DYNAMICZNE MODELE EONOMETRYCZNE 9,,, JyOQRSRONLH 6HPLQDULP DNRZH ZU]HQLD Z 7RUQL.DHGUD (NRQRPHULL L 6D\\NL 8QLZHU\H 0LNRãDMD.RSHUQLND Z 7RUQL Liliana Talaga 8QLZHU\H 6]F]HFLNL Predykory proceów nieacjonarnyc regularnyc ARIMA. Ogólny nieacjonarny proce regularny : DU\NOH SU]HGDZLRQR SRUyZQDQLH ZáDQRFL RFD\F]Q\F QLHacjonarnyc proceów regularnyc ARIMA(p,k,) i jego predykorów za pomo- F FDUDNHU\\N F]RFLRZ\F IQNFML SU]\UR L IQNFML ND ID]RZHJR Ogólnym PRGHOHP JHQHUMF\P regularne procey acjonarne MH UyZQDQLH UyQLFRZH p 0 γ, (.) r 0 r r γ - aáhu]hf]\zlhzdjl U - biaá\]p.ru]\dmf]rshudruyzuyzqdqlhprqd]dsldü B(U) C(U), (.) B(U) - DFMRQDUQ\ RSHUDRU DRUHJUHML U]G S B(U), p U U... p U (.)
06 Liliana Talaga, U operaor SU]HQLcia wecz (cofania), U, (.4) C (U) operaor UHGQLHM UFRPHM U]G T C(U) γ γ γ. (.5) U U... U Proce SRDFL QRL QD]Z SURFH ARMA(p,). Proce en je DFMRQDUQ\ MHeli wzykie pierwiaki równania B (U) 0 OH QD ]HZQU] RNUJ MHGQRNRZHJR L MH RGZUDFDOQ\ MHHOL SLHUZLDNL UyZQDQLD C (U) 0 OH Z RE]DU]H U >. Procey nieacjonarne ewolucyjne PRQD SU]HGDZLü ]D SRPRF uogólnionego operaora auoregreji B (U) DNLHJR H k pierwiaków równania B (U) 0 MH UyZQ\F MHGQRFL D SR]RDáH OH SR]D RNUJLHP MHGQRkowym. k B (U) B(U), (.6) B (U) QLHDFMRQDUQ\RSHUDRUDRUHJUHMLU]Gp k, B (U) p k U... p k U, (.7) ±RSHUDRUUyQLF\, ( U), (.8) n n n n ( U). (.9) Ogólny nieacjonarny proce regularny, zwany uogólnionym proceem mi- H]DQ\P DRUHJUHML L UHGQLHM UFRPHM $5,0$ U]G pnt MH QDSu- MF\... p k pk γ... γ, (.0) B (U) B(U) C(U) k, (.) SHUDRU\ UyQLF\ L FRIDQLD 8 OLQLRZH áf]\ MH ]DOHQRü U.
Predykory proceów nieacjonarnyc regularnyc ARIMA 07 ( U) Π (U) - QLHDFMRQDUQ\ RSHUDRU DRUHJUHML U]G QLHNRF]RQHJR Π, (.) Π (U) U U... (.) % 8 Π 8 (.4) &8 -Heli wzykie miejca zerowe wielomianu C (U) 0 OH QD ]HZQU] Rk- UJ MHGQRNRZHJR R RSHUDRU Π (U) SHáQLD ZDUQHN C(U) Π (U) B (U). (.5) Model ARIMA(p,k,) generuje akie procey, kóryc k a UyQLFD MH acjonarnym proceem regularnym.. Predykor proceu ARIMA(p,k,) Zgodnie z (.) proce ARIMA(SNT PRQD SU]HGDZLü.... (.) RGDZLDMF ]D ZND(QLN RU]\PD L UyZQDQLH NyUH MH SRGDZ budowy predykora proceu dla wyprzedzenia :.... (.) Najlepzy UHGQLRNZDGUDRZ\ predykor NáDGRZHM UHJODUQHM dla wyprzedzenia RNUHORQ\ MH wzorem :..., (.) Por. Zadora (980), rozdz. 5.
Liliana Talaga 08 ; ; JG\ 5yZQRZDQ SRDFL GR MH,...... ) ( pk k p γ γ (.4). dla, > dla 0, dla, %ág predykora RNUHOD UyZQDQLH () () x x, (.5) x - waroü rzeczywia zeregu czaowego w okreie prognozowanym; () x - prognoza wykonana w momencie z wyprzedzeniem ; - wyprzedzenie zeregu czaowego (oryzon predykcji),,,, H. %ág SUHG\NRUD PRQD UyZQLH ]DSLDü (.6) Ze Z]RU Z\QLND H ( ) ( ) ( ) 4 4 id. Z UR]ZDD \F Z\QLND H EáG predykora PRQD ]DSLDü Z SRDFL.... ) ( 0 (.7) ZL]HN ]DFRG]F\ PLG]\ SDUDPHUDPL a w w RU]\PD L MHOL UHODFMH L ]DSL]H L ]D SRPRF RSHUDRUD FRIDQLH 8 6G
Predykory proceów nieacjonarnyc regularnyc ARIMA 09 czyli ( U U ), (.8) ( U U ) 0 ( 8 8 )( 8 8 ), (.9) (.0) :SyáF]\QQLNL SHáQLDM Z UyZQDQLH UyQLFRZH w w w w 0 (.) w,,..., -. UHGQLRNZDGUDRZ\EáGSUHG\NRUDNáDGRZHMUHJODUQHMMHUyZQ\ var[ ()] σ [ ( ) ( )... ( ) ]. (.) JyOQD SRDü predykora proceu ARIMA(SNT MH QDSMFD xˆ f p k p kr f - r r r - 0 r -r f γ, (.) gdzie paramery I L ZLH ] SDUDPHUDPL równanie: r f i f f... f i i i 0 f i,,... 0 i, 0 f -k 0, dla i > p k. (.4) %ág predykora proceu ARIMA(p,k,) je równy gdzie Z Z w w r 0 f Z w-r γ r f γ r -k, (.5) 0 dla r >, (.6) 0.
0 Liliana Talaga. Spekralna prezenacja proceu ARIMA(p,k,) -HHOL proce ocayczny ; EG]LH L UDNRZDü MDNR Z\MFLH ILOU liniowego z operaorem / QDZHMFL NyUHJR MH ELDá\ ]P : L, (.) o SURFH RFD\F]Q\ EG]LH PLHü QDSMF SUH]HQDFM SHNUDOQ iω Hω e dz ω, (.) 0, ±, H( ω ) - IQNFMD F]RFL UHDNFML ]ZDQD UDQPLDQFM OE IQNFM ran- IHURZ, e iω dz ω SRDü]HSRORQD. Sumacyjne filry liniowe niezmienne w czaie PDM ZáDQRü H NDdy DFMRQDUQ\ SURFH ZHMFLRZ\ SU]HN]DáFDM Z DFMRQDUQ\ SURFH Z\MFLRZ\ )QNFM UDQIHURZ Z\JRGQLH MH SU]HGDZLü Z SRDFL ]HSRORQHM H( iφ( ω) ω ω, (.) ) G( ) e [ H( ω) ] [ H( )] G( ω ) H( ω) 5H,P ω, (.4) moduá H( ω) EGF\ FDUDNHU\\N DPSOLGRZ ]ZDQ\ MH IQNFM SU]yrou; Im H( ω) φ ( ω) arg H( ω) arc an, Re H( ω) (.5) T Sumacyjne filry liniowe niezmienne w czaie o filry poaci: < /; ; 0, ±, ; p, >0; - rzeczywie; / ; ; /; /; T S, S < NyUH PDM ZáDQRü OLQLRZRFL α α i QLH]PLHQQLF]RFL Z F]DLH M MHHOL / Y, wedy L r Y r GOD NDGHM OLF]E\ U RU 7DODJD LHOLNL.5.
Predykory proceów nieacjonarnyc regularnyc ARIMA argumen H( ω) EGF\ FDUDNHU\\N ID]RZ ]ZDQ\ MH IQNFM ND fazowego. RGDZLDMF GR RU]\PD L i[ ω φ( ϖ) ] G( ω) e dz ( ω). (.6) :\UDHQLH (.6) wkazuje H RGSRZLHG]L SURFH ZHMFLRZHJR R F]RFL ω MH Z\MFLH R HM DPHM F]RFL OHF] ]ZDRQH Z DPSOLG]LH SU]H] F]\QQLN G( ω) RUD] SU]HQLH Z ID]LH R ZLHONRü φ (ω), czyli filracja acjonarnyc SURFHyZ RFD\F]Q\F PRG\ILNMH DPSOLG NáDGRZ\F DUPRQLFz- Q\FSURFHRUD]SRZRGMHSU]HQLFLHID]RZH\FNáDGRZ\F 8ZDD L H ILOU MH NRPSOHQLH SUHF\]RZDQ\ MHHOL ]QDQH IQNFMD SU]y- UR L IQNFMD ND ID]RZHJR Paramer φ( ω) τ ( ω), ω 0 (.7) ω mierzy SU]HQLFLH fazy w jednoce czau i zwany je IQNFM SU]HQLFLD czau )LOU / SU]HZD SLHUZRQ\ F]D DUPRQLNL Z F]RFL ω o τ ω jednoek czau. Proce ARIMA(SNT PRQD UDNRZDü MDNR Z\MFLH filru liniowego z operaorem Π (U) QDZHMFL NyUHJR MH ELDá\ ]P. Spekralna prezenacja proceu ARIMA(p,k,) ma SRDü L ; H ω G ) ω ω (.8) gdzie funkcja ranferowa H( ω ) F ( ω) je równa: &ω ) ω % ω T U S N γ U H LωU H Lω a ZSyáF]\QQLNL M RNUHORQH UyZQDQLHP i i i i... p k i(p k) M M H LωM (.9) γ, (.0) i,, 0 ; -k 0; γ 0 dla i >. i
Liliana Talaga D SU]\NáDG GOD SURFH ARIMA(0,,) orzymano: Z Z γ i ZDULDQFM EáG SUHG\NRUD UyZQ (.) Z YDU[ ] σ ( γ ) (.) Z zór ZND]MH H ZDULDQFMD EáG predykora ]ZLN]D Z ZDURü ZUD] ] Z\GáDQLHP RU\]RQ SUHG\NFML UHG\NRUPRQDSU]HGDZLüZUyZQRZDQHMpoaci: [ Z Z Z Spekralne przedawienie predykora (.) ma SRDü gdzie Lω { [ ) ]}. (.) Lω [ H H ) ω ω G ω, (.4) Lω L ω ) ω ) ω H H Funkcja ranferowa predykora (.) je równa (.5) L ω ω H (.6) a IQNFMD SU]HMFLD predykora proceu ARIMA(p,k,): H ( ω) co( ) ω in( ) ω. (.7) Przeprowadzono porównanie funkcji przyrou G( ω) L IQNFML ND fazowego φ(ω) RJyOQLRQHJR SURFH PLH]DQHJR DRUHJUHML L UHGQLHM UFRPHM $5,0$ U]G RUD] MHJR SUHG\NRUD GOD Z\EUDQ\F ZDURFL paramerów oraz γ.
Predykory proceów nieacjonarnyc regularnyc ARIMA 400 9.9 00 G p ( ω ) G ( ω ) G ( ω ) 00 00 0.7 0 0 60 90 0 80 ykre.. Funkcja przyrou proceu G p (ω) oraz predykora proceu ARIMA(,,) dla (G ) i (G ), 0.9; γ -0.4. 80 0.474 0 0 60 90 0 80 φ p ( ω ) φ ( ω ) φ ( ω ) 00.88 ykre.. )QNFMD ND ID]RZHJR SUoceu φ p (ω) oraz predykora proceu ARIMA(,,) dla (φ) i (φ), 0.9; γ -0.4. 80
4 Liliana Talaga 9.05 0 5 G p ( ω ) G ( ω ) 0 G ( ω ) 5 0. 0 0 60 90 0 80 ykre.. Funkcja przyrou proceu G p (ω) oraz predykora proceu ARIMA(,,) dla (G ) i (G ), -0,5; γ -0,5. 80 0 0 0 60 90 0 80 φ p ( ω ) φ ( ω ) φ ( ω ) 00 79.667 00 ykre.4. )QNFMD ND ID]RZHJR SURFH φ p (ω) oraz predykora proceu ARIMA(,,) dla (φ ) i (φ ), -0,5; γ -0,5. 80
Predykory proceów nieacjonarnyc regularnyc ARIMA 5 4.9 40 G p ( ω ) G ( ω ) G ( ω ) 0 0 0 0.7 0 0 60 90 0 80 ykre.5. Funkcja przyrou proceu G p (ω) oraz predykora proceu ARIMA(,,) dla (G ) i (G ), -0,9; γ 0,4. 80 64.58 00 φ p ( ω ) 0 0 60 90 0 80 φ ( ω ) φ ( ω ) 00 79.56 00 ykre.6. )QNFMD ND ID]RZHJR SURFH φ p (ω) oraz predykora proceu ARIMA(,,) dla (φ ) i (φ ), -0,9; γ 0,4. 80
6 Liliana Talaga 000 847.875 800 G p ( ω ) G ( ω ) G ( ω ) 600 400 00 0. 0 0 60 90 0 80 ykre.7. Funkcja przyrou proceu G p (ω) oraz predykor proceu ARIMA(,,) dla (G ) i (G ), 0,9; γ 0,5. 80 0.474 0 0 60 90 0 80 φ p ω ( ) φ ω ( ) φ ω ( ) 00.4 00 ykre.8. )QNFMD ND ID]RZHJR SURFH φ p (ω) oraz predykora proceu ARIMA(,,) dla (φ ) i (φ ), 0,9; γ 0,5. 80
Predykory proceów nieacjonarnyc regularnyc ARIMA 7 :DURFL funkcji przyrou G p ( ω ) proceu $5,0$ ZND]M H filr ego proceu przepuzcza w wyokim opniu NáDGRZH nikic F]RFL dla UyQ\F ZDURFL paramerów i γ. Filr en ápl prawie FDáNRZLFLH káddowe SR]RDá\F F]RFL przypadku, gdy > 0 ILOU ápl FDáNRZLFLH NáDGRZH SR]RDá\F F]- RFL -HOL < 0, filr przepuzcza w nieznacznym opniu NáDGRZH Z\o- NLF F]RFL JG\ γ > 0 ; a w opniu znacznym, gdy γ < 0. Funkcja przyrou G ( ω) predykora proceu ARIMA(p,,) ma podobny przebieg do przebiegu G p ( ω ) proceu ARIMA(p,,). Funkcja przyrou predykora GOD UyQ\F Z\SU]HG]H PD SUDZLH LGHQ\F]QH ZDURFL U]HQLFLH ID]\ φ (ω) predykora proceu ARIMA(p,,) je odmienne RG SU]HQLFLD ID]\ SURFH $5,0$ST 'OD GRGDQLF ZDURFL paramerów i γ SU]HQLFLH ID]\ ]PLHQLD na przemian kierunek, ale ampli- GD ZDD MH SUDZLH MHGQDNRZD Z FDá\P SU]HG]LDOH F]RFL 'OD NROHMQ\F Z\SU]HG]H RNUHyZ SUHG\NFML IQNFMD ND ID]owego SUHG\NRUD MH Uyna. SRZ\]\F SRU]HH PRQD Z\ZQLRNRZDü H MHHOL ILOU SURFH $5,0$ST SU]HS]F]D Z Z\RNLP RSQL NáDGRZH QLNLF F]RFL D ápl SR]RDáH NáDGRZH R SUHG\NRU\ ZDD GáJRRNUHRZ\F EG HIHNywniejze od SUHG\NRUyZ ZDD NUyNRRNUHRZ\F -HOL QDRPLD ILOU SURFH SU]HS]F]D UyZQLH NáDGRZH Z\RNLF F]RFL R HIHN\ZQRü predyk- RUyZ ZDD GáJRRNUHRZ\F L NUyNRRNUHRZ\F EG]LH MHGQDNRZD D HIHN\ZQRü predykorów ZSá\Z PDM UyZQLH SU]HQLFLD ID]\,P SU]e- QLcia fazy SUHG\NRUD EG EDUG]LHM RGELHJDü RG SU]HQLFLD ID]\ SURFH \P HIHN\ZQRü SUHG\NRUyZ EG]LH QL]D Lieraura: 7DODJD / LHOLNL Analiza pekralna w modelowaniu ekonomerycznym, PN, arzawa. Zadora,. (980), Ekonomeryczna ekrapolacja zeregów czaowyc, Prace Naukowe, Akademia Ekonomiczna, aowice.