 dopeªnienie
Algebra Boole'a Konsekwencje twierdzenia Z podanych powy»ej aksomatów mo»na wyprowadzi wiele ró»nych twierdze«, z których jednym z najpowszechniej u»ywanych s prawa De Morgana x + y = x y x y = x + y
Algebra Boole'a Dwuelementowa algebra Boole'a Z informatycznego punktu widzenia istotna dla nas jest najprostsza algebra Boole'a, tzn. tak, w której zbiót B jest dwuelementowy a wi c skªada si tylko z elementów 0 i 1. Na podstawie podanych wcze±niej aksjomatów mo»na wyprowadzi zbiór reguª charakteryzuj cych operacje AND, OR oraz NOT. Zwykle reguªy te zapisujemy w postaci tzw. tabel prawdy a b AND(a, b) OR(a, b) NOT(a) 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0
Algebra Boole'a Dlaczego to nas interesuje? Algebra Boole'a ma zastosowania w logice, gdzie 0 mo»emy interpretowa jako FAŠSZ (FALSE), 1 za± jako PRAWD (TRUE). Dwuprzedmiotowa algebra Boole'a jest równie» wykorzystywana do projektowania obwodów w elektrotechnice. W takim przypadku 0 i 1 reprezentuj dwa ró»ne stany jednego bitu w obwodzie cyfrowym, zazwyczaj wysokie i niskie napi cie. Obwody s opisywane przez wyra»enia zawieraj ce zmienne, a dwa takie wyra»enia s równe, wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich warto±ci zmiennych, odpowiednie obwody generuj takie same sygnaªy wyj±ciowe. Ponadto, ka»dy mo»liwy zwi zek pomi dzy wej±ciem a wyj±ciem mo»e by modelowany przez odpowiednie wyra»enie boolowskie. To sprawia,»e algebra Boole'a jest idealnym narz dziem, które mo»emy wykorzysta podczas projektowania obwodów logicznych.
Bramki Cho funkcje logiczne AND, OR, NOT uwa»ane s za podstawowe, to w praktyce w informatyce wykorzystuje si tak»e, a cz sto przede wszystkim, inne tj. NAND, NOR, XOR. W elektronice powy»sze funkcje logiczne implementowane s za pomoc bramek Maj c okre±lony schemta logiczny (sposób poª czenia bramek ze sob ) bez trudu mo»na okre±li stan wyj± ukªadu w odpowiedzi na okre±lon kombinacj sygnaªow wej±ciowych.
Bramki Zwi zek wej±cia z wyj±ciem Przyjrzyjmy si jak reaguje ukªad nazywany komparatorem
Liczby dwójkowe
bit przeniesienia 1 0 0 1 1 0 + 1 + 0 + 1 + ===== ===== ===== ====== 0 1 1 10 Dodawanie liczb dwójkowych
Dodawanie liczb dwójkowych troch praktyki bit przeniesienia 1 0 0 1 1 0 + 1 + 0 + 1 + ===== ===== ===== ====== 0 1 1 10 11 1 11 1 01101100101100 6956 01100101101010 + 6506 + ================== ========= 11010010010110 13462
Sumator 1-bitowy Ukªad realizuj cy dodawanie dwóch cyfr dwójkowych na jednej pozycji w liczbie dwójkowej. c in x y value c out 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1
Sumator 1-bitowy Model dziaªania
Sumator 1-bitowy Schemat
Sumator 1-bitowy Symulacja
Sumator 1-bitowy Realny ukªad