Matematyka finansowa - informacje egzaminacyjne Tutaj postaram się zebrać wszystko co trzeba wiedzieć o egzaminie i sprawdzianie zaliczeniowym. Jedynym wyjątkiem jest lista zagadnień do części teoretycznej, której poświęcę osobny plik. Spis treści I. Ogólne informacje o egzaminie i sprawdzianie zaliczeniowym II. Zakres wymagań do części praktycznej III. Przykładowe egzaminy I. Ogólne informacje Zaliczenie przedmiotu składa się z dwóch części: sprawdzianu zaliczeniowego (w grudniu) oraz egzaminu. Sprawdzian zaliczeniowy będzie się składać z 3 zadań praktycznych, czyli takich, jakie są zawarte w zestawach zadań na ćwiczenia, a zestaw egzaminacyjny składa się z czterech zadań praktycznych oraz jednego teoretycznego, które polega na odpowiedzi na jedno lub dwa pytania z listy zagadnień opartej na materiale zawartym w slajdach do wykładu. Lista zagadnień teoretycznych znajduje się w osobnym pliku. Z zadań praktycznych na egzaminie, co najwyżej jedno będzie z materiału sprawdzianu zaliczeniowego (choć pozostałe mogą do nich nawiązywać np. obliczanie efektywnej stopy zwrotu będzie się pojawiało przez cały czas kursu). Sprawdzian zaliczeniowy będzie trwać 60, a egzamin 90 minut. W sprawdzianie zaliczeniowym mogą wziąć udział wszyscy, którzy choć raz byli na ćwiczeniach i wpisali się na listę obecności lub też przynajmniej miesiąc przed sprawdzianem dali znać, dlaczego na zajęcia nie chodzą. By przystąpić do egzaminu trzeba mieć co najmniej 300 punktów ze sprawdzianu (po dołączeniu punktów za ćwiczenia i zadania domowe, punkty za zadanie specjalne się tu nie liczą). Sprawdzian zaliczeniowy będzie mieć II termin w styczniu (I termin dla osób, które usprawiedliwią nieobecność). I termin jest oczywiście odrobinę łatwiejszy od II zgodnie z zasadą preferencji czasowej. Osoby, które miały mniej niż 300 punktów w I terminie nie mogą mieć więcej niż 300 punktów za sprawdzian w II terminie (choć mogą zwiększyć tę liczbę dzięki plusom). Jeśli ktoś napisze II termin gorzej niż pierwszy, będzie miał liczoną punktację za II termin. Dodatkowy termin sprawdzianu zaliczeniowego, bez wliczania punktów za plusy z ćwiczeń, odbędzie się przed II terminem. Z egzaminu można zdobyć 900 małych punktów, a ze sprawdzianu zaliczeniowego 600 małych punktów. Z każdego zadania praktycznego można zdobyć 200 punktów, a za zadanie teoretyczne - 100 punktów. Każdy plus zdobyty w ramach ćwiczeń zwiększa wynik o 15 punktów (ok. 1% całości), a w pełni poprawnie zrobione zadanie specjalne (pojawi się około połowy listopada) może dać nawet 100 punktów dodane do wyniku egzaminu (nie sprawdzianu). Przeliczenie punktów na oceny: mniej niż 750 punktów - ocena 2,0 750-899 pkt - ocena 3,0 900-1049 pkt - ocena 3,5 1050-1199 pkt - ocena 4,0 1200-1349 pkt - ocena 4,5 1350+ pkt - ocena 5,0 Ocena 5, 5 jest możliwa do uzyskania, ale tylko dla osób, których umiejętności i wiedza zdecydowanie wyróżniają się na tle pozostałych. W szczególności, wymaga uzyskania 5, 0 w normalnym trybie, aktywności na zajęciach i w dziale zadań domowych oraz wykonania pewnych dodatkowych, indywidualnie przydzielnonych, zadań. Inne kwestie techniczne: Na egzaminie i sprawdzianie zaliczeniowym nie są dozwolone żadne pomoce dodatkowe poza przyrządami do pisania i kalkulatorem (nieprogramowalnym, niegraficznym, z pierwiastkami,
2 potęgami i logarytmami). Kartki otrzymają Państwo na sali. Wszystkie pozostałe rzeczy należy spakować i odłożyć w miejsce wskazane przez osoby pilnujące na egzaminie. W szczególności, nie wolno mieć komórek/smartfonów i innych przedmiotów pozwalających na kontakt ze światem zewnętrznym (nie mówiąc o ściągach). Złamanie tego przepisu może skutkować natychmiastowym usunięciem z egzaminu i oceną niedostateczną z całego kursu, bez prawa do egzaminu/sprawdzianu poprawkowego. Do zadań egzaminacyjnych/sprawdzianowych będzie załączona lista wzorów (jest na stronie). Na egzamin/sprawdzian należy przynieść jakiś dowód tożsamości (może być indeks) ze zdjęciem. Należy pamiętać, że aby zaliczyć kurs, należy posiadać nie tylko odpowiednią wiedzę i umiejętności, ale też kompetencje społeczne. Dlatego należy dbać o to, by spełnić wymagania ich dotyczące z sylabusa. Termin wpisów będzie ogłoszony podczas egzaminu. Prawdopodobnie będzie to około tydzień później. Wyniki sprawdzianu/egzaminu będą ogłoszone, jak tylko sprawdzian/egzamin będzie poprawiony (zapewne 4-5 dni po egzaminie). Ze względu na prawa ochrony dóbr osobowych, nie mogę ich podawać po nazwiskach, a numery indeksu mi się zawsze mylą, dlatego każdy, kto chce mieć wyniki wcześniej powinien wymyślić jakiś pseudonim artystyczny, który zapisze obok imienia i nazwiska (czyli jakieś słowo, w miarę krótkie i cenzuralne). Według tych pseudonimów będą podane wyniki. Na stronie będą egzaminy z ubiegłego roku - wyglądają one trochę inaczej, bo nie było wtedy sprawdzianu zaliczeniowego, ale zadania na nich są takie jakie mogą być w tym roku. Zachowujemy też wszystkie konwencje podane w ramach kursu i zapisane w pliku z konwencjami, który można znaleźć na moodlu. Powtórzę je poniżej: 1. Jeśli w treści zadania nie jest opisany model i okres kapitalizacji, zmiana stopy procentowej w czasie, okres stopy procentowej, inflacja, opodatkowanie, czy rodzaj wkładów/renty, to przyjmujemy, że: a) Kapitalizacja jest złożona, z dołu; b) Okres kapitalizacji jest zgodny z okresem stopy procentowej; c) Stopa procentowa nie zmienia się w czasie; d) Nominalna stopa procentowa jest roczna; e) inflacja jest zerowa; f) wkłady/renta są wpłacane/wypłacane z dołu. Długi są spłacane z dołu; g) wkłady/renta w wypadku niezgodności z okresem kapitalizacji są oprocentowane zgodnie z modelem złożonym, a nie mieszanym; h) Dana inwestycja nie jest opodatkowana lub opodatkowanie jest już wliczone w stopę procentową i) Jeśli podana jest stopa opodatkowania, ale nie sposób opodatkowania, zakładamy, że podatek pobierany jest w momencie kapitalizacji (jak na zwykłych lokatach w Polsce) 2. Obowiązuje dokładność do czterech miejsc po przecinku (jeśli wynik podawany jest w procentach, to do dwóch). 3. Do każdego zadania należy podać odpowiedź słowną. 4. Rachunek czasu: Dla uproszczenia rachunków będziemy stosować tzw. szacunkową regułę bankową, tj. zakładać, że każdy miesiąc ma 30 dni (a w konsekwencji rok ma 360 dni), a także, że rok liczy 52 tygodnie. 5. Skrót jp oznacza jednostki pieniężne. 6. Do każdego zadania należy opisać oznaczenia wielkości danych i szukanych - np. na osi czasu, zwłaszcza jeśli używa się niestandardowych oznaczeń. Oczywiście obowiązują też wszystkie zasady zapisane w prezentacji z zasadami kursu. II. Materiał obowiązujący w zadaniach praktycznych Zadanie teoretyczne obejmuje cały materiał wykładu. Zadania praktyczne skupiają się na zagadnieniach omówionych na ćwiczeniach, czyli zawartych w zestawach ćwiczeniowych. Z tego względu
nie wystąpią w nich zagadnienia takie jak: kapitalizacja z góry (w przeciwieństwie do wpłat/wypłat z góry), polski model kapitalizacji wkładów oszczędnościowych i instrumenty pochodne (kontrakty terminowe i opcje) i wszystkie inne, które nie pojawiają się w żadnych zadaniach zestawów ćwiczeniowych. Opodatkowanie zysków kapitałowych wystąpi tylko w modelu opodatkowania po każdej kapitalizacji. Ze względu na relatywnie mniejszą wagę tych zagadnień, w zadaniach teoretycznych nie pojawią się też 2 zagadnienia uwzględniane w zestawach ćwiczeniowych: a) Przybliżone wyznaczanie IRR inwestycji z równań innych niż wielomianowe stopnia 1 i 2 (mogą pojawić się zadania, w których trzeba wyznaczyć dokładną wartość IRR, ale zawsze będzie się dało to zagadnienie sprowadzić do równania wielomianowego stopnia co najwyżej 2); b) Model mieszany (a tym bardziej polski) kapitalizacji wkładów oszczędnościowych i rent - zawsze zakładamy możliwość reinwestowania strumieni płatności na zasadzie kapitalizacji złożonej. III. Przykładowe zestawy sprawdzianowo-egzaminacyjne Poniżej prezentuję cztery przykładowe zestawy egzaminacyjne. Nie wyczerpują one wszystkich typów zadań, które mogą się pojawić na sprawdzianie i egzaminie, ale wydaje się, że prezentują dobry przegląd materiału kursu i poziomu wiedzy, jakiego od Państwa oczekuję. Większość zadań pochodzi z zestawów, które w przeszłości dawałem na egzaminach lub sprawdzianach zaliczeniowych na tym i innych (FiR, audyt) kierunkach. Poziom trudności zadań odpowiada zatem poziomowi trudności egzaminu. Oczywiście, są zadania łatwiejsze i trudniejsze i poszczególne zestawy również nie prezentują tego samego poziomu trudności. W tym kontekście warto pamiętać, że pierwszy termin egzaminu/sprawdzianu będzie łatwiejszy od drugiego. 3
4 Sprawdziany Zestaw I 1. Klient umieścił 800 jp na lokacie z kapitalizacją miesięczną. Po 1,5 roku na lokacie znajdowało się 1080 jp. Ile wynosiła nominalna roczna stopa procentowa? Po 2 latach od założenia lokaty, kapitalizacja zmieniła się na ciągłą (bez zmiany nominalnej rocznej stopy procentowej), a pół roku po zmianie klient wypłacił z lokaty 250 jp. Jaka kwota znalazła się na lokacie po 3 latach i 8 miesiącach od jej założenia? Uwzględniamy podatek od zysków kapitałowych w wysokości 19% pobierany przy każdej kapitalizacji. 2. Na lokatę o stopie procentowej rocznej 15% i kapitalizacji miesięcznej wpłacono 1000 jp.. Inflacja roczna w pierwszych 4 latach trwania lokaty wynosiła odpowiednio 2%, 4%, 5% i 6%. Po 5 latach wartość realna kapitału na lokacie wyniosła 1650 jp. Obliczyć: realną stopę zwrotu z lokaty w trzecim roku jej obowiązywania, przeciętną inflację półroczną w piątym roku lokaty oraz przeciętną kwartalną stopę inflacji w ciągu tych 5 lat. 3. Na pewnej lokacie obowiązywała kapitalizacja półroczna z dołu z nominalną roczną stopą procentową: 10% przez pierwsze 1,5 roku, 20% przez kolejne 2,5 roku, a potem 18% aż do zakończenia lokaty. Na tę lokatę wpłacono 2000 jp, a po 2 latach dopłacono 800 jp. Po jakim czasie od założenia wartość kapitału na lokacie przekroczyła 7000 jp? Jeśli wtedy właśnie lokata została zakończona, to ile wynosiła przeciętna półroczna i przeciętna roczna stopa zwrotu z tej lokaty?
Zestaw II 1. Na pewną lokatę o kapitalizacji miesięcznej i nominalnej rocznej stopie procentowej 20% wpłacono kwotę 2000 jp. Po roku i 2 miesiącach zmieniono model kapitalizacji na ciągły, a nominalną roczną stopę procentową tak, by opłacalność lokaty pozostała na tym samym poziomie. Ile wynosiła ta stopa? Rok i 4 miesiące po tej zmianie, znów zmieniono model kapitalizacji na kwartalny, zaś nominalną stopę procentową podniesiono o 4 punkty procentowe. Po jakim czasie na lokacie znajdzie się co najmniej 7000 jp, jeśli 1,5 roku po rozpoczęciu lokaty dopłacono do niej 350 jp? 2. Na pewnej lokacie obowiązywała przez pierwsze 3 lata jej trwania kapitalizacja ciągła z nominalną roczną stopą procentową 13%, a następnie przez rok kapitalizacja kwartalna z góry z nominalną roczną stopą procentową 16%. Inflacja roczna w drugim, trzecim i czwartym roku obowiązywania lokaty wynosiła odpowiednio 5%, 6% i 9%. Ile wynosiła inflacja roczna oraz realna stopa zwrotu z lokaty w pierwszym roku jej trwania, jeśli na lokatę wpłacono 6000 jp, a po 4 latach realna wartość kapitału na lokacie wynosiła 7309 jp? 3. Meble kuchenne można kupić za 12000 PLN zapłacone natychmiast, w dwóch ratach płaconych co rok (pierwsza za rok) w wysokości 6500 PLN albo w czterech ratach płaconych co kwartał (pierwsza za 3 kwartały ) w wysokości kolejno 2000 PLN, 3000 PLN, 3500 PLN, 4000 PLN. Która oferta jest najbardziej opłacalna, jeśli rozważamy kapitalizację miesięczną z nominalną roczną stopą procentową 8%? 5
6 Egzaminy Zestaw I 1. W pewnym banku obowiązywała zasada: w razie zerwania lokaty przed terminem kapitalizacji, odsetki od ostatniej kapitalizacji są naliczane według kapitalizacji prostej z kapitalizacją dzienną i dzienną stopą procentową 0, 01%. Na lokatę w tym banku z kapitalizacją kwartalną przy nominalnej stopie procentowej rocznej 12% wpłacono pewną kwotę. Po upływie 2,5 roku zmieniono kapitalizację na lokacie na półroczną, a nominalną roczną stopę procentową na 14%. Po 4 latach i 2 miesiącach lokata została zerwana. Klientowi wypłacono 1100 jp. Jaką sumę wpłacono na lokatę przy jej zakładaniu? Jaka powinna być nominalna roczna stopa procentowa na lokacie z kapitalizacją ciągłą, by była ona równoważna początkowym warunkom zadania (tj. lokacie z kapitalizacją kwartalną i nominalną roczną stopą procentową 12%)? 2. Inwestycja A wymaga nakładu 500 jp dziś, a przynosi zwrot 220 jp za rok i 337,05 jp za 2 lata. Inwestycja B przy nakładzie 600 jp dziś przynosi następujące zwroty: 200 jp za rok, 250 jp za 3 lata, 250 jp za 4 lata i 50 jp za 5 lat. a) Obliczyć (w sposób dokładny, nie przybliżony) wewnętrzną stopę zwrotu inwestycji A. b) Obliczając NPV inwestycji B dla wewnętrznej stopy zwrotu inwestycji A, rozstrzygnąć, czy inwestycja B jest bardziej, czy mniej opłacalna niż inwestycja A. c) Obliczyć średni czas trwania inwestycji A. Czy inwestycja A jest bardziej, czy mniej korzystna od inwestycji C z tą samą stopą zwrotu ale ze średnim czasem trwania 1,5 roku? 3. Przy stopie procentowej rocznej równej 16% i kapitalizacji półrocznej wpłacano na pewien fundusz przez 5 lat po 100 jp na końcu każdego miesiąca. Jak długo z tak uzbieranego kapitału można pobierać co kwartał z góry rentę geometryczną, zwiększającą się o 1% w każdym kwartale, o pierwszej racie 1100 jp przy kapitalizacji miesięcznej i stopie procentowej rocznej 12%? Wyznaczyć wysokość ostatniej, zwiększonej raty. 4. Samochód w cenie 60000 PLN kupiono wystawiając 2 weksle: A o wartości nominalnej 40000 PLN płatny za 7 miesięcy, B - płatny za 4 miesiące. 3 miesiące od transakcji zamieniono te weksle na jeden równoważny weksel C o terminie płatności za pół roku od momentu wymiany. Wyznaczyć wartości nominalne B i C oraz ich stopy procentowe zwrotu, jeśli stopa dyskontowa wynosiła 8%. 5. Zadanie teoretyczne Zestaw II 1. Pewien bank oferował 3 równoważne lokaty z kapitalizacją odpowiednio ciągłą, kwartalną i półroczną. Na lokacie o kapitalizacji kwartalnej obowiązywała nominalna stopa procentowa roczna taka, że kapitał wpłacany na tę lokatę dokładnie podwajał się po 4,5 roku. Jakie nominalne roczne stopy procentowe obowiązywały na tych trzech lokatach? Na lokatę z kapitalizacją kwartalną w tym banku klient wpłacił 1500 PLN. Po 9 miesiącach wypłacił z niej 200 PLN. Po jakim czasie od założenia lokaty wartość nominalna zgromadzonego na niej kapitału przekroczy 2600 PLN? 2. Na fundusz emerytalny wpłacano co miesiąc z góry kwotę 500 jp przez okres 6 lat przy rocznej stopie procentowej 24% i kapitalizacji kwartalnej. Jakiej maksymalnej wysokości raty renty rocznej z dołu można z tak uzbieranego kapitału wypłacać przez następne 15 lat, jeśli w czasie jej pobierania kapitalizacja jest półroczna, a roczna stopa procentowa wynosi 16%? 3. Dług w wysokości 10000 jp zaczęto spłacać ratami kwartalnymi przy kapitalizacji kwartalnej. Pierwsze 3 raty łączne wynosiły: A 1 = 1700 jp, A 2 = 1170 jp, A 3 = 1050 jp. Druga rata kapitałowa wyniosła T 2 = 1000 jp, a trzecia rata odsetkowa Z 3 = 150 jp. Po spłaceniu 3 rat dłużnik przestał spłacać, a odsetki narastały według dotychczasowego modelu oprocentowania i kapitalizacji. Po roku, doszło do ugody i resztę długu dłużnik spłacił 4 równymi rocznymi ratami łącznymi przy nominalnej rocznej stopie procentowej 15% i kapitalizacji miesięcznej. Ułożyć tabelkę planu spłaty długu w tym ostatnim okresie spłat (obok tabelki powinny się znaleźć obliczenia wielkości długu po zmianie warunków, stopy procentowej i co najmniej jednego wiersza tabeli). 4. a) Dywidendy z akcji pewnej firmy wypłacane są raz na rok. Ostatnia (wypłacona przed chwilą) wyniosła 5 jp. Jaką stopę zwrotu z inwestycji planuje osiągnąć inwestor kupujący taką akcję za 70
jp jeśli zakłada, że przyszłe dywidendy będą się utrzymywać na tym samym poziomie, a ile jeśli zakłada, że dywidenda będzie rosła o 2% rocznie. b) Inwestor rozważa zakup obligacji 4-letniej o wartości nominalnej 1000 jp i kuponach wypłacanych kwartalnie w wysokości 15 jp. Wyznaczyć najwyższą cenę, jaką będzie skłonny zapłacić za taką obligację, jeśli oczekuje wewnętrznej stopy zwrotu (IRR) z tej obligacji w wysokości 7% rocznie. Ile dla takiej obligacji wyniesie stopa Y T M? 5. Zadanie teoretyczne 7
8 Zestaw III 1. Klient wpłacił na lokatę z kapitalizacją kwartalną i nominalną stopą procentową roczną 14% kwotę 5000 PLN. Po dwóch latach, wartość realna tego kapitału wyniosła 5500 PLN. W ciągu pierwszych trzech półroczy trwania tej lokaty, półroczna inflacja wynosiła kolejno: 3%, 5% i 8%. Jaka była przeciętna roczna inflacja w czasie trwania lokaty, ile wynosiła półroczna stopa inflacji w ostatnim jej półroczu i ile wyniosła realna stopa zwrotu w pierwszym roku trwania lokaty? 2. (400 pkt) Inwestycja A wymaga nakładu 800 jp dziś, a przynosi zwrot 200 jp za rok i 964,32 jp za 2 lata. Inwestycja B przy nakładzie 1000 jp dziś przynosi następujące zwroty: 500 jp za rok, 550 jp za 2 lata, 300 jp za 3 lata i 250 jp za 5 lat. a) Obliczyć (w sposób dokładny, nie przybliżony) wewnętrzną stopę zwrotu inwestycji A. b) Obliczając NPV inwestycji B dla wewnętrznej stopy zwrotu inwestycji A, rozstrzygnąć, czy inwestycja B jest bardziej, czy mniej opłacalna niż inwestycja A. c) Obliczyć średni czas trwania inwestycji A. Czy inwestycja A jest bardziej, czy mniej korzystna od inwestycji C z tą samą stopą zwrotu ale ze średnim czasem trwania 1,5 roku? 3. Z pewnego kapitału, przy stopie procentowej rocznej równej 14% i kapitalizacji półrocznej, można pobierać wieczystą rentę półroczną z dołu o racie w wysokości co najwyżej 280 jp. Przez jaki czas można, z tego samego kapitału, przy tej samej rocznej stopie procentowej i przy kapitalizacji kwartalnej pobierać co kwartał z góry rentę o racie w wysokości 420 jp? Wyznaczyć wysokość ostatniej, zwiększonej raty. 4. Wyznaczyć roczną stopę zwrotu z poniższych inwestycji i uszeregować je w kolejności opłacalności ze względu na tę stopę zwrotu: a) założenie lokaty z kapitalizacją ciągłą o nominalnej rocznej stopie procentowej 20%; b) zakup właśnie wyemitowanej obligacji dwuletniej o nominale 1000 jp w cenie 845 jp, przy stopie kuponowej 10% i rocznych kuponach; c) zakup kwartalnego bonu skarbowego o nominale 1000 jp za 953 jp (na potrzeby zadania zakładamy, że tę inwestycję można powtarzać, ale bez reinwestowania zysków - czyli szukamy rocznej stopy zwrotu z bonu, nie IRR); d) zakup pakietu akcji, który obecnie kosztuje 150 jp, przed chwilą wypłacono od niego dywidendę (wypłacaną corocznie) w wysokości 20 jp i przewiduje się wzrost dywidend o 6% rocznie. 5. Zadanie teoretyczne