MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy I Liceum Propozycja zadań maturalnych sprawdzających opanowanie wiadomości i umiejętności matematycznych z zakresu klasy pierwszej liceum na poziomie podstawowym. Test zbudowany jest w oparciu o podstawę programową z matematyki dla szkół ponadgimnazjalnych z uwzględnieniem standardów wymagań egzaminacyjnych. Do testu dołączony jest model odpowiedzi i schemat oceniania. Czas pracy: 0 minut Maksymalna liczba punktów: 50 ZESTAW ZADAŃ Zadanie. (6 pkt) Prosta l tworzy z osią x kąt o mierze 45 0 i przechodzi przez punkt M(-,). Prosta k, prostopadła do prostej l, przecina oś x w punkcie o odciętej x o =-4. a) Wyznacz równania prostych k i l. b) Oblicz pole trójkąta, którego boki zawierają się w prostych k i l oraz w osi y. Zadanie. (6 pkt) Dane są proste o równaniach x - y - = 0 i x - y - 7 = 0. a) Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór punktów spełniających układ nierówności x y 0. x y 7 0 b) Oblicz odległość punktu przecięcia się tych prostych od początku układu współrzędnych. c) Wykaż że trójkąt ograniczony tymi prostymi i osią OX nie jest trójkątem prostokątnym. Zadanie. (7 pkt) Dane są zbiory liczb A = { x : x + < 5} x + 4 B = x : ( x + ) + ( x 4)( x + 4) a) Zaznacz te zbiory na osiach liczbowych. b) Zapisz w postaci przedziałów liczbowych zbiory: A B A B,A\B. Zadanie 4. ( pkt) Dane są liczby: 5 4 a = i b = 8 5 a) Przedstaw liczbę a w postaci x + y gdzie x i y są liczbami wymiernymi. b) Zapisz liczbę b w postaci potęgi liczby. c) Różnica liczb a i b stanowi 0% pewnej liczby c. Wyznacz liczbę c.
Zadanie 5. ( pkt) Dana jest funkcja f : R R określona wzorem f ( x) = ax. a) Wyznacz wartość a, dla której miejscem zerowym funkcji f jest liczba (-). b) Wyznacz wartość a, dla której prosta będąca wykresem funkcji f tworzy z osią x kąt ostry nie mniejszy niż 45 0. c) Wyznacz wartość a, dla której równanie ax = a + 4 nie ma rozwiązania. Zadanie 6. ( pkt) Wiedząc, że tg α + ctgα = oblicz wartość wyrażenia tg α + ctg α. Zadanie 7. (5 pkt) Dany jest wykres funkcji y = f (x) określonej dla x 6, 6 Korzystając z wykresu funkcji zapisz: a) maksymalne przedziały w których funkcja jest malejąca, b) zbiór argumentów dla których funkcja przyjmuje wartości niedodatnie, c) największą wartość funkcji w przedziale 5, 5, d) miejsca zerowe funkcji g(x)=f(x-), e) największą wartość funkcji h(x)=f(x)+. Zadanie 8. ( 4 pkt) Adam jest o 5 lat starszy od Zenka, a ich mama ma 5 razy więcej lat niż obaj chłopcy razem. Pięć lat temu mama miała 5 razy więcej lat niż różnica ich wieku obecnie. Ile lat ma obecnie mama i każdy z jej synów? Zadanie 9. ( 5 pkt) Pewne przedsiębiorstwo sprzedaje swoje wyroby po 50 zł za sztukę. Na całkowity miesięczny koszt produkcji składają się koszty stałe w kwocie 0000 zł i koszty produkcji każdego elementu równe 90 zł za jeden wyrób. a) Podaj wzór funkcji opisującej koszty całkowite. b) Ile co najmniej wyrobów musi sprzedać przedsiębiorstwo, aby produkcja przyniosła zysk? c) Ile sztuk powinno sprzedać przedsiębiorstwo, aby jego zysk był równy co najmniej 500 zł?
Zadanie 0. ( pkt) Boki pewnego równoległoboku pozostają w stosunku :. Krótsza wysokość tego równoległoboku ma długość 6cm i tworzy z krótszym bokiem kąt α taki, że cos α = 0, 9. Oblicz obwód tego równoległoboku. Zadanie. (5 pkt) Latarnia uliczna jest oszklona sześcioma jednakowymi szybami w kształcie równoramiennych trapezów. Boki równoległe trapezu mają długości 4 cm i cm, a odległość między tymi bokami jest równa 7,5 cm. Oblicz, ile metrów kwadratowych szkła potrzeba na oszklenie 64 latarń, jeżeli 7,5% zużytego szkła doliczymy na odpadki. Wynik podaj z dokładnością do 0,0 m.
MODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA. Numer zadania... 4. 5. Numer czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej l: a=.. Wyznaczenie równania prostej l: y = x + 4.. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej k: a=-..4 Wyznaczenie równania prostej k: y = -x 4..5 Wyznaczenie długości podstawy i wysokości trójkąta: a = 8, h = 4..6 Obliczenie pola trójkąta: P = 6.. Zaznaczenie półpłaszczyzny x y 0. Zaznaczenie półpłaszczyzny x y 7 0. Zaznaczenie zbioru punktów spełniających dany układ nierówności. Obliczenie współrzędnych punktu przecięcia się.4 prostych: P =,. Obliczenie odległości punktu P od początku układu.5 7 współrzędnych: PO =..6 Udowodnienie, że trójkąt ograniczony danymi prostymi i osią x nie jest prostokątny.. Rozwiązanie nierówności z wartością bezwzględną: x ( 8,).. Zaznaczenie zbioru A na osi liczbowej.. Rozwiązanie nierówności wyznaczającej zbiór B: x 5..4 Zaznaczenie zbioru B na osi liczbowej. A B =,..5 Wyznaczenie sumy zbiorów: ( ).6 Wyznaczenie iloczynu zbiorów: A B = ( 8, 5..7 Wyznaczenie różnicy zbiorów: A\B=(-5,). 4. Przedstawienie liczby a w postaci x + y : a = ( ) +. 4. Zapisanie liczby b w postaci potęgi liczby : b = 0,5. Wyznaczenie liczby c, której 0%jest równe różnicy 4. 0( ) liczb a i b: c =. 5. Wyznaczenie wartości a, dla której miejscem zerowym funkcji f jest liczba (-): a= -. Wyznaczenie wartości a, dla której prosta będąca 5. wykresem funkcji f tworzy z osią x kąt nie mniejszym niż 45 0 : a. 4
6. 7. 8. 9. 5. 6. 6. Wyznaczenie wartości a, dla której równanie ax = a + 4 nie ma rozwiązania: a = 0 Ułożenie równania z jedną niewiadomą: np. tg α + =, tg α 0. tg α Wyznaczenie wartości funkcji tg i ctg: tg α =, ctg α =. 6. Obliczenie wartości wyrażenia: tg α + ctg α = Podanie przedziałów w których funkcja jest 7. malejąca: 6, i 0,. 7. 7. Podanie zbioru argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości niedodatnie: 5,, 5. Podanie największej wartości funkcji f w przedziale 5,5 :. 7.4 Podanie miejsc zerowych funkcji g: -4, 0,, 6. 7.5 Wyznaczenie największej wartości funkcji h: 4. 8. Wprowadzenie niewiadomej i analiza zadania. 8. Zapisanie równania opisującego podaną w zadaniu sytuację: 5(x+5)-5=5((5+x)-x) 8. Rozwiązanie równania: x= 0,5. Zapisanie odpowiedzi: 8.4 wiek Zenka: 0,5 lat wiek Adama: 5,5 lat wiek mamy: 0 lat. Podanie wzoru funkcji opisującej całkowity koszt 9. produkcji: K(x)=0000+90x, gdzie x- ilość wyprodukowanych wyrobów. 9. Zapisanie warunku jaki musi być spełniony, aby produkcja przyniosła zysk: 50x-(0000 +90x)>0 9. Rozwiązanie nierówności i podanie odpowiedzi: co najmniej 4 sztuki. Zapisanie warunku jaki musi być spełniony, aby zysk 9.4 był równy co najmniej 500 zł: 50x-(0000+90x) 500 9.5 Rozwiązanie nierówności i podanie odpowiedzi: co najmniej 59 sztuk. Obliczenie krótszego boku równoległoboku: 0. 60 a = cm 9 0. 0. Obliczenie dłuższego boku równoległoboku: 0 b= cm 9 0. Obliczenie obwodu równoległoboku: Obw.= 40cm. 5
. Wyznaczenie powierzchni trapezu: 675 cm.. Obliczenie powierzchni szkła potrzebnego na wykonanie jednej szyby: 75,65 cm.. Obliczenie powierzchni szkła potrzebnego na oszklenie jednej latarni: 45,75 cm..4 Obliczenie powierzchni szkła potrzebnego na oszklenie 64 latarni: 78640 cm..5 Zamiana jednostek i zaokrąglenie wyniku: 7,86 m. Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą od przedstawionej w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów. Literatura:. Matura w nowej formule z matematyki praca zbiorowa pod redakcją Alicji Cewe i Haliny Nahorskiej.. Matematyka - zbiór zadań dla liceów i techników, klasa I K. Kłaczkow, M. Kurczak, E. Świda. 6