dynamiki mobilnego robota transportowego.

Podobne dokumenty
MODELOWANIE KINEMATYKI I DYNAMIKI MOBILNEGO MINIROBOTA

ZESZYTY NAUKOWE INSTYTUTU POJAZDÓW 4(85)/2011

ANALIZA OBCIĄŻEŃ JEDNOSTEK NAPĘDOWYCH DLA PRZESTRZENNYCH RUCHÓW AGROROBOTA

Rozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu Podstawy Robotyki

MODELOWANIE WPŁYWU NIEZALEŻNEGO STEROWANIA KÓŁ LEWYCH I PRAWYCH NA ZACHOWANIE DYNAMICZNE POJAZDU

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

RÓWNANIE DYNAMICZNE RUCHU KULISTEGO CIAŁA SZTYWNEGO W UKŁADZIE PARASOLA

WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI KATEDRA AUTOMATYKI. Robot do pokrycia powierzchni terenu

Karta (sylabus) modułu/przedmiotu INŻYNIERIA MATERIAŁOWA Studia pierwszego stopnia

Jan Awrejcewicz- Mechanika Techniczna i Teoretyczna. Statyka. Kinematyka

Modelowanie wpływu niezależnego sterowania kół lewych i prawych na zachowanie dynamiczne pojazdu

Teoria maszyn mechanizmów

Rozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu Teoria Maszyn i Mechanizmów

Równa Równ n a i n e i ru r ch u u ch u po tor t ze (równanie drogi) Prędkoś ędkoś w ru r ch u u ch pros pr t os ol t i ol n i io i wym

Karta (sylabus) modułu/przedmiotu Mechanika i Budowa Maszyn Studia drugiego stopnia

MODEL MANIPULATORA O STRUKTURZE SZEREGOWEJ W PROGRAMACH CATIA I MATLAB MODEL OF SERIAL MANIPULATOR IN CATIA AND MATLAB

Politechnika Śląska. Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki. Praca dyplomowa inżynierska. Wydział Mechaniczny Technologiczny

Równania różniczkowe opisujące ruch fotela z pilotem:

RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ

RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ

MECHANIKA 2 RUCH POSTĘPOWY I OBROTOWY CIAŁA SZTYWNEGO. Wykład Nr 2. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

Mechanika ogólna. Kinematyka. Równania ruchu punktu materialnego. Podstawowe pojęcia. Równanie ruchu po torze (równanie drogi)

Karta (sylabus) przedmiotu Kierunek studiów Mechatronika Studia pierwszego stopnia. Mechanika Techniczna Rodzaj przedmiotu: Podstawowy Kod przedmiotu:

MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej

Mechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, Spis treści

Mechanika Ogólna General Mechanics. Inżynieria Bezpieczeństwa I stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólnoakademicki / praktyczny)

Egzamin 1 Strona 1. Egzamin - AR egz Zad 1. Rozwiązanie: Zad. 2. Rozwiązanie: Koła są takie same, więc prędkości kątowe też są takie same

I. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO

Z-ETI-1027 Mechanika techniczna II Technical mechanics II. Stacjonarne. Katedra Inżynierii Produkcji Dr inż. Stanisław Wójcik

MECHANIKA 2. Wykład Nr 3 KINEMATYKA. Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

Kinematyka robotów mobilnych

Modelowanie, sterowanie i symulacja manipulatora o odkształcalnych ramionach. Krzysztof Żurek Gdańsk,

Ćwiczenie 1b. Silnik prądu stałego jako element wykonawczy Modelowanie i symulacja napędu CZUJNIKI POMIAROWE I ELEMENTY WYKONAWCZE

Podstawy robotyki - opis przedmiotu

Tadeusz SZKODNY. POLITECHNIKA ŚLĄSKA ZESZYTY NAUKOWE Nr 1647 MODELOWANIE I SYMULACJA RUCHU MANIPULATORÓW ROBOTÓW PRZEMYSŁOWYCH

ZESZYTY NAUKOWE INSTYTUTU POJAZDÓW 1(92)/2013

Dobór silnika serwonapędu. (silnik krokowy)

UKŁADY WIELOCZŁONOWE Z WIĘZAMI JEDNOSTRONNYMI W ZASTOSOWANIU DO MODELOWANIA ZŁOŻONYCH UKŁADÓW MECHANICZNYCH

Spis treści. Wstęp Część I STATYKA

Podstawy robotyki wykład VI. Dynamika manipulatora

MECHANIKA 2 KINEMATYKA. Wykład Nr 5 RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

Wyznaczanie sił w przegubach maszyny o kinematyce równoległej w trakcie pracy, z wykorzystaniem metod numerycznych

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu

MECHANIKA OGÓLNA (II)

Przykład 1 Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy. Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił.

MECHANIKA 2. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

Mechanika teoretyczna

WPŁYW KINEMATYCZNYCH CHARAKTERYSTYK RUCHU CHWYTAKA NA POŁOśENIA, PRĘDKOŚCI I PRZYSPIESZENIA OGNIW AGROROBOTA

PF11- Dynamika bryły sztywnej.

12 RUCH OBROTOWY BRYŁY SZTYWNEJ I. a=εr. 2 t. Włodzimierz Wolczyński. Przyspieszenie kątowe. ε przyspieszenie kątowe [ ω prędkość kątowa

Podstawy Robotyki Określenie kinematyki oraz dynamiki manipulatora

Zasady i kryteria zaliczenia: Zaliczenie pisemne w formie pytań opisowych, testowych i rachunkowych.

METODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03

Bryła sztywna Zadanie domowe

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

Mechanika Techniczna I Engineering Mechanics I. Transport I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)

Sterowanie napędów maszyn i robotów

M2. WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI WAHADŁA OBERBECKA

Materiały pomocnicze 5 do zajęć wyrównawczych z Fizyki dla Inżynierii i Gospodarki Wodnej

Politechnika Warszawska Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki

Pierwsze dwa podpunkty tego zadania dotyczyły równowagi sił, dla naszych rozważań na temat dynamiki ruchu obrotowego interesujące będzie zadanie 3.3.

Problemy optymalizacji układów napędowych w automatyce i robotyce

TEORIA MASZYN MECHANIZMÓW ĆWICZENIA LABORATORYJNE Badanie struktury modeli mechanizmów w laboratorium.

Mechanika analityczna - opis przedmiotu

Podstawy fizyki sezon 1 V. Ruch obrotowy 1 (!)

Sterowanie napędów maszyn i robotów

Mechanika ruchu / Leon Prochowski. wyd. 3 uaktual. Warszawa, Spis treści

MODEL STANOWISKA DO BADANIA OPTYCZNEJ GŁOWICY ŚLEDZĄCEJ

Automatyka i Robotyka I stopień ogólno akademicki studia niestacjonarne Automatyka Przemysłowa Katedra Automatyki i Robotyki Dr inż.

Ćwiczenie: "Silnik prądu stałego"

Dynamika manipulatora. Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Cybernetyki Technicznej Politechnika Wrocławska. Podstawy robotyki wykład VI

Wykaz oznaczeń Przedmowa... 9

Ćwiczenie: "Ruch po okręgu"

Dynamika mechanizmów

KARTA PRZEDMIOTU. 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Mechanika. 2. KIERUNEK: Mechanika i Budowa Maszyn. 3. POZIOM STUDIÓW: Studia pierwszego stopnia

INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2

Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne. opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego

DYNAMIKA KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH

TEMAT: PARAMETRY PRACY I CHARAKTERYSTYKI SILNIKA TŁOKOWEGO

WYKORZYSTANIE OPROGRAMOWANIA ADAMS/CAR RIDE W BADANIACH KOMPONENTÓW ZAWIESZENIA POJAZDU SAMOCHODOWEGO

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

WYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ

Bryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXI: Statyka Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego

Bryła sztywna. Wstęp do Fizyki I (B+C) Wykład XIX: Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego

KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury

POLITECHNIKA POZNAŃSKA Wydział Maszyn Roboczych i Transportu Kierunek Mechanika i Budowa Maszyn Specjalność Samochody i Ciągniki

ROBOTYKA. Odwrotne zadanie kinematyki - projekt.

Zasady dynamiki Newtona. dr inż. Romuald Kędzierski

d J m m dt model maszyny prądu stałego

D l. D p. Rodzaje baz jezdnych robotów mobilnych

Modelowanie i symulacja II Modelling and Simulation II. Automatyka i Robotyka II stopień ogólno akademicki studia stacjonarne

BADANIA SYMULACYJNE UKŁADU ZAWIESZENIA POJAZDU SAMOCHODOWEGO W ŚRODOWISKU ADAMS/CAR SIMULATION RESEARCH OF CAR SUSPENSION SYSTEM IN ADAMS/CAR SOFTWARE

Dynamika ruchu technicznych środków transportu. Politechnika Warszawska, Wydział Transportu

Mechatronika i inteligentne systemy produkcyjne. Modelowanie systemów mechatronicznych Platformy przetwarzania danych

Mechanika Analityczna

Mechanika Teoretyczna Kinematyka

Ogłoszenie. Egzaminy z TEORII MASZYN I MECHANIZMÓW dla grup 12A1, 12A2, 12A3 odbędą się w sali A3: I termin 1 lutego 2017 r. godz

RUCH DRGAJĄCY RZESZOTA PRZESIEWACZA DWUCZĘSTOŚCIOWEGO**

Transkrypt:

390 MECHANIK NR 5 6/2018 Dynamika mobilnego robota transportowego The dynamics of a mobile transport robot MARCIN SZUSTER PAWEŁ OBAL * DOI: https://doi.org/10.17814/mechanik.2018.5-6.51 W artykule omówiono konstrukcję mobilnego robota transportowego, mającego formę wózka jezdniowego podnośnikowego, służącego do badań laboratoryjnych metod sterowania złożonymi obiektami dynamicznymi w zmiennych warunkach pracy. Przedstawiono opis dynamiki robota, otrzymany za pomocą równań Lagrange a drugiego rodzaju z mnożnikami, zmodyfikowany w wyniku zastosowania procedury odsprzęgania mnożników. Zaprezentowano wyniki rozwiązania zadania odwrotnego dynamiki z wykorzystaniem zadanej trajektorii robota, składającej się z etapów ruchu typowych dla zadań transportowych, realizowanych przez wózki podnośnikowe. SŁOWA KLUCZOWE: mobilny robot trójkołowy, dynamika mobilnych robotów kołowych The article presents the construction of a mobile transport robot which is a forklift model, used for laboratory testing of control methods for complex dynamic objects in changing operating conditions. The robot dynamics is calculated using Lagrange equations of the 2nd type with multipliers. The results of solving the inverse dynamics problem were presented using the robot s trajectory which consists of stages of movement typical for transport tasks performed by forklift. KEYWORDS: 3-wheeled mobile robot, mobile robot dynamics Synteza wielu typów algorytmów sterowania wymaga znajomości modelu dynamiki sterowanego obiektu [2, 3]. W tym celu stosowane są modele o różnym stopniu złożoności, uwzględniające zazwyczaj najważniejsze zjawiska zachodzące w czasie ruchu obiektu, co upraszcza wykonywanie obliczeń. Znanych jest wiele formalizmów matematycznych, umożliwiających syntezę dynamicznych równań ruchu obiektów mechanicznych [8]. W przypadku mobilnych robotów kołowych, które są układami nieholonomicznymi, często stosuje się równania Lagrange a drugiego rodzaju z mnożnikami oraz równania Maggiego [3, 4, 7]. Z równań Lagrange a drugiego rodzaju otrzymuje się dynamiczne równania ruchu, które pozwalają na rozwiązanie prostego i odwrotnego zadania dynamiki. W przeciwieństwie do formalizmu Maggiego ta metoda umożliwia wyznaczenie mnożników Lagrange a, które w przypadku mobilnych robotów kołowych przyjmują formę wartości sił tarcia suchego, działających w punktach styku kół robota z jezdnią. W pracy wykorzystano równania Lagrange a drugiego rodzaju do opisu dynamiki mobilnego robota transportowego. Na podstawie tego opisu przeprowadzono badania symulacyjne. Konstrukcja mobilnego robota transportowego Ramę mobilnego robota transportowego (MRT) zbudowano z aluminiowych profili montażowych firmy Bosch Rexroth. Oprócz profili montażowych producent oferuje również różnego rodzaju elementy łączące i podporowe zarówno sztywne, jak i ruchowe. Wizualizację CAD MRT przedstawiono na rys. 1. MRT składa się z układu jezdnego oraz zespołu podnośnikowego, umożliwiającego transport ładunków. Układ jezdny jest zbudowany z ramy wspartej na dwóch swobodnych kołach przednich i napędzanym kole tylnym, zamontowanym w ruchomym zespole kierowniczym. Do napędu platformy mobilnej robota zastosowano bezszczotkowe silniki prądu stałego (BLDC) [1]. Ruch podnośnika widłowego zapewniają dwa moduły liniowe firmy WObit, wyposażone w silniki DC. Konstrukcja MRT jest wzorowana na rozwiązaniach trójkołowych wózków podnośnikowych z napędzanym i skrętnym kołem tylnym. Robot umożliwia transport ładunków o masie do 20 kg. Dynamiczne równania ruchu Do opisu dynamiki MRT wykorzystano równania Lagrange a drugiego rodzaju z mnożnikami. Przyjęto model MRT [9] przedstawiony na rys. 2, składający się z: ramy 5, dwóch kół podporowych 1 i 2, koła napędzającego 3 zamocowanego do kierownicy 4 i podnośnika widłowego 6. Koło 3 i kierownica 4 wchodzą w skład zespołu napędowo- -kierującego. Zespół ten obraca się względem ramy 5 wokół osi z 4 o kąt φ. Rama opiera się na kołach podporowych 1 i 2, które mogą wykonywać swobodny obrót wokół osi o kierunkach na stałe powiązanych z ramą robota, prostopadłych do płaszczyzny symetrii wzdłużnej ramy. Wszystkie koła wykonano z twardego plastiku powleczonego sztywną gumą. Promienie kół 1 i 2 są takie same (r 1 = r 2 ), natomiast promień r 3 koła 3 jest od nich większy. Przedstawiony model został zredukowany do modelu, w którym koła swobodne 1 i 2 zastąpiono swobodnym kołem zastępczym 1 Z. Kąt obrotu koła zastępczego oznaczono * Dr inż. Marcin Szuster (mszuster@prz.edu. pl), mgr inż. Paweł Obal (p.obal@prz.edu.pl) Katedra Mechaniki Stosowanej i Robotyki, Politechnika Rzeszowska Rys. 1. Wizualizacja modelu CAD mobilnego robota transportowego

MECHANIK NR 5 6/2018 391 jako α z. Ruch robota opisano za pomocą zredukowanej formy równań więzów nieholonomicznych. To umożliwiło wyznaczenie momentów napędzających i mnożników Lagrange a [3, 5, 6], które stanowią składowe styczne sił reakcji podłoża na koła, czyli siły tarcia suchego w punkcie styku koła zastępczego 1 Z i koła napędowego 3 z podłożem. Równania mają postać: rzuty wektora prędkości punktu A związanego z ramą MRT, prędkość kątowa swobodnego koła zastępczego, prędkość kątowa koła napędowego, φ kąt obrotu kierownicy względem ramy robota, β chwilowy kąt obrotu ramy robota. Dwa pierwsze równania to rzuty wektora prędkości punktu styku koła zastępczego 1 Z z jezdnią na osie układu xy. Dwa kolejne to rzuty wektora prędkości punktu styku koła napędowego z jezdnią na osie układu xy. Badana a) (1) platforma mobilna robota jest układem o dwóch stopniach swobody, ponieważ dwie zmienne w równaniach są zmiennymi niezależnymi. Równania Lagrange a drugiego rodzaju, zastosowane do wyznaczenia dynamicznych równań ruchu układu nieholonomicznego, mają postać: wektor współrzędnych uogólnionych, E energia kinetyczna układu, Q wektor sił uogólnionych, J(q) jakobian, λ wektor mnożników Lagrange a. Energię kinetyczną układu wyznaczono jako sumę energii kinetycznych poszczególnych elementów konstrukcji: Numery indeksów odpowiadają numeracji elementów konstrukcji na rys. 2. Poszczególne równania energii kinetycznej mają postać: (2) (3) (4) b) masy poszczególnych brył; wartości wektorów prędkości odpowiednich punktów; masowe momenty bezwładności poszczególnych brył względem odpowiednich osi układów współrzędnych związanych z tymi bryłami. Zależności opisujące związek prędkości kątowej koła zastępczego 1 Z z prędkością kół podporowych 1 i 2 wyznaczono z rozkładu prędkości punktów A, B i C: (5) r 1 = r 2 = r Z promienie poszczególnych kół, l 1 odległość punktów B i C od punktu A. c) Równania kinematyczne (1) można zapisać w formie jakobianu: (6) Rys. 2. Schemat MRT: a) widok z góry, b) widok z prawej strony, c) modele kół jezdnych i zespołu napędowo-kierującego (7)

392 MECHANIK NR 5 6/2018 Po wyznaczeniu równań Lagrange a drugiego rodzaju oraz przeprowadzeniu szeregu operacji i przekształceń matematycznych otrzymano układ różniczkowych równań ruchu modelu MRT: Wartości wektora parametrów a wynoszą: (11) (8) Założono, że koła podporowe 1 i 2 są takie same, więc: (12) mnożniki Lagrange a, będące odpowiednikami składowych sił tarcia suchego w punkcie styku koła zastępczego z podłożem na kierunkach osi oraz w punkcie styku koła napędowego z podłożem na kierunkach osi moment napędowy koła 3; M S moment napędowy kierownicy 4; M O moment oporów ruchu koła 3; N 1, N 2, N 3 siły nacisku poszczególnych kół; r 1 = r 2 = r Z oraz r 3 promienie poszczególnych kół; długości wynikające z geometrii MRT. Następnie zastosowano procedurę odsprzęgnięcia mnożników Lagrange a [3] z układu równań (8). Otrzymano formę równań wygodną do rozwiązywania zadania prostego i odwrotnego dynamiki, bez konieczności wyznaczania wartości mnożników Lagrange a. Równania po odsprzęgnięciu mnożników Lagrange a mają postać: (13) Układ równań (9) i (10) można przedstawić w formie macierzowej: Macierze mują formę: (14) przyj- (15) (16) (17) (9) (18) (10) Otrzymane dynamiczne równania ruchu MRT (14) z odsprzęgniętymi mnożnikami Lagrange a podobnie jak dynamiczne równania ruchu (8) spełniają wszystkie właściwości strukturalne modeli matematycznych mobilnych robotów kołowych:

MECHANIK NR 5 6/2018 393 właściwość I: uogólniona macierz bezwładności to macierz symetryczna, dodatnio określona; właściwość II: macierz: (19) jest macierzą skośnie symetryczną; jej elementy spełniają zależności dla i = j, w przeciwnym razie ; właściwość III: dynamiczne równania ruchu MRT w zredukowanych współrzędnych są liniowe ze względu na wektor a, więc układ równań (14) można zapisać w formie: y d, y, m (20) gdzie jest tzw. macierzą regresji. Badania symulacyjne Przeprowadzono badania symulacyjne, pozwalające na rozwiązanie zadania prostego i odwrotnego dynamiki MRT z wykorzystaniem otrzymanego modelu dynamiki obiektu. Symulacje przeprowadzono w środowisku obliczeniowym MATLAB/SIMULINK. Uwzględniono zadaną trajektorię punktu A robota (rys. 3). Przebiegi wartości sygnałów sterujących otrzymano dzięki rozwiązaniu zadania odwrotnego dynamiki MRT, z zastosowaniem dynamicznych równań ruchu (20), zapisanych w następującej formie: x d, x, m Rys. 3. Trajektorie punktu A robota zadana oraz otrzymana z rozwiązania zadania prostego dynamiki (24) Aby zasymulować zmianę ładunku transportowanego przez robota, założono, że parametry p 1 i p 2 zmieniają się następująco: (21) (25) (22) gdzie wartości parametrów modelu, wyznaczone na podstawie analizy modelu CAD robota oraz na podstawie pomiarów sił tarcia i nacisku, wynoszą: (26) Odpowiada to realizacji zadania transportowego ładunku o masie m L = 10 kg. Przebieg parametrów p 1 i p 2 w czasie przedstawiono na rys. 4 i 5. a) b) (23) p 1, kgm 2 p 2, kgm 2 Przebiegi wartości sygnałów sterujących uzyskano dzięki rozwiązaniu zadania odwrotnego dynamiki MRT, z zastosowaniem dynamicznych równań ruchu (20), zapisanych w formie: Rys. 4. Przebieg wartości: a) parametru p 1, b) parametru p 2

394 MECHANIK NR 5 6/2018 qd In1 u u q q Trajektoria zadana MRT Zadanie odwrotne dynamiki MRT Trajektoria MRT Rys. 5. Schemat modelu zadania prostego i odwrotnego dynamiki MRT a) a) b) x A, y A, m x A, y A, m/s t, s b) c) d) α 3, rad φ, rad Rys. 6. Przebieg momentu napędowego: a) koła 3 M N, b) kierownicy 4 M S e) f ) α 3, rad/s φ, rad/s M S, Nm M N, Nm t, s Rys. 7. Przebiegi: a) współrzędnych punktu A robota, b) rzutu wektora prędkości punktu A na osie xy, c) kąta obrotu koła napędowego, d) kąta obrotu kierownicy φ, e) wartości prędkości kątowej koła napędowego, f ) wartości prędkości kątowej kierownicy

MECHANIK NR 5 6/2018 395 Wartości parametrów wzrastają, gdy robot znajduje się w punkcie P 1 zadanego toru ruchu, i wracają do wartości nominalnej, gdy robot znajdzie się w punkcie P 2, co odpowiada obciążeniu podnośnika MRT masą przewożonego ładunku oraz usunięciu dodatkowego obciążenia w odpowiednich chwilach. Na podstawie przyjętych zależności zbudowano model symulacyjny zadania odwrotnego i prostego dynamiki MRT w środowisku obliczeniowym MATLAB/ /SIMULINK, przedstawiony schematycznie na rys. 5. Rozwiązanie zadania odwrotnego dynamiki pozwoliło uzyskać przebiegi wartości momentów napędzających M N i M S, niezbędnych do realizacji zadanej trajektorii punktu A robota. W trakcie ruchu robota z ładunkiem w czasie rozruchu i hamowania wartości momentu napędowego koła 3 są większe niż wtedy, gdy robot porusza się bez ładunku. Obliczone wartości momentów napędowych wprowadzono do zadania prostego dynamiki MRT i wyznaczono trajektorię zrealizowaną, którą porównano z trajektorią zadaną (pokazaną na rys. 3). Tor ruchu punktu A robota, otrzymany z rozwiązania zadania prostego dynamiki, jest zbliżony do zadanego toru ruchu. Na rys. 7a przedstawiono przebieg współrzędnych punktu A, a na rys. 7b przebieg rzutów wektora prędkości punktu A na osie x i y nieruchomego układu odniesienia. Na rys. 7c d zaprezentowano odpowiednio przebiegi kątów obrotu koła napędowego oraz kierownicy, natomiast na rys. 7e f przebiegi wartości prędkości kątowych koła napędowego oraz kierownicy. Wnioski W pracy dokonano syntezy modelu dynamiki MRT dzięki wyznaczeniu dynamicznych równań ruchu układu z więzami nieholonomicznymi, które umożliwiają rozwiązanie zadania prostego i odwrotnego dynamiki bez konieczności wyznaczania wartości mnożników Lagrange a. Przeprowadzono ocenę parametrów modelu dynamiki MRT na podstawie badań eksperymentalnych i analizy modeli CAD robota. Wyznaczone parametry wykorzystano w symulacji zadania prostego i odwrotnego dynamiki. Zaprezentowany model dynamiki MRT pozwoli na syntezę algorytmów sterowania ruchem nadążnym robota oraz na symulację jego ruchu w zmiennych warunkach pracy. LITERATURA 1. Domorecki A., Krykowski K. Silniki BLDC Klasyczne metody sterowania. Zeszyty Problemowe. Maszyny Elektryczne. 72 (2005): s. 155 159. 2. Trojnacki M. Mobilne roboty lądowe w transporcie. Logistyka.4 (2015): s. 6273 6283. 3. Giergiel M.J., Hendzel Z., Żylski W. Modelowanie i sterowanie mobilnych robotów kołowych. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2013. 4. Żylski W., Gierlak P. Sterowanie ruchem nadążnym robotów manipulacyjnych. Rzeszów: Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej, 2008. 5. Żylski W. Kinematyka i dynamika mobilnych robotów kołowych. Rzeszów: Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej, 1996. 6. Żylski W. Opis ruchu 3-kołowego mobilnego robota. Materiały XV Ogólnopolskiej Konferencji Naukowo-Dydaktycznej Teorii Maszyn i Mechanizmów, Białystok Białowieża 1996, s. 489. 7. Hendzel Z. Sterowanie ruchem nadążnym mobilnych robotów kołowych. Rzeszów: Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej, 1996. 8. Spong M.W., Vidyasagar M. Dynamika i sterowanie robotów. Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, 1997. 9. Szuster M., Obal P. Kinematyka mobilnego robota transportowego. Przegląd Mechaniczny. 2 (2017): s. 24 28.